摘要 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程不是局限于某一知識點(diǎn)的封閉、點(diǎn)狀、線性的學(xué)習(xí)過程，而是一個縱向重在立序、橫向突出貫通、運(yùn)用走向?qū)嵺`的聯(lián)結(jié)過程。數(shù)學(xué)教學(xué)可通過聯(lián)結(jié)數(shù)學(xué)史料，追溯本源；聯(lián)結(jié)已有認(rèn)知，深化理解；聯(lián)結(jié)多元表征，推論內(nèi)涵；聯(lián)結(jié)認(rèn)知斷點(diǎn)，構(gòu)建體系等實(shí)踐路徑，對“數(shù)概念”實(shí)施聯(lián)結(jié)性、生長性建構(gòu)。

關(guān)? 鍵? 詞 “數(shù)概念”；數(shù)學(xué)史；認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)；多元表征；知識斷點(diǎn)；聯(lián)結(jié)性建構(gòu)

引用格式 于勇.小學(xué)“數(shù)概念”教學(xué)的聯(lián)結(jié)性建構(gòu)路徑[J].教學(xué)與管理，2024（20）：33-37.

“數(shù)概念” 的認(rèn)識擔(dān)負(fù)著數(shù)學(xué)啟蒙、生長認(rèn)知、扎實(shí)根基等重任，可為兒童正確理解和把握現(xiàn)實(shí)世界、形成和擴(kuò)展個人智力結(jié)構(gòu)、提升運(yùn)算及代數(shù)思維水平提供堅(jiān)實(shí)可靠的基礎(chǔ)。鑒于此可見，“數(shù)概念”作為小學(xué)數(shù)學(xué)各領(lǐng)域知識的“基石”和學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要組成部分，著實(shí)重要。然而，小學(xué)“數(shù)”認(rèn)識的相關(guān)學(xué)習(xí)內(nèi)容的分布比較零散，加之現(xiàn)有教材呈現(xiàn)的多是高度凝結(jié)的專家結(jié)論，使得學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中難以體悟數(shù)系擴(kuò)充的邏輯，也難以厘清概念的“前世”、本源及演變過程。毛斯萊曾經(jīng)指出，聯(lián)結(jié)包括建立新信息與已有認(rèn)知之間的聯(lián)結(jié)、不同數(shù)學(xué)概念及其表征之間的聯(lián)結(jié)、數(shù)學(xué)概念與現(xiàn)實(shí)生活相關(guān)現(xiàn)象之間的聯(lián)結(jié)等基本樣態(tài)[1]?；诖?，筆者嘗試把聯(lián)結(jié)性建構(gòu)作為教學(xué)實(shí)踐的核心路徑，將數(shù)概念教學(xué)置于一個含有不同的認(rèn)知成分的視野中，促進(jìn)學(xué)生對數(shù)概念的理解、運(yùn)用與遷移。

一、聯(lián)結(jié)數(shù)學(xué)史料，追溯數(shù)概念本源

一個數(shù)學(xué)概念，作為人類千百年思維抽象的結(jié)晶，僅僅根據(jù)它最終形式化、結(jié)構(gòu)化的表述，普通人很難深入把握其確切的本質(zhì)意義，只有將之與其產(chǎn)生時復(fù)雜、反復(fù)、抽象的歷史過程予以關(guān)聯(lián)、融合，才更容易被后來的學(xué)習(xí)者調(diào)動起全部的經(jīng)驗(yàn)積累，支撐他們建構(gòu)概念的全部含義[2]。克萊因曾經(jīng)指出：“數(shù)學(xué)史是教學(xué)的指南。”HPM視角下的數(shù)學(xué)教學(xué)需要還原復(fù)現(xiàn)被教材剝離的“人文元素”，引領(lǐng)學(xué)生將新知置于宏大的歷史背景中予以考量，站在歷史的角度看待數(shù)學(xué)知識、思想與方法的發(fā)生、發(fā)展全程，將知識的歷史序、邏輯序及兒童的認(rèn)知序高度融合，由此實(shí)現(xiàn)對知識本質(zhì)意義與核心問題的深層次理解[3]。作為跟人類生產(chǎn)實(shí)踐、生活與認(rèn)知需要密切相關(guān)的數(shù)概念，尤其需要高度關(guān)聯(lián)與之相關(guān)的時代背景、歷史根源，在追溯本源、聚焦本質(zhì)的建構(gòu)過程中實(shí)現(xiàn)對數(shù)學(xué)知識的結(jié)構(gòu)化理解。

