摘要： 控制障礙函數(shù)能有效兼顧控制目標(biāo)和安全性，成為當(dāng)前研究熱點(diǎn)之一。首先，基于非線性控制系統(tǒng)的復(fù)雜性介紹了一相對階和高相對階控制障礙函數(shù)的構(gòu)造方法及其理論成果，通過各類控制障礙函數(shù)可將安全約束轉(zhuǎn)化為集合前向不變性以實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)安全控制。其次，從不同控制目標(biāo)下優(yōu)化問題的求解角度對基于控制障礙函數(shù)的非線性系統(tǒng)安全控制進(jìn)行了總結(jié)。最后，基于控制障礙函數(shù)方法的可擴(kuò)展性、強(qiáng)實(shí)時(shí)性和強(qiáng)魯棒性等優(yōu)點(diǎn)，展望了控制障礙函數(shù)方法在非線性系統(tǒng)安全控制領(lǐng)域的應(yīng)用前景。

關(guān)鍵詞： 控制障礙函數(shù)； 非線性系統(tǒng)； 安全控制； 二次規(guī)劃

中圖分類號： TP13

文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A

文章編號： 1671-6841（2024）06-0001-08

DOI： 10.13705/j.issn.1671-6841.2023072

Progress of Research on Safety Control of Constrained Nonlinear

System Based on Control Barrier Function

WANG Haijing1， PENG Jinzhu1，2， ZHANG Fangfang1，2

（1.School of Electrical and Information Engineering， Zhengzhou University， Zhengzhou 450001， China;

2.State Key Laboratory of Intelligent Agricultural Power Equipment， Luoyang 471039， China）

Abstract： Since control barrier function could balance control objectives and safety effectively， it has become one of the hotspots of study. Firstly， the construction methods and theoretical achievements of one relative order and high relative order control barrier functions were introduced based on the complexity of nonlinear control systems. By using various control barrier functions， safety constraints could be transformed into set forward invariance to ensure the safety control of the system. Secondly， the safety control of nonlinear systems based on control barrier functions was summarized from the perspective of solving optimization problems with different control objectives. Finally， based on the advantages of the control barrier function method， such as scalability， strong real-time performance and strong robustness， the application prospect of the control barrier function method in the field of nonlinear system safe control was explored.

Key words： control barrier function; nonlinear system; safety control; quadratic programming

0 引言

隨著科技的進(jìn)步，工程控制系統(tǒng)被廣泛應(yīng)用到工業(yè)生產(chǎn)、生活服務(wù)、醫(yī)療、航空航天等重要領(lǐng)域，系統(tǒng)安全性問題日益凸顯。為了提高系統(tǒng)在工作運(yùn)行中或與人類協(xié)同工作時(shí)的自適應(yīng)性和安全性，面向系統(tǒng)狀態(tài)安全的分析與控制越來越多地受到國內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注。21世紀(jì)以來，障礙函數(shù)（barrier function，BF）開始應(yīng)用在非線性系統(tǒng)以解決安全性問題，該方法繼承了20世紀(jì)40年代Nagumo定理實(shí)現(xiàn)集合不變性的基本思想［1］。不同的是，Nagumo定理只是給出了狀態(tài)在集合邊界應(yīng)該滿足的條件，BF方法則是考慮系統(tǒng)的整個(gè)安全集合［2］。

針對現(xiàn)實(shí)系統(tǒng)在沒有干預(yù)時(shí)并不是總能保證系統(tǒng)安全的情況，需要通過控制輸入改變系統(tǒng)狀態(tài)的軌跡，從而使系統(tǒng)軌跡滿足安全約束條件。因此，將BF擴(kuò)展到帶有輸入的控制系統(tǒng)中，產(chǎn)生了控制障礙函數(shù)（control barrier function，CBF）的概念［3］。近年來，CBF成為當(dāng)前研究熱點(diǎn)之一［4-5］。該方法是控制Lyapunov函數(shù)（control Lyapunov function，CLF）對安全狀態(tài)集的推廣，將滿足狀態(tài)約束條件轉(zhuǎn)化為安全狀態(tài)集的前向不變性問題。該方法不需要窮舉系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)行為，并且避免了顯式計(jì)算系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡或可達(dá)集，進(jìn)而降低了非線性系統(tǒng)安全控制的計(jì)算復(fù)雜性和保守性。

目前，CBF已經(jīng)可以處理任意相對階的約束條件，其約束條件可以是常值、時(shí)變的，甚至是動(dòng)態(tài)生成的。同時(shí)，基于CBF的控制器的設(shè)計(jì)可以獨(dú)立于原有的面向任務(wù)的控制器，并不會增加控制器設(shè)計(jì)的難度。CBF在機(jī)器人、自動(dòng)駕駛等實(shí)際問題中得到了廣泛應(yīng)用［6-8］。本文對基于CBF的非線性系統(tǒng)安全控制的研究成果進(jìn)行了綜述。首先回顧了基于CBF的非線性系統(tǒng)安全控制相關(guān)理論，然后介紹了基于CBF的安全控制設(shè)計(jì)及其應(yīng)用，并簡要概括了現(xiàn)有CBF的不足之處，淺析其在非線性系統(tǒng)安全控制領(lǐng)域的未來研究方向。

1 CBF的相關(guān)理論

相關(guān)符號定義如下：R、R+和R+0分別表示實(shí)數(shù)、正實(shí)數(shù)和非負(fù)實(shí)數(shù)，集合DRn表示動(dòng)態(tài)系統(tǒng)容許狀態(tài)集，集合UR表示容許控制輸入集，C表示集合C的邊界，Int（C）表示集合C的內(nèi)部，°表示函數(shù)復(fù)合運(yùn)算符。如果函數(shù)β：［0，ε）→［0，∞），β>0連續(xù)、嚴(yán)格遞增并滿足β（0）=0，稱其為一個(gè)類κ函數(shù)。特別地，如果函數(shù)β：（-b，a）→（-∞，∞），而且a，b∈R+，則該函數(shù)是一個(gè)擴(kuò)展類κ函數(shù)。

