平行四邊形的性質(zhì)從位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系上都反映出圖形的內(nèi)在規(guī)律.在求解平行四邊形相關(guān)問題時(shí)，若能挖掘平行四邊形中隱藏的直角三角形模型，再利用勾股定理探究邊與邊之間的關(guān)系，則有利于求得相關(guān)線段的長度.

模型構(gòu)建

模型1：如圖1，Rt△ABC中，∠B = 90°，則AB2 + BC2 = AC2.

模型2：如圖2，△ABC中，AD⊥BC，則AB2 - BD2 = AC2 - CD2.（請同學(xué)們嘗試證明）

模型3：如圖3，Rt△ABC中，∠B = 90°，點(diǎn)D是線段BC上的一點(diǎn)，則AC2 - BC2 = AD2 - BD2. （請同學(xué)們嘗試證明）

典例分析

例1 "如圖4，在平行四邊形ABCD中，AB = 8，∠ABC = 60°，BE平分∠ABC，交邊AD于點(diǎn)E，連接CE，若AE = 2ED，則CE的長為 .

思路點(diǎn)撥：由平行四邊形的性質(zhì)得∠D = ∠ABC = 60°，CD = AB = 8，AD[?]BC，再證∠ABE = ∠AEB，則AE = AB = 8，所以ED = 4.

如圖5，過點(diǎn)E作EF⊥CD于點(diǎn)F，則∠FED = 30°，由含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得DF = [12]ED = 2，結(jié)合模型2的結(jié)論，易求得CE = 4[3].

例2 如圖6，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AB，BC的中點(diǎn)，連接EC，F(xiàn)D，G，H分別是EC，F(xiàn)D的中點(diǎn)，連接GH，若AB = 6，BC = 8[3]，∠BAD = 150°，則GH =__________.

思路點(diǎn)撥：連接CH，并延長交AD于點(diǎn)P，連接PE，如圖7，由平行四邊形的性質(zhì)得AD[?]BC，可證△PDH ≌ △CFH，可得PD = FC = 4[3]，則AP = 4[3]，過點(diǎn)E作EK垂直于DA的延長線，點(diǎn)K為垂足，由含30°角的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理可得AK = [323]，結(jié)合模型3的結(jié)論，易得EP = [93]，由中位線定理可得GH = [12]EP = [932].

分層作業(yè)

難度系數(shù)：★★★ 解題時(shí)間：10分鐘

1. 如圖8，在平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于點(diǎn)O，AB⊥AC，AH⊥BD于點(diǎn)H，若AB = 2，BC = 2[3]，求AH的長. （答案見第33頁）

2.如圖9，四邊形ABCD是平行四邊形，∠B = 120°，CD = CB = 4，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，連接AE，點(diǎn)F為線段AE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接DF，求線段DF的長度的最小值. （答案見第33頁）

難度系數(shù)：★★★★ 解題時(shí)間：15分鐘

3.在平行四邊形ABCD中，BC邊上的高為4，AB = 5，AC = 2[5]，求平行四邊形ABCD的周長. （答案見第33頁）

4.如圖10，在平行四邊形ABCD中，AB = 4，∠B = 60°，點(diǎn)E在射線BC上運(yùn)動(dòng)，連接AE，將△ABE沿AE翻折得到△AFE，EF交射線AD于點(diǎn)G，如果△FAG是直角三角形，則BE的長為__________. （答案見第33頁）

（作者單位：大連市西崗區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校附屬學(xué)校）