以盈補(bǔ)虛、因木望山、幻方、珠算、隙積術(shù)……華夏沃土不僅綻放著多彩的文化之花，也厚植了無數(shù)啟迪心智的智慧之樹。

我們的祖先在長期生產(chǎn)勞動(dòng)中掌握了豐富且實(shí)用的數(shù)學(xué)知識(shí)，應(yīng)用在天文歷法、土地測量、買賣交易、器物制作與織繡紋樣等領(lǐng)域，不僅解決了許多生存與生活難題，也在世界數(shù)學(xué)史上留下矚目成就。

提及古代數(shù)學(xué)，人們通常想起古希臘的輝煌成就。

其實(shí)，我國古代數(shù)學(xué)并不遜色于同時(shí)期的外國。2002年，里耶秦簡“九九乘法口訣表”木牘，于湖南省龍山縣里耶古城遺址一號(hào)井出土，這表明在春秋戰(zhàn)國時(shí)期，數(shù)學(xué)就已經(jīng)成為華夏先民生活中的組成部分。

商高、劉徽、祖沖之……中華數(shù)學(xué)群星閃耀時(shí)

中國古代數(shù)學(xué)，從先秦萌芽到漢唐奠基，至宋元全盛，最后于明清時(shí)期中西合璧。漫漫發(fā)展長路，無數(shù)優(yōu)秀的中國數(shù)學(xué)家，在歷史上留下了濃墨重彩的一筆。

西周初期的商高是世界上第一位被記載在史冊的數(shù)學(xué)家。公元前6世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)“直角三角形的兩條直角邊的平方和，等于斜邊的平方”，畢達(dá)哥拉斯定理（也稱勾股定理）問世。但其實(shí)，商高早在公元前1000年就已經(jīng)提出了“勾三股四弦五”的概念，比畢達(dá)哥拉斯早了約500年。除此以外，商高還使用矩作為測量工具，將相似三角形的原理應(yīng)用在“測天量地”實(shí)踐中，為后期數(shù)學(xué)家提出的“測望術(shù)”奠定了基礎(chǔ)。

最早證明勾股定理的是三國時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽。他在耕樵之余鉆研古算，為中國古代最早的天文學(xué)著作《周髀算經(jīng)》作注。他在著作《勾股圓方圖注》中，僅以五百多字便將勾股定理的證明、勾股弦的關(guān)系闡明。同時(shí)，趙爽還將分?jǐn)?shù)運(yùn)算概括為“齊同術(shù)”，為后起之秀劉徽提出齊同術(shù)鋪下基石。

劉徽生于魏晉南北朝時(shí)期，是中國最早明確主張用邏輯推理的方式來論證數(shù)學(xué)命題的人，著作《九章算術(shù)注《》海島算經(jīng)》是珍貴的學(xué)術(shù)資料。除此以外，他還采用“割圓術(shù)”，用極限的方法證明了圓面積的公式；在球體積的計(jì)算上，劉徽創(chuàng)造性地采用了“牟合方蓋”立體模型。

劉徽在數(shù)學(xué)上的偉大成就，給中華民族留下了寶貴的財(cái)富。2021年5月，國際天文學(xué)聯(lián)合會(huì)（IAU）批準(zhǔn)中國在嫦娥五號(hào)降落地點(diǎn)附近給月球地貌命名，此次一共命名了8個(gè)地貌，“劉徽”就是其中之一。

在中國，祖沖之家喻戶曉。他的祖父是朝廷負(fù)責(zé)建造的官員，因而他從小受家庭熏陶，對(duì)科學(xué)知識(shí)興趣濃厚。祖沖之制定了著名的《大明歷》，還寫出數(shù)學(xué)專著《綴術(shù)》，是我國古代杰出的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家和機(jī)械制造家。而他最大的成就，是首次把圓周率準(zhǔn)確推算到小數(shù)點(diǎn)后第七位，這對(duì)于中國和世界來說都是一個(gè)重大的貢獻(xiàn)，后人將這個(gè)精確推算值用他的名字命名為“祖沖之圓周率”，簡稱“祖率”。

宋元時(shí)期，數(shù)學(xué)發(fā)展步入全盛階段，諸多成就斐然的數(shù)學(xué)家踴躍而出。美國著名科學(xué)史家喬治·薩頓曾這樣評(píng)論一人，說他是“漢民族的、他所生存時(shí)代的，同時(shí)也是貫穿古今的一位最杰出數(shù)學(xué)家”，這位被贊譽(yù)的數(shù)學(xué)家就是——元代平民數(shù)學(xué)家朱世杰。

數(shù)學(xué)著作《四元玉鑒》記錄了朱世杰在世界上首創(chuàng)的“四元術(shù)”和“招差術(shù)”，以及幾何、代數(shù)上的若干問題，是宋元數(shù)學(xué)的代表作之一。其中，著作中的招差術(shù)，是世界數(shù)學(xué)史上第一次正確列出了三階等差級(jí)數(shù)的求和公式。要知道，這一方法與“牛頓公式”一致，卻比牛頓提出的時(shí)間早了近四百年，可謂遙遙領(lǐng)先。

