【教學(xué)內(nèi)容】

北師大版小學(xué)數(shù)學(xué)六年級(jí)下冊(cè)第一單元“圓柱與圓錐”的第二節(jié)內(nèi)容。

【教材分析】

（一）本課的核心素養(yǎng)分析

空間觀念：學(xué)生在研究圓柱的表面積之前，需要先把圓柱表面的構(gòu)成抽象出來，為探究和計(jì)算圓柱的表面積做“支架”。在教學(xué)中，教師要通過研究表面的構(gòu)成，提高學(xué)生對(duì)空間物體的屬性及位置關(guān)系的認(rèn)識(shí)，發(fā)展空間觀念。

幾何直觀：幾何直觀是借助圖形描述或分析問題，使其抽象的物體直觀化，有利于學(xué)生把握問題的本質(zhì)、理解和分析問題。借助幾何直觀，教師可以把圓柱的側(cè)面由曲變直，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)圓柱的側(cè)面展開圖的直觀認(rèn)識(shí)，降低探究圓柱表面積的難度。

推理意識(shí)：推理意識(shí)主要是指對(duì)邏輯推理過程及其意義的初步感悟。本節(jié)課主要引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)側(cè)面展開圖的長就是圓柱底面的周長，側(cè)面展開圖的寬就是圓柱的高，再由長方形的面積公式推導(dǎo)出圓柱側(cè)面的面積公式，進(jìn)而推導(dǎo)出圓柱表面積的計(jì)算公式。這樣，逐步使學(xué)生的抽象思維和推理意識(shí)得到有效發(fā)展。

（二）本課的核心問題

（1）圓柱的表面積由哪幾部分組成？（2）圓柱的側(cè)面展開圖是什么圖形？（3）圓柱側(cè)面展開圖的面積如何計(jì)算？本節(jié)課以這三個(gè)核心問題為主線，依次推進(jìn)，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、思考、探究等活動(dòng)發(fā)展空間觀念、幾何直觀和推理意識(shí)。

【學(xué)情分析】

學(xué)生在學(xué)習(xí)本課之前，已經(jīng)認(rèn)識(shí)了長方體、正方體、圓柱，了解了長方形、正方形、圓等平面圖形的性質(zhì)，并會(huì)計(jì)算這些平面圖形的面積以及像長方體這樣的直面立體圖形的表面積和體積，但學(xué)生“化曲為直”和“等積變形”等轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用意識(shí)不夠強(qiáng)，在探究圓柱側(cè)面積時(shí)可能會(huì)有點(diǎn)困難。

【教學(xué)目標(biāo)】

1.探究并掌握?qǐng)A柱表面積的計(jì)算方法，能正確計(jì)算圓柱的表面積。

2.通過圓柱展開與卷成圓柱等活動(dòng)，直觀感悟圓柱的側(cè)面展開圖，體會(huì)轉(zhuǎn)化思想，發(fā)展幾何直觀、空間觀念和推理意識(shí)。

3.利用圓柱表面積的相關(guān)知識(shí)和計(jì)算方法解決生活中的實(shí)際問題。

【教學(xué)重難點(diǎn)】

重點(diǎn)：學(xué)生探究圓柱側(cè)面積、表面積的計(jì)算方法，并能解決簡單實(shí)際問題。

難點(diǎn)：理解圓柱側(cè)面展開圖，推出展開圖與圓柱各部分的關(guān)系，推導(dǎo)出圓柱表面積的計(jì)算公式。

【教學(xué)實(shí)踐】

（一）創(chuàng)設(shè)情境，引出問題

師：工人師傅要做一個(gè)如圖1所示的圓柱形禮品盒，至少需要用多大面積的紙板？（接口處忽略不計(jì)）需要用多大面積的紙板實(shí)際上是求什么？

生：我認(rèn)為實(shí)際是求圓柱外面能看到的面積之和。

師：你說得真好。其實(shí)這就是表面積，前面我們學(xué)過長方體和正方體的表面積，今天我們一起探究如何求圓柱的表面積。

（設(shè)計(jì)意圖：根據(jù)學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)和學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，創(chuàng)設(shè)問題情境，旨在引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合具體物體理解圓柱體表面積的意義，激發(fā)學(xué)生求圓柱表面積的熱情，進(jìn)而引出課題。）

