摘 要：GeoGebra軟件具有強大的幾何作圖和函數呈現(xiàn)功能。利用此軟件分析動態(tài)物體的凸透鏡成像規(guī)律，可以形象直觀地揭示物像距離變化、物速與像速關系等實驗難以觀測的細節(jié)，促進學生深入理解成像的規(guī)律，提高學生物理與數學結合的能力。

關鍵詞：GeoGebra；透鏡成像；動點

1 前言GeoGebra軟件名稱是“Geo”與“Gebra”的組合，軟件將Geometry（幾何）和Algebra（代數）結合起來，是一款集幾何、代數、數據分析、處理變量、計算、圖形統(tǒng)計等為一體的動態(tài)教學軟件。該軟件具有下載免費、操作簡便、動態(tài)形象的特點，目前被廣泛應用于理科教學中。在中學物理教學中，GeoGebra的應用多集中在對高中物理實驗的分析和問題的解決上。［1］初中物理光學的理論基礎是幾何光學，利用GeoGebra的圖形優(yōu)勢呈現(xiàn)初中物理光學知識不僅形象直觀，提高教學效率，還可能有新的發(fā)現(xiàn)。

2 GeoGebra軟件在凸透鏡成像規(guī)律中的應用凸透鏡成像是初中物理光學的重點內容，實際教學中通常利用在光具座上做實驗呈現(xiàn)凸透鏡成像規(guī)律、利用作圖解釋凸透鏡成像的原理。這種方式是基于靜態(tài)的物距、像距形式呈現(xiàn)的，只要給定物距，就可以觀察成像，或者畫出像，從而尋找到像的位置，得出像距。但對于思維能力要求較高的動態(tài)問題，如物距隨時間變化的問題，由于實驗和畫圖都不能連續(xù)展示成像過程，這在實際教學中不利于學生對透鏡成像規(guī)律的深入理解。由于GeoGebra可以精確直觀地呈現(xiàn)透鏡成像實驗的光路圖，并能展示透鏡成像的動態(tài)過程，因而能夠深入揭示像距的變化趨勢，得出實驗中不易觀測的現(xiàn)象，助力學生從本質上了解透鏡成像的規(guī)律，促進學生物理與數學結合能力的提高。［2］

2.1 凸透鏡動點成像規(guī)律的理論分析

運用特殊光線作圖法，畫出凸透鏡成像的光路圖如圖1所示，利用幾何關系，可以得到像的大小和性質隨物距變化的規(guī)律，即凸透鏡成像規(guī)律。如果物體由遠處向凸透鏡勻速移近，通過理論分析還可以得出新的規(guī)律。

2.1.1 物體移動速度與像移動速度的關系

物體以速度V物沿光軸向凸透鏡移動，在Δt時間段內，從位置①移動到位置②，設物體高度為H，①處的物距為u1，像距為v1，像高為h1，②處的物距為u2，像距為v2，像高為h2，根據物距與像距在透鏡兩側的三角形相似可知

此時，物體移動的速度約等于像移動的速度。

綜上所述，在成實像的條件下，物體從遠處逐漸向凸透鏡勻速移動的過程中，像速由小變大，兩倍焦距處是像速由小于物速轉變?yōu)榇笥谖锼俚姆纸琰c。

2.1.2 成實像時，物像距離的最小值

在實驗過程中可以觀察到在成實像的條件下，物和像是同方向移動，他們之間的距離如何變化呢？由式①②計算可知Hh1＝u1v1＝fv1－f，化簡得u1＋v1＝v21v1－f，即在成實像時，物像之間的距離符合u＋v＝v2v－f，且u＞f，v＞f。為方便討論，設v＝xf（x＞1），則有u＋v＝x2x－1f，利用列表法求出函數值y＝x2x－1的變化趨勢（如表1所示）。

2.2 GeoGebra軟件呈現(xiàn)動點凸透鏡成像規(guī)律

上述的計算結果利用GeoGebra軟件可以形象直觀地展示出來，具體操作如下。

2.2.1 構建光路框架及動點

打開GeoGebra軟件，在工具欄上選擇“直線”，創(chuàng)設主光軸。選擇“交點”創(chuàng)建原點O點，在最下方輸入框，輸入一側焦點、兩倍焦距及透鏡高度坐標，分別命名為F、F2、H。選擇“中心對稱”，創(chuàng)建另一側焦點位置。選擇“橢圓”，創(chuàng)建凸透鏡。選擇“對象上的點”，在主光軸上創(chuàng)建B點。選擇“復選框”，標題為“啟動/暫停”，作用于B點，構建布爾值a。選擇“移動”，單擊B點，更改代數區(qū)速度為“0.2a”，遞增重復，動點創(chuàng)設完畢。選擇“垂線”，建立經過點B且垂直主光軸的直線，再選擇“對象上的點”在直線上創(chuàng)建B′點，選擇“向量”，先后連接B、B′點，代表物體的箭頭便已經做好。

