摘要：針對利用測力儀或測力系統(tǒng)測得銑削力的數(shù)據(jù)，然后通過數(shù)學(xué)方法獲得銑削力經(jīng)驗公式的試驗方法，依據(jù)硬質(zhì)合金銑刀的銑削力經(jīng)驗公式，根據(jù)電主軸恒轉(zhuǎn)矩的調(diào)速特性，建立主軸電機電流和銑削力之間的對應(yīng)關(guān)系，間接測得金屬陶瓷銑刀的銑削力。采用回歸分析法得到銑削力經(jīng)驗公式，然后驗證了它的可靠性，克服了利用測力儀或測力系統(tǒng)求切削力經(jīng)驗公式存在的測力儀安裝不方便、價格昂貴、只能在特定環(huán)境下使用等缺點。

關(guān)鍵詞：主軸電流；電主軸；銑削力；經(jīng)驗公式

中圖分類號：TH113? ? 文獻標志碼：A? ? 文章編號：1671-0797（2024）12-0006-05

DOI：10.19514/j.cnki.cn32-1628/tm.2024.12.002

0? ? 引言

隨著高速電主軸技術(shù)和機床制造技術(shù)的發(fā)展，切削在機械制造業(yè)中的應(yīng)用越來越廣泛。切削力是金屬切削過程中一個重要的參數(shù)，也是精密加工領(lǐng)域研究的重點課題。切削力的大小會影響切削熱的產(chǎn)生、分布，刀具磨損和使用壽命，也影響被加工表面的加工精度和表面質(zhì)量；同時，切削力也是機床主軸選型和進給運動機構(gòu)設(shè)計的主要參考，切削力的計算與檢測可以幫助合理選擇切削用量和刀具，提高切削加工效率，降低生產(chǎn)成本[1]。

預(yù)測高速銑削鋁合金材料時的切削力沒有現(xiàn)成的經(jīng)驗公式，也缺少可以借鑒的切削理論，所以，用試驗研究銑削力的經(jīng)驗公式是比較有效的方法。刀具采用金屬陶瓷銑刀，利用測力儀測量切削力，在大量試驗的基礎(chǔ)上，用數(shù)學(xué)方法對所得數(shù)據(jù)進行處理，可以獲得計算切削力的公式。但在實際生產(chǎn)機床上安置測力儀是相當困難的：一是在測試機床和實際加工過程中安裝不方便；二是測試結(jié)果準確性不高，需要在特定的環(huán)境條件下測試，精度才能有保證，并且測力儀很昂貴，不適合普遍使用。間接測量切削力的方法是解決問題的一個途徑，近年來國內(nèi)外眾多學(xué)者對通過電機電流和功率等參數(shù)間接測量切削力做了大量研究[2]，相比測量切削力，測量電主軸的電流簡單方便，成本極低。本文依據(jù)資料或手冊里的銑削力經(jīng)驗公式，通過監(jiān)測電主軸的電流，利用電主軸恒轉(zhuǎn)矩的調(diào)速特性，建立電機主軸電流和切削力之間的對應(yīng)關(guān)系，就可以獲得未知材料或刀具比較準確、可靠的銑削力數(shù)值。

1? ? 電主軸調(diào)速特性

電主軸是采用主軸電機內(nèi)裝，將電機定子裝配在電主軸的殼體內(nèi)，轉(zhuǎn)子和芯軸做成一體的功能部件[3]。有兩種驅(qū)動和調(diào)速方式，即恒功率調(diào)速和恒轉(zhuǎn)矩調(diào)速[4]。

1.1? ? 恒功率調(diào)速

恒功率調(diào)速是指在一定轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)，轉(zhuǎn)速變化時，輸出功率保持恒定，電主軸的轉(zhuǎn)矩隨轉(zhuǎn)速的升高而下降。一般在啟動及低轉(zhuǎn)速時采用恒轉(zhuǎn)矩調(diào)速，而高轉(zhuǎn)速時采用恒功率調(diào)速，保證電主軸在低轉(zhuǎn)速時有較大的輸出轉(zhuǎn)矩，滿足低速大轉(zhuǎn)矩的切削要求，在高轉(zhuǎn)速時保持電主軸輸出功率恒定，可實現(xiàn)小切削量、高轉(zhuǎn)速的要求。