如蘇教版《數(shù)學(xué)》二年級下冊“認(rèn)識萬以內(nèi)的數(shù)”的拓展提升課教學(xué)。在學(xué)生基于直觀模型初步認(rèn)識、理解數(shù)位及十進(jìn)位值制記數(shù)法的基礎(chǔ)上，融入我國古人的算籌記數(shù)法，在探究過程中，再度推進(jìn)對十進(jìn)位值制基本內(nèi)涵與數(shù)學(xué)價值的理解。首先，教師引導(dǎo)學(xué)生了解我國古代的算籌記數(shù)方法，探究發(fā)現(xiàn)其中蘊(yùn)含的基本規(guī)律。教學(xué)時，教師利用視頻、結(jié)合算籌圖片（如圖1），介紹我國古人是怎樣利用算籌記數(shù)的，同時以數(shù)字12的算籌擺法為例引導(dǎo)學(xué)生思考算籌記數(shù)存在橫式、縱式兩種形式的內(nèi)在原因，并以此為基礎(chǔ)，讀懂教師給定的算籌圖片所表示的數(shù)字及擺法，為從算籌記數(shù)法的了解轉(zhuǎn)向現(xiàn)代記數(shù)法的學(xué)習(xí)預(yù)埋伏筆。

接下來，給予學(xué)生充分的時間與空間，讓他們以小棒代替算籌用算籌記數(shù)法擺出678、4444等數(shù)字（如圖2），在作品展示、交流擺法的過程中進(jìn)一步深化對算籌記數(shù)法的認(rèn)識，同時將之與現(xiàn)代的記數(shù)法關(guān)聯(lián)對比，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)兩者都采用了“十進(jìn)位值制”，都是在利用不同數(shù)位表示個、十、百、千等，區(qū)別在于表示各數(shù)位計(jì)數(shù)單位個數(shù)的形式不一樣，前者采用的是算籌，后者采用的是阿拉伯?dāng)?shù)字，較前者更簡潔、更方便。 在上述探究學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生追溯現(xiàn)在所學(xué)知識的前世和本源，在深化概念認(rèn)識、豐富認(rèn)知結(jié)構(gòu)的同時，體會到數(shù)學(xué)是求真至簡與數(shù)學(xué)家接力研究的結(jié)晶，感受到數(shù)學(xué)是不斷前進(jìn)、不斷發(fā)展的。

用于與新知聯(lián)結(jié)的數(shù)學(xué)史不一定貫穿課堂始終，亦可結(jié)合實(shí)際教學(xué)需求，將數(shù)學(xué)史料融接于某一教學(xué)環(huán)節(jié)，以便學(xué)生更好地厘清概念的來龍去脈與本質(zhì)所在，使他們在“知其所以然”認(rèn)知層級上獲得更為全面、深刻的認(rèn)識與理解。如蘇教版《數(shù)學(xué)》三年級下冊“小數(shù)的初步認(rèn)識”。教學(xué)時，教師首先出示用不同面值的人民幣表示的某種商品單價的圖片，讓學(xué)生用小數(shù)表示商品的單價，接著以問題“這種商品的價錢不是整數(shù)元，怎么辦呢”適時介入，告訴學(xué)生其實(shí)前人也遇到過類似的問題，那他們又是如何解決的，順勢引出不同國家、不同時期對非整數(shù)元的表達(dá)方式（如圖3）。學(xué)生逐一解讀各自的表達(dá)方法，初步感受這些方法雖有所不同，但都是用相應(yīng)的符號將整數(shù)元部分與非整數(shù)元部分分隔開來[4]。然后，帶領(lǐng)學(xué)生以14世紀(jì)中國小朋友的身份穿越到1427年的阿拉伯等國家，看能否真正讀懂其表達(dá)方式所蘊(yùn)含的意義，讓學(xué)生體會到統(tǒng)一分界號的必要性與必然性。最后，融入小數(shù)點(diǎn)產(chǎn)生的史料，由此了解到小數(shù)點(diǎn)是由德國數(shù)學(xué)家克拉維斯在其著作《星盤》一書中率先提出來的?；诖?，引領(lǐng)學(xué)生深刻感悟到一個不起眼的小數(shù)點(diǎn)，卻經(jīng)歷了從無到有、從繁到簡的漫長、曲折的過程，進(jìn)而將學(xué)生探究從簡單了解轉(zhuǎn)向深入理解。

