收稿日期：2024-03-09。

作者簡介：張皓冬（1999—），男，碩士生；胡紅利（通信作者），男，教授，博士生導(dǎo)師。

基金項目：國家自然科學(xué)基金資助項目（52177009）；陜西省科技攻關(guān)計劃資助項目（2016GY-001）。

網(wǎng)絡(luò)出版時間：2024-04-16""" 網(wǎng)絡(luò)出版地址：https：∥link.cnki.net/urlid/61.1069.T.20240415.1458.012

摘要：針對電容層析成像（ECT）逆問題的欠定性，提出了一種基于曲波變換的圖像稀疏重構(gòu)算法。首先，采用曲波變換基作為稀疏基，從多尺度對模擬介質(zhì)分布圖像進行稀疏表示，提高了ECT灰度值向量的稀疏度；其次，應(yīng)用迭代軟閾值算法對曲波系數(shù)進行稀疏重構(gòu)，同時使用奇異值分解算法計算最優(yōu)靈敏度廣義逆矩陣；最后，搭建ECT測量平臺，通過靜態(tài)實驗重構(gòu)5種典型實際流型，驗證所提算法的有效性。實驗結(jié)果表明：所提算法可有效抑制偽影，重構(gòu)圖像邊界清晰，同時在圖像相關(guān)系數(shù)、相對圖像誤差上均優(yōu)于傳統(tǒng)重構(gòu)算法，比Landweber迭代算法相關(guān)系數(shù)提高約37.9%，相對誤差減小約17.6%；基于稀疏重構(gòu)的后處理圖像可用于截面含水率的測量，含水率平均誤差低于10%，最低為4.32%。該方法有效提高了ECT重構(gòu)圖像質(zhì)量，能夠滿足天然氣精準開采的工業(yè)需求。

關(guān)鍵詞：電容層析成像；曲波變換；兩相流；圖像稀疏重構(gòu)算法

中圖分類號：TP391.41" 文獻標志碼：A

DOI：10.7652/xjtuxb202407013" 文章編號：0253-987X（2024）07-0139-09

Two-Phase Flow Water Fraction Measurement Using Curvelet Transform

and Electrical Capacitance Tomography

ZHANG Haodong1， LU Chengcheng1， HU Hongli1， YANG Haichao1， Dong Haijian2

（1. State Key Laboratory of Electrical Insulation and Power Equipment， Xi’an Jiaotong University， Xi’an 710049， China;

2. Xi’an Xidian Power Capacitor Co.， Ltd.， Xi’an 710082， China）

Abstract：To address the ill-posed nature of the inverse problem in electrical capacitance tomography （ECT）， this study introduces a sparse reconstruction algorithm based on the curvelet transform. Firstly， the curvelet transform is applied as the sparse basis to decompose binary images of ideal medium distribution across multiple scales and angles. This approach improves the sparsity of ECT grayscale value vectors. Subsequently， the iterative thresholding shrinkage algorithm is employed for the sparse reconstruction of curvelet coefficients， and the optimal sensitivity pseudo-inverse matrix is calculated using the singular value decomposition algorithm. Finally， an ECT measurement platform is established， and five typical real medium phantoms are reconstructed through the static experiment to confirm the effectiveness of the proposed algorithm. Experimental results demonstrate that the algorithm proposed in this paper effectively suppresses artifacts and provides clearly boundaries in reconstructed images. Meanwhile， it outperforms traditional reconstruction algorithms in terms of image correlation coefficient and image relative error. Specifically， compared to the Landweber iteration algorithm， the proposed algorithm shows an increase of approximately 37.9% in image correlation coefficient and a reduction of approximately 17.6% in relative error. Post-processed images can be utilized for water fraction measurement， with an average relative error below 10%， potentially as low as 4.32%. The algorithm introduced in this paper effectively enhances the quality of reconstructed images in ECT， meeting the industrial requirements for precise natural gas extraction.

