摘 要：函數(shù)中的導(dǎo)數(shù)是一個(gè)非常重要的概念，它不僅是高等數(shù)學(xué)中微積分的基礎(chǔ)，而且是數(shù)學(xué)建模中解決數(shù)學(xué)問題的強(qiáng)有力的工具。在高考數(shù)學(xué)中，導(dǎo)數(shù)在分析函數(shù)的特性中扮演著重要的角色。文章主要研究了導(dǎo)數(shù)在高考數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，通過理論探討和案例分析，將重點(diǎn)聚焦于導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性、最值和極值點(diǎn)判斷中的作用，以及展示了遞推解題方法在處理復(fù)雜函數(shù)導(dǎo)數(shù)問題中的實(shí)用性。文章旨在揭示導(dǎo)數(shù)在解決具體數(shù)學(xué)問題中的實(shí)際運(yùn)用，以及如何通過這些題目來有效地教授和學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)。這為高中教師在課堂教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生掌握導(dǎo)數(shù)方法提供了寶貴的經(jīng)驗(yàn)和參考，同時(shí)也為提高學(xué)生解答導(dǎo)數(shù)問題提供了理論支持和實(shí)踐指導(dǎo)。

關(guān)鍵詞：導(dǎo)數(shù)工具；導(dǎo)數(shù)中的遞推；學(xué)生解題

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1673-8918（2024）26-0065-04

一、 研究背景

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，導(dǎo)數(shù)的概念是函數(shù)中非常核心的一部分內(nèi)容。作為高等數(shù)學(xué)中微積分學(xué)的一個(gè)基本工具，導(dǎo)數(shù)不僅在理論數(shù)學(xué)中占有重要地位，同時(shí)也在解決現(xiàn)實(shí)問題和數(shù)學(xué)建模中發(fā)揮著關(guān)鍵作用。導(dǎo)數(shù)的重要性體現(xiàn)在諸多方面。首先，導(dǎo)數(shù)是一種衡量變化的方式，是研究函數(shù)變化規(guī)律的重要手段，它能夠提供函數(shù)在各個(gè)點(diǎn)的斜率信息，從而揭示函數(shù)的變化趨勢(shì)和特性，幫助學(xué)生理解和預(yù)測(cè)各種變化過程。這種對(duì)函數(shù)的變化進(jìn)行細(xì)致而全面的分析，對(duì)于解決實(shí)際問題和探索數(shù)學(xué)規(guī)律至關(guān)重要。其次，導(dǎo)數(shù)的概念貫穿于高中數(shù)學(xué)課程的始終，從初步的導(dǎo)數(shù)定義和求導(dǎo)法則，到高級(jí)的導(dǎo)數(shù)應(yīng)用和微積分基礎(chǔ)，學(xué)生需要逐步掌握導(dǎo)數(shù)的相關(guān)理論和方法，這不僅對(duì)于后續(xù)深入學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、物理和經(jīng)濟(jì)學(xué)等學(xué)科有著重要的鋪墊，也培養(yǎng)了學(xué)生的邏輯思維和問題解決能力。

在高中階段，導(dǎo)數(shù)的教學(xué)不僅是為了傳授數(shù)學(xué)知識(shí)本身，更是為了培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力、問題解決能力和舉一反三的能力，鍛煉學(xué)生能夠?qū)⒈緦W(xué)科的知識(shí)運(yùn)用到交叉學(xué)科的能力。通過學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)，學(xué)生能夠更好地理解函數(shù)，可以將導(dǎo)數(shù)的知識(shí)進(jìn)行靈活的運(yùn)用，例如在物理學(xué)科中通過速度和加速度的計(jì)算就是導(dǎo)數(shù)具體應(yīng)用的體現(xiàn)。此外，導(dǎo)數(shù)還是理解高等數(shù)學(xué)中微積分學(xué)概念的基礎(chǔ)，為學(xué)生未來的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用廣泛而深入。在物理學(xué)中，它被廣泛地應(yīng)用于力學(xué)、描述物體的運(yùn)動(dòng)等領(lǐng)域，例如加速度是速度對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)、速度是位移對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)等。在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，導(dǎo)數(shù)通常被用于解釋經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象以及進(jìn)行經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)。例如在微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)中，導(dǎo)數(shù)可以用來分析邊際成本、邊際收益等與供求關(guān)系相關(guān)的概念。在宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)中，導(dǎo)數(shù)可以被用來描述國(guó)民經(jīng)濟(jì)的增長(zhǎng)速度、通貨膨脹率等指標(biāo)的變化趨勢(shì)。