考慮非線性控制系統(tǒng)

x·=f（x）+g（x）u，（1）

其中：x∈D為系統(tǒng)狀態(tài)；u∈U為輸入；f：D→Rn和g：D→Rn為局部Lipschitz連續(xù)函數(shù)。對于任意初始狀態(tài)x0=x（t0）∈D和控制輸入u，記x（t，x0，u）為系統(tǒng)（1）的解。假設(shè)系統(tǒng)具有前向完備特性，即對于任意初始狀態(tài)x0，存在一個(gè)最大時(shí)間間隔I（x）=［0，∞），使得x（t，x0，u）是系統(tǒng)在I（x）上的唯一狀態(tài)解。

定義1［9］ 對于系統(tǒng)（1），給定系統(tǒng)狀態(tài)集合C，如果狀態(tài)x（t，x0，u）從狀態(tài)集C出發(fā)，且滿足對于任意t∈I（x0），都有x（t）∈C。則稱集合C是前向不變的。

1.1 一階CBF

本文的目的是將系統(tǒng)（1）所受狀態(tài)約束條件通過集合C進(jìn)行刻畫，集合C遵循：

C={x∈D：h（x）≥0}，（2）

C={x∈D：h（x）=0}，（3）

Int（C）={x∈D：h（x）>0}，（4）

其中：函數(shù)h：D→R連續(xù)可微，該函數(shù)可以用來觀測系統(tǒng)（1）的當(dāng)前狀態(tài)是否處于安全區(qū)域。其基本思想是根據(jù)標(biāo)量函數(shù)h（x）探索保證集合C前向不變性的條件，稱集合C為系統(tǒng)（1）的安全集合。

定義2［3］ 對于系統(tǒng) （1），給定由式（2）～（4）定義的安全集合C和其伴隨連續(xù)可微函數(shù)h：D→R。如果存在一個(gè)局部Lipschitz連續(xù)的類κ函數(shù)α（·），使得對于任意t≥0和x（t）∈C，都有

Lfh（x）+Lgh（x）≥-α（h（x）），（5）

則稱函數(shù)h（x）為集合C的一個(gè)零點(diǎn)控制障礙函數(shù)（zeroing control barrier function， ZCBF）。給定一個(gè)ZCBF h（x），假設(shè)系統(tǒng)輸入沒有約束，也就是U=R，定義集合

KZCBF（x）={u∈U：Lfh（x）+Lgh（x）+α（h（x））≥0}。（6）

定理1［3］ 給定系統(tǒng) （1）和由式（2）～（4）定義的安全集合C，如果存在滿足條件（5）的ZCBF，則任意一個(gè)Lipschitz連續(xù)的控制輸入u：D→U且滿足u（x）∈KZCBF（x）可以使集合C前向不變。

另一類障礙函數(shù)僅在安全集合內(nèi)部具有定義，隨著系統(tǒng)狀態(tài)靠近集合邊界而趨向無窮大，包括倒數(shù)障礙函數(shù)［10］、障礙Lyapunov函數(shù)［11］等。此類障礙函數(shù)系統(tǒng)狀態(tài)均在安全集合內(nèi)，即在安全區(qū)域外未定義控制器，而且隨著系統(tǒng)狀態(tài)靠近安全集合邊界，函數(shù)值趨向無窮大，不可避免地會因控制幅值過大造成測量誤差非常敏感而無法使用。這些特點(diǎn)大大降低了此類障礙函數(shù)的適用性。

ZCBF最早由文獻(xiàn)［3］提出，其障礙函數(shù)在狀態(tài)空間中具有全局定義，并且隨著狀態(tài)軌跡靠近安全集合邊界而趨于零。該類型的障礙函數(shù)條件可以實(shí)現(xiàn)：

1） 如果系統(tǒng)初始狀態(tài)在安全域內(nèi)，則狀態(tài)軌跡仍在安全域內(nèi)。

2） 如果系統(tǒng)初始狀態(tài)在安全域外，則狀態(tài)軌跡漸進(jìn)收斂到安全域內(nèi)。

上述優(yōu)勢使得ZCBF成為非線性系統(tǒng)安全控制中廣泛應(yīng)用的障礙函數(shù)。

值得一提的是，ZCBF的第2個(gè)優(yōu)勢正是基于ZCBF的魯棒特性，也就是說，ZCBF不僅能夠保證安全集合C的前向不變性，還保證了安全集合C是漸進(jìn)穩(wěn)定的。當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)受到擾動(dòng)或者初始狀態(tài)在安全集合C之外，由于ZCBF具有魯棒特性，會使?fàn)顟B(tài)變量收斂至安全集合C，文獻(xiàn)［3］從集合漸進(jìn)穩(wěn)定性的角度指出了該特性，其具體分析過程如下。

如果系統(tǒng)狀態(tài)集合D為開集，給定一個(gè)ZCBF h（x），構(gòu)造標(biāo)量函數(shù)VC：D→R+0，

VC（x）=0，if x∈C，

-h（x），if x∈D＼C，（7）

并得到一系列的魯棒性質(zhì)。

性質(zhì)1［3］ 給定系統(tǒng) （1）和由式（2）～（4）定義的安全集合C，如果存在滿足條件（5）的ZCBF，則安全集合C是漸進(jìn)穩(wěn)定的，而且由式（7）定義的函數(shù)VC（x）是一個(gè)Lyapunov函數(shù)。