1.2? ? 恒轉(zhuǎn)矩調(diào)速

恒轉(zhuǎn)矩調(diào)速是指電主軸在一定轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)，轉(zhuǎn)速變化時，輸出轉(zhuǎn)矩不變。由電機理論可知，變頻時，當電勢頻率比E/f為常數(shù)時，可保持電機氣隙磁通Ф不變，實現(xiàn)恒轉(zhuǎn)矩調(diào)速。當忽略電機定子阻抗時，可由電壓頻率比代替電勢頻率比（U/f≈E/f），即只要保持U/f為常數(shù)，就可以近似獲得恒轉(zhuǎn)矩調(diào)速特性。

2? ? 試驗用電主軸

本文試驗用電主軸為恒轉(zhuǎn)矩電主軸，其在調(diào)速范圍內(nèi)轉(zhuǎn)矩恒定（圖1），輸出功率與轉(zhuǎn)速成正比（圖2）。其主要指標為：3相350 V，功率2.5 kW，最高轉(zhuǎn)速24 000 r/min，驅(qū)動頻率400 Hz，電壓與頻率成正比（圖3）。

電主軸的轉(zhuǎn)矩T、功率P和轉(zhuǎn)速n的關(guān)系可由式（1）表示。對于恒功率電主軸，轉(zhuǎn)矩和轉(zhuǎn)速成反比；對于恒轉(zhuǎn)矩電主軸，功率和轉(zhuǎn)速成正比。

T=975P×9.8/n? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（1）

電主軸的輸出功率一般用P表示，輸出功率隨著電源頻率和電壓的變化而變化（恒功率調(diào)速例外）。

P=UIηcos α? ? ? ? ? ? ? ? ? （2）

式中：P為有效輸出功率；U為電壓；I為電流；η為效率；α為相位角。

電壓U和電流I的大小可以測出；效率η為電主軸輸出功率與輸入功率的比值，效率越高，電主軸的有效輸出功率越大；相位角α決定有效功率和實際功率的相對大小。

3? ? 試驗方案

端銑刀銑削碳鋼的銑削力Fz經(jīng)驗公式模型為[5]：

Fz=7 753ap1.0·fz0.75·ae1.1·z·d0-1.3·n-0.2·kFz? ? ? ?（3）

式中：7 753為銑削力系數(shù)；ap為銑削深度；fz為每齒進給量；ae為銑削寬度；z為銑刀齒數(shù)；d0為銑刀直徑；n為主軸轉(zhuǎn)速；kFz為銑削力修正系數(shù)，kFz=kmFz·kγFz·kkFz，kmFz、kγFz、kkFz取值如表1所示。

進給速度vf與每齒進給量fz、銑刀齒數(shù)z、主軸轉(zhuǎn)速n的關(guān)系如下：

vf=fz·z·n? ? ? ? ? ? ? ? （4）

可設(shè)金屬陶瓷刀具的銑削力Fc經(jīng)驗公式模型為：

Fc=CFafazdn? ? ? ? ? （5）

式中：CF為與工件材料和刀具材料有關(guān)的系數(shù)；b1、b2、b3、b4、b5為各相關(guān)參數(shù)的指數(shù)。

由式（1）（2）可知，在電壓一定的情況下，電主軸所受銑削力與電流一一對應(yīng)，在一定電壓下，利用式（3）求出硬質(zhì)合金端銑刀銑削45鋼的銑削力，用相同直徑的金屬陶瓷刀具銑削鋁合金，改變銑削參數(shù)，使電流與硬質(zhì)合金端銑刀銑削45鋼時的電流相同，可以間接獲得金屬陶瓷端銑刀銑削鋁合金的銑削力。改變電主軸的電壓，利用上述方法求出多組金屬陶瓷端銑刀銑削鋁合金的銑削力，建立金屬陶瓷刀具銑削力模型如式（5）所示，通過多元線性回歸，求出金屬陶瓷刀具銑削鋁合金的銑削力經(jīng)驗公式。

4? ? 試驗條件

機床：改造的南通仿型銑機床。

電主軸：轉(zhuǎn)速24 000 r/min；功率2.5 kW；額定電壓350 V；額定電流6 A；頻率400 Hz；相數(shù)3相；極數(shù)2極，水冷卻，油脂潤滑，BT30刀柄，氣動松刀。

刀具：硬質(zhì)合金端銑刀（直徑？準=36、40 mm，齒數(shù)z=3、4）和金屬陶瓷端銑刀（直徑？準=36、40 mm，齒數(shù)z=3、4），前角γ0=100和主偏角κr=900。

