摘要： 賦形反射面天線通常使用單目標(biāo)優(yōu)化算法進(jìn)行設(shè)計(jì)，當(dāng)期望波束特性具有多個相互沖突的目標(biāo)和約束限制時，將無法確保輸出最優(yōu)解. 為此，提出了該類天線的約束多目標(biāo)優(yōu)化方法. 基于有希望區(qū)域優(yōu)化和自適應(yīng)約束位移密度估計(jì)的思想，設(shè)計(jì)一種新型雙種群協(xié)同進(jìn)化約束多目標(biāo)優(yōu)化算法DPBE，在基準(zhǔn)測試套件與其他3 種主流算法的對比表明，該算法具備更強(qiáng)的全局尋優(yōu)性與穩(wěn)定性. 將該算法應(yīng)用于19～21 GHz 單偏置拋物反射面天線的平頂波束賦形中，并與單目標(biāo)優(yōu)化算法IWO 和多目標(biāo)優(yōu)化算法NSGA-II-DE 在同型初始天線的不同優(yōu)化模型下進(jìn)行了性能對比，發(fā)現(xiàn)所提方法能在單次運(yùn)行中滿足所有約束條件并取得最佳結(jié)果.

關(guān)鍵詞： 賦形波束； 反射面天線； 約束多目標(biāo)優(yōu)化； 協(xié)同進(jìn)化； 平頂波束

中圖分類號： TN820/TP18 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A DOI： 10. 19907/j. 0490-6756. 2024. 043005

1 引言

賦形反射面天線（Shaped Reflector Antenna，SRA）能以較低成本實(shí)現(xiàn)賦形波束，在衛(wèi)星通信和雷達(dá)系統(tǒng)中得到了廣泛應(yīng)用. 目前常用的反射面賦形技術(shù)，是在基準(zhǔn)反射面上疊加用基函數(shù)表示的擾動面，使用優(yōu)化算法調(diào)整基函數(shù)系數(shù)修改反射面形狀，進(jìn)而獲取不同的遠(yuǎn)場輻射特性，在數(shù)次迭代之后，將可能獲取逼近期望特性的反射形面［1］.

研究者們基于該框架進(jìn)行了大量拓展研究.文獻(xiàn)［2］使用TicraPos4 軟件的Min-Max 算法優(yōu)化Zernike 多項(xiàng)式的系數(shù)，同時優(yōu)化覆蓋印度國土波束的邊緣增益和交叉極化. 文獻(xiàn)［3］通過IWO 算法優(yōu)化修正Jacobi-Fourier 級數(shù)系數(shù)，在方位/水平2 個切面下同時優(yōu)化由方向圖殘差/旁瓣電平/波束寬度等指標(biāo)組成的復(fù)合函數(shù)，在26～40 GHz 下實(shí)現(xiàn)了較低紋波的余割平方波束. 文獻(xiàn)［4］開發(fā)了基于移動最小二乘的混合GA，賦形由Bezier 曲線表示的雙反射面系統(tǒng)，以優(yōu)化增益和旁瓣，據(jù)稱能在更少的迭代下獲得全局最優(yōu)解. 文獻(xiàn)［5］提出了基于PO/GO 和相位誤差表面整形的特定賦形技術(shù)，專用于賦形單偏置反射面天線高性能一維扇形波束. 雖然上述工作均提及了多個期望指標(biāo)，但實(shí)際上都是將所有指標(biāo)加權(quán)求和形成1 個指標(biāo)使用單目標(biāo)優(yōu)化算法求解. 這種方法不僅難以選取權(quán)重系數(shù)，也無法反映指標(biāo)間的內(nèi)在聯(lián)系與制約關(guān)系，可能造成單目標(biāo)優(yōu)化求解失敗或輸出1 個無法滿足規(guī)定需求的解，工程實(shí)用性受到限制［6］.