根據(jù)性質(zhì)1，由不同的魯棒特性可以給出性質(zhì)2和性質(zhì)3。

性質(zhì)2［3］ 給定系統(tǒng)x·=f（x）+g（x）u+g1（x），對于任意的連續(xù)函數(shù)g1：Rn→Rn滿足‖g1（x）‖≤σ1（‖x‖c），x∈D＼Int（C），其中函數(shù)σ：［0，ε］→R+0是類κ函數(shù)，ε∈R+0。則安全集合C相對于該擾動(dòng)系統(tǒng)依然是漸進(jìn)穩(wěn)定的。

性質(zhì)3［3］ 給定系統(tǒng)x·=f（x）+g（x）u+g2（x），對于任意的連續(xù)函數(shù)g2：Rn→Rn滿足‖g2‖∞≤k，k∈R+。則集合Cσ2（‖g2‖∞）D相對于該擾動(dòng)系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的，其中函數(shù)σ2：［0，ε］→R+0是類κ函數(shù)，ε∈R+0。

1.2 高階CBF

基于以上對ZCBF的理論分析，ZCBF僅能處理相對階為一的約束條件。為了處理任意相對階的約束條件，在ZCBF的基礎(chǔ)上提出了高階控制障礙函數(shù)（high-order control barrier function，HoCBF）的概念。

定義3［9］ 對于系統(tǒng) （1），給定由式（2）～（4）定義的安全集合C和其伴隨連續(xù)可微函數(shù)h：D→R。對函數(shù)h（x）進(jìn)行γ次求導(dǎo)后，建立與控制輸入u的聯(lián)系，稱γ為函數(shù)h（x）的相對階，即

LgLkfh（x）=0，0≤k≤γ-2，

LgLγ-1fh（x）≠0。

對于非線性系統(tǒng)（1），假設(shè)給定的連續(xù)可微函數(shù)h：D→R具有任意高的相對階，即γ≥1。Xiao等［9］利用類κ函數(shù)構(gòu)造了HoCBF，具體如下。

給定函數(shù)h（x），定義一系列函數(shù)φi：D→R， i=1，…，γ，

φi（x）=φ·i-1（x）+βi（φi-1（x）），（8）

其中：φ0（x）=h（x），βi（·）為（γ-i）次可微的類κ函數(shù)。

定義函數(shù)φi（x）對應(yīng)的零超水平集合為

Ci={x∈D：φi-1（x）≥0}。（9）

定義4［9］ 對于系統(tǒng) （1），給定由式（9）定義的安全集合Ci和一系列由式（8）定義的函數(shù)φi（x），i=1，…，γ。如果存在（γ-i）次可微的類κ函數(shù)βi（·），i=1，…，γ-1，以及一個(gè)類κ函數(shù)βγ（·），滿足

supu∈U［Lγfh（x）+LgLγ-1fh（x）u+S（h（x））+βγ（φγ-1（x））］≥0，（10）

其中：S（h（x））=∑γ-1i=1Lif（βγ-i°φγ-i-1（x））。則稱函數(shù)h（x）為HoCBF。

定理2［9］ 對于系統(tǒng)（1），給定一個(gè)HoCBF h（x）以及由式（9）定義的安全集合Ci，i=1，…，γ，如果系統(tǒng)初始條件滿足x0∈∩γi=1Ci，則任意一個(gè)Lipschitz連續(xù)且滿足式（10）的控制輸入u：D→U，可以使集合∩γi=1Ci前向不變。

不難看出，當(dāng)類κ函數(shù)為線性函數(shù)時(shí)，即βi（φi-1（x））=βiφi-1（x），該HoCBF退化為Nguyen等［12］提出的指數(shù)型CBF，該函數(shù)利用了線性反饋理論中的極點(diǎn)配置方法。

此外，以上介紹的ZCBF和HoCBF方法均是在系統(tǒng)具有前向完備性的限制下得以應(yīng)用，文獻(xiàn)［13］則通過利用Brezis定理，去除傳統(tǒng)CBF的系統(tǒng)前向完備性限制，并且利用擴(kuò)展類κ函數(shù)構(gòu)造了HoCBF。該HoCBF在安全集合外也被給予了定義，進(jìn)一步得出HoCBF的魯棒特性，也就是說，ZCBF的魯棒特性進(jìn)一步擴(kuò)展到了HoCBF。

性質(zhì)4［13］ 如果函數(shù)h（x）是系統(tǒng)（1）的一個(gè)HoCBF，則集合∩γi=1Ci是漸進(jìn)穩(wěn)定的。

2 面向非線性系統(tǒng)的CBF

實(shí)際的非線性系統(tǒng)往往存在不確定性、時(shí)變性等情況，使得上述的CBF不再適用。隨著CBF方法研究的深入，已經(jīng)涌現(xiàn)出許多關(guān)于不同種類非線性系統(tǒng)安全控制的研究成果。因此，對面向多種非線性系統(tǒng)的CBF分別進(jìn)行了研究。

2.1 面向時(shí)不變非線性控制系統(tǒng)的CBF

對于時(shí)不變非線性控制系統(tǒng)，CBF方法已經(jīng)取得了許多成果。基于前面的介紹，最早的ZCBF方法只能處理一相對階的約束條件。鑒于高階非線性系統(tǒng)控制設(shè)計(jì)問題已經(jīng)成為非線性控制領(lǐng)域中較為重要的一個(gè)分支，近年來，為拓展基于CBF的安全控制在機(jī)器人等高階非線性系統(tǒng)中的應(yīng)用，在ZCBF的基礎(chǔ)上，Xiao等［9］、Nguyen等［12］、Tan等［13］針對具有高相對階的安全約束問題，提出了不同種類的HoCBF。

