本文借助“直線與平面垂直”的教學(xué)設(shè)計(jì)，從不同環(huán)節(jié)入手加以巧妙設(shè)置，依托教學(xué)分析、教學(xué)設(shè)計(jì)與教學(xué)啟示加以設(shè)置，結(jié)合多個環(huán)節(jié)的靈活巧妙設(shè)計(jì)來展示教學(xué)過程與學(xué)習(xí)過程，引領(lǐng)并指導(dǎo)教學(xué)與學(xué)習(xí)。

本課時(shí)是高中數(shù)學(xué)人教A版必修二第八章“立體幾何初步”中第6節(jié)“直線與平面垂直”，是在學(xué)習(xí)了直線與平面的平行的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究空間直線、平面的垂直關(guān)系，并在研究直線與直線垂直的情況下，深入研究直線與平面垂直，也為后面研究平面與平面垂直打下基礎(chǔ)。

一、教學(xué)分析

（一）教材分析

本課時(shí)滲透“類比”“降維”思想，是“直觀想象”“邏輯推理”等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要體現(xiàn)。垂直關(guān)系是相交關(guān)系中的特殊情況。我們在平面幾何中探究兩條相交直線時(shí)，是根據(jù)它們形成的角是否是直角來判斷垂直關(guān)系。我們在立體幾何中探究直線與直線、平面與平面的位置關(guān)系，依然采用角來刻畫，如異面直線所成角、線面角、二面角等。

本課時(shí)從定義入手，結(jié)合直觀感知，并通過空間直觀圖形來操作確定，合理想象，在此基礎(chǔ)上加以歸納與猜想，再進(jìn)行科學(xué)的推理論證。這是培養(yǎng)學(xué)生直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理素養(yǎng)的載體，同時(shí)也讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系，有助于培養(yǎng)學(xué)生的探究能力和理性精神。

從定理的內(nèi)涵與實(shí)質(zhì)入手，由定義中的廣泛性問題概括成定理中的具體性問題，方便操作與應(yīng)用，實(shí)現(xiàn)由無限思維到有限思維的過渡。

（二）學(xué)情分析

學(xué)生在前面已經(jīng)學(xué)習(xí)過直線、平面平行的判定及性質(zhì)，已初步具備了“通過觀察、操作并抽象概括等活動獲得數(shù)學(xué)結(jié)論”的能力，有了一定的空間想象能力、邏輯推理能力和分析問題的能力，但形象思維仍占主導(dǎo)，特別對定義中的廣泛性到定理中的具體性之間的過渡與理解存在困難；同時(shí)，學(xué)生的空間想象能力、推理論證能力有待進(jìn)一步加強(qiáng)，還沒有形成知識邏輯體系，在直線與平面垂直判定定理的運(yùn)用中，不知如何選擇已知平面內(nèi)的兩條相交直線，導(dǎo)致證明過程無從下手，對空間位置的觀察能力還需進(jìn)一步加強(qiáng)。

（三）內(nèi)容分析

1.直線與平面垂直的定義，直線與平面垂直的判定定理。

2.合理構(gòu)建空間平行、垂直關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化與應(yīng)用關(guān)系（見圖1）：

（四）育人價(jià)值

在本節(jié)課教學(xué)過程中，教師通過港珠澳大橋滲透愛國主義教育.通過讓學(xué)生觀察圖片和小組合作探索，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，感受獲得知識的過程，享受獲得知識的快樂，從中培養(yǎng)學(xué)生的空間想能力、動手實(shí)踐能力及邏輯思維能力；提高學(xué)生的科學(xué)研究能力，激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)乃至科學(xué)的熱愛。

（五）重點(diǎn)難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：有關(guān)直線與平面垂直的定義及其內(nèi)涵；直線與平面垂直的判定定理的具體性概括、探索與發(fā)現(xiàn)。

教學(xué)難點(diǎn)：直線與平面垂直的判定定理的理解與實(shí)際應(yīng)用。

（六）教學(xué)目標(biāo)