教師帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)概念演變、誕生的歷史過程，是重建學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)在秩序的過程，不僅可以利用清晰有序的知識脈絡(luò)及概念產(chǎn)生的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)提供核心概念的意義與作用，還可以豐富課堂文化意蘊(yùn)及學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，進(jìn)一步提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)及求真求簡的人文底蘊(yùn)。

二、聯(lián)結(jié)已有認(rèn)知，深化數(shù)概念理解

數(shù)學(xué)知識不是孤立、割裂存在的，而是具有突出的關(guān)聯(lián)性、整體性特點(diǎn)，學(xué)生對數(shù)學(xué)新知識的理解與個人已有知識經(jīng)驗(yàn)是密切關(guān)聯(lián)的，新知的獲得往往是對已知進(jìn)行擴(kuò)充、改造與再建的過程。學(xué)生是帶著已有經(jīng)驗(yàn)進(jìn)入課堂的，這是學(xué)生數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的認(rèn)知基礎(chǔ)、理解前提與思維背景。在數(shù)概念教學(xué)中，教師要站在兒童立場，對已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)進(jìn)行挖掘、整理與加工，充分挖掘新舊知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，充分發(fā)揮他們已有知識與經(jīng)驗(yàn)的遷移價值，引導(dǎo)學(xué)生從抽象地認(rèn)識到形象地理解，從記憶性存儲到意義性建構(gòu)，從而幫助學(xué)生深化概念理解，在把握數(shù)學(xué)本質(zhì)與認(rèn)知生長的過程中，實(shí)現(xiàn)整體建構(gòu)與自身認(rèn)知結(jié)構(gòu)的重組[5]。

又如“小數(shù)的初步認(rèn)識”的教學(xué)。小數(shù)既有整數(shù)的形式，又兼具分?jǐn)?shù)的內(nèi)涵，如何讓小數(shù)的認(rèn)識與整數(shù)、分?jǐn)?shù)等已有知識實(shí)現(xiàn)有效關(guān)聯(lián)，在經(jīng)驗(yàn)生長過程中形成完整的結(jié)構(gòu)性認(rèn)知，同時為五年級“小數(shù)的意義與性質(zhì)”的教學(xué)預(yù)留認(rèn)知結(jié)構(gòu)與思維結(jié)構(gòu)的接口，成為“小數(shù)的初步認(rèn)識”教學(xué)的基本指向。為此，筆者“溯源而上”，尋找生長點(diǎn)，探尋知識源頭與發(fā)展脈絡(luò)，同時“順流而下”，厘清知識的發(fā)展走向，解決學(xué)習(xí)“要到哪兒去”的問題，嘗試把對小數(shù)的認(rèn)識與十進(jìn)分?jǐn)?shù)、整數(shù)進(jìn)制等已有認(rèn)知整體關(guān)聯(lián)，由此促進(jìn)學(xué)生系統(tǒng)理解一位小數(shù)的意義，為整體把握小數(shù)概念的本質(zhì)奠定基礎(chǔ)，引導(dǎo)學(xué)生實(shí)現(xiàn)自身認(rèn)知結(jié)構(gòu)的重組與再構(gòu)。

1.在前后銜接中構(gòu)建整數(shù)的數(shù)位順序表

教師引領(lǐng)學(xué)生回憶整數(shù)的認(rèn)數(shù)過程，引導(dǎo)學(xué)生以從右往左與從左往右兩個不同維度觀察，思考相鄰計(jì)數(shù)單位間的關(guān)系，深度理解十進(jìn)制計(jì)數(shù)原則，再聚焦“從左往右看，你能創(chuàng)造出比‘一更小的計(jì)數(shù)單位嗎？”這一問題，由此激活學(xué)生的創(chuàng)造欲望與認(rèn)知生長點(diǎn)。