此外，利用非光滑分析技術(shù)去除連續(xù)可微限制的CBF［14］以及離散時(shí)間ZCBF［15］等的提出，極大豐富了CBF的種類、數(shù)量和應(yīng)用領(lǐng)域。

2.2 面向時(shí)變非線性控制系統(tǒng)的CBF

目前，大多數(shù)文獻(xiàn)主要研究的是面向時(shí)不變非線性系統(tǒng)的CBF。但是在實(shí)際工程中，研究對象日益復(fù)雜，往往會因?yàn)榻M件磨損或者損壞以及工作環(huán)境變化等因素具有時(shí)變性。在這種情況下，采用時(shí)變微分方程可以更準(zhǔn)確地進(jìn)行研究。為此，進(jìn)一步討論面向時(shí)變非線性系統(tǒng)的CBF方法。

考慮時(shí)變非線性控制系統(tǒng)

x·=f（t，x）+g（t，x）u，（11）

其中：x∈D為系統(tǒng)狀態(tài)；f：R+0×D→Rn和g：R+0×D→Rn為局部Lipschitz連續(xù)函數(shù)；u∈U為輸入。

給定γ階連續(xù)可微時(shí)變函數(shù)h（t，x）：R+0×D→R，定義函數(shù)h（t，x）對f的修正李導(dǎo)數(shù)為Lifh（t，x）=ih（t，x）ti+Lifh（t，x），其中i是非負(fù)整數(shù)。Xu［16］將ZCBF推廣為時(shí)變HoCBF，構(gòu)造方法與指數(shù)型CBF［12］相似，同樣是利用構(gòu)造滿足負(fù)實(shí)根的多項(xiàng)式保證函數(shù)的非負(fù)性，該函數(shù)可處理非線性時(shí)變系統(tǒng)中的高階約束條件。

性質(zhì)5［16］ 對于系統(tǒng)（11），如果給定一個(gè)時(shí)變HoCBF h（t，x）滿足

supu∈U［Lγfh（t，x）+LgLγ-1fh（t，x）u］≥-Kαξ（t，x），（12）

其中：ξ（t，x）=［h（t，x），…，Lγ-1fh（t，x）］T；常數(shù)向量Kα∈Rγ=［αγ，…，α1］，其參數(shù)為多項(xiàng)式P（s）=sγ+α1sγ-1+…+αγ的系數(shù)，滿足其多項(xiàng)式所有的根為-λi，i=1，…，γ。

構(gòu)造一系列函數(shù)B0（t，x）=h（t，x），Bk（t，x）=dBk-1（t，x）dt+λkBk-1（t，x），1≤k≤γ，滿足初始條件Bi（0）≥0，i=0，…，γ-1，則任意一個(gè)Lipschitz連續(xù)且滿足式（12）的控制輸入u可以對任意t≥0，都有h（t，x）≥0。

注意到性質(zhì)5是在系統(tǒng)具有前向完備性限制下得到的，文獻(xiàn)［17］ 在沒有系統(tǒng)前向完備性限制條件下利用Hartman得到有關(guān)不變性集合的相關(guān)結(jié)論，并給出了時(shí)變HoCBF的證明。另外，以上CBF的定義均是在函數(shù)相對階明確的情況下，文獻(xiàn)［13］、［18］進(jìn)一步考慮了沒有明確相對階限制下的CBF。

2.3 面向不確定非線性系統(tǒng)的CBF

以上CBF的提出均是基于精確的系統(tǒng)模型，然而在實(shí)際情況下，在系統(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí)得到與實(shí)際系統(tǒng)一致的精確數(shù)學(xué)模型幾乎是不可能的。大部分模型具有非線性、不確定性、時(shí)變性、狀態(tài)不可測等情況，而忽略系統(tǒng)的不確定性往往會導(dǎo)致安全約束條件并不能真正被滿足。因而，不確定非線性系統(tǒng)受到國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注，并針對基于CBF的系統(tǒng)安全問題進(jìn)行了大量的研究，提出了多種基于CBF的安全理論框架，為多種類型的不確定系統(tǒng)提供一種有效的安全控制策略。比如，為使控制系統(tǒng)的安全控制策略具有魯棒性，進(jìn)行了魯棒CBF的研究；對不確定系統(tǒng)采用自適應(yīng)控制的方法，進(jìn)行了自適應(yīng)安全控制策略的研究等。

針對具有干擾的非線性系統(tǒng)，為保證系統(tǒng)安全，可分為以下兩種處理方法：一種方法是利用擾動(dòng)最壞值增大安全域，比如文獻(xiàn)［18］提出的魯棒CBF，文獻(xiàn)［19］構(gòu)造的輸入-狀態(tài)安全CBF等；另一種方法是在線估計(jì)干擾，比如文獻(xiàn)［20］針對具有時(shí)變并與系統(tǒng)狀態(tài)有關(guān)的不確定擾動(dòng)的非線性系統(tǒng)，運(yùn)用自適應(yīng)估計(jì)控制律估計(jì)不確定擾動(dòng)的點(diǎn)態(tài)值，提出了一種自適應(yīng)魯棒CBF方案。

針對一類具有未知輸入干擾的非線性系統(tǒng)，利用干擾觀測器［21］、高增益輸入觀測器［22］等提出了一種觀測器與CBF相結(jié)合的安全控制框架。與僅考慮未知干擾最壞值方法相比，該方法可以通過估計(jì)擾動(dòng)值進(jìn)而消除干擾的影響。

針對帶有不確定參數(shù)的非線性系統(tǒng)，文獻(xiàn)［23］參照自適應(yīng)CLF的方法，提出了自適應(yīng)CBF，其通過在線更新參數(shù)估計(jì)以保證系統(tǒng)安全性。在此基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)［24］結(jié)合數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的方法提出了魯棒自適應(yīng)CBF。