1.理解掌握直線與平面垂直的定義。

2.理解掌握直線與平面垂直的判定定理。

（七）條件支持

教師利用三角形紙片、吸管、三角板以及生活中直線、平面垂直的實(shí)例為學(xué)生探究、理解直線、平面的垂直關(guān)系提供有力支持；利用手機(jī)投屏及時(shí)展示學(xué)生的探究過程和作答過程，學(xué)生及時(shí)分享和獲得點(diǎn)評；利用希沃白板倒計(jì)時(shí)功能設(shè)置限時(shí)探究和限時(shí)訓(xùn)練；利用希沃白板作圖功能結(jié)合多媒體課件，讓學(xué)生從不同角度觀察圖形，增強(qiáng)視覺效果，幫助學(xué)生更深刻地理解概念和定理。

二、教學(xué)過程

環(huán)節(jié)一：創(chuàng)設(shè)情境，提出問題

場景創(chuàng)設(shè)：宏偉的天安門廣場和港珠澳大橋，里面有哪些空間位置關(guān)系呢？（見圖2）

問題1：結(jié)合圖2，你們能否說出橋柱與地面、旗桿與地面、燈柱與地面之間存在怎樣的位置關(guān)系呢？

師生活動：教師借助圖片，結(jié)合現(xiàn)實(shí)生活實(shí)例，合理引導(dǎo)學(xué)生感知現(xiàn)實(shí)生活中一些有關(guān)直線與平面垂直的例子，為本節(jié)課的課題引出創(chuàng)造條件。

（設(shè)計(jì)意圖：通過情境，引導(dǎo)學(xué)生初步直觀感知現(xiàn)實(shí)生活中直線與平面垂直的位置關(guān)系，構(gòu)建初步的直觀印象，為進(jìn)一步深入學(xué)習(xí)與應(yīng)用創(chuàng)造條件。）

問題2：直線與平面垂直需要滿足什么條件？你能給直線和平面垂直下定義嗎？

借助我們已經(jīng)學(xué)過的知識，由直線與平面平行的定義、判定定理與性質(zhì)定理等，深入觀察與巧妙類比，將問題轉(zhuǎn)化為本節(jié)課所要學(xué)習(xí)的直線與平面垂直的定義、判定定理與性質(zhì)定理等相關(guān)問題，類比應(yīng)用，深入學(xué)習(xí)。

回顧直線與平面平行的概念：直線與平面沒有公共點(diǎn)。

師生活動：學(xué)生小組討論，應(yīng)該通過什么方法研究直線與平面垂直的定義。

（設(shè)計(jì)意圖：合理引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行類比思維、“降維”思維、直觀思維等方面的應(yīng)用，借助觀察思考，正確感知直線與平面垂直的概念、本質(zhì)與內(nèi)涵等。）

問題3：如圖3所示，直線AB與平面內(nèi)任意一條直線都垂直嗎？

師生活動：學(xué)生用吸管代替直線，用三角板的直角來測量直條與卡紙內(nèi)直線是否垂直。

追問2：直線AB與不相交的直線B′C′也垂直嗎？

師生活動：學(xué)生依據(jù)異面直線所成角的知識作出判斷。

（設(shè)計(jì)意圖：通過實(shí)際操作進(jìn)行判斷，并利用異面直線所成角的定義做出分析，為下一步抽象出數(shù)學(xué)定義做準(zhǔn)備。）

環(huán)節(jié)二：抽象概念，內(nèi)涵辨析

問題4：請閱讀教材相關(guān)內(nèi)容，表達(dá)出直線與平面垂直。

師生活動：由學(xué)生直接閱讀教材內(nèi)容與問題回答，教師加以合理補(bǔ)充與完善，重點(diǎn)指出直線與平面垂直的定義中的“任意一條直線”的實(shí)質(zhì)與內(nèi)涵，并給出相應(yīng)的記法與畫法。

具體的直線與平面垂直的定義、記法、畫法等內(nèi)容，學(xué)生直接參考教材中的相應(yīng)知識。

追問3：改變說法，若一條直線垂直于一個平面內(nèi)的三條直線、無數(shù)條直線等情況，那么這條直線與這個平面是否垂直？

師生活動：引導(dǎo)學(xué)生用三角板兩直角邊表兩垂直直線，在白紙內(nèi)畫出一組平行線，最后教師給出反例的直觀圖。

（設(shè)計(jì)意圖：通過類比思維、“降維”思維、直觀思維等的應(yīng)用，加深學(xué)生對概念的理解與掌握，充分把握概念的本質(zhì)與內(nèi)涵，特別是要明確概念中有關(guān)“任意一條直線”的實(shí)質(zhì)，其本意是“所有直線”的意思。）