近年來，由于約束多目標(biāo)進(jìn)化算法（ConstraintMulti-Objective Evolutionary Algorithms， CMOEAs）相對其他全局優(yōu)化方法能更為有效地處理多個沖突的目標(biāo)和約束，引起了學(xué)術(shù)界的廣泛關(guān)注，被越來越多地應(yīng)用于協(xié)作邊緣與云計(jì)算［7］、測試資源分配［8］、天線自動優(yōu)化［9， 10］等實(shí)際問題中.CMOEAs 在單次運(yùn)行中得出一組滿足所有需求且互不支配的最優(yōu)集合，為實(shí)踐提供多個關(guān)系清晰的候選個體，便于工程師根據(jù)偏好選擇. 且由于將問題限制在符合約束的區(qū)間，具有比無約束多目標(biāo)優(yōu)化更快的收斂速度. 文獻(xiàn)［10］指出，將天線陣列的賦形波束優(yōu)化建模為約束多目標(biāo)優(yōu)化問題（Constrained Multi-objective Optimization Problems，CMOPs）并使用CMOEAs 進(jìn)行求解，比建模為無約束單目標(biāo)優(yōu)化問題（Single-objective OptimizationProblems， SOPs）、約束單目標(biāo)優(yōu)化問題（Constrained Single-objective Optimization Problems，COPs）和無約束多目標(biāo)優(yōu)化（MultiobjectiveOptimization Problems， MOPs）更具優(yōu)勢. 賦形波束反射面天線的工程設(shè)計(jì)也包含服務(wù)區(qū)最小增益、紋波電平、交叉極化，服務(wù)區(qū)外旁瓣和滾降速率，形面控制等多個需求，是典型的CMOP，應(yīng)用CMOEAs 將有助于提高賦形反射面天線性能與設(shè)計(jì)效率.

本文提出了賦形反射面天線約束多目標(biāo)優(yōu)化的通用方法；設(shè)計(jì)了新型雙種群協(xié)作的約束多目標(biāo)進(jìn)化算法以平衡約束與目標(biāo)之間的矛盾，并將其應(yīng)用于19～21 GHz 賦形單偏置反射面天線的平頂波束優(yōu)化；對比了使用本文所提算法優(yōu)化該問題的CMOP 模型，與IWO、NSGA-II-DE 等天線優(yōu)化領(lǐng)域常用算法將同一問題建模為SOP/COP/MOP 進(jìn)行優(yōu)化的效果，發(fā)現(xiàn)本文所提方法輸出的最優(yōu)權(quán)衡解的波束具有更佳的高增益、低紋波、低旁瓣特性.

2 SRA 的約束多目標(biāo)優(yōu)化理論

對于任意約束多目標(biāo)優(yōu)化問題，可描述為下列關(guān)系.

for x*，x ∈ Ω and CV （ x*），CV （ x ） = 0

when ?x ∈ Ω ，F(xiàn) （ x ） ? F （ x*） （4）

所有帕累托最優(yōu)解的集合被稱為帕累托最優(yōu)集（Pareto-optimal Set， PS）. PS 在目標(biāo)空間的映射{ F （ x * ）1 ，…，F(xiàn) （ x ） *k |x * ∈ PS } 稱為約束帕累托前沿（Constraint Pareto Front， CPF）. 當(dāng)不考慮約束時，問題的前沿被稱為（Unconstraint PF， UPF）.可以看出，約束將帶來UPF 轉(zhuǎn)變?yōu)镃PF，使得CMOPs 的求解相對于MOPs 變得更加困難.

對于賦形波束反射面天線優(yōu)化，決策變量x 就是用于擬合形變的基函數(shù)系數(shù)，目標(biāo)和約束是工程給定的實(shí)際指標(biāo). 不同的是，目標(biāo)通常轉(zhuǎn)換為最小化優(yōu)化，約束用于給出最差的容忍范圍. 在賦形波束中，需要滿足特定規(guī)律的范圍稱為主瓣，Gain（ freq，Ο，φ ） 表示指定頻點(diǎn)與角度上的增益，常見指標(biāo)可描述如下.

（1） 天線增益（G）：天線最大Gain（ freq，Ο，φ ）；

（2） 邊緣增益（Eoc）：主瓣內(nèi)最小Gain（ freq，Ο，φ ）；

（3） 紋波（Rip）：主瓣Gain（ freq，Ο，φ ） 與期望規(guī)律的最大偏差；

（4） 交叉極化鑒別（XPD）：主瓣內(nèi)最小交叉極化比；

（5） 旁瓣（SLL）：主瓣外最大旁瓣電平；

（6） 滾降速率（RR）：主瓣外某方向電平下降速率；

（7） 方向圖誤差（error）：實(shí)際方向圖相對于期望包絡(luò)的違反……

當(dāng)然，也可按需提出其他指標(biāo). 所以，賦形波束反射面天線優(yōu)化可建模為CMOP，對應(yīng)關(guān)系如表1 所示.

