三角形最值問題的命題形式多樣，常與解三角形、三角函數(shù)、不等式、方程、函數(shù)等知識相結(jié)合.因而，解答此類問題的方法、思路很多.下面主要介紹解答三角形最值問題的三個“招數(shù)”，以供讀者參考.

一、利用基本不等式

基本不等式：[a+b≤2ab]，其中[a>0，b>0]，當且僅當a=b時取等號.對于三角形最值問題，我們通?？梢韵壤谜嘞叶ɡ砬蟮媚繕耸?；然后將其化為兩式的和或積.只要這兩式的和或積為定值，那么在a=b時，這兩式的和或積就能取得最值.

例1.已知[ΔABC]的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若[cosAcosB+sinAsinB=2cb]，且[b=3]，求[ΔABC]的周長[l]的最大值.

解：由正弦定理可得[sinCsinB=cb]，而[cosAcosB+sinAsinB=2cb]，

所以[cosAcosB+sinAsinB=cosAsinB+cosBsinAcosBsinB=sin（A+B）cosBsinB=2sinCsinB]，因為[sin（A+B）=sinC≠0，sinB≠0]，所以[cosB=12].

在[ΔABC]中，由余弦定理可得[b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac]，

所以[（a+c）2=9+3ac≤9+3（a+c2）2]，即[a+c≤6].

所以[l=a+b+c≤9]，當且僅當[a=b=c=3]時取等號，

所以[ΔABC]的周長[l]的最大值為[9].

我們根據(jù)正余弦定理得出[（a+c）2=9+3ac].而該式中涉及兩式的和a+c與積ac，利用基本不等式即可建立二者的關(guān)系，從而求得a+c的最值，進而求得三角形周長的最值.利用基本不等式解題的關(guān)鍵在于配湊出兩式的和與積.

二、利用三角函數(shù)的性質(zhì)

在解答三角形最值問題時，我們可以利用正余弦定理將目標式用某個內(nèi)角的三角函數(shù)表示出來，并將其化簡為只含有正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的式子，便可根據(jù)角的范圍，利用正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的有界性和單調(diào)性來求最值.

例2.設函數(shù)[f（x）=sin（12x+π6）+1].在[ΔABC]中，[∠A、∠B、∠C]對應的邊分別為[a、b、c].若[a=6]，且[f（2A）+2cos（B+C）=1]，則[b+c]的取值范圍是_______.

解：由[f（2A）+2cos（B+C）=1]可得[A=π3]，

在[ΔABC]中，由正弦定理可得[bsinB=csinC=asinA=6sinπ3=43]，

所以[b=43sinB，c=43sinC]，

所以[b+c=43（sinB+sinC） =43[sinB+sin（2π3] [-B）]=12sin（B+π6）]，因為[0<B<2π3]，所以[π6<B+π6<5π6]，

則當[B+π6=π2]，即[B=π3]時，[sin（B+π6）]取得最大值，

當[B+π6=π6]，即[B=0]時，[sin（B+π6）=12]，

所以[sin（B+π6）∈（12，1]]，則[b+c∈（6，12]].

將三角形的三條邊用角的三角函數(shù)表示出來后，便可將目標式化為三角函數(shù)式.再利用兩角和的正弦公式將其化為正弦函數(shù)式，便可直接根據(jù)正弦函數(shù)的有界性和單調(diào)性求得最值.

三、建立坐標系

在解答三角形最值問題時，通?？梢匀切蔚牡走厼閤軸，以底邊上的某個點為原點來建立平面直角坐標系.這樣便可將問題轉(zhuǎn)化為坐標運算問題，通過簡單的計算獲得問題的答案.

例3.在[ΔABC]中，[AB=2，AC=2BC]，求該三角形面積的最大值.

解：以[AB]的中點為原點建立如圖所示的平面直角坐標系，

則[A（-1，0），B（1，0）].設點[C（x，y）]，

由[AC=2BC]，得[（x+1）2+y2=2（x-1）2+y2]，

即[（x-3）2+y2=8（x≠±1）]，故點[C]的軌跡是以點[（3，0）]為圓心，半徑為[22]的圓，不包括與[x]軸的交點，則C到x軸的最大距離為半徑[22]，

則[ΔABC]面積的最大值為[S=12×2×22=22].

以AB的中點為原點，AB為x軸建立平面直角坐標系，即可快速求得各個點的坐標，從而順利求得C的軌跡方程.一般來說，如果三角形是直角三角形、等腰三角形、等邊三角形，可以直角的頂點或者底邊上的中點為坐標原點，來建立平面直角坐標系.

總的來說，無論運用哪種方法解答三角形最值問題，都需：（1）靈活運用正余弦定理進行邊角互化；（2）挖掘有關(guān)三角形的隱含條件；（3）靈活運用數(shù)形結(jié)合思想.