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摘? 要：教材是知識與方法最重要的載體，也是課標(biāo)最直接的呈現(xiàn)形式，教材中甄選的習(xí)題有很好的代表性和延展性.在教學(xué)中我們要重視對教材習(xí)題的探究與發(fā)掘，由“個”到“類”，引導(dǎo)學(xué)生不斷地變式探索，從一個蘑菇尋找一堆蘑菇，借助這個過程提升學(xué)生的解題能力，培養(yǎng)核心素養(yǎng)，發(fā)展解題的高階思維.

關(guān)鍵詞：教材；習(xí)題；蘑菇；高階思維

著名數(shù)學(xué)教育家喬治·波利亞在他的《怎樣解題》一書中指出：“好問題如同某種蘑菇，它們總是成堆地生長，找到一個以后，你應(yīng)當(dāng)環(huán)顧四周，很可能在附近就有好幾個.”在實際教學(xué)中，尋找一堆蘑菇之前，首先困擾我們的往往是如何找到第一個品質(zhì)優(yōu)良的蘑菇，很多時候我們會不自覺迷失在每年全國各地的模擬題當(dāng)中，卻忽略了蘑菇最初始的培養(yǎng)基——教材.

教材作為教學(xué)最規(guī)范和全面的一手資料，不僅是我們教授知識的載體，同樣也能指導(dǎo)我們更科學(xué)、高效地解題.隨著新一輪課程改革的穩(wěn)步推進，“多一點思考，少一點機械運算”已經(jīng)成為高考命題的一條基本理念.［1］稍加注意，不難發(fā)現(xiàn)近幾年的數(shù)學(xué)高考試題都有不少是源于教材本身，這些試題大多是教材中的例題和習(xí)題的變式與重組.“源于教材，高于教材”是高考試題的真實寫照.［2］教材中的題目大多都蘊涵著深刻的數(shù)學(xué)知識與豐富的數(shù)學(xué)文化背景，只有回歸教材，研究教材，才能將師生從“題海戰(zhàn)術(shù)”中解放出來.

1? 習(xí)題再現(xiàn)

^^（人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊，第