優(yōu)化開始前要確定基準(zhǔn)天線結(jié)構(gòu)，以保證優(yōu)化起點(diǎn)良好，避免盲目搜索. 通常，基準(zhǔn)天線結(jié)構(gòu)可以為對稱拋物面天線、單偏置拋物面天線、卡式/格式天線、環(huán)焦天線等. 這些天線的初始參數(shù)可根據(jù)經(jīng)驗(yàn)守則得到［11］.

在標(biāo)準(zhǔn)天線的主/副面上引入以Zernike 多項(xiàng)式表征的形面偏差（也可為其他基函數(shù)），以微調(diào)反射面形狀進(jìn)而修改口徑場上的幅相分布.Zernike 多項(xiàng)式是單位圓域上一組連續(xù)正交的完備基函數(shù)，通過自然映射可表示任意圓形或橢圓投影上的曲面形狀. 在極坐標(biāo)系中，Zernike 多項(xiàng)式表示為

式中，n 和m 分別被稱為徑向自由度和角頻率；Rmn（ ρ）由n、m唯一決定，所以當(dāng)N、M確定后，所有參與擬合的Cmn和Dmn組成決策變量x. N 和M 越大其擬合曲面細(xì)節(jié)越豐富，但也導(dǎo)致x 維數(shù)急劇提升，需要根據(jù)實(shí)際賦形需求和天線結(jié)構(gòu)選擇合適的階數(shù)和參與擬合的項(xiàng).

對于某系數(shù)x 生成的新反射面，通過電磁分析方法可求得天線遠(yuǎn)場方向圖，進(jìn)而求得該形變下的目標(biāo)F（x）和約束G（x）. CMOEAs 控制整個優(yōu)化進(jìn)程，在系數(shù)空間Ω 中不斷尋找具備更佳F（x）和G（x）的新系數(shù)x，最終輸出符合期望特性的天線模型.

3 雙種群協(xié)同進(jìn)化算法

當(dāng)追求極致的賦形波束需求時，目標(biāo)函數(shù)可能存在相互沖突，約束條件也將變得復(fù)雜. 來自決策或目標(biāo)空間的約束，可導(dǎo)致CPF 相對PF 發(fā)生變化，并在目標(biāo)空間產(chǎn)生大不可行域或小且離散可行域. 若無法平衡目標(biāo)與約束之間的復(fù)雜關(guān)系，現(xiàn)有CMOEAs 將無法探索完整CPF，或被大不可行域阻擋在局部最優(yōu)區(qū)間［12］. 為增強(qiáng)算法尋優(yōu)性和穩(wěn)健性，使其通用于任意CMOP，提出新型算法DPBE（Dual Populations Balance Evolution）.

算法總體流程如圖1 所示. DPBE 在進(jìn)化過程中將維護(hù)2 個特性相互補(bǔ)充的種群：（1） 面向可行收斂的主種群（Feasible Population， FP）；（ 2） 面向部分可行且多樣的輔助種群（Auxiliary Population，AP）. 2 個種群在交配池構(gòu)建和子代生成階段進(jìn)行信息交融，互相提供有效信息，從而使得最終輸出的主種群具有良好的可行性、多樣性及收斂性. 在初始化過程中，從搜索空間中隨機(jī)生成N 個起始個體，并同時賦與FP0 和AP0，之后進(jìn)入迭代.在每次迭代中，隨機(jī)選取FPt和APt中各一半的個體組成交配池MP，采用鄰域rand/1/bin 差分進(jìn)化算子生成子代［13］. 生成子代OPt與FPt和APt分別融合，使用不同的選擇策略更新并生成FPt+1和APt+1.

主種群通過SPEA2-CDP 方法［14］更新，其具體細(xì)節(jié)描述在圖1 右下側(cè). 這是以可行性為第一準(zhǔn)則的選擇策略，可以在進(jìn)化初期盡快定位至可行區(qū)域，在末期輸出密度均勻的可行解集. 評估個體x 時，SPEA2 首先確定2 個解集——x 支配的所有解的解集Rx 和支配x 的所有解的解集Sx，接著找到x 的N th 最近鄰居x '，x 的適應(yīng)度ISPEA2 （ x）由下式計(jì)算.