2.在與十進(jìn)分?jǐn)?shù)關(guān)聯(lián)中構(gòu)建零點(diǎn)幾及其模型

教師放手讓學(xué)生借助正方形模型自主探究，在與十進(jìn)分?jǐn)?shù)關(guān)聯(lián)的過程中初步建構(gòu)0.1，知道0.1=；以此為基礎(chǔ)，引導(dǎo)學(xué)生以長度單位、人民幣單位模型再次構(gòu)建0.1，以“圖形不同，物體不同，為什么都可以用0.1表示”引發(fā)學(xué)生深度思考，只要把“1”平均分成10份，其中1份就是，也就是0.1；接著引導(dǎo)學(xué)生從剛才的學(xué)習(xí)資源中選擇一種，自主構(gòu)建出0.3、0.6等小數(shù)，同時思考這些小數(shù)與0.1的關(guān)系，基于數(shù)學(xué)推理、認(rèn)知?dú)w納獲得“零點(diǎn)幾就是十分之幾”的基本結(jié)論，并引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建出一般模型：=0.□。

3.在與整數(shù)計(jì)數(shù)器關(guān)聯(lián)中生成十分位

教師引導(dǎo)學(xué)生思考：這么多一位小數(shù)中哪個最具代表性，由此明確0.1是一位小數(shù)的計(jì)數(shù)單位，它可以幫助我們數(shù)出其他的一位小數(shù)；接著要求學(xué)生利用依次增加的方法數(shù)出0.9，隨后繼續(xù)思考，如果再增加一個0.1是多少，進(jìn)而得知10個0.1就是1；基于此，放手讓學(xué)生在計(jì)數(shù)器上表示出0.1，引領(lǐng)學(xué)生在思辨、體悟中得知0.1這個新計(jì)數(shù)單位比1小，不能在原計(jì)數(shù)器上直接表示出來，需要在個位右邊增加一個新的數(shù)位，教師順勢在計(jì)數(shù)器圖示中增加十分位。

4.在與整數(shù)進(jìn)制關(guān)聯(lián)中理解小數(shù)的十進(jìn)、十分特征

教師引導(dǎo)學(xué)生在十分位上撥出數(shù)珠，撥出1顆表示0.1，2顆數(shù)珠表示0.2，直至撥滿10顆數(shù)珠，由此體會十分位滿10要向個位進(jìn)1，厘清10個0.1就是1個一，1個一可以分成10個0.1，再結(jié)合其他數(shù)位進(jìn)一步思考滿十進(jìn)一，幫助學(xué)生理解小數(shù)與整數(shù)一樣都是十進(jìn)制數(shù)，都是滿10進(jìn)1。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出，在數(shù)學(xué)教學(xué)中要重視對教學(xué)內(nèi)容的整體分析，幫助學(xué)生建立能體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)、對未來有支撐意義的結(jié)構(gòu)化數(shù)學(xué)知識體系[6]。上述關(guān)聯(lián)設(shè)計(jì)深刻而立體、全面而豐富，使得學(xué)生在數(shù)學(xué)認(rèn)知中跳躍而出，發(fā)展他們的整體性、結(jié)構(gòu)化數(shù)學(xué)思維，形成從理解到遷移的結(jié)構(gòu)化策略，實(shí)現(xiàn)小數(shù)概念自我認(rèn)知的突圍，同時為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)中的意義建構(gòu)留下伏線。

三、聯(lián)結(jié)多元表征，推論數(shù)概念內(nèi)涵

萊什等人提出了數(shù)學(xué)概念的五種外在表征系統(tǒng)：圖像、操作模式、現(xiàn)實(shí)生活情境、口語符號和文字符號。多元表征實(shí)際上就是這五種表征之間的轉(zhuǎn)換、聯(lián)結(jié)與轉(zhuǎn)譯，特別有助于數(shù)概念的深度理解與整體建構(gòu)。心理學(xué)相關(guān)研究指明，人腦對形成性、同化型、符號化、約定式等不同類型概念本質(zhì)屬性的思維方式是有差異的。小學(xué)階段的整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)、負(fù)數(shù)、百分?jǐn)?shù)等都屬于符號化概念，這類概念是對一類具有數(shù)學(xué)基本特征的操作活動進(jìn)行多元表征及高度符號化抽象的結(jié)果。因此，在數(shù)概念教學(xué)實(shí)踐過程中，需要引導(dǎo)學(xué)生深度挖掘概念蘊(yùn)含的核心元素與關(guān)鍵要義，經(jīng)歷“多元表征符號—提煉表征共性—推論概念內(nèi)涵”的過程，在體現(xiàn)知識結(jié)構(gòu)化的同時實(shí)現(xiàn)思維的結(jié)構(gòu)化[7]。