問題5：過一點(diǎn)垂直于已知平面的直線有幾條？

師生活動：引導(dǎo)學(xué)生用通過卡紙和直條去實(shí)踐探索，并引出點(diǎn)到平面的距離概念：過一點(diǎn)作垂直于已知平面的直線，則該點(diǎn)與垂足間的線段，叫做這個點(diǎn)到該平面的垂線段，垂線段的長度叫做這個點(diǎn)到平面的距離。

（設(shè)計(jì)意圖：通過動手探索，類比點(diǎn)到直線距離的定義，給出點(diǎn)到平面的距離的定義。）

環(huán)節(jié)三：觀察實(shí)驗(yàn)，歸納猜想

問題6：通過直線與平面垂直的定義去判定直線與平面是否垂直方便嗎？有沒有更好的辦法？

學(xué)生雖然可以根據(jù)直線與平面垂直的定義實(shí)現(xiàn)其兩者位置關(guān)系的判斷，但定義中的廣泛性沒辦法具體實(shí)施，尋找一個便捷可行的方法就成了判斷直線與平面垂直的關(guān)鍵。

師生活動：引導(dǎo)學(xué)生討論思考，學(xué)會用類比展開研究。

探究活動：

任務(wù)1：類比直線與平面平行的判定定理，能否與探究該直線與平面內(nèi)一條直線垂直來判斷該直線與對應(yīng)的平面的垂直關(guān)系呢？

任務(wù)2：進(jìn)一步深入探究該直線需要和平面內(nèi)的多少條直線垂直時(shí)，才能判定直線與平面垂直呢？分幾種情況？為什么？

師生活動：教師指導(dǎo)，師生實(shí)際操作。

利用課前準(zhǔn)備好的一塊（任意形狀）的三角形紙片△ABC，如圖4所示，通過折疊紙片（折痕為AD），兩折疊平面不重合，并將該折疊后的紙片豎立在桌面上（其中BD、DC與桌面接觸）。

追問4：直觀分析，三角形紙片△ABC的折痕AD是否與桌面垂直嗎？

追問5：到底我們要如何折疊，才能使得三角形紙片△ABC的折痕AD與桌面所在的平面垂直呢？

（設(shè)計(jì)意圖：通過觀察試驗(yàn)過程，利用直觀分析來確定折痕AD與桌面所在的平面的位置關(guān)系，明確一般的不垂直與特殊的垂直之間存在不同的條件。）

問題7：如果滿足折痕AD⊥BC，那么折疊之后，直線與直線間的垂直關(guān)系是否發(fā)生了改變？即AD⊥CD，AD⊥BD是否發(fā)生了改變？結(jié)合這個條件，我們可以得到怎樣的結(jié)論呢？

師生活動：由一般的折痕AD過渡到與BC邊垂直的折痕AD，由一般到特殊，由不垂直到垂直，從而剖析直線與平面內(nèi)兩條相交直線的關(guān)系，給直線與平面垂直的判定定理的引入創(chuàng)造條件。

追問6：AD垂直于桌面內(nèi)的每一條直線嗎？

探究成果：學(xué)生獨(dú)立思考，通過追問與分析，層層深入，由此合理歸納出直線與平面垂直的判定定理，以及該定理的不同表示方式。

直線與平面垂直的判定定理：一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。

（設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生歸納出直線與平面垂直的相關(guān)條件，要關(guān)注的是平面內(nèi)兩條直線是相交的，而平面內(nèi)的兩條直線與已知直線是否相交沒作具體的要求。）

環(huán)節(jié)四：例題剖析，鞏固理解

例1.求證：與三角形的兩條邊同時(shí)垂直的直線必與第三條邊垂直。

師生活動：將數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號，并合理進(jìn)行直觀作圖（見圖5），構(gòu)建題設(shè)條件與證明結(jié)論：在△ABC中，直線a⊥AC，a⊥BC，求證：a⊥AB。