（二）探究新知

1.提出核心問題，引發(fā)學(xué)生思考，揭示核心問題本質(zhì)。

核心問題1：圓柱的表面積由哪幾部分組成？

師：請(qǐng)同學(xué)們借助圓柱實(shí)物思考圓柱的表面積是由哪幾部分組成的，并用手指出來。

生：圓柱的表面積是由它的兩個(gè)底面積和一個(gè)側(cè)面積組成的，所以圓柱的表面積指的是兩個(gè)底面積與側(cè)面積之和。

師：你們覺得計(jì)算圓柱的表面積有困難嗎？

生：我覺得求圓柱的側(cè)面積比較困難，因?yàn)樗膫?cè)面是一個(gè)曲面，不能直接求，需要把曲面轉(zhuǎn)化成平面再求。

師：接下來，我們將要探索圓柱的底面積和側(cè)面積。圓柱的底面是圓，圓的面積我們會(huì)求，那么側(cè)面積怎么求呢？

核心問題2：圓柱的側(cè)面展開圖是什么圖形？

師：請(qǐng)同學(xué)們先猜想。圓柱的側(cè)面展開圖是什么圖形。

生1：長方形。

生2：平行四邊形。

生3：正方形。

生4：菱形。

……

師：大家回答得非常積極，但不一定是正確的，還需要經(jīng)過驗(yàn)證。接下來，請(qǐng)你用自己喜歡的方法驗(yàn)證你的猜想是否正確。

學(xué)生用剪開圓柱側(cè)面或卷成圓柱側(cè)面等方法獨(dú)立操作，教師巡視指導(dǎo)。

師：你的猜想正確嗎？請(qǐng)說說你是怎么驗(yàn)證的。

生1：長方形是正確的，我是通過用長方形的紙卷成了圓柱的側(cè)面來驗(yàn)證的。

生2：我通過驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)圓柱側(cè)面展開圖是平行四邊形，我的驗(yàn)證方法是用平行四邊形的紙卷成圓柱側(cè)面。另外，我把圓柱的側(cè)面斜著剪開后展開，發(fā)現(xiàn)也是平行四邊形，所以我覺得圓柱側(cè)面展開圖是平行四邊形是正確的。

……

師：實(shí)踐出真知，許多真理是在實(shí)踐中被驗(yàn)證的。今天，同學(xué)們動(dòng)手驗(yàn)證出了自己的猜想是否正確，真是太了不起了！

核心問題3：圓柱側(cè)面展開圖的面積如何計(jì)算？

師：探究圓柱表面積的關(guān)鍵是探究側(cè)面積，因?yàn)榈酌娣e是圓的面積，我們已經(jīng)學(xué)過。下面，請(qǐng)同學(xué)們同桌兩人一組用學(xué)具探究圓柱側(cè)面積的計(jì)算方法。

生1：我們是把圓柱的側(cè)面沿著高剪開，則展開圖是長方形，發(fā)現(xiàn)長方形的長是底面圓的周長，寬是圓柱的高，根據(jù)長方形的面積公式等于長乘寬得出圓柱的側(cè)面積=Ch=2πrh。

生2：我們是把圓柱的側(cè)面斜著剪開，它的展開圖就是平行四邊形，通過觀察發(fā)現(xiàn)平行四邊形的底是底面圓的周長，對(duì)應(yīng)的高是圓柱的高，根據(jù)平行四邊形的面積公式等于底乘高，從而得出圓柱的側(cè)面積=Ch=2πrh。

核心問題4：圓柱的表面積公式應(yīng)該怎樣表示呢？

師：剛剛我們推導(dǎo)出了圓柱的側(cè)面積，接下來我們研究一下圓柱的表面積公式怎樣表示。為了方便表達(dá)，我們先約定一下，用S表表示圓柱的表面積，用S底表示圓柱的底面積，用S側(cè)表示圓柱的側(cè)面積，那么，圓柱的表面積應(yīng)該用字母怎么表示呢？