綜上所述，導(dǎo)數(shù)作為描述變化率的一種數(shù)學(xué)工具，在各個(gè)學(xué)科都有著廣泛的應(yīng)用，不僅為學(xué)生理解現(xiàn)實(shí)中的現(xiàn)象提供了良好的理論依據(jù)，還為解決實(shí)際問題提供了重要的解題工具。

二、 研究目的

1. 分析導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性、最值和極值判斷中的作用；

2. 探討導(dǎo)數(shù)的遞推法在高考數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。

三、 研究意義

在高中生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，函數(shù)貫穿高中數(shù)學(xué)的始終，而導(dǎo)數(shù)是他們接觸到的函數(shù)中的重要內(nèi)容之一。本研究的意義在于，為高中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供了新的思路和方法，通過深入地研究導(dǎo)數(shù)，可以提高他們的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，更好地應(yīng)對(duì)高考中類似的問題，迎戰(zhàn)高考。同時(shí)，本研究也為教師引導(dǎo)學(xué)生掌握導(dǎo)數(shù)方法提供了寶貴的經(jīng)驗(yàn)和參考，幫助他們更好地引導(dǎo)學(xué)生的學(xué)習(xí)，提升教學(xué)效果，讓學(xué)生不僅能夠深入理解導(dǎo)數(shù)的概念和性質(zhì)，更能夠培養(yǎng)他們抽象思維能力和邏輯推理能力，增強(qiáng)他們的問題分析和解決能力，同時(shí)也為提高學(xué)生解答導(dǎo)數(shù)問題提供了理論支持和實(shí)踐指導(dǎo)。

四、 基礎(chǔ)知識(shí)

（一）導(dǎo)數(shù)的定義

在數(shù)學(xué)中，導(dǎo)數(shù)是描述某一點(diǎn)處的瞬時(shí)變化率。在形式上，函數(shù)f（x）在x=x0處的導(dǎo)數(shù)定義為f′（x0）=limΔx→0f（x0+Δx）-f（x0）Δx=limx→x0f（x）-f（x0）x-x0，這個(gè)極限如果存在也表示函數(shù)f（x）在x=x0處的切線的斜率。

（二）導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性

導(dǎo)數(shù)在函數(shù)的單調(diào)性分析中起著重要的作用，但是在應(yīng)用導(dǎo)數(shù)來判斷函數(shù)的單調(diào)性時(shí)需要捋清楚以下幾點(diǎn)關(guān)系，本文以增函數(shù)為例講解導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系，前提條件都是函數(shù)y=f（x）在定義域內(nèi)是可導(dǎo)函數(shù)。

1. f′（x）>0與增函數(shù)的關(guān)系

若函數(shù)y=f（x）在定義域內(nèi)有f′（x）>0，則函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)是增函數(shù)；但是f（x）如果是增函數(shù)，不能夠得出f′（x）>0。例如，y=x3它在實(shí)數(shù)域R上單調(diào)遞增，但是f′（x）≥0。綜上，f′（x）>0是y=f（x）為增函數(shù)的充分不必要條件。

2. f′（x）≥0與增函數(shù)的關(guān)系

若函數(shù)y=f（x）為增函數(shù)，則一定能推出f′（x）≥0，但是反之不一定成立，因?yàn)閒′（x）≥0，包括 f′（x）>0和f′（x）=0兩種情形，但是f′（x）=0時(shí)該函數(shù)為常數(shù)函數(shù)，不存在單調(diào)性。所以，f′（x）≥0是函數(shù)為增函數(shù)的必要不充分條件。