ISPEA2 同時反映解的收斂性與多樣性，是無約束指標(biāo)，ISPEA2 （x）lt;1 說明解是非支配的. SPEA2-CDP與無約束SPEA2 不同的是，支配關(guān)系由CDP 決定，當(dāng)滿足下述關(guān)系之一時，x1 ? CDP x2.

基于式（8）支配關(guān)系并用式（7）計(jì)算的指標(biāo)稱為ICSPEA2，ICSPEA2 同時反映解的可行性和收斂性. 但由于約束違反在比較中高度占優(yōu)，所以ICSPEA2 無法反映多樣特性，主種群很有可能收斂至局部最優(yōu).

由于主種群容易局部收斂，輔助種群需要具備幫助主種群跨越大不可行區(qū)域并幫助探索完整CPF 的性質(zhì). 如圖1 中左下側(cè)虛框所示，其選擇策略根據(jù)種群狀態(tài)可能分為4 種情況.

首先判斷AO中是否存在可行解，當(dāng)|AOFeasible|=0時，意味著當(dāng)前還在探索的初期階段，執(zhí)行策略①：直接對AO 執(zhí)行基于ISPEA2 指標(biāo)的選擇，此時輔助種群面向完全無約束，與主種群高度互補(bǔ)，使子代能夠更廣泛地探索決策空間. 當(dāng)|AOFeasible|≠0時，借鑒文獻(xiàn)［13］中的有希望區(qū)域優(yōu)化思想，設(shè)計(jì)了2 個新的指標(biāo)IPA、IND：

用于評價個體間相互支配關(guān)系，y 代表個體x 的目標(biāo)值 F （ x）. 僅當(dāng) xi 被xj 支配時，RCV （ yi ） |yj lt; 1.所以，RCV 越大越好，計(jì)算前先將種群目標(biāo)搬移至Rm+，RCV≥0. 按式（9），易知，IPAgt;1 的個體意味著其不被任何可行解支配，即處于所有非支配可行解連線的左下方，這個區(qū)域被稱為有希望區(qū)域（Promise Area，PA）. 若某個解（無論該解是否可行）被至少1 個可行解支配，其IPAlt;1. 所以IPA 越大越好. IPAlt;1 的解被視為種群內(nèi)的異常個體進(jìn)而剔除，IPAgt;1 的可行解構(gòu)成當(dāng)前CPF. 按式（10），所有被支配個體都至少有1 個iND 處于（-1，0）之間，即IND∈（-1，0），其離當(dāng)前前沿越遠(yuǎn)，IND 越大；而IND∈（- ∞ ，-1）的個體構(gòu)成當(dāng)前UPF. 所以借助IPA 和IND，可以構(gòu)建有希望區(qū)域種群APPA，當(dāng)前可行前沿APCPF、當(dāng)前無約束前沿APUPF，均是AP 的子集. 于是，當(dāng)|APPA|lt;N 時，采用策略②選擇下一代FPt+1，這樣可將種群快速推入有希望區(qū)域PA.

當(dāng)|APPA|gt;N 時，分別根據(jù)當(dāng)前UPF 變化率和UPF 與CPF 的關(guān)系來分情況選取策略③和策略④中的某一策略. 首先，進(jìn)化種群在未完全到達(dá)真實(shí)CPF 時，必須保持良好的收斂壓力，否則種群可能因真實(shí)CPF 位于大不可行區(qū)域之后而導(dǎo)致局部收斂. IND 反映了種群個體之間的非支配關(guān)系，借助該指標(biāo)可以向真實(shí)UPF 推進(jìn). 同時，進(jìn)化種群也要沿未知離散可行區(qū)域擴(kuò)散，對主種群進(jìn)行輔助. 為此，提出基于自適應(yīng)約束位移密度估計(jì)（AdaptiveConstrained Shift-based Density Estimation，ACSDE）的指標(biāo)IACSDE. IACSDE （x）通過將APPA 內(nèi)除x 外的所有個體按下式位移后采用根號N th 最近鄰點(diǎn)密度估計(jì)器計(jì)算.

ACSDE 能充分利用種群約束違反的相對信息，修正比例因子Fpq取值，進(jìn)而調(diào)整約束位移距離，無需如文獻(xiàn)［15］中根據(jù)進(jìn)程調(diào)整參數(shù)，具有自適應(yīng)特性. 越小的IACSDE （x）表明該點(diǎn)具備良好的可行性和多樣性. IACSDE （x）能在PA 內(nèi)相對靈敏地探查已知可行域附近密度良好的可行解和部分可行解，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)種群的擴(kuò)散. 但該指標(biāo)篩選出的解不具備良好的收斂性，只能作為主種群的輔助.