生：圓柱的表面積等于兩個(gè)相同的底面積加上一個(gè)側(cè)面積，因此，圓柱的表面積S表=2S底+S側(cè)=

2πr2+2πrh。

（設(shè)計(jì)意圖：此環(huán)節(jié)主要是通過提出核心問題，啟迪學(xué)生有針對(duì)性地思考、觀察、探究、操作等，一步步揭示核心問題的本質(zhì)，發(fā)展學(xué)生的幾何直觀、空間觀念和推理意識(shí)等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。）

2.你能計(jì)算出“至少需要多大面積的紙板”嗎？

師：課始，我們出示的圓柱形禮品盒還記得嗎？現(xiàn)在我們可以嘗試計(jì)算它至少需要多大面積的紙板了。

師：分析問題是有效解決問題的前提和關(guān)鍵。當(dāng)我們要解決問題時(shí)，一定要先認(rèn)真分析問題，再利用學(xué)過的知識(shí)和方法去解決問題。接下來，我們先分析所求問題。請(qǐng)大家在小組內(nèi)討論交流分析這個(gè)問題。

（1）分析問題：解決這個(gè)問題實(shí)際上是求圓柱的表面積。

生：我認(rèn)為這個(gè)禮品盒需要多大面積的紙板，實(shí)際上就是求這個(gè)圓柱形禮品盒的表面積。

師：那為什么要求至少需要多大面積呢？

生：因?yàn)樵谥谱鲌A柱形禮品盒時(shí)有接口，接口處要多用一部分紙板，這里說至少需要多大面積，實(shí)際上就是忽略接口處多用的紙板，即求圓柱的表面積。

師：分析得很正確。問題分析對(duì)了，我們?cè)賱?dòng)手解決這個(gè)問題，這個(gè)順序千萬不能顛倒。

（2）解決問題：求出這個(gè)圓柱形禮品盒的表面積。

師：請(qǐng)同學(xué)們先分別求出圓柱的側(cè)面積、底面積和表面積，然后填寫在書上相應(yīng)位置并匯報(bào)。

生1：該圓柱形禮品盒的側(cè)面積等于底面周長乘高，即2×3.14×10×30，經(jīng)過計(jì)算得出側(cè)面積是1884平方厘米。

生2：它的底面積是3.14×102=314平方厘米。

生3：它的表面積就是側(cè)面積加上兩個(gè)底面積，1884+314×2=2512平方厘米。另外，提醒大家千萬別忘了帶單位，也不能帶錯(cuò)單位。

師：你說得非常正確，邏輯清晰，還不忘提醒大家注意事項(xiàng)，真是個(gè)細(xì)心的孩子。

（設(shè)計(jì)意圖：本環(huán)節(jié)主要引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成良好的分析問題和解決問題的習(xí)慣，讓學(xué)生在前面學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，通過分析問題和自主計(jì)算，提升解決問題的能力以及促進(jìn)思維發(fā)展，同時(shí)培養(yǎng)推理意識(shí)。）

（三）及時(shí)練習(xí)，鞏固提升

師：這節(jié)課大家的表現(xiàn)都非常出色，接下來我們通過幾道題目來鞏固一下所學(xué)的知識(shí)。請(qǐng)同學(xué)們先認(rèn)真審題，獨(dú)立思考后回答。

1.填空。

（1）圓柱的表面積是由（ ）個(gè)（ ）面積和

（ ）個(gè)（ ）面積組成。

（2）用一張長是8厘米，寬是6厘米的長方形紙圍成一個(gè)圓柱，這個(gè)圓柱的側(cè)面積是（ ）平方厘米。

（3）一個(gè)圓柱形紙盒，沿著它的高把側(cè)面剪開，側(cè)面是一個(gè)（ ）形，它的長是圓柱的（ ），它的寬是圓柱的（ ）。

2.判斷。

（1）把圓柱的側(cè)面展開有可能是梯形。（ ）

（2）當(dāng)圓柱的底面周長與高相等時(shí)，把圓柱的側(cè)面展開可以得到正方形。（ ）

（3）兩個(gè)圓柱的側(cè)面積相等，底面周長也一定相等。（ ）

（設(shè)計(jì)意圖：本環(huán)節(jié)旨在進(jìn)一步幫助學(xué)生梳理本課的基礎(chǔ)知識(shí)，鞏固學(xué)生對(duì)該課基礎(chǔ)知識(shí)的掌握以及拓展訓(xùn)練學(xué)生的思維，提升思維品質(zhì)。）