Keywords：electrical capacitance tomography; curvelet transform; two-phase flow; sparse reconstruction algorithm

電容層析成像（ECT）技術(shù)使用電容傳感器，對被測敏感場內(nèi)的介質(zhì)分布進行成像，實現(xiàn)了管道內(nèi)流體的無損可視化監(jiān)測。ECT在我國石油、天然氣輸送中得到了廣泛應(yīng)用，其圖像重構(gòu)質(zhì)量直接影響工業(yè)生產(chǎn)效率［1-3］。然而，采用該技術(shù)仍然存在一系列問題，其中ECT的欠定性是制約重構(gòu)質(zhì)量的關(guān)鍵因素［4］，主要表現(xiàn)在待重構(gòu)像素數(shù)遠大于傳感器獨立測量值的數(shù)目，導(dǎo)致數(shù)值解不唯一，難以準確測量兩相流參數(shù)［5］。因此，緩解ECT的欠定性對于改善圖像質(zhì)量、提高生產(chǎn)效率具有重要的意義［6-8］。

為解決ECT欠定性的問題，傳統(tǒng)的物理層方法集中在提高傳感器的獨立測量數(shù)［9-10］。然而，簡單地增加傳感器電極數(shù)會顯著降低ECT測量系統(tǒng)的信噪比［11］。面向保持原有獨立電極數(shù)的需求，基于旋轉(zhuǎn)電極思想的解決方法包括組合電極［12］和機械旋轉(zhuǎn)電極［13］策略。其中，組合電極通過控制基礎(chǔ)電極的電氣連接從而改變組合電極的起始位置，使傳感器實現(xiàn)電氣旋轉(zhuǎn)；機械旋轉(zhuǎn)電極則采用伺服驅(qū)動裝置使傳感器產(chǎn)生物理旋轉(zhuǎn)。這些方法不可避免地增加了硬件系統(tǒng)的復(fù)雜度，對控制電路和傳感器加工工藝提出了更高的要求，從而降低了可實踐性。

為了克服上述缺點，有學(xué)者從算法角度入手，研究基于壓縮感知的ECT圖像稀疏重構(gòu)［14-16］，該理論旨在通過稀疏采樣的樣本準確重構(gòu)原始信號。Wu等［17］使用離散余弦變換基，通過正交匹配追蹤算法對8電極ECT系統(tǒng)進行圖像重構(gòu)。在稀疏基的選擇方面，劉昭麟對比了4種典型稀疏基的稀疏度，最終選擇離散余弦變換基進行重構(gòu)［18］。Ye等［19］提出了一種新穎的稀疏表達方法，該方法以基本幾何形狀作為稀疏基，將真實介質(zhì)分布圖像近似表示為基本形狀的線性組合，并對線性系數(shù)進行重構(gòu)。綜上所述，合適的稀疏表示是ECT稀疏重構(gòu)的關(guān)鍵因素。然而，對于流型復(fù)雜、重構(gòu)像素數(shù)較大的情況，傳統(tǒng)稀疏基在ECT圖像上的稀疏度并不理想［18］。因此，若能提出新的稀疏基來實現(xiàn)更好的稀疏表示效果，對ECT圖像稀疏重構(gòu)具有重要意義。曲波變換是一種多尺度、多方向性的函數(shù)分析方法，由于具有高效、精準地表達光滑奇異值曲線的目標函數(shù)的優(yōu)點，在信號處理和圖像重構(gòu)領(lǐng)域獲得了廣泛的應(yīng)用［20-22］，為本文的工作提供了實現(xiàn)方案。

本文提出了一種基于離散曲波變換和迭代軟閾值算法的ECT圖像稀疏重構(gòu)算法（DCT-IST）。首先，引入曲波變換基作為稀疏基，從不同尺度提取圖像特征，提高了ECT圖像的稀疏性；其次，采用迭代軟閾值算法求解基于曲波算子的稀疏重構(gòu)問題，針對算法中出現(xiàn)的靈敏度廣義逆矩陣，對比了不同算法的逼近效果，提高了算法精度；最后，以實際流型為研究對象，通過靜態(tài)實驗和對比分析驗證了所提算法的有效性。