所以，當(dāng)|APPA|gt;N 且UPF 變化率（rt）過大時，依據(jù)策略③組成FPt+1，以在保持進(jìn)化壓力的同時探索離散可行域. 當(dāng)rt 很小時，說明種群已完全到達(dá)UPF，此時最重要任務(wù)變成全力探索可能存在于UPF 與已知CPF 之間的未知離散CPF. 當(dāng)|APCPF ? APUPF | ≠ 0，說明真實(shí)UPF 和CPF 或多或少相交，形狀相似或間隔不遠(yuǎn)，IND 和IACSDE 對半選取的策略依然能促進(jìn)種群特征融合，所以此時仍選用策略③ . 當(dāng)|APCPF ? APUPF | = 0，說明真實(shí)UPF 和CPF 完全不相交且間隔過遠(yuǎn)，必須僅使用IACSDE 選取個體，全力探索CPF，所以此時用策略④生成FPt+1. rt計(jì)算參考文獻(xiàn)［16］.

本文僅對DPBE 的主要思想進(jìn)行了闡述，其詳細(xì)數(shù)據(jù)與具體細(xì)節(jié)分析可關(guān)注作者的后續(xù)工作. 通過IGD 和HV 指標(biāo)比較了DPBE 和其他CMOEAs（NSGA-II［17］、CMOEA-MS［14］、ICMA［13］）在基準(zhǔn)測試套件上（MW、LIRCMOP、DASCMOP）的性能.NSGA-II 嵌入CDP 約束處理技術(shù)并使用與ICMA和DPBE 相同的鄰域差分進(jìn)化算子，以驗(yàn)證雙種群約束處理技術(shù)的優(yōu)勢. 每種算法在每個問題上獨(dú)立運(yùn)行30 次，種群大小設(shè)為100，變量數(shù)設(shè)為15/30，LIRCMOP 評估20 萬次，其余問題評估10 萬次. 用于對比算法的特殊參數(shù)均遵循論文推薦.實(shí)驗(yàn)在PlatEMO［18］上進(jìn)行.

表2 顯示了用于對比的算法與DPBE 在3 個測試套件共計(jì)37 個問題上的Wilcoxon 秩和檢驗(yàn)結(jié)果. 從表2 可以發(fā)現(xiàn)，無論從IGD 還是HV 來看，DPBE 都具有顯著的優(yōu)勢. 與電磁優(yōu)化領(lǐng)域常用的NSGA-II 相比，DPBE 全部勝出，這說明，我們所提出的約束處理技術(shù)是有效的. 與CMOEAMS和ICMA 等近年提出的新型CMOEAs 相比，DPBE 也體現(xiàn)出了很強(qiáng)的競爭力.

表2 中，+/-/=符號及對應(yīng)數(shù)字分別代表用于比較的算法在顯著性水平為0. 05 的Wilcoxon 秩和檢驗(yàn)測試下所得結(jié)果優(yōu)于/差于/近似于DPBE的測試問題數(shù)量.

圖2 展示了4 種算法在LIRCMOP-3 問題（均評估30次，取中值）上獲取的最終前沿. LIRCMOP-3具有小且離散的等式約束CPF，且CPF 與UPF 完全不相交. 這對CMOEAs 提出了巨大挑戰(zhàn)，其余3種算法在多次運(yùn)行中都無法獲取完整CPF，而DPBE 借助基于自適應(yīng)約束位移密度估計(jì)的指標(biāo)，能在有希望區(qū)域內(nèi)，很好地從某個局部區(qū)域發(fā)散，進(jìn)而拓展到完整CPF.

圖3 給出了測試問題在15 維及拓展到30 維情況下結(jié)果的Fredman 測試排名. 明顯地，DPBE 具備最好的性能且與其余3 種算法顯著不同.