針對現(xiàn)實(shí)操作時(shí)系統(tǒng)的復(fù)雜性和不確定性，鑒于難以獲得精確的系統(tǒng)模型，基于CBF的學(xué)習(xí)控制技術(shù)也引發(fā)了眾多關(guān)注。比如文獻(xiàn)［25］利用CBF進(jìn)行安全學(xué)習(xí)，為模型不準(zhǔn)確的系統(tǒng)提供了高概率的安全保障。文獻(xiàn)［26］將貝葉斯學(xué)習(xí)方法與CBF結(jié)合，高概率地保證系統(tǒng)安全。

針對系統(tǒng)狀態(tài)不可測量或者部分不可測量的情況，文獻(xiàn)［27］利用系統(tǒng)的輸出信息提出了一種估計(jì)誤差量化觀測器與CBF相結(jié)合的安全控制框架，且采用函數(shù)近似方法處理狀態(tài)估計(jì)誤差引入的不確定性。同時(shí)，考慮到測量以及系統(tǒng)動(dòng)態(tài)誤差，文獻(xiàn)［28］分別針對已知完整系統(tǒng)信息和僅具有不完整系統(tǒng)狀態(tài)信息兩種情況，提出了基于隨機(jī)系統(tǒng)的ZCBF和倒數(shù)CBF（reciprocal-type control barrier function，RCBF）。

3 基于CBF的非線性系統(tǒng)安全控制

為保證閉環(huán)非線性控制系統(tǒng)的安全，該部分主要介紹基于CBF的安全控制器設(shè)計(jì)方法。

3.1 基于單個(gè)CBF的二次規(guī)劃框架

基于以上的理論分析，CBF本質(zhì)上是一種不具有正定特性的類Lyapunov函數(shù)，在其研究和性質(zhì)分析上可以借鑒控制Lyapunov函數(shù)（control Lyapunov function，CLF）的技巧和手段。此外，滿足這些障礙條件的障礙函數(shù)集合是一個(gè)凸集，該特性意味著可以利用凸優(yōu)化方法獲取安全控制器。

鑒于CBF條件關(guān)于控制輸入u是仿射的，因此利用二次規(guī)劃（quadratic programming，QP）可以獲取安全控制器，其形式為

u*=limu∈U‖u-uno‖ （CBF-QP），

s.t. Lfh（x）+Lgh（x）u≥-α（h（x）），

其中：uno稱為名義控制器。該控制器是指除了安全約束以外的面向任務(wù)的顯式控制律，比如軌跡追蹤、系統(tǒng)鎮(zhèn)定等。CBF-QP的思想是實(shí)時(shí)在線地通過CBF約束條件最小化修正uno，使得被CBF條件篩選后的控制器u*能進(jìn)一步保證系統(tǒng)安全［2］。

3.2 基于多個(gè)CBF的安全控制器

上文討論了基于單個(gè)CBF約束條件的CBF-QP框架。但是由于控制系統(tǒng)本身的復(fù)雜性，往往需要引入多個(gè)CBF才能完整地刻畫所有的安全約束。在這種情況下，文獻(xiàn)［17］根據(jù)多個(gè)CBF提出了激活CBF的概念，即利用即將被違反的CBF集合進(jìn)一步獲取CBF-QP問題的解析解。同時(shí)，當(dāng)多個(gè)CBF耦合在同一個(gè)CBF-QP時(shí)，可能會導(dǎo)致QP不可解問題。利用多個(gè)CBF的控制共享特性是一個(gè)有效的思路。例如，文獻(xiàn)［16］提出了控制共享CBF的定義及其充分必要條件，其本質(zhì)是檢測多個(gè)CBF所劃定的控制輸入可選范圍是否存在交集。然而該方法是通過縮小安全集合的范圍以換取CBF-QP的可行性，在某種程度上具有保守性。值得注意的是，以上介紹的CBF-QP框架是基于給定的uno在保證系統(tǒng)穩(wěn)定性的前提下，進(jìn)一步實(shí)現(xiàn)安全控制目標(biāo)。

3.3 基于CLF和CBF的多目標(biāo)控制

基于以上分析，CBF方法只能保證系統(tǒng)安全，而不能保證系統(tǒng)的漸進(jìn)穩(wěn)定性。眾所周知，討論平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性是控制科學(xué)最重要的問題之一。鑒于CLF方法是尋找一個(gè)控制輸入使得系統(tǒng)軌跡能夠達(dá)到平衡點(diǎn)，因此結(jié)合系統(tǒng)的CLF條件和CBF條件，構(gòu)造CLF-CBF-QP問題，既保證系統(tǒng)穩(wěn)定又保證系統(tǒng)安全，該方法已經(jīng)在很多領(lǐng)域得到驗(yàn)證及應(yīng)用。

對一般非線性系統(tǒng)，CLF和CBF條件會存在互相沖突的情況，進(jìn)而導(dǎo)致QP問題無解。為了保證QP問題的可解性，本著安全第一的原則，將CLF條件設(shè)為軟約束［29］，始終確保系統(tǒng)安全。但是該方法不能保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性，尤其是在CBF條件沒有被激活的情況下，由于松弛變量的存在，得到的控制律依然無法保證系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定到平衡點(diǎn)。為了避免出現(xiàn)這種情況，文獻(xiàn)［18］對QP問題中的CLF條件進(jìn)行了修改；文獻(xiàn)［30］分析了CLF-CBF-QP問題給定的控制器下的閉環(huán)系統(tǒng)平衡點(diǎn)，消除了安全域內(nèi)除原點(diǎn)以外的平衡點(diǎn)，保證在原點(diǎn)附近漸進(jìn)穩(wěn)定。