1" 基于曲波變換的圖像重構(gòu)原理

1.1" 壓縮感知原理

壓縮感知是一種廣泛應(yīng)用的信號處理技術(shù)，用于重構(gòu)稀疏或可壓縮的信號。它利用信號稀疏的特性，以低于奈奎斯特采樣頻率的方式，從較少的測量值中還原出原始信號，該方法可以描述為

y=Φx（1）

式中：xN×1為原始信號；ΦM×N為觀測矩陣；yM×1為觀測向量。若y的維度遠小于x（即MN），此時式（1）為欠定方程，通常有無窮多組解。

若原信號xN×1在某一正交基矩陣ΨN×N上的投影sN×1是稀疏的，即s中只存在有限個非0值，s稱為x在Ψ上的稀疏系數(shù)。此時，式（1）可改寫為

y=Φx=ΦΨsAs（2）

式中：AM×N為傳感矩陣。

通過求解稀疏系數(shù)矩陣s，可以通過下式得到原信號x，從而完成信號恢復(fù)

x=Ψs（3）

若信號具有稀疏性，可以通過l1范數(shù)最小化問題近乎完美地求解出稀疏信號s

min‖s‖1

s.t. ‖As－y‖2≤ε

（4）

對于ECT系統(tǒng)，式（1）中變量對應(yīng)關(guān)系為

y=z

Φ=S

x=g（5）

式中：z為電容值向量；S為靈敏度矩陣；g為理想灰度值向量。

1.2" 曲波變換

將曲波變換應(yīng)用于ECT圖像稀疏重構(gòu)。Candes和Donoho于1999年提出了第一代曲波變換，它在信號的所有可能的尺度上進行分解，是一種多尺度基波變換。第一代曲波變換可以清晰表達圖像邊緣，但存在參數(shù)多、計算量大、數(shù)據(jù)冗余等缺點。Candes等提出了第二代曲波變換，使得實現(xiàn)過程更加簡單、快速［23］。本文采用第二代曲波變換。

函數(shù)f的連續(xù)曲波變換可以通過與曲波基函數(shù)的內(nèi)積計算得出，曲波變換可表示為

c（j，l，k）=〈f，φj，l，k〉（6）

式中：φj，l，k表示曲波基函數(shù)，j、l、k分別表示曲波基函數(shù)的尺度、方向和位置參量。

曲波基函數(shù)采用頻域內(nèi)的窗函數(shù)Uj表示，Uj是由角度窗函數(shù)V（t）和徑向窗函數(shù)W（r）限制的楔形區(qū)域

∑∞l=-∞V2（t－l）=1，" t∈－12，12（7）

∑∞j=-∞W2（2jr）=1，" r∈34，32（8）

頻域上的窗函數(shù)為

Uj（r，θ）=2－3j/4W（2－jr）V2j/2θ2π

（9）

式中：j/2表示j/2的整數(shù)部分。令j（ω）=Uj（ω），對j（ω）作等間隔旋轉(zhuǎn)和位移即可得到2－j尺度上的所有曲波。等距旋轉(zhuǎn)角度θl與位移參數(shù)k為

θl=2π2－j/2l（10）

k=（k1，k2）， k∈Z2（11）

在尺度2－j、方向θl、平移參數(shù)（k1，k2）處的曲波變換為

φj，l，k（x）=φj（Rθl（x－x（j，l）k））

x（j，l）k=R－1θl（2－jk1， 2－j/2k2）（12）

式中：Rθl由θl旋轉(zhuǎn)計算得到，計算式如下

Rθl=cosθsinθ－sinθcosθ

（13）

連續(xù)曲波變換可進一步寫為

c（j，l，k）=∫R2f（x）φj，l，k（x）dx（14）

式中：（·）表示（·）的共軛復(fù)數(shù)。其離散形式為

c（j，l，k）=∑0≤t1，t2lt;nft1，t2φDj，l，kt1，t2

（15）

式中：φDj，l，k表示數(shù)字曲波波形。離散曲波變換的實現(xiàn)方法主要包括USFFT算法和Wrapping算法，其中Wrapping算法具有計算量小、精度高的優(yōu)點，本文采用Wrapping算法。