4 賦形單反射面天線優(yōu)化實(shí)例

4. 1 問題描述

將DPBE 應(yīng)用于K 波段單偏置拋物反射面天線（Single-offset Parabolic Reflector Antenna， SPRA）的平頂波束賦形優(yōu)化中［19］，以驗(yàn)證其優(yōu)越性，其余反射面天線的賦形波束優(yōu)化過程類似. SPRA 如圖4 所示，由饋源和偏置拋物面組成，根據(jù)焦距F、投影口徑D、偏置高度H 可確定初始面. 本例，F(xiàn)=150 mm，D=200 mm，H=30 mm，采用前期工作中設(shè)計(jì)的K 波段軸向槽波紋喇叭饋電，該喇叭在頻帶內(nèi)具有恒定錐削電平（32°，-14 dB），相位中心穩(wěn)定，將饋源等效相位中心置于拋物面的焦點(diǎn)處. 優(yōu)化指標(biāo)如下：在19～21 GHz 頻段內(nèi)，指定圓形區(qū)域（ 圖5 紅色區(qū)域）Eocgt;20 dBi， Riplt;1. 5dB， XPDgt;20 dB， 外部區(qū)域SLLlt;-20 dB，任意切面的RRgt;1. 5 dB/（°）.

Eoc、Rip、SLL 是相互沖突的目標(biāo)，區(qū)域紋波效果的提升將帶來平均增益的下降，同時可能使旁瓣急劇抬高. 當(dāng)賦形區(qū)域內(nèi)能量更為集中時，域外衰減理應(yīng)更快，同時如果Eoc 僅考慮主極化，XPD 會在一定范圍內(nèi)有所提高，即RR 和XPD 與Eoc 沖突較弱，將其設(shè)為約束. 通過構(gòu)造掩膜來實(shí)現(xiàn)對RR 的約束，對于歸一化方向圖P，在Flatregion施加內(nèi)部掩膜I=-1. 5 dB，在Flat-region 各方向外擴(kuò)后施加外部掩膜O=-21. 5 dB，所以期望誤差error 表示為

Ps = P （ azs，els ），Is = I （ azs，els ），Os = O （ azs，els ），分別表示P、I 、O 在（AZ，EL）平面的采樣值，在內(nèi)外掩膜中各抽樣SI 和SO 個點(diǎn)，η1 = SO /（ SO + SI ），η2 = SI /（ SO + SI ）. δ ab 為Kronecker 符號，僅在a

其中，Eoc、Rip 等指標(biāo)均代表該天線在所有采樣頻點(diǎn)上的最差結(jié)果，即最大值最小化；最大展開階數(shù)限定為6，由于需求波束和天線結(jié)構(gòu)在方位面的對稱性，Dmn不納入優(yōu)化之中，僅優(yōu)化Cmn，變量維度為16.

同理，問題同樣可建模為無約束單目標(biāo)優(yōu)化（SOP）、約束單目標(biāo)優(yōu)化（COP）以及無約束多目標(biāo)優(yōu)化（MOP）.

當(dāng)不考慮約束時CMOP 退化為MOP，當(dāng)目標(biāo)加權(quán)并施加約束時CMOP 退化為COP，當(dāng)僅加權(quán)目標(biāo)時問題表示為SOP. 使用IWO［20］求解SOP 和COP，處理SOP 時如式（16）將所有目標(biāo)加權(quán)；處理COP 時先加權(quán)目標(biāo)得到FSOP （x），并將所有大于0的g（x）項(xiàng)均乘以一個極大正數(shù)并與FSOP （x）相加，這是使用無約束優(yōu)化算法求解COP 的經(jīng)典思路，即先滿足所有約束，再使目標(biāo)最小化. 將NSGA-II嵌入鄰域差分進(jìn)化算子（ 稱NSGA-II-DE）求解MOP. IWO 和NSGA-II 均是電磁領(lǐng)域中常用的優(yōu)化算法，被證實(shí)性能優(yōu)良.

4. 2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

圖6 和圖8 展示了DPBE 求解CMOP 的結(jié)果，所有解點(diǎn)都滿足了需求指標(biāo). Solution1/2/3 分別是紋波最佳、邊緣增益最佳、旁瓣最佳的3 個點(diǎn).這些解互不支配，它們會在最佳維度之外的其余維度性能下降. 由于約束的存在，這些下降都在需求范圍內(nèi). 若該優(yōu)化需求的第一指標(biāo)是Rip，則可將Solution tradeoff 視為權(quán)衡最優(yōu)解，其以輕微犧牲Rip 的代價，換來了Eoc 和SLL 較大提升，4 個代表性解的指標(biāo)如表3 所示.