3.4 在機(jī)器人系統(tǒng)中的應(yīng)用

隨著技術(shù)的不斷發(fā)展，機(jī)器人的技能不斷提升，應(yīng)用范圍越來越廣泛。機(jī)器人的工作方式也由最初的分離囚籠式逐漸向人機(jī)共融協(xié)同轉(zhuǎn)化。在共享空間下，物理接觸不可避免，因此機(jī)器人的安全問題受到越來越多學(xué)者的關(guān)注。

基于CBF的安全控制方法在機(jī)器人系統(tǒng)中得到了廣泛應(yīng)用［31-34］。比如，CBF-QP框架的應(yīng)用在保證人機(jī)交互安全的同時(shí)，處理了笛卡爾空間下的位置約束［7］。文獻(xiàn)［35］圍繞工業(yè)機(jī)器人的技術(shù)規(guī)范ISO/TS 15066，設(shè)計(jì)了人機(jī)交互的安全操作區(qū)域以及相應(yīng)的CBF約束以提高性能；文獻(xiàn)［36］針對機(jī)器人系統(tǒng)提出了運(yùn)動(dòng)學(xué)CBF。

隨著機(jī)器人系統(tǒng)群體規(guī)模的不斷增加，系統(tǒng)的通信負(fù)載以及避碰決策空間也會呈指數(shù)增長，加之機(jī)器人本身移動(dòng)能力的限制，給多機(jī)器人系統(tǒng)的實(shí)時(shí)安全控制帶來了挑戰(zhàn)［37］。文獻(xiàn)［38］針對連續(xù)線性的多智能體系統(tǒng)提出了多智能體CBF的概念；文獻(xiàn)［39］考慮了系統(tǒng)動(dòng)態(tài)不確定性或者非線性，利用多智能體CBF保證了在多機(jī)器人環(huán)境下的安全性，并結(jié)合Matrix-Variate高斯過程模型學(xué)習(xí)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)不確定性。文獻(xiàn)［40-41］將分布式CBF應(yīng)用于信號時(shí)間邏輯（signal temporal logic， STL）任務(wù)的多機(jī)器人系統(tǒng)中，并針對特定STL任務(wù)提出了不同的CBF構(gòu)建方法。文獻(xiàn)［42］為了保證多機(jī)器人系統(tǒng)中行為的正確組合，提出了有限時(shí)間收斂CBF的概念。現(xiàn)有的研究成果大多數(shù)是考慮標(biāo)準(zhǔn)的2維或3維的歐氏距離，文獻(xiàn)［43］針對球體上一組剛體的分布式避碰問題提出了角型CBF，能夠處理球面上測地距離約束。

4 小結(jié)與展望

本文對基于CBF的非線性系統(tǒng)安全控制進(jìn)行了全面的回顧和總結(jié)。首先，重點(diǎn)闡述了基于ZCBF以及在其基礎(chǔ)上擴(kuò)展的各種HoCBF的構(gòu)造與相關(guān)性質(zhì)；基于各種CBF的構(gòu)造，CBF方法可以處理任意高相對階非線性系統(tǒng)的安全控制研究。其次，對基于CBF的安全控制設(shè)計(jì)方法進(jìn)行了總結(jié)，分別介紹了基于單個(gè)CBF條件、多個(gè)CBF條件以及CLF-CBF條件下的二次規(guī)劃框架。最后，介紹了CBF方法在機(jī)器人系統(tǒng)中的應(yīng)用及擴(kuò)展。此外，該方法在其他領(lǐng)域也得到了驗(yàn)證并被廣泛應(yīng)用，例如自動(dòng)駕駛汽車、無人機(jī)、工業(yè)過程系統(tǒng)等。

如上所述，CBF方法將安全約束轉(zhuǎn)化為集合前向不變性以實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)安全控制。與現(xiàn)有的其他安全算法相比，CBF方法具有可擴(kuò)展性、強(qiáng)實(shí)時(shí)性、強(qiáng)魯棒性等優(yōu)點(diǎn)，能有效兼顧控制目標(biāo)和安全性，故其理論與應(yīng)用已經(jīng)取得了一系列研究成果，尤其是在安全控制方面的理論研究以及在機(jī)器人系統(tǒng)中的應(yīng)用。因此，基于CBF的非線性系統(tǒng)安全控制方案已逐漸成為非線性控制領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)之一。

雖然CBF方法已經(jīng)被廣泛研究，但是該方法應(yīng)用于非線性系統(tǒng)安全控制的研究起步較晚，目前仍存在CBF構(gòu)造難、優(yōu)化問題可解性差、CBF適用范圍窄等尚待解決的問題。針對這些問題，提出以下解決思路和研究展望。

1） 傳統(tǒng)的CBF方法往往需要系統(tǒng)非線性信息精確已知，而且目前已有的各種CBF都有其適用范圍的局限性。隨著現(xiàn)代信息科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步，控制系統(tǒng)的模型變得愈加復(fù)雜，給CBF的設(shè)計(jì)帶來了困難和挑戰(zhàn)。由于外部擾動(dòng)、不確定參數(shù)、未建模動(dòng)態(tài)等不確定因素的存在，很難制訂一套適用于大多數(shù)非線性系統(tǒng)的CBF控制方案。因此，為了更好地滿足實(shí)際應(yīng)用需求，有必要深入研究CBF方法構(gòu)造問題。