1.3" 迭代閾值算法

為了從曲波系數(shù)中重構(gòu)出原來的信號，壓縮感知需要求解l1范數(shù)正則化問題。迭代閾值算法是一種廣泛使用的信號重構(gòu)算法，本文選用迭代軟閾值算法進行稀疏重構(gòu)，與硬閾值方法相比，該方法被證明具有更好的稀疏性［24］。應(yīng)用于ECT問題時，其迭代格式為

ui+1=Tλui+AT（z－Aui）（16）

式中：ui為迭代i次的曲波系數(shù)；Tλ表示閾值為λ的軟閾值算子，表達式為

Tλ（x）=sgnxmax（0，x－λ）（17）

迭代格式的關(guān)鍵在于如何定義傳感矩陣的逆矩陣AT，由ECT系統(tǒng)變量對應(yīng)關(guān)系可知，其表達式為

AT=CS+（18）

式中：C表示曲波算子；S+為靈敏度矩陣的廣義逆形式，即逆矩陣AT表示對靈敏度廣義逆矩陣與某一向量的乘積作曲波變換。

綜上所述，圖1總結(jié)了基于曲波變換和迭代閾值算法的ECT圖像稀疏重構(gòu)流程。首先，對ECT圖像進行曲波變換，得到各尺度上的曲波系數(shù)；根據(jù)實際情況和要求，設(shè)計迭代軟閾值算法進行曲波系數(shù)處理；最后，對處理后的曲波系數(shù)經(jīng)過曲波反變換得到重構(gòu)圖像，完成ECT圖像稀疏重構(gòu)。

2" 結(jié)果與討論

2.1" ECT二值圖曲波分解結(jié)果

ECT傳感器的結(jié)構(gòu)主要包括貼片電極、絕緣管道以及屏蔽罩，電極均勻分布在被測管道的周圍。圖2為本文采用的12電極ECT傳感器示意圖。在Comsol有限元軟件中建立傳感器數(shù)值模型進行仿真分析，得到4種典型介質(zhì)分布的二值化圖形如圖3所示，二值圖尺寸大小為63像素×63像素。

對ECT二值圖進行曲波分解，曲波變換將圖像分解為不同尺度層，分別表示圖像不同頻率的信息，圖像的曲波系數(shù)由各層系數(shù)矩陣構(gòu)成。ECT二值圖的曲波系數(shù)構(gòu)成見表1，根據(jù)曲波變換理論，將尺度參數(shù)設(shè)為3，角度參數(shù)設(shè)為16。

以中心流為例，圖4展示了圖像分解結(jié)果。尺度1由21×21的低頻系數(shù)矩陣構(gòu)成，圖4（a）為尺度1曲波系數(shù)通過曲波逆變換得到的重構(gòu)圖像，包含原圖像的輪廓信息；尺度2由中頻系數(shù)組成，圖4（b）為尺度2曲波系數(shù)的重構(gòu)圖像，包含了不同角度w下的細節(jié)信息；尺度3由大小為63×63的高頻系數(shù)組成，圖4（c）包含了圖像的邊緣信息。

為了驗證模擬介質(zhì)分布在曲波基上的稀疏性，對曲波系數(shù)矩陣的元素作閾值處理，根據(jù)工程經(jīng)驗，將矩陣中小于該矩陣最大元素0.2倍的元素置0，統(tǒng)計全部非0值作為稀疏度。表2給出了模擬介質(zhì)分布在不同稀疏基上的稀疏度，包括本文采用的曲波變換基和離散余弦變換基及其改進形式［25］。如表2所示，針對各種介質(zhì)分布，本文提出的方法具有最小的稀疏度，具體而言，曲波變換基稀疏度平均值為75，對于層流，曲波基稀疏度最小為46。這是由于曲波變換在捕捉圖像曲線和邊緣上具有優(yōu)異的性能，即信號在曲波域的表示更緊湊。由此可見，本文提出的方法能夠有效地對灰度向量進行稀疏表示，從而緩解ECT逆問題的欠定性。