（四）課堂小結(jié)，拓展延伸

師：通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲和感受想與大家分享呢？

生1：我知道了如何求圓柱的側(cè)面積，即兩個(gè)底面積加上一個(gè)側(cè)面積。

生2：把圓柱的側(cè)面剪開，就可以把曲面變成平面，有助于我們研究它的面積。另外，我還知道由于剪法不同，得到的圖形也不同。

生3：我覺得按照一定的邏輯思維分析、思考問題，問題就很容易解決。

師：你們的收獲和感受還真不少，這都是你們認(rèn)真聽課的結(jié)果。你們認(rèn)真學(xué)習(xí)的樣子真的很美，老師希望每節(jié)課都看到你們很美的樣子，你們能不能做到呢？

生（齊答）：可以。

師：老師萬分期待，這節(jié)課我們就上到這里，下節(jié)課期待你們有更好的表現(xiàn)和更大的收獲。

（設(shè)計(jì)意圖：本環(huán)節(jié)主要是檢測(cè)學(xué)生學(xué)習(xí)的整體情況和學(xué)習(xí)感受，同時(shí)鼓勵(lì)學(xué)生下節(jié)課更好地表現(xiàn)自己，激發(fā)學(xué)生的上進(jìn)心和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，幫助學(xué)生樹立學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心。）

【教學(xué)總結(jié)】

（一）以核心問題為驅(qū)動(dòng)，促進(jìn)學(xué)生有針對(duì)性地思考和探究，揭示問題本質(zhì)

以核心問題為驅(qū)動(dòng)是本課教學(xué)設(shè)計(jì)的主導(dǎo)思路，用三個(gè)核心問題引領(lǐng)全課教學(xué)，驅(qū)動(dòng)學(xué)生有針對(duì)性地觀察、思考、探究等，發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)。

這三個(gè)核心問題一脈相承，共同揭示了圓柱表面積的問題本質(zhì)。研究圓柱的表面積首先要知道它是由哪幾部分組成，然后才能探究和計(jì)算。圓柱的側(cè)面積是研究表面積的關(guān)鍵點(diǎn)，也是難點(diǎn)，只有知道了側(cè)面是什么圖形，才能利用以前學(xué)過的知識(shí)和方法求出其面積。這時(shí)讓學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐，利用“化曲為直”和“等積變形”等轉(zhuǎn)化思想，在動(dòng)手操作中突破難點(diǎn)。引導(dǎo)學(xué)生通過剪開圓柱側(cè)面展開成平面圖形，或嘗試將常見的平面圖形卷成圓柱，這兩種思路都可以很好地驗(yàn)證學(xué)生的猜想。解決了第二個(gè)核心問題后，圓柱的表面積計(jì)算問題就不攻自破了。

（二）以活動(dòng)為載體，發(fā)展學(xué)生空間觀念和幾何直觀素養(yǎng)

本節(jié)課的教學(xué)主要是通過動(dòng)手操作展開，學(xué)生的直觀思維還是優(yōu)于抽象思維的，有效學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)建立在直觀操作之上。本節(jié)課主要通過兩個(gè)活動(dòng)讓學(xué)生建立直觀認(rèn)知，一是剪開并展開圓柱的側(cè)面，二是驗(yàn)證猜想的長方形、平行四邊形等能否卷成圓柱。這一過程有效地發(fā)展了學(xué)生的空間觀念和幾何直觀素養(yǎng)。在這兩個(gè)活動(dòng)的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生觀察、思考、比較圓柱側(cè)面與展開后圖形的關(guān)系，通過眼觀、手動(dòng)感受圓柱側(cè)面的特點(diǎn)，并建構(gòu)新知。