圖7 是NSGA-II-DE 求解MOP 的結(jié)果，圖9顯示了4 個代表性解點(diǎn)的切面方向圖. 明顯地，由于脫離了約束限制，許多解并不符合需求. 比如Solution1 看似獲得了最佳紋波，然而增益顯著下降且具有極高旁瓣；Solution3 旁瓣較低，但紋波過高. 此外，算法在不符合約束的區(qū)域浪費(fèi)了大量計(jì)算資源，導(dǎo)致所獲前沿性能總體不佳，其權(quán)衡解的性能顯著差于DPBE 所求結(jié)果.

IWO 求解COP 和SOP 的結(jié)果如圖10 和圖11所示. 不同于MOP 和CMOP，單目標(biāo)優(yōu)化只能在單次運(yùn)行中輸出1 個結(jié)果. 表4 總結(jié)了4 種模型的最終結(jié)果，CMOP 和MOP 數(shù)據(jù)是選出的權(quán)衡解.表5 列出了不同解對應(yīng)的Zernike 系數(shù). 表6 和圖12 展示了CMOP 解的頻率特性，可以發(fā)現(xiàn)，賦形波束在非對稱結(jié)構(gòu)下具有較高的圓對稱度，且在頻帶范圍內(nèi)均滿足了設(shè)計(jì)要求且紋波極低.

SOP 在Rip 和Eoc 上與CMOP 較為接近，然而其SLL 與RR 都未能滿足要求. COP 在所有指標(biāo)上都滿足了設(shè)計(jì)要求，但在3 個主要目標(biāo)上，COP均稍遜于CMOP. 換言之，COP 所求出的解被CMOP 支配，是次優(yōu)解. 這種失敗可歸因于加權(quán)求和無法反映指標(biāo)間的內(nèi)在聯(lián)系與制約關(guān)系，未能充分利用問題信息. 此外，由于SOP 和COP 輸出解的不確定性，當(dāng)目標(biāo)沖突時，每次的求解結(jié)果可能存在差異. 本例中紋波實(shí)際值通常比增益與旁瓣小1 個數(shù)量級，這種差異促使設(shè)計(jì)者在優(yōu)化中反復(fù)調(diào)整目標(biāo)函數(shù)構(gòu)成及權(quán)重系數(shù)，來得到最偏好的解. 然而系數(shù)選取是困難的，其可能導(dǎo)致設(shè)計(jì)者的數(shù)十次反復(fù)實(shí)驗(yàn)，進(jìn)而導(dǎo)致優(yōu)化總時長成倍增加. 將CMOP 輸出的解設(shè)為工程理想點(diǎn)，并計(jì)算其與各方法種群中離該點(diǎn)最近個體間的歐式距離隨迭代的變化，如圖13 所示. 顯然，CMOP 能快速收斂到該點(diǎn)附近，而其余方法的收斂速度和收斂性能都較差. 這種差距不僅反映了考慮約束給算法帶來的收斂性提升，也反映了對于沒有先驗(yàn)知識的未知問題，使用單目標(biāo)優(yōu)化將帶來的反復(fù)實(shí)驗(yàn)時間成本. 所以，將優(yōu)化維度適中的賦形反射面天線優(yōu)化問題建模為CMOP，并利用CMOEAs 求解是明智的選擇.

5 結(jié)論

本文對賦形反射面天線的約束多目標(biāo)優(yōu)化技術(shù)進(jìn)行了系統(tǒng)研究. 基于有希望區(qū)域優(yōu)化和自適應(yīng)約束位移密度估計(jì)思想，提出了新型雙種群協(xié)同進(jìn)化算法-DPBE，該算法在基準(zhǔn)測試套件上取得了具有競爭力的結(jié)果. 將DPBE 用于賦形單偏置反射面天線的CMOP 模型優(yōu)化，并將該問題退化為SOP/COP/MOP 模型進(jìn)行對比實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，DPBE 的優(yōu)化結(jié)果在設(shè)計(jì)效率與性能上均有所提升. 由于該方法能在單次運(yùn)行中求出滿足所有限制條件的帕累托解集，這意味著，應(yīng)用約束多目標(biāo)優(yōu)化，將能指導(dǎo)設(shè)計(jì)者高效實(shí)現(xiàn)賦形反射面天線的權(quán)衡最優(yōu)設(shè)計(jì).

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（責(zé)任編輯： 伍少梅）

基金項(xiàng)目： 國家自然科學(xué)基金（62071316）