2.2" 靈敏度廣義逆矩陣逼近結(jié)果

如前所述，迭代軟閾值算法中需要計算靈敏度矩陣的廣義逆矩陣，為了選取逼近效果最好的靈敏度廣義逆矩陣，提高重構(gòu)質(zhì)量，對4種廣義逆矩陣的求解方法進行對比，包括局部二值模式（LBP）、Tikhonov正則化、Landweber方法和奇異值分解（SVD）方法。對比標準為廣義逆相對誤差ε，定義式如下

ε=‖STS－I‖F(xiàn)‖I‖F(xiàn)

（19）

式中：‖·‖F(xiàn)表示矩陣的Frobenius范數(shù)。ε越小，廣義逆矩陣逼近效果越好。

圖5展示了靈敏度矩陣S66×3064與通過4種不同方法計算得到的廣義逆矩陣Sg3064×66相乘后的矩陣元素可視化結(jié)果。乘積結(jié)果是否接近于單位矩陣I66，即對角線元素接近1而非對角線元素接近0，以此反映逼近效果優(yōu)劣。由圖5可知，LBP方法對角線上的元素缺失最多，近似效果最差；Landweber和Tikhonov正則化方法對角線元素分布大致相同，但均差于SVD方法對應(yīng)矩陣，說明SVD方法逼近效果最好。這是由于LBP和Landweber方法本質(zhì)上都是利用靈敏度矩陣的轉(zhuǎn)置去逼近逆矩陣，精度較低，而Tikhonov正則化又依賴于正則化參數(shù)的選取。同時，表3給出了4種算法的相對誤差的對比，從表3中可以看出，SVD方法的相對誤差最小，為0.3257。綜上所述，本文選取SVD方法得出的靈敏度廣義逆矩陣進行迭代計算。

2.3" 靜態(tài)實驗結(jié)果

ECT實驗系統(tǒng)如圖6所示，該系統(tǒng)由12電極ECT傳感器、測量及采集電路和上位機組成。測量電路采用本課題組研發(fā)的微小電容測量電路，可以滿足本次實驗測量要求。

圖7為實際介質(zhì)分布示意圖，可見分布1～3為棒狀流，分布4、5分別為環(huán)狀流及偏心流。實驗所使用的介質(zhì)為空氣和水，介電常數(shù)分別為1和81。對于棒狀流，背景介質(zhì)為空氣，介質(zhì)棒采用裝滿純凈水的亞克力管，亞克力管內(nèi)徑為10.5mm，外徑為12mm；對于環(huán)狀流和偏心流，在傳感器中放置空的亞克力管，在傳感器和管外壁之間注水模擬流型分布，空管外徑分別為36mm（分布4）和32mm（分布5）。

實際分布的電容測量值波形如圖8所示。對于12電極傳感器，采用單電極激勵時，共有66個獨立測量值，其中峰值點代表相鄰電極對的電容值，可見實測波形符合理論規(guī)律。同2.1節(jié)，對實測數(shù)據(jù)進行曲波分解，圖9以分布4為例，展示了曲波分解結(jié)果。為了對比實測數(shù)據(jù)與模擬分布分解結(jié)果，表4給出了實測數(shù)據(jù)在曲波基上的稀疏度?？梢?，曲波變換基在模擬分布和實測數(shù)據(jù)上均具有較小的稀疏度，證明了所用方法的合理性。

圖10為5種實際介質(zhì)分布采用不同算法的重構(gòu)圖像，包括Landweber迭代算法（LIA）、Tikhonov正則化算法及本文提出的基于離散曲波變換和迭代閾值收縮的稀疏重構(gòu)算法。重構(gòu)圖像對應(yīng)的兩個評價指標見表5，包括圖像相關(guān)系數(shù)（設(shè)為rimg）和相對圖像誤差（設(shè)為eimg），定義式如下

rimg=∑Mi=1（g′i-′）（gi-）

∑Mi=1（g′i-′）2∑Mi=1（gi-）2（20）

eimg=∑Mi=1（g′i－gi）2∑Mi=1g2i

（21）

式中：M為總像素數(shù)；gi和g′i分別表示真實介質(zhì)分布圖像和重構(gòu)圖像中第i個像素點的灰度值；、′分別表示真實介質(zhì)分布圖像和重構(gòu)圖像中第i個像素點的灰度值的平均值。