算籌、算盤與《九章算術(shù)》古人的數(shù)學(xué)工具與教材

“禮、樂、射、御、書、數(shù)”為古代六藝，數(shù)則設(shè)有專門的課程，西周貴族子弟從9歲起就需要學(xué)習(xí)認(rèn)識(shí)數(shù)字與計(jì)數(shù)方法。隋唐時(shí)期，國子監(jiān)除了設(shè)算學(xué)館，還安有“算學(xué)博士”和“助教”來幫助學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，后來的科舉考試中也增設(shè)了明算科。

而提到古代數(shù)學(xué)教材，《九章算術(shù)》必須榜上有名。這本傳世著作是一部以問解方式編纂而成的古代數(shù)學(xué)問題解題集，涵蓋了先秦到東漢初年的數(shù)學(xué)成就，它的出現(xiàn)，代表著中國古代數(shù)學(xué)體系已具規(guī)模。

在明末西方數(shù)學(xué)傳入我國之前，《九章算術(shù)》一直是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的首選教材，堪稱古代數(shù)學(xué)寶典。此后，《九章算術(shù)》作為教材傳入日本、朝鮮以及亞洲其他國家。諸如分?jǐn)?shù)、比例之類的算法還經(jīng)由西域傳入了歐洲等國，可謂是影響深遠(yuǎn)。

除了實(shí)用的專業(yè)教材，計(jì)算工具也不能少。

中國古代特有的主要計(jì)算工具叫做“算籌”，是以竹子、木、骨、銅、鐵等材料制作而成，外觀為長短粗細(xì)一樣的小棍，制作簡單，可以系在腰間隨身攜帶。當(dāng)需要計(jì)數(shù)和計(jì)算的時(shí)候，就把它們?nèi)〕鰜恚旁谧郎?、炕上或地上就能擺弄使用。之后，隨著生產(chǎn)和生活水平的提高，更為便捷、實(shí)用的算盤出現(xiàn)了。算盤發(fā)明后，不但傳入朝鮮、日本等周邊國家，還把原有籌算術(shù)的四則運(yùn)算方法逐漸轉(zhuǎn)變?yōu)榱酥樗阈g(shù)的運(yùn)算方法。

口訣也在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中占了一席之地。西方最早的乘法口訣表是在1600年前發(fā)現(xiàn)的，而里耶秦簡“九九乘法口訣表”木牘的出土，說明我們發(fā)明乘法口訣表比西方早了600多年。

關(guān)于九九乘法口訣還有個(gè)有趣的故事。相傳，齊桓公廣招賢士卻不見能者蹤影。后來有一人覲見，聲稱自己可以熟背“九九”乘法歌。齊桓公聽罷便調(diào)侃此人道：“你會(huì)背九九歌，算什么本事呢？”那人坦誠回答：“背九九歌算不得大本事，但若您以禮相待，還怕比我高明的人不來嗎？”月余后，果然有志之士從各地前來。從這個(gè)故事也能推斷出，九九歌訣在春秋戰(zhàn)國時(shí)期就已經(jīng)在民間傳唱，久久不息了。

量體積，測農(nóng)田，助生產(chǎn)古代數(shù)學(xué)在生活中的應(yīng)用

如果閱讀我國古代數(shù)學(xué)專著就會(huì)發(fā)現(xiàn)，古人偏愛在生活中應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)，以解決一些生產(chǎn)生活問題?！毒耪滤阈g(shù)》收錄的例題就常常與人們的生產(chǎn)生活緊密相關(guān)。例如，如果古人有一塊田，那么如何測量農(nóng)田的面積呢？只要打開《九章算術(shù)》的第一章就能得到方法。里面為了迎合統(tǒng)治者征收田賦，還提供了不同形狀田畝面積的計(jì)算方法。

“以盈補(bǔ)虛”，也稱出入相補(bǔ)。這是古代勞動(dòng)人民解決面積、體積、勾股等問題的方法之一。古時(shí)候長方形的田地稱為“方田”，面積公式為“廣從步數(shù)相乘得積步”，也就是說，東西步數(shù)和南北步數(shù)的乘積就是農(nóng)田的面積；三角形的農(nóng)田叫做“圭田”，面積公式是“半廣以乘正從”；還有直角梯形形狀的農(nóng)田古稱“邪田”，也是采用出入相補(bǔ)的方法計(jì)算面積。此類方法，在現(xiàn)代數(shù)學(xué)教學(xué)中也有所體現(xiàn)。

中國古代數(shù)學(xué)萌芽于先秦，發(fā)展于漢唐，鼎盛于宋元，一千多年以來，創(chuàng)造了無數(shù)令人矚目的輝煌成就。元末以后，中國古代數(shù)學(xué)陷入低潮，朱世杰傳世之作《四元玉鑒》已然成為宋元時(shí)期的數(shù)學(xué)絕唱。

明清兩代，封建皇權(quán)高度集中，原本科舉中的“明算科”被完全廢除，唯以八股取士。此時(shí)，不僅沒有能與《數(shù)書九章》《四元玉鑒》相媲美的數(shù)學(xué)杰作，就連曾經(jīng)的“天元術(shù)”“四元術(shù)”等宋元數(shù)學(xué)精粹也失傳。16世紀(jì)，文藝復(fù)興浪潮席卷歐洲大陸，近代數(shù)學(xué)在歐洲蓬勃興起。

（編輯 陳致穎）