2.2.2 繪制成像

運用工具欄上的“射線”、“垂線”及“對象上的點”三個工具，根據“三條特殊光線法”進行作圖。選擇“向量”，繪制代表“像”的箭頭。選擇“距離/長度”，分別測量并重命名“物距＝OB”“像距＝OG”“物高＝BB′”“實像高＝GG′”。最后隱藏多余直線交點，設置光路對應箭頭，成品圖如圖2所示。繪制虛像時，注意更改相關向量樣式為虛線。繪制完畢后，點擊“啟動/暫?！睆瓦x框，可以看到動點運動。在動點的帶動下，代表物體的箭頭沿光軸勻速向凸透鏡運動，像隨之運動，可以清楚地看到像移動速度由慢變快，形象直觀。

2.2.3 構建數據跟蹤圖像

前面繪制的圖像為實驗光路圖，為了更深入地分析實驗數據，還需要建立數據跟蹤圖像，即將隨著動點運動變化的實驗數值轉化為數學圖像。這里需要建立物像距離變化圖像和物距像距關系兩個圖像，具體操作如下。

建立坐標系，點擊視圖，選擇繪圖區(qū)2，點擊任意位置，在下方輸入區(qū)域依次輸入兩個坐標原點、x軸端點、y軸端點的坐標（0，0）、（40，0）、（0，50）（坐標系1），（60，0）、（100，0）、（60，50）（坐標系2）。選擇“向量”，先后垂直連接對應兩點，構建出兩個直角坐標軸。

構建物像之間距離隨物距變化的圖像，在下方輸入區(qū)域輸入（－x（B），y（B））創(chuàng)建K點，K取值為隨B點運動變化的物距。輸入（x（K），BG）創(chuàng)建L點，BG為物像之間的距離，選擇“距離/長度”，測量線段LK的長度。選擇“文本”，在x軸邊緣構建文本“物距u”，在y軸邊緣構建文本“物像之間距離u＋v”，單擊L點開啟跟蹤。物體B在逐漸靠近凸透鏡的過程中，L點也隨之移動，繪制出物像之間的距離u＋v與物距u的關系圖。發(fā)現(xiàn)當u＝2f時，物像之間的距離u＋v最小，等于4f。物像距離變化圖如圖3所示。

構建物體移動與像移動的關系圖像，這里以物距為x軸，像距v為y軸進行繪制。由于是在坐標系2中跟蹤描繪物與像的運動關系，所以以物距OB建立坐標時要根據坐標系2的原點位置向右平移60個單位。在下方輸入區(qū)域輸入（OB＋60，0）創(chuàng)建U點，輸入（x（U），OG）創(chuàng)建Z點。選擇“文本”在x軸邊緣構建文本“物距u”，在y軸邊緣構建文本“像距v”。單擊Z點開啟跟蹤。物體B在逐漸靠近凸透鏡的過程中，Z點也隨之移動，跟蹤繪制出像距v與物距u之間的關系圖。結合繪圖區(qū)物體運動位置，發(fā)現(xiàn)u＞2f時，物距變化速度大于像距變化速度，符合V物＞V像；f＜u＜2f時，物距變化速度小于像距變化速度，符合V物＞V像，與理論推導一致。物像相距變化關系具體跟蹤繪制效果如圖4所示。此外，在完成的課件中也可以直觀看到在成實像的條件下，當物體勻速向透鏡移動時，像移動的速度由小變大。

將上述理論推導和軟件演示合理地運用到實際中學物理教學中，可以有效促進學生對凸透鏡成像規(guī)律的深入理解，發(fā)掘實驗中的細節(jié)，在提升學生觀察能力的同時，體驗數形結合在物理學習中的重要作用。

3 小結GeoGebra軟件與凸透鏡成像實驗結合，揭示凸透鏡成像規(guī)律中不易觀察的細節(jié)，在直觀地呈現(xiàn)物理實驗原理的同時，也促進了學生對物理實驗數據的深入分析，為物理知識的深入理解提供了有利條件。如何在物理教學中科學地合理運用信息技術，尤其是運用計算軟件，發(fā)揮實驗數值的最大作用，發(fā)掘實驗現(xiàn)象中的細節(jié)，解決物理教學中的重點難點，提高物理教學效果，是今后物理教學值得研究的一個方向。

參考文獻

［1］喬永海. GeoGebra軟件和高中物理的深度融合［M］.哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學出版社，2022：1-2.

［2］賈平，李紅，章晶. 凸透鏡中動態(tài)圓成像問題的討論［J］.物理教學，2022，44（9）：52-53，14.實驗研究2024年第3期

*基金項目：本文系江蘇第二師范學院首批教學改革實驗課程（蘇師教［2014］32號）江蘇第二師范學院2021年教學改革研究課題“以物理文化為載體激發(fā)物理鄉(xiāng)村定向師范生學習內驅力的長效機制研究”（課題編號：JSSNUJXGG2021YB13）的成果。