冷卻方式：干切削（銑7009鋁）和冷卻液（銑45鋼）。

銑削方式：順銑。

加工材料：45鋼和7009鋁。

電流測量：WT1600數(shù)字式功率計，基本精度0.1%；電流輸入10 mA～5 A；電壓輸入1.5～1 000 V。

轉(zhuǎn)速測量：激光測速儀，精度0.01%。

5? ? 經(jīng)驗?zāi)Ｐ偷慕?/p>

對式（4）作線性化處理，即取對數(shù)：

lg Fc=lg CF+lg a+lg f+lg a+lg z+lg d+lg n （6）

lg Fc=lg CF+b1lg a+b2lg f+b3lg a+lg z+

b4lg d+b5lg n? （7）

令y=lg Fc-lg z，b0=lg CF，x1=lg a，x2=lg f，x3=lg a，x4=lg d，x5=lg n，得到線性回歸方程如下：

y=b0+b1x1+b2x2+b3x3+b4x4+b5x5? ? ? ? ? ? ?（8）

在式（8）中，b0、b1、b2、b3、b4、b5為待求值；y、x1、x2、x3、x4、x5則是取n個不同的值（本次n為10）。

對式（8）的n次試驗，各個點的偏差為di=yi-（b0+

b1x1i+b2x2i+b3x3i+b4x4i+b5x5i），求解各點偏差的平方和：

di2=Q（b0，b1，b2，b3，b4，b5）? ?（9）

Q（b0，b1，b2，b3，b4，b5）取最小值的必要條件為：=0，=0，=0，=0，=0，=0，整理得：

（yi-b0-b1x1i-b2x2i-b3x3i-b4x4i-b5x5i）=0，

（yi-b0-b1x1i-b2x2i-b3x3i-b4x4i-b5x5i）x1i=0，（yi-b0-b1x1i-b2x2i-b3x3i-b4x4i-b5x5i）x2i=0，（yi-b0-b1x1i-b2x2i-b3x3i-b4x4i-b5x5i）x3i=0，（yi-b0-b1x1i-b2x2i-b3x3i-b4x4i-b5x5i）x4i=0，（yi-b0-b1x1i-b2x2i-b3x3i-b4x4i-b5x5i）x5i=0? ?（10）

方程組（10）為正規(guī)方程組，進一步化簡得：

Nb0+b1x1i+b2x2i+b3x3i+b4x4i+? ? ? b5x5i=yi，

b0x1i+b1x1i2+b2x1ix2i+b3x1ix3i+? ? ? b4x1ix4i+b5x1ix5i=x1iyi，b0x2i+b1x1ix2i+b2x2i2+b3x2ix3i+? ? ? b4x2ix4i+b5x2ix5i=x2iyi，b0x3i+b1x1ix3i+b2x2ix3i+b3x3i2+? ? ? b4x3ix4i+b5x3ix5i=x3iyi，b0x4i+b1x1ix4i+b2x2ix4i+b3x3ix4i+? ? ? b4x4i2+b5x4ix5i=x4iyi，b0x5i+b1x1ix5i+b2x2ix5i+b3x3ix5i+? ? ? b4x4ix5i+b5x5i2=x5iyi? （11）

可知，上述正規(guī)方程組的系數(shù)矩陣為對稱矩陣，可用A來表示，則A=XTX。

A=? ?N? ? ? X1i? ? ? ?X2i? ? …? ?X5i X1? ?X1i2? ? X1iX2i? ?…? X1iX5iX2i? X2iX1i? ? X2i2? ? …? X2iX5iX3i? X3iX1i? ?X3iX2i? …? X3iX5iX4i? X4iX1i? X4iX2i? …? X4iX5iX5i? X5iX1i? X5iX2i? …? ?X5i2 （12）

用矩陣X和Y來表示常數(shù)項矩陣B：B=XTY。

B= YiX1iYiX2iYiX3iYiX4iYiX5iYi? ? ?（13）

X=1? ?x11? ?x21? ?x31? ?x41? ?x511? ?x12? ?x22? ?x32? ?x42? ?x521? ?x13? ?x23? ?x33? ?x43? ?x531? ?x14? ?x24? ?x34? ?x44? ?x541? ?x1n? ?x2n? ?x3n? ?x4n? ?x5n? ? ?（14）