3. f′（x）≠0時(shí)，f′（x）>0與增函數(shù)的關(guān)系

此時(shí)為充分必要條件。

綜上，學(xué)生需要把握好以上三條關(guān)系才能更好地理解導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，通過導(dǎo)數(shù)的正負(fù)性可以很輕松快速地判斷函數(shù)的單調(diào)性，更好地把握函數(shù)的變化規(guī)律。對(duì)于減函數(shù)的情形以此類推。

（三）導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值點(diǎn)

極值點(diǎn)的定義：若y=f（x）在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)有定義，如果對(duì)于該去心鄰域內(nèi)的任何x，恒有 f（x）<f（x0）（或者f（x）>f（x0）），則稱f（x0）為f（x）的一個(gè)極大值點(diǎn)（極小值點(diǎn)）。

函數(shù)的極值點(diǎn)是一個(gè)局部的概念，它是指函數(shù)在局部取得的最大值和最小值點(diǎn)。導(dǎo)數(shù)也可以用于判斷函數(shù)的極值點(diǎn)。如果在某點(diǎn)f′（x）由正變?yōu)樨?fù)，則該點(diǎn)為y=f（x）的極大值點(diǎn)；相反地，如果在某點(diǎn)f′（x）由負(fù)變?yōu)檎瑒t該點(diǎn)為y=f（x）的極小值點(diǎn)。

五、 實(shí)例分析

本文選擇2018年高考數(shù)學(xué)全國(guó)3卷理科21題，這是一道涉及函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式等知識(shí)的綜合壓軸題，主要考查利用導(dǎo)數(shù)工具判斷函數(shù)的單調(diào)性、最值、極值點(diǎn)的方法，同時(shí)也考查了學(xué)生對(duì)復(fù)雜概念的理解和運(yùn)算求解的能力，下面具體看一下這道例題。

（一）導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

【例1】 已知函數(shù)f（x）=（2+x+ax2）ln（1+x）-2x。

（1）若a=0，證明：當(dāng)-1<x<0時(shí)，f（x）<0；當(dāng)x>0時(shí)，f（x）>0；

（2）若x=0是f（x）的極大值點(diǎn)，求a。

解：（1）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=（2+x）ln（1+x）-2x，f′（x）=ln（1+x）-x1+x。

設(shè)函數(shù)g（x）=f′（x）=ln（1+x）-x1+x，則g′（x）=x（1+x）2。

當(dāng)-1<x<0時(shí)，g′（x）<0；當(dāng)x>0時(shí)，g′（x）>0。故當(dāng)x>-1時(shí)，g（x）≥g（0）=0，且僅當(dāng)x=0時(shí)，g（x）=0，從而f′（x）≥0，且僅當(dāng)x=0時(shí)，f′（x）=0。

所以f（x）在（-1，+∞）單調(diào)遞增。

又f（0）=0，故當(dāng)-1<x<0時(shí)，f（x）<0；當(dāng)x>0時(shí)，f（x）>0。

（2）（?。┤鬭≥0，由（1）知，當(dāng)x>0時(shí)，f（x）≥（2+x）ln（1+x）-2x>0=f（0），這與x=0是f（x）的極大值點(diǎn)矛盾。

（ⅱ）若a<0，設(shè)函數(shù)h（x）=f（x）2+x+ax2=ln（1+x）-2x2+x+ax2。

由于當(dāng)｜x｜<min1，1｜a｜時(shí)，2+x+ax2>0，故h（x）與f（x）符號(hào)相同。

又h（0）=f（0）=0，故x=0是f（x）的極大值點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)x=0是h（x）的極大值點(diǎn)。

h′（x）=11+x-2（2+x+ax2）-2x（1+2ax）（2+x+ax2）2=x2（a2x2+4ax+6a+1）（x+1）（ax2+x+2）2。

如果6a+1>0，則當(dāng)0<x<-6a+14a，且｜x｜<min1，1｜a｜時(shí)，h′（x）>0，故x=0不是h（x）的極大值點(diǎn)。

如果6a+1<0，則a2x2+4ax+6a+1=0存在根x1<0，故當(dāng)x∈（x1，0），且｜x｜<min1，1｜a｜時(shí)，h′（x）<0，所以x=0不是h（x）的極大值點(diǎn)。

