動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程問題常與圓錐曲線、三角形、平行四邊形、圓、直線的方程、三角函數(shù)等知識(shí)相結(jié)合.這類問題的難度一般不大.下面重點(diǎn)談一談如何求解動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.

一、定義法

利用定義法解題，需熟悉一些基本平面幾何圖形的定義，如拋物線、橢圓、雙曲線、圓等，根據(jù)已知條件確定定點(diǎn)與動(dòng)點(diǎn)之間的關(guān)系，將其與平面幾何圖形的定義關(guān)聯(lián)起來，求得各個(gè)參數(shù)的值，即可求得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.

例1.已知圓[C1：x2+（y+4）2=25]和圓[C2：x2+（y-4）2=1]，現(xiàn)有一動(dòng)圓[C]分別與圓[C1和C2]外切，求動(dòng)圓的圓心[C]的軌跡方程.

解：圓[C1和C2]的方程可得[C1（0，-4），C2（0，4）]，兩圓的半徑分別為[r1=5，r2=1]，設(shè)動(dòng)圓的半徑為[r]，

因?yàn)閳A[C]分別與圓[C1和C2]外切，

所以[|CC1|=r+5，|CC2|=r+1]，

則[|CC1|-|CC2|=4<8]，

所以動(dòng)圓的圓心[C]的軌跡是以點(diǎn)[C1和C2]為焦點(diǎn)的雙曲線的上半支，可得[2a=4，2c=|C1C2|=8]，所以[b2=c2-a2=12]，所以動(dòng)圓圓心[C]的軌跡方程為[y24-x212=1（y≥2）].

解答本題，需將[|CC1|-|CC2|=4<8]視為“動(dòng)點(diǎn)[C]到兩定點(diǎn)[C1和C2]的距離之差為[4]”，便可根據(jù)雙曲線的定義判定C的軌跡是以點(diǎn)[C1和C2]為焦點(diǎn)的雙曲線的上半支.求得a、c的值，即可求得雙曲線的方程.

二、參數(shù)法

若動(dòng)點(diǎn)可以用變量表示出來，則可以引入?yún)?shù)，運(yùn)用參數(shù)法來解題.先根據(jù)題意建立關(guān)于參數(shù)的方程；然后利用已知條件將參數(shù)消去，即可得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.

例2.已知點(diǎn)[A、B]分別是射線[l1：y=x（x≥0），l2：y=-x（x≥0）]上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)[O]為坐標(biāo)原點(diǎn)，且+9AMNyHCSlxJAJFfRjgvWg==[ΔAOB]的面積等于[2]，試求線段[AB]的中點(diǎn)[M]的軌跡方程.

解：設(shè)點(diǎn)[A（x1，x1），B（x2，-x2），M（x，y）]，其中[x1>0，x2>0]，

則[x=x1+x22，y=x1-x22].

因?yàn)閇ΔAOB]的面積等于[2]，所以[SΔAOB=12|OA|?|OB|=12（2x1）（2x2）=2].

由[x=x1+x22，y=x1-x22]可得[x2-y2=2]，

由于[x1>0，x2>0]，所以[x>0]，

則點(diǎn)[M]的軌跡方程為[x2-y2=2（x>0）].

先引入?yún)?shù)[x1、x2]，設(shè)出A、B、M的坐標(biāo)，建立關(guān)于[x1、x2]的方程；然后通過恒等變換消去參數(shù)[x1、x2]，即可求得點(diǎn)M的軌跡方程.在設(shè)出參數(shù)后，要注意考慮參數(shù)對(duì)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)取值的影響，以約束x、y的取值.

三、交軌法

若所求的動(dòng)點(diǎn)是兩條動(dòng)曲線的交點(diǎn)，則需要用交軌法來求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.先將兩條動(dòng)曲線的方程聯(lián)立，消去其中的參數(shù)，得到關(guān)于變量的方程；再確定變量的取值范圍，即可得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.

例3.如圖所示，已知雙曲線[C：y24-x23=1]與[y]軸交于點(diǎn)[A1（0，-2）]和點(diǎn)[A2（0，2）]，直線[l：y=m]與雙曲線交于點(diǎn)[P、Q]，直線[A1P]與直線[A2Q]相交于點(diǎn)[M]，試求點(diǎn)[M]的軌跡方程.

解：設(shè)[P（x1，m），Q（-x1，] [m），M（x，y）]，由題意可知[m24-x123=1].

當(dāng)[x1≠0]時(shí)，直線[PA1]的方程為[y+2=m+2x1x]，直線[QA2]的方程為[y-2=2-mx1x]，將兩直線的方程聯(lián)立可得[y2-4=4-m2x12x2]，

將其代入[m24-x123=1]中可得[y24+x23=1].

當(dāng)[x1=0]時(shí)，點(diǎn)[M]滿足[y24+x23=1]，則該方程即為點(diǎn)M的軌跡方程.

在使用交軌法解題時(shí)，要明確動(dòng)點(diǎn)所滿足的是哪兩個(gè)動(dòng)曲線的方程，并注意檢驗(yàn)變量的范圍.

總的來說，求解動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，關(guān)鍵是仔細(xì)讀懂題意，能夠根據(jù)題目中的條件，結(jié)合圖形確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡，建立滿足動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)的方程.