Y=[y1? y2? y3? y4? …? yn]T，b=[b1? b2? b3? b4? b5]T為待求值。

矩陣B形式為：Ab=B或（XTX）b=XTY。

b=A-1B? ? ? ? ? ? ? ? （15）

如表2所示，試驗中硬質(zhì)合金銑刀選定的切削用量為銑刀直徑d0、主軸頻率f、銑削寬度ae、銑削深度ap、進給速度vf。主軸轉(zhuǎn)速n、平均相電流I為測量值，F(xiàn)z是以測量值為基礎(chǔ)通過試驗中硬質(zhì)合金端銑刀的切削用量和式（3）求得的硬質(zhì)合金端銑刀的主切削力。

表3是金屬陶瓷端銑刀根據(jù)表2中硬質(zhì)合金端銑刀銑削45鋼時的電流適時地改變切削用量，使金屬陶瓷端銑刀銑削7009鋁時的電流與硬質(zhì)合金端銑刀銑削45鋼時的電流在同種狀態(tài)下基本相同，即二者此時的主切削力是相同的。

根據(jù)表3中的試驗結(jié)果，利用數(shù)學(xué)軟件Matlab多元線性回歸分析，用最小二乘法對數(shù)值矩陣（15）進行計算，從而得到主切削力Fc切削力模型為：

Fc=3 867ap0.891 4fz0.691 0ae0.981 9zd0-1.577 2n-0.124 8? ? ?（16）

6? ? 試驗結(jié)果分析

利用最小二乘估算回歸系數(shù)并進行多元線性回歸分析，可以得到復(fù)相關(guān)系數(shù)R2，即回歸系數(shù)的顯著性檢驗的參數(shù)及統(tǒng)計量F和統(tǒng)計量F的概率P[6]。通過計算可得R2=99.56%，R值越大，說明線性關(guān)系越密切。自變量個數(shù)p為5，試驗次數(shù)n為10，取檢驗顯著水平為0.01，統(tǒng)計量值F為180.64，查F分布臨界表（α=0.01）可得F0.01（p，n-p-1）=15.52，則得到的回歸方程是顯著的。但并不是所有自變量對因變量的影響都是顯著的，自變量對因變量的影響不顯著說明二者之間關(guān)系非線性或二者無關(guān)[6]。為考察每個參數(shù)對銑削力的影響程度，對回歸系數(shù)進行了顯著性檢驗，假設(shè)H0i：bi=0（i=1，2，3，4，5），則統(tǒng)計量如下：

Fi=? ? ? ? ? ? ? （17）

式中：Cii是（X′X）-1中相應(yīng)的對角元素。

根據(jù)式（17）計算F統(tǒng)計量如下：

i=1時，F(xiàn)1=≈170.85；i=2時，F(xiàn)2=≈364.60；i=3時，F(xiàn)3=≈

155.50；i=4時，F(xiàn)4=≈26.95；i=5時，F(xiàn)5=≈0.66。

結(jié)果如表4所示，由F分布臨界表查得F0.01（1，4）=

21.20，顯著分析可得：

F2＞F1＞F3＞F4＞21.20＞F5? ? ? ? ? （18）

由上文的計算可知，在影響程度上b2＞b1＞b3＞b4＞b5，即回歸系數(shù)b1、b2、b3、b4影響顯著，b5影響不顯著。也就是說，在銑削過程中，每齒進給量、銑削寬度、銑削深度和銑刀直徑對銑削力的影響較大，每齒進給量的變化對切削力的影響最為顯著，而主軸轉(zhuǎn)速的變化對切削力的影響則不顯著。

7? ? 結(jié)論

本文通過銑削試驗，建立主軸電流和銑削力之間的關(guān)系，利用多元線性回歸建立銑削力經(jīng)驗公式，可以得出以下結(jié)論：

1）與傳統(tǒng)求力經(jīng)驗公式不同，本文沒有利用測力儀或測力系統(tǒng)進行試驗，而是利用已有的力經(jīng)驗公式適時地改變銑削參數(shù)求出金屬陶瓷端銑刀銑削7009鋁的切削力。

2）由回歸系數(shù)的顯著性檢驗可知，得到的回歸方程是顯著的，與實際情況擬合較好，可以認為擬合的經(jīng)驗公式是正確的，可以應(yīng)用于切削過程。

3）隨著每個切削參數(shù)的增加，銑削力都是變大的，其中每齒進給量的變化對銑削力的影響最為顯著，而主軸轉(zhuǎn)速的影響不顯著。

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收稿日期：2024-02-20

作者簡介：毛華偉（1979—），男，河南人，工程師，研究方向：高速精密電主軸設(shè)計與制造。