教師先讓學(xué)生自己做題，后選取兩位學(xué)生的證明過程加以投影，借此過程師生一起評析，特別要分析此過程中運(yùn)用判定定理的相關(guān)步驟，不能缺少相應(yīng)的條件，特別是平面內(nèi)的“兩條直線相交”這個條件。

例2.（教材第151頁的例3）如圖6所示，已知直線a//直線b，直線a⊥平面α，求證：直線b⊥平面α。

師生活動：此處以教師分析為主，可以合理提問學(xué)生回答，師生共同完成相應(yīng)問題的證明，特別是此過程中輔助線的構(gòu)建與應(yīng)用，并強(qiáng)調(diào)證明的基本步驟與注意點(diǎn).教師讓學(xué)生嘗試用自己的語音來歸納并敘述相關(guān)的性質(zhì)與結(jié)論，并在此基礎(chǔ)上回歸教材來總結(jié)與歸納。

環(huán)節(jié)五：小結(jié)提升，形成網(wǎng)絡(luò)

問題8：請你結(jié)合本節(jié)課的學(xué)習(xí)，回答下面問題：

（1）通過本節(jié)課學(xué)習(xí)，你學(xué)到了哪些知識？

（2）探尋直線與平面垂直的定義和判定定理的具體步驟有哪些？你對課堂的哪個環(huán)節(jié)印象最深刻，為什么？

師生活動：學(xué)生發(fā)言，相互補(bǔ)充；教師點(diǎn)評，共同歸納，形成知識網(wǎng)絡(luò)。

（設(shè)計(jì)意圖：借助課堂教學(xué)，強(qiáng)化學(xué)生進(jìn)行小結(jié)、反思、深入等方面的習(xí)慣，鼓勵學(xué)生進(jìn)行深度學(xué)習(xí)與應(yīng)用。）

師生活動：教師合理引導(dǎo)，提問學(xué)生，教師巧妙完善，進(jìn)而加以合理歸納與總結(jié)。

環(huán)節(jié)六：目標(biāo)檢測，檢驗(yàn)效果

（1）如圖7所示，點(diǎn)P是平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)，O是對角線AC與BD的交點(diǎn)，且PA=PC，PB=PD.求證：PO⊥平面ABCD。

（2）完成教材第162頁練習(xí)2。

環(huán)節(jié)七：分層作業(yè)，應(yīng)用遷移

A組：教材練習(xí)題1、4，加相應(yīng)的課時(shí)作業(yè)。

B組：教材練習(xí)題3、4，加相應(yīng)的課時(shí)作業(yè)。

三、教學(xué)反思

（一）合理設(shè)置，滲透思想

在本節(jié)課中，教師結(jié)合生活情景引導(dǎo)學(xué)生觀察、探索、類比，得出直線與平面垂直的定義，再運(yùn)用“降維”思想把“無限”轉(zhuǎn)化為“有限”，由學(xué)生動手探究，發(fā)現(xiàn)直線與平面垂直的判定定理。

平面幾何的學(xué)習(xí)方法可以推廣到空間幾何上：（1）從觀察分析→討論探究→證明的過程，學(xué)生建構(gòu)起直線、平面垂直的概念，這蘊(yùn)含了直觀與抽象相結(jié)合的數(shù)學(xué)思想；（2）將證明直線與平面垂直轉(zhuǎn)化為證明直線與直線垂直，這體現(xiàn)了空間問題平面化處理的思想；（3）通過類比直線與平面的平行關(guān)系，得出直線與平面的垂直關(guān)系，這體現(xiàn)了類比的數(shù)學(xué)思想。

（二）知識關(guān)系，落實(shí)“雙減”政策

知識的上下位關(guān)系：教師合理設(shè)計(jì)總結(jié)反思環(huán)節(jié)，讓學(xué)生主動梳理一遍新知識的獲得過程，加深學(xué)生對新知識的理解，最后根據(jù)學(xué)生完成練習(xí)的情況分成不同的層次，布置分層作業(yè)，有效減輕學(xué)生的作業(yè)負(fù)擔(dān)，從而落實(shí)“雙減”政策。