2） 基于QP的控制框架的可解性問題是實(shí)現(xiàn)安全控制的關(guān)鍵。針對提高QP的可行性問題雖然已經(jīng)進(jìn)行了一些研究工作，然而在實(shí)際控制系統(tǒng)中往往存在一些附加約束條件，例如由于物理限制通常需要考慮容許控制輸入等。這些附加約束可能與CLF或CBF約束發(fā)生沖突，從而導(dǎo)致QP不存在可行解，在這種情況下，如何保證QP可解依舊是一個(gè)難題。因此，為了避免QP求解不可行問題，有必要進(jìn)一步開發(fā)基于多目標(biāo)的QP新形式，以提高QP的可解性。同時(shí)，可以尋找CBF安全控制新形式，例如設(shè)計(jì)顯示控制器等，以實(shí)現(xiàn)在滿足安全、穩(wěn)定等多目標(biāo)的同時(shí)，又能避免優(yōu)化問題的不可行情況。

3） 目前CBF的理論研究主要面向時(shí)不變非線性系統(tǒng)，對時(shí)變非線性系統(tǒng)的研究與應(yīng)用還很少。實(shí)際上，隨著科技在各個(gè)領(lǐng)域的全面進(jìn)步，對復(fù)雜系統(tǒng)建模的要求越來越高，考慮系統(tǒng)時(shí)變性是十分有必要的。因此，進(jìn)一步開展面向時(shí)變非線性系統(tǒng)的CBF方法研究具有重要的理論意義和廣泛的工程應(yīng)用價(jià)值。

參考文獻(xiàn)：

［1］ AMES A D， COOGAN S， EGERSTEDT M， et al. Control barrier functions： theory and applications［C］∥Proceedings of the 18th European Control Conference. Piscataway：IEEE Press， 2019： 3420-3431.

［2］ 陳杰， 呂梓亮， 黃鑫源， 等. 非線性系統(tǒng)的安全分析與控制： 障礙函數(shù)方法［J］. 自動(dòng)化學(xué)報(bào)， 2023， 49（3）： 567-579.

CHEN J， LYU Z L， HUANG X Y， et al. Safety analysis and safety-critical control of nonlinear systems： barrier function approach［J］. Acta automatica sinica， 2023， 49（3）： 567-579.

［3］ XU X R， TABUADA P， GRIZZLE J W， et al. Robustness of control barrier functions for safety critical control［J］. IFAC-PapersOnLine， 2015， 48（27）： 54-61.

［4］ VERGINIS C K. Funnel control for uncertain nonlinear systems via zeroing control barrier functions［J］. IEEE control systems letters， 2023， 7： 853-858.

［5］ LI C， ZHANG Z J， NESRIN A， et al. Instantaneous local control barrier function： an online learning approach for collision avoidance［EB/OL］. （2022-01-26）［2022-12-26］. https：∥doi.org/10.48550/arXiv.2106.05341.

［6］ SCHILLIGER J， LEW T， RICHARDS S M， et al. Control barrier functions for cyber-physical systems and applications to NMPC［J］. IEEE robotics and automation letters， 2021， 6（4）： 8623-8630.

［7］ WANG H J， PENG J Z， ZHANG F F， et al. High-order control barrier functions-based impedance control of a robotic manipulator with time-varying output constraints［J］. ISA transactions， 2022， 129： 361-369.

［8］ SHAW C W， OETOMO D， MANZIE C， et al. Control barrier functions for mechanical systems： theory and application to robotic grasping［J］. IEEE transactions on control systems technology， 2021， 29（2）： 530-545.

［9］ XIAO W， BELTA C， CASSANDRAS C G. Adaptive control barrier functions［J］. IEEE transactions on automatic control， 2022， 67（5）： 2267-2281.

［10］朱哲人， 張新民， 柴毅， 等. 非正障礙函數(shù)： 面向非線性系統(tǒng)狀態(tài)安全控制的一類新穎障礙函數(shù)［J］. 中國科學(xué)： 信息科學(xué)， 2022， 52（10）： 1853-1869.

ZHU Z R， ZHANG X M， CHAI Y， et al. Non-positive barrier function： a new notion of barrier function for state-safety control of nonlinear dynamical systems［J］. Scientia sinica：informationis， 2022， 52（10）： 1853-1869.

［11］WANG N， FU Z M， SONG S Z， et al. Barrier-Lyapunov-based adaptive fuzzy finite-time tracking of pure-feedback nonlinear systems with constraints［J］. IEEE transactions on fuzzy systems， 2022， 30（4）： 1139-1148.

［12］NGUYEN Q， SREENATH K. Exponential Control Barrier Functions for enforcing high relative-degree safety-critical constraints［C］∥Proceedings of the American Control Conference. Piscataway：IEEE Press， 2016： 322-328.

［13］TAN X， CORTEZ W S， DIMAROGONAS D V. High-order barrier functions： robustness， safety， and performance-critical control［J］. IEEE transactions on automatic control， 2022， 67（6）： 3021-3028.

［14］GHANBARPOUR M， ISALY A， SANFELICE R G， et al. Optimal safety for constrained differential inclusions using nonsmooth control barrier functions［J］. IEEE control systems letters， 2023， 7： 1303-1308.

［15］AHMADI M， SINGLETARY A， BURDICK J W， et al. Safe policy synthesis in multi-agent POMDPs via discrete-time barrier functions［C］∥Proceedings of the 58th IEEE Conference on Decision and Control. Piscataway：IEEE Press， 2020： 4797-4803.

［16］XU X R. Constrained control of input-output linearizable systems using control sharing barrier functions［J］. Automatica， 2018， 87： 195-201.

［17］WANG H J， PENG J Z， XU J J， et al. High-order control barrier functions-based optimization control for time-varying nonlinear systems with full-state constraints： a dynamic sub-safe set approach［J］. International journal of robust and nonlinear control， 2023， 33（8）： 4490-4503.

［18］JANKOVIC M. Robust control barrier functions for constrained stabilization of nonlinear systems［J］. Automatica， 2018， 96： 359-367.