培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念和幾何直觀是數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要任務(wù)之一。在教學(xué)中，教師可通過觀察和操作圓柱體模型來幫助學(xué)生直觀地理解和感知圓柱體的特點(diǎn)，并且設(shè)計(jì)一些實(shí)踐操作活動(dòng)，讓學(xué)生親自動(dòng)手探究，以加深對(duì)幾何形狀和空間關(guān)系的理解。

（三）在建立模型中有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生的推理意識(shí)

推理意識(shí)在提高學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題能力中發(fā)揮著關(guān)鍵的作用。首先，本節(jié)課學(xué)生的推理策略主要體現(xiàn)在：學(xué)生思考“做一個(gè)圓柱形禮品盒，至少要用多大面積的紙板”時(shí)，推理出實(shí)際上是求圓柱的表面積，以及“圓柱的側(cè)面展開圖是一個(gè)怎樣的圖形”“怎樣求圓柱的側(cè)面積”這樣有價(jià)值的數(shù)學(xué)問題。其次，由于個(gè)體存在差異，思維不同，學(xué)生選擇驗(yàn)證圓柱側(cè)面展開圖的方法也不同，可以通過剪開圓柱側(cè)面并展開成平面圖形或利用自己猜測(cè)的平面圖形嘗試卷成圓柱。最后，根據(jù)操作經(jīng)驗(yàn)尋找出圓柱的側(cè)面展開圖形的形狀，推理得出圓柱的側(cè)面積的計(jì)算方法。在教學(xué)中，我不斷地放手讓學(xué)生在推理中建立模型思維，使學(xué)生由直覺思維到合情推理，并逐步培養(yǎng)其科學(xué)的推理意識(shí)。

（四）全面落實(shí)素養(yǎng)導(dǎo)向的教學(xué)目標(biāo)

教學(xué)的落腳點(diǎn)重在落實(shí)教學(xué)目標(biāo)，本課根據(jù)學(xué)情確定了核心素養(yǎng)導(dǎo)向的教學(xué)目標(biāo)。教學(xué)目標(biāo)指向本課的核心素養(yǎng)，即空間觀念、幾何直觀和推理意識(shí)。于是，教學(xué)的目標(biāo)定位在理解圓柱表面積的知識(shí)基礎(chǔ)上，發(fā)展學(xué)生的空間觀念、幾何直觀和推理意識(shí)。

學(xué)生在三個(gè)核心問題的引領(lǐng)下，對(duì)探究圓柱表面積的路徑非常清晰。學(xué)生通過動(dòng)手操作和觀察實(shí)物，建立幾何直觀；通過猜測(cè)圓柱側(cè)面展開圖是什么圖形，建立空間觀念；通過研究側(cè)面展開圖的面積計(jì)算方法，增強(qiáng)推理意識(shí)。

在問題解決方面，經(jīng)歷分析圓柱表面積的構(gòu)成和側(cè)面積的推導(dǎo)過程，培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，幫助學(xué)生養(yǎng)成從數(shù)學(xué)的角度提出問題、分析問題和解決問題的良好習(xí)慣，增強(qiáng)了學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，提高了學(xué)生的實(shí)踐能力。

在情感態(tài)度方面，通過創(chuàng)設(shè)情境和核心問題驅(qū)動(dòng)，學(xué)生成功探索出圓柱的表面積，激發(fā)了好奇心和求知欲，一步步探究出圓柱的表面積，在此過程中增強(qiáng)了學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心和愉悅感。“增強(qiáng)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心”是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中課程目標(biāo)的要求，只有學(xué)生有學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心，才會(huì)主動(dòng)學(xué)習(xí)。增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)體驗(yàn)的愉悅感也是我們理想課堂所追求的，只有學(xué)生有愉悅的課堂學(xué)習(xí)體驗(yàn)，才會(huì)向往數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，主動(dòng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。

（作者單位：甘肅省定西市渭源縣會(huì)川鎮(zhèn)西關(guān)中心小學(xué)）

編輯：張俐麗