如果6a+1=0，則h′（x）=x3（x-24）（x+1）（x2-6x-12）2。則當(dāng)x∈（-1，0）時(shí)，h′（x）>0；當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，h′（x）<0。所以x=0是h（x）的極大值點(diǎn)，從而x=0是f（x）的極大值點(diǎn)。

綜上，a=-16。

評(píng)注：此題第（1）問也可以f（x）=（2+x）ln（1+x）-2x2+x，令g（x）=ln（1+x）-2x2+x，因?yàn)?+x>0，判斷g（x）的符號(hào)即可，只需求導(dǎo)一次。第（2）問切入容易，但深入較難，答案法的技巧性強(qiáng)，特別是“故x=0是f（x）的極大值點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)x=0是h（x）的極大值點(diǎn)”，學(xué)生難以想到。

（二）第（2）問的常規(guī)解法探究

已知極值點(diǎn)求參數(shù)，一般只需要代入f′（0）=0即可求出參數(shù)，再代入檢驗(yàn)。但這道題f′（x）=（1+2ax）ln（1+x）+ax2-x1+x，f′（0）=0恰成立，無法求出參數(shù)?？紤]到是極大值點(diǎn)，f′（x）在0附近要左加右減，于是f′（x）要在0附近單調(diào)遞減，考慮f（x）的二階導(dǎo)數(shù)f″（x）=2aln（1+x）+3ax2+（4a+1）x（x+1）2，即 f″（x）要在0附近為負(fù)值。但這題同樣有f″（0）=0，于是轉(zhuǎn)化為f″（x）要以0為極大值點(diǎn)，又回到了開頭的情形。用圖示表示為：

可見，0處的各階導(dǎo)數(shù)恰為0，導(dǎo)致問題進(jìn)入了一個(gè)循環(huán)。若出現(xiàn)0處的某階導(dǎo)數(shù)不恰為0，則可令其小于（大于）0或等于0，小于（大于）0的時(shí)候不需要檢驗(yàn)（是充要條件），而等于0的時(shí)候則需要再檢驗(yàn)兩邊的符號(hào)。

我們接著看這道題，現(xiàn)在f″（x）要以0為極大值點(diǎn)，于是f（0）=0且要在0附近左加右減，f（x）=2ax2+（6a-1）x+6a+1（x+1）3，f（0）=6a+1，不再恰為0，結(jié)束循環(huán)，令f（0）=0得a=-16，代入檢驗(yàn)，f（x）=-13x（x+6）（x+1）3，滿足在0附近左加右減，符合題意。綜上：a=-16。

類似題還有2016年高考數(shù)學(xué)山東文20題第（Ⅱ）問：

【例2】 設(shè)f（x）=xlnx-ax2+（2a-1）x，a∈R。

（Ⅱ）已知f（x）在x=1處取得極大值。求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

解：f′（x）=lnx-2ax+2a，f′（1）=0恰成立，于是需二次求導(dǎo)f″（x）=1-2axx，f″（1）=1-2a，不再恰為0。令f″（1）<0，即a>12，則f′（x）在1附近遞減，又f′（1）=0，于是滿足題意。

令f″（1）=0，即a=12，此時(shí)f″（x）=1-xx，經(jīng)檢驗(yàn)應(yīng)舍去。

評(píng)注：這道題之所以比2018年高考數(shù)學(xué)全國(guó)3卷理科21題簡(jiǎn)單，是因?yàn)閒″（1）已經(jīng)不再恰為0，不需要再次求導(dǎo)。

其實(shí)，在一些導(dǎo)數(shù)恒成立問題中也存在這種遞推關(guān)系。

（三）導(dǎo)數(shù)恒成立問題中的遞推

【例3】 （2011年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)理科21題）設(shè)函數(shù)f（x）=ex-1-x-ax2。

（1）若a=0，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）若當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≥0，求a的取值范圍。