［19］KOLATHAYA S， AMES A D. Input-to-state safety with control barrier functions［J］. IEEE control systems letters， 2019， 3（1）： 108-113.

［20］ZHAO P， MAO Y B， TAO C Y， et al. Adaptive robust quadratic programs using control Lyapunov and barrier functions［C］∥Proceedings of the 59th IEEE Conference on Decision and Control. Piscataway：IEEE Press， 2021： 3353-3358.

［21］ALAN A， MOLNAR T G， DA瘙塁 E， et al. Disturbance observers for robust safety-critical control with control barrier functions［J］. IEEE control systems letters， 2023， 7： 1123-1128.

［22］DA瘙塁 E， MURRAY R M. Robust safe control synthesis with disturbance observer-based control barrier functions［C］∥Proceedings of the 61st IEEE Conference on Decision and Control. Piscataway：IEEE Press， 2023： 5566-5573.

［23］TAYLOR A J， AMES A D. Adaptive safety with control barrier functions［C］∥Proceedings of the American Control Conference. Piscataway：IEEE Press， 2020： 1399-1405.

［24］LOPEZ B T， SLOTINE J J E， HOW J P. Robust adaptive control barrier functions： an adaptive and data-driven approach to safety［J］. IEEE control systems letters， 2021， 5（3）： 1031-1036.

［25］MARVI Z， KIUMARSI B. Barrier-certified learning-enabled safe control design for systems operating in uncertain environments［J］. IEEE/CAA journal of automatica sinica， 2021， 9（3）： 437-449.

［26］DHIMAN V， KHOJASTEH M J， FRANCESCHETTI M， et al. Control barriers in Bayesian learning of system dynamics［J］. IEEE transactions on automatic control， 2023， 68（1）： 214-229.

［27］WANG Y J， XU X R. Observer-based control barrier functions for safety critical systems［C］∥Proceedings of the American Control Conference. Piscataway：IEEE Press， 2022： 709-714.

［28］CLARK A. Control barrier functions for stochastic systems［J］. Automatica， 2021， 130： 109688.

［29］AMES A D， XU X R， GRIZZLE J W， et al. Control barrier function based quadratic programs for safety critical systems［J］. IEEE transactions on automatic control， 2017， 62（8）： 3861-3876.

［30］TAN X， DIMAROGONAS D V. On the undesired equilibria induced by control barrier function based quadratic programs［EB/OL］. （2021-04-30）［2022-11-21］. https：∥doi.org/10.48550/arXiv.2104.14895.

［31］SPYRAKOS-PAPASTAVRIDIS E， DAI J S. Minimally model-based trajectory tracking and variable impedance control of flexible-joint robots［J］. IEEE transactions on industrial electronics， 2021， 68（7）： 6031-6041.

［32］XU X R， WATERS T， PICKEM D， et al. Realizing simultaneous lane keeping and adaptive speed regulation on accessible mobile robot testbeds［C］∥IEEE Conference on Control Technology and Applications. Piscataway：IEEE Press， 2017： 1769-1775.

［33］NGUYEN Q， SREENATH K. Safety-critical control for dynamical bipedal walking with precise footstep placement［J］. IFAC-PapersOnLine， 2015， 48（27）： 147-154.

［34］EGERSTEDT M， PAULI J N， NOTOMISTA G， et al. Robot ecology： constraint-based control design for long duration autonomy［J］. Annual reviews in control， 2018， 46： 1-7.

［35］FERRAGUTI F， BERTULETTI M， LANDI C T， et al. A control barrier function approach for maximizing performance while fulfilling to ISO/TS 15066 regulations［J］. IEEE robotics and automation letters， 2020， 5（4）： 5921-5928.

［36］SINGLETARY A， KOLATHAYA S， AMES A D. Safety-critical kinematic control of robotic systems［J］. IEEE control systems letters， 2022， 6： 139-144.

［37］張方方， 張文麗， 王婷婷. 基于速度補(bǔ)償算法的多機(jī)器人編隊(duì)控制研究［J］. 鄭州大學(xué)學(xué)報(bào)（工學(xué)版）， 2022， 43（2）： 1-6， 14.

ZHANG F F， ZHANG W L， WANG T T. Research on multi-robot formation control based on speed compensation algorithm［J］. Journal of Zhengzhou university （engineering science）， 2022， 43（2）： 1-6， 14.

［38］WANG L， AMES A D， EGERSTEDT M. Safety barrier certificates for collisions-free multirobot systems［J］. IEEE transactions on robotics， 2017， 33（3）： 661-674.

［39］CHENG R， KHOJASTEH M J， AMES A D， et al. Safe multi-agent interaction through robust control barrier functions with learned uncertainties［C］∥Proceedings of the 59th IEEE Conference on Decision and Control. Piscataway：IEEE Press， 2021： 777-783.

［40］LINDEMANN L， DIMAROGONAS D V. Decentralized control barrier functions for coupled multi-agent systems under signal temporal logic tasks［C］∥Proceedings of the 18th European Control Conference. Piscataway：IEEE Press， 2019： 89-94.

［41］LINDEMANN L， DIMAROGONAS D V. Control barrier functions for multi-agent systems under conflicting local signal temporal logic tasks［J］. IEEE control systems letters， 2019， 3（3）： 757-762.

［42］LI A Q， WANG L， PIERPAOLI P， et al. Formally correct composition of coordinated behaviors using control barrier certificates［C］∥IEEE/RSJ International Conference on Intelligent Robots and Systems. Piscataway：IEEE Press， 2019： 3723-3729.

［43］IBUKI T， WILSON S， YAMAUCHI J， et al. Optimization-based distributed flocking control for multiple rigid bodies［J］. IEEE robotics and automation letters， 2020， 5（2）： 1891-1898.