由圖10可以看出，對于棒狀流，Landweber迭代算法和Tikhonov正則化算法可以還原介質(zhì)棒的位置，但存在較多偽影，重構(gòu)尺寸遠大于實際介質(zhì)尺寸。本文提出的稀疏重構(gòu)算法對實測數(shù)據(jù)重構(gòu)效果最好，以環(huán)狀流為例，氣相和液相邊緣清晰，偽影較少，能夠重現(xiàn)出敏感場內(nèi)的介質(zhì)輪廓。作為對比的Landweber迭代算法雖然可以大致判斷出流型，但存在大量偽影，Tikhonov正則化算法重構(gòu)效果最差，分布模糊。從表5可以看出，本文所提算法擁有最小的相對誤差，在3種棒狀流介質(zhì)分布上相關(guān)系數(shù)最好。雖然LIA算法在環(huán)狀流和偏心流圖像的相關(guān)系數(shù)上優(yōu)于本文所提算法，但LIA算法重構(gòu)圖像存在大量偽影，后續(xù)圖像后處理中會產(chǎn)生較大誤差，而DCT-IST算法邊界更加清晰，預(yù)計產(chǎn)生更好的圖像分割結(jié)果。

為了進一步驗證所提算法的有效性，對圖10重構(gòu)圖像進行圖像分割，并計算截面含水率相對誤差，圖像后處理結(jié)果如圖11所示。表6計算了不同算法對應(yīng)的截面含水率相對誤差。對于二值化圖像，截面含水率描述為像素為1的點數(shù)與圖像總像素點數(shù)的比值，即

α=∑Mi=0FiM （22）

式中：Fi表示二值化圖像中第i個像素點的取值，其中液相取1，氣相取0。

如圖11所示，對于分布1～3，Landweber迭代算法和Tikhonov正則化算法對應(yīng)的后處理圖像無法正確反映真實的介質(zhì)分布，同時從表6可以看出，對于不同介質(zhì)分布，兩種算法的含水率相對誤差均大于本文所提的DCT-IST算法。這是由于LIA和Tikhonov正則化算法的重構(gòu)圖像存在大量偽影，氣液相邊緣不清晰，符合圖10結(jié)果。綜上所述，本文所提算法具有更好的圖像分割結(jié)果，可以用于截面含水率的測量，其相對誤差優(yōu)于傳統(tǒng)重構(gòu)算法。

3" 結(jié)" 論

本文提出了一種基于曲波變換的ECT稀疏重構(gòu)方法，利用壓縮感知的思想對敏感場內(nèi)的氣液兩相流進行還原，主要研究結(jié)論如下。

（1）在稀疏重構(gòu)部分，將ECT圖像投影到曲波基上，并采用迭代軟閾值算法進行信號重構(gòu)，針對迭代格式中出現(xiàn)的靈敏度矩陣廣義逆形式，對比了4種算法對應(yīng)廣義逆矩陣相對誤差。結(jié)果表明，采用曲波變換可以大幅提高ECT灰度向量的稀疏度，緩解了ECT逆問題的欠定性。

（2）在靜態(tài)實驗部分，采集了5種經(jīng)典流型的電容數(shù)據(jù)并利用本文所提算法和經(jīng)典重構(gòu)算法進行處理，并對重構(gòu)結(jié)果進行評價。實驗結(jié)果表明，DCT-IST算法重構(gòu)圖像邊緣清晰，偽影較少，并且相較于LIA和Tikhonov正則化算法具有更優(yōu)的圖像相關(guān)系數(shù)和相對誤差。后處理圖像可用于截面含水率的測量，相對誤差最小為4.32%，由此證明了本文所提算法的優(yōu)越性。

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（編輯" 武紅江）