解：（1）a=0時(shí)，f（x）=ex-1-x，f′（x）=ex-1。

當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，f′（x）<0；

當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f′（x）>0。故f（x）在（-∞，0）單調(diào)減少，在（0，+∞）單調(diào)增加。

（2）f′（x）=ex-1-2ax。

由（1）知ex≥1+x，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立。

故f′（x）≥x-2ax=（1-2a）x，從而當(dāng)1-2a≥0，

即a≤12時(shí)，f′（x）≥0（x≥0），而f（0）=0，

于是當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≥0。

由ex&gt;1+x（x≠0）可得e-x>1-x（x≠0），從而當(dāng)a>12時(shí)，f′（x）<ex-1+2a（e-x-1）=e-x（ex-1）（ex-2a），

故當(dāng)x∈（0，ln2a）時(shí)，f′（x）<0，而f（0）=0，于是當(dāng)x∈（0，ln2a）時(shí)，f（x）<0，綜合得a的取值范圍為-∞，12。

答案中用到第一問的結(jié)論進(jìn)行放縮，雖然這是合理的，但對(duì)大部分同學(xué)來說，仍然是難以想到的。若不用放縮，我們發(fā)現(xiàn)這題在端點(diǎn)0處函數(shù)值恰為0，思路用圖示表示為：

f（x）≥0在x∈［0，+∞）恒成立若f（0）=0恰成立f′（x）需在0右邊附近為正值，即 f′（0）≥0若f′（0）=0恰成立需f″（0）≥0若f″（0）=0恰成立需f（0）≥0……

可見，端點(diǎn)0處恰成立與0處的各階導(dǎo)數(shù)恰為0，導(dǎo)致問題進(jìn)入了一個(gè)循環(huán)。

解：f（0）=0恰成立，求導(dǎo)得f′（x）=ex-1-2ax，發(fā)現(xiàn)f′（0）=0恰成立，于是二階求導(dǎo)，f″（x）=ex-2a，f″（0）=1-2a，不恰為0，于是不需要再求導(dǎo)，令f″（0）≥0，得a≤12（注意這只是必要條件，充分性還需要檢驗(yàn)）。當(dāng)a≤12時(shí)，f″（x）=ex-2a≥0，于是f′（x）=ex-1-2ax在［0，+∞）上單調(diào)遞增，又f′（0）=0，于是f′（x）≥0，即f（x）在［0，+∞）上單調(diào)遞增，又f（0）=0，于是f（x）≥f（0）=0。

下面的題目留給讀者練習(xí)：

1. （2010年新課標(biāo)文科21題）設(shè)函數(shù)f（x）=x（ex-1）-ax2。

（Ⅱ）若當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≥0，求a的取值范圍。（答案：（-∞，1］）

2. （2018年北京理科18題）設(shè)函數(shù)f（x）=［ax2-（4a+1）x+4a+3］ex。

（Ⅱ）若f（x）在x=2處取得極小值，求a的取值范圍。（答案：12，+∞）

六、 總結(jié)與展望

導(dǎo)數(shù)在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中具有重要的作用，特別是在函數(shù)的單調(diào)性、最值和極值點(diǎn)的應(yīng)用中，我們可以通過導(dǎo)數(shù)的正負(fù)性、零點(diǎn)和變化趨勢(shì)迅速地判斷函數(shù)具體的變化情況。恒成立問題是近幾年高考中常出現(xiàn)的問題，這類問題的難度較大，考查的知識(shí)點(diǎn)較綜合，可能會(huì)涉及函數(shù)與方程、分類與整合等數(shù)學(xué)思想。需要教師在平時(shí)的授課中注意引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)與提煉解題方法，以提升學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力與解題能力。

參考文獻(xiàn)：

［1］杜中文.導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性［J］.考試周刊，2011（56）：78.

作者簡(jiǎn)介：楊培斌（1985～），男，漢族，安徽潛山人，安徽省懷寧縣新安中學(xué)，研究方向：高中數(shù)學(xué)教學(xué)、高中教育教學(xué)管理。