【摘要】數(shù)列是高中數(shù)學(xué)教材選擇性必修第二冊第四章的重要內(nèi)容，求解數(shù)列的通項(xiàng)公式是學(xué)習(xí)這部分知識的重點(diǎn)和難點(diǎn)，常用的方法主要有：遞推關(guān)系法，累加法，累乘法，定義法（適用于an+1=anf（n）），數(shù)學(xué)歸納法等，而本文介紹的方法是以教材課后閱讀與思考的“斐波那契數(shù)列”為模型，用二階常系數(shù)線性齊次遞歸方程an+p1an－1+p2an－2=0求解數(shù)列的通項(xiàng)公式.以數(shù)學(xué)教材為本，以高考試題為范，結(jié)合“斐波那契數(shù)列”模型，介紹另外一種新的解法——特征值法，以拓展解題思路，更好的理解數(shù)列的本質(zhì)和規(guī)律，同時(shí)增強(qiáng)數(shù)學(xué)教材的引領(lǐng)作用，提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】 數(shù)列；通項(xiàng)公式；斐波那契數(shù)列

1 知識溯源（數(shù)學(xué)教材選擇性必修第二冊P10）

意大利數(shù)學(xué)家斐波那契在他的著作《算盤全書》中收錄了一個(gè)有意思的兔子繁殖問題：

如果1對兔子每月能生1對小兔子（一雌一雄），而每1對小兔子在它出生后第3個(gè)月里，又生下1對小兔子，假定在不發(fā)生死亡的情況下，由1對初生的小兔子開始，50個(gè)月后會有多少兔子？100個(gè)月后呢？

并且得到如下規(guī)律：

從第1個(gè)月開始，每月末的兔子總對數(shù)是

1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144 ……

如果用Fn表示第n個(gè)月的兔子總對數(shù)，可以看出，

Fn=Fn－1+Fn－2（n>2）.

這是一個(gè)由遞推公式給出的數(shù)列，稱為斐波那契數(shù)列.可以發(fā)現(xiàn)：斐波那契數(shù)列的后一項(xiàng)是前兩項(xiàng)之和.

在實(shí)際的數(shù)學(xué)問題中，我們經(jīng)常會遇到類似“斐波那契數(shù)列”模型的題型，并且所要求的項(xiàng)數(shù)很大，如果用遞推的方式求解的話，就會變得很繁瑣，計(jì)算量很大，這是不可取的，下面介紹的是求解“斐波那契數(shù)列”通項(xiàng)公式的一種新的方法：特征值法，并對斐波那契數(shù)列由Fn=Fn－1+Fn－2（n>2）拓展到二階常系數(shù)線性齊次遞歸方程an+p1an－1+p2an－2=0.

引理（特征值法）

求二階常系數(shù)線性齊次遞歸方程an+p1an－1+p2an－2=0通解的主要思路是通過令an=xn代換，把上述方程轉(zhuǎn)化為特征方程x2+p1x+p2=0.解此特征方程即得原方程的通解，對通解可分三種情況討論：

①當(dāng)Δ>0時(shí)，有兩個(gè)相異的實(shí)根，x1=q1，x2=q2，則通解為：

an=c1q1n+c2q2n

②當(dāng)Δ=0時(shí)，有兩個(gè)相等的實(shí)根，x1=x2=q，則通解為：

an=c1+c2·nqn.

③當(dāng)Δ<0時(shí)，有一對共軛復(fù)根，x1=r（cosθ+isinθ），x2=r（cosθ－isinθ），則通解為：

an=rn（c1cosnθ+c2sinnθ）.

這里的c1，c2為任意常數(shù).利用這個(gè)引理和初始條件a1，a2我們很容易獲得所求數(shù)列的通項(xiàng)公式.下面我從3個(gè)例子分別介紹這類數(shù)列問題的解法.

2 “斐波那契數(shù)列”通項(xiàng)公式

（2022·云南師范大學(xué)實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三模擬）斐波那契數(shù)列an滿足an+2=an+1+an，且a1=1，a2=1，求an的通項(xiàng)公式.

試題分析：題目已經(jīng)明確an是斐波那契數(shù)列，且滿足an+2=an+1+an，a1=1，a2=1，因此an符合“斐波那契數(shù)列”模型特點(diǎn)：Fn=Fn－1+Fn－2（n>2）.并且可以看作

解法評析 特征值法是求解數(shù)列通項(xiàng)公式的重要方法，遇到有“斐波那契數(shù)列”特征的數(shù)列題型時(shí)，先觀察題目條件是否符合Fn=Fn－1+Fn－2（n>2）的特點(diǎn)，如果符合，可以優(yōu)先選用特征值法，按照引理中所介紹的解題步驟得到特征方程，結(jié)合初始條件a1，a2進(jìn)行求解.這種方法可以快速地推導(dǎo)出數(shù)列的通項(xiàng)公式，從而更好地理解數(shù)列的性質(zhì)和規(guī)律.

3 “an+1=2an+2an－1”型數(shù)列通項(xiàng)公式

（2023·江蘇省灌云高級中學(xué)）已知數(shù)列an滿足an+1=2an+2an－1（n≥2）.a1=0，a2=1.求通項(xiàng)公式an

試題分析：這個(gè)例題涉及同一個(gè)數(shù)列的相鄰3項(xiàng)，并且已知初始條件a1=0，a2=1.如果我們用常規(guī)的遞推法求解，會發(fā)現(xiàn)遞推法太過繁瑣，而且在猜想通項(xiàng)公式的過程中容易出錯(cuò)，而構(gòu)造法需要以等差數(shù)列為基礎(chǔ)依據(jù)，形式也十分復(fù)雜.結(jié)合題意條件，此題符合二階常系數(shù)線性齊次遞歸方程an+p1an－1+p2an－2=0（p1=－2，p2=－2）特點(diǎn)，因此，可以結(jié)合上面的引理進(jìn)行巧妙求解.

解法評析 在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，數(shù)列主要分為兩類：等差數(shù)列和等比數(shù)列，對于不規(guī)則數(shù)列（例：“斐波那契數(shù)列”模型）通項(xiàng)公式的求解方法討論得比較少，而特征值法對求解這類數(shù)列的通項(xiàng)公式有很大的優(yōu)勢.數(shù)學(xué)知識呈現(xiàn)方式的多樣性、解決數(shù)學(xué)問題方法的不唯一性和數(shù)學(xué)思維方式的開放性要求在學(xué)習(xí)數(shù)列這部分知識的過程中，要注重理解數(shù)列的本質(zhì)，抓住二階常系數(shù)線性齊次遞歸方程的特征，注重方法和技巧.

4 結(jié)語

這3個(gè)例子都有一個(gè)共性：涉及同一個(gè)數(shù)列的相鄰三項(xiàng)，并且這三項(xiàng)具有和差系數(shù)關(guān)系，這都是“斐波那契數(shù)列”模型的拓展與推廣.此外，“吃透教材”，首先要理解教材上的基本定義、概念，掌握例題的做題方法，課后完成練習(xí)務(wù)實(shí)基礎(chǔ)知識.“超越教材”，在學(xué)有余力的情況下，不應(yīng)拘泥于教材，根據(jù)自己的實(shí)際情況，進(jìn)行課后閱讀，對教材上閱讀與思考部分進(jìn)行延申，在增強(qiáng)學(xué)習(xí)能力，提升數(shù)學(xué)思維的同時(shí)激發(fā)學(xué)習(xí)興趣和創(chuàng)新能力，做一個(gè)真正的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者.

參考文獻(xiàn)：

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