如蘇教版《數(shù)學(xué)》三年級“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識（一）”與“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識（二）”整合課課例，特別注重對數(shù)學(xué)操作活動進(jìn)行多元表征與本質(zhì)屬性的提煉，在符號與活動的互譯中理解與建構(gòu)數(shù)概念。

1.多元表征操作活動，抽象典型符號

兒童所處學(xué)段特征、具體運(yùn)算階段的認(rèn)知規(guī)律及思維特點(diǎn)，決定了他們對符號化概念一定要經(jīng)歷從特殊到一般、從具體到抽象的認(rèn)識學(xué)習(xí)過程。教學(xué)時，教師首先創(chuàng)設(shè)“人間四月，踏向詩和遠(yuǎn)方”的春游教學(xué)情境，同時提供4根香蕉、2瓶礦泉水、1個月餅的實(shí)物圖等相關(guān)學(xué)習(xí)材料，以啟思性問題“兩人平均分享這些食物，應(yīng)該怎樣做”驅(qū)動學(xué)生開展分一分活動，激活學(xué)生頭腦中的“半個餅”這一概念原型，并在此過程中認(rèn)識典型符號的外部特征、讀法、寫法等。然后，再以關(guān)鍵性問題“分?jǐn)?shù)究竟是怎么產(chǎn)生的”引領(lǐng)學(xué)生以圓形紙片代替月餅，利用折一折、畫一畫、說一說等多元表征活動感受、經(jīng)歷的產(chǎn)生過程，同時揭示“平均分”“總份數(shù)”“表示份數(shù)”等認(rèn)識分?jǐn)?shù)的三個關(guān)鍵要素。最后，以關(guān)聯(lián)性問題“老師剛剛提到的三個關(guān)鍵要素在分?jǐn)?shù)中是如何體現(xiàn)的”引發(fā)學(xué)生將表征活動與抽象出來的數(shù)學(xué)符號勾連，由此得知“總份數(shù)”用分母表示，“表示份數(shù)”用分子表示，分?jǐn)?shù)線表示“平均分”。認(rèn)識的過程，實(shí)質(zhì)上是以“怎樣均分”“如何產(chǎn)生”“有何關(guān)聯(lián)”三個問題構(gòu)成的問題鏈引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷把多元表征操作活動抽象成數(shù)學(xué)符號的過程，這是符號化概念理解學(xué)習(xí)的關(guān)鍵一步。

2.聯(lián)結(jié)解讀多元表征，提煉表征共性

教學(xué)時，教師先引導(dǎo)學(xué)生借助在平均分月餅找到的過程中積累起來的操作經(jīng)驗(yàn)，讓其自主找到4根香蕉、2瓶礦泉水的，并結(jié)合操作過程予以口語化釋意，再以核心問題“2根香蕉、1瓶礦泉水、半個月餅表示的數(shù)量不同，為什么都可以用表示”引導(dǎo)學(xué)生初步感悟分?jǐn)?shù)跟用來平均分的物體的數(shù)量、大小等沒有關(guān)系，而跟平均分的總份數(shù)與表示的份數(shù)密切相關(guān)。隨后，教師以學(xué)生剛剛積累的經(jīng)驗(yàn)為基點(diǎn)，給予學(xué)生充分的時間與空間，讓他們利用剪一剪、折一折、畫一畫、涂一涂等表征手段認(rèn)識等分?jǐn)?shù)，引導(dǎo)學(xué)生把抽象的符號化概念還原成具體的操作活動，在數(shù)學(xué)符號與操作活動之間建立關(guān)聯(lián)，同時選擇部分代表作品由學(xué)生對自己的表征方式、建構(gòu)過程及分?jǐn)?shù)表示的意義進(jìn)行口語化解讀與外在呈現(xiàn)，由此實(shí)現(xiàn)概念符號與操作活動、抽象意義與具象認(rèn)知之間的自由轉(zhuǎn)化。接著，教師引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合對學(xué)生作品的解釋，對它們予以關(guān)聯(lián)性思考，以研究這些作品間的異同為驅(qū)動，同時以核心問題“作品陰影部分的形狀、大小都不同，為什么都可以用表示”啟發(fā)學(xué)生對其共性的提煉與把握，由此明確：只要把單位“1”平均分成4份，表示這樣的1份就可以抽象為。最后，教師對抽象數(shù)學(xué)符號的操作表征活動，以及把數(shù)學(xué)符號還原成操作活動的認(rèn)知過程進(jìn)行高度凝煉，進(jìn)一步梳理、感受這兩類操作活動的共性：無論是生活實(shí)物，還是幾何圖形；無論是多個，還是一個；無論是大小、形狀不同，還是顏色各異，分?jǐn)?shù)符號只跟平均分成的總份數(shù)與表示的份數(shù)有關(guān)，而跟其他因素?zé)o關(guān)。

3.由“點(diǎn)”拓展到“面”，實(shí)現(xiàn)概念類化

在符號化概念認(rèn)知建構(gòu)的過程中，一次操作活動往往只能對應(yīng)一個具體的符號概念，認(rèn)識與的過程就是如此。如果僅僅依靠這兩個具體的符號化概念去上升到理解“分?jǐn)?shù)”這一類概念的本質(zhì)屬性是不現(xiàn)實(shí)的，教師還需要在學(xué)生認(rèn)識不斷遞進(jìn)的過程中拓寬概念外延，讓學(xué)生真正認(rèn)識感悟到與一類符號化概念關(guān)聯(lián)的所有操作活動都是有共性的，進(jìn)而在提煉共性、認(rèn)知躍升的過程中實(shí)現(xiàn)概念類化。教學(xué)時，先以與為類推點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生通過畫一畫、折一折、寫一寫、說一說等表征方式認(rèn)識更多的分?jǐn)?shù)，經(jīng)歷對多個具體符號化概念的表征過程，展示對不同分?jǐn)?shù)意義的理解，為深入體會和歸納分?jǐn)?shù)的本質(zhì)屬性提供更多資源。查閱、分析相關(guān)文獻(xiàn)會發(fā)現(xiàn)：分?jǐn)?shù)具有“量”“份數(shù)”“商”“測量”“運(yùn)算”“倍比”等多層意義[8]。教學(xué)需要突破“份數(shù)”意義的窠臼，借助豐富多元的素材，引領(lǐng)學(xué)生找一找其中的分?jǐn)?shù)，說一說各自蘊(yùn)含的意義及產(chǎn)生，由此拓展豐富分?jǐn)?shù)的意義，實(shí)現(xiàn)對分?jǐn)?shù)內(nèi)涵認(rèn)知、理解的進(jìn)階。

四、聯(lián)結(jié)認(rèn)知斷點(diǎn)，構(gòu)建數(shù)概念體系

布魯納認(rèn)為，掌握事物的結(jié)構(gòu)，就是以允許許多別的東西與它有意義地聯(lián)系起來的方式去理解它，學(xué)習(xí)知識結(jié)構(gòu)就是學(xué)習(xí)事物是怎樣相互關(guān)聯(lián)的[9]?；跀?shù)系及數(shù)系擴(kuò)展的角度思考，發(fā)現(xiàn)小數(shù)、分?jǐn)?shù)、整數(shù)等數(shù)概念同樣有著緊密的關(guān)聯(lián)，需要通過計(jì)數(shù)單位間的“十進(jìn)”“十分”將三者間的認(rèn)知斷點(diǎn)有機(jī)地聯(lián)系起來，進(jìn)而構(gòu)建完整的數(shù)概念體系，實(shí)現(xiàn)數(shù)概念意義的結(jié)構(gòu)化、集約型整體建構(gòu)。

如蘇教版《數(shù)學(xué)》五年級上冊“小數(shù)的意義”教學(xué)，教師通常借助直觀圖示，溝通小數(shù)與十進(jìn)分?jǐn)?shù)的內(nèi)在關(guān)系，將小數(shù)意義的理解與建構(gòu)建立在十進(jìn)分?jǐn)?shù)的基礎(chǔ)之上。教學(xué)到此結(jié)束，這無疑會給學(xué)生留下諸多認(rèn)知斷點(diǎn)，使他們對小數(shù)意義及價值的認(rèn)識與體會只能停留在膚淺與表面。教師需要從知識聯(lián)結(jié)、思維聯(lián)結(jié)、方法聯(lián)結(jié)的角度出發(fā)，將教學(xué)再向前推進(jìn)一步，逐步強(qiáng)化、完善對小數(shù)意義的理解，進(jìn)而建構(gòu)起可遷移運(yùn)用且極具生長力的概念體系。

1.溝通小數(shù)與整數(shù)、分?jǐn)?shù)的內(nèi)在聯(lián)系

教學(xué)時，教師引導(dǎo)學(xué)生梳理回顧整個學(xué)習(xí)過程，得知小數(shù)是以“1”為基礎(chǔ)，是對“1”的不斷細(xì)分，每次都平均分成10份，不斷產(chǎn)生新的計(jì)數(shù)單位，從左往右計(jì)數(shù)單位越來越小，沒有最小的計(jì)數(shù)單位，但相鄰計(jì)數(shù)單位間的進(jìn)率都是10。順勢而導(dǎo)，教師讓學(xué)生從“1”開始，依次乘10，向左可以建立“十”“百”“千”等越來越大的計(jì)數(shù)單位，而且可以無限延申，但相鄰計(jì)數(shù)單位間的進(jìn)率同樣都是10，數(shù)的計(jì)數(shù)單位結(jié)構(gòu)體現(xiàn)出簡潔的對稱美。最后，教師引導(dǎo)學(xué)生借助圖示工具，對小學(xué)階段常見的計(jì)數(shù)單位進(jìn)行系統(tǒng)梳理，使整數(shù)部分和小數(shù)部分共同構(gòu)建為一個完整的數(shù)位順序表，形成一個統(tǒng)一的記數(shù)系統(tǒng)，使得學(xué)生對十進(jìn)制記數(shù)法形成更清晰、更完整的認(rèn)識。

2.追問、思考小數(shù)獨(dú)特的數(shù)學(xué)價值

通過前述教學(xué)實(shí)踐，學(xué)生已經(jīng)明確小數(shù)是十進(jìn)分?jǐn)?shù)的另一種形式，兩者表示的意義是一樣的?？梢韵胍?，學(xué)生勢必會產(chǎn)生這樣的疑問：既然小數(shù)與十進(jìn)分?jǐn)?shù)表示的意義相同，計(jì)量比“1”更小的數(shù)只要用分?jǐn)?shù)表示就可以了，為什么還要發(fā)明小數(shù)呢？這一認(rèn)知斷點(diǎn)無疑指向了小數(shù)所獨(dú)有的數(shù)學(xué)價值。教學(xué)時，教師讓學(xué)生通過畫一畫的方式在計(jì)數(shù)器上表示出，再讓學(xué)生在計(jì)數(shù)器上表示出，同時說一說思考過程，最后將兩次在計(jì)數(shù)器上表示分?jǐn)?shù)的過程進(jìn)行對比，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)后者只有轉(zhuǎn)化成十分之幾或零點(diǎn)幾的形式，才可以在計(jì)數(shù)器上表示出來。在對比中學(xué)生逐步意識到分?jǐn)?shù)要想像小數(shù)、整數(shù)那樣在計(jì)數(shù)器上找到自己的位置，往往需要借助小數(shù)來轉(zhuǎn)換，小數(shù)是分?jǐn)?shù)與十進(jìn)制之間的橋梁。只有如此，分?jǐn)?shù)與整數(shù)才能在形式上獲得真正意義上的統(tǒng)一，小數(shù)區(qū)別于分?jǐn)?shù)的獨(dú)特價值于此得以凸顯[10]。

數(shù)學(xué)是一門有結(jié)構(gòu)的學(xué)科，數(shù)學(xué)教學(xué)需要發(fā)揮結(jié)構(gòu)的力量[11]，以兒童自主建構(gòu)為中心的結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)尤其需要整體關(guān)聯(lián)活動及數(shù)學(xué)聯(lián)結(jié)力的支撐。綜上所述，小學(xué)“數(shù)概念”教學(xué)需要基于核心知識、思維結(jié)構(gòu)和思想方法等學(xué)科內(nèi)部要素間的關(guān)聯(lián)及數(shù)學(xué)與其他學(xué)科、人文資源、現(xiàn)實(shí)生活間的外部關(guān)聯(lián)，讓學(xué)生經(jīng)歷有結(jié)構(gòu)、能貫通的學(xué)習(xí)活動，凸顯意義整體建構(gòu)與對知識本質(zhì)的把握，使數(shù)系結(jié)構(gòu)隨之逐步調(diào)整、不斷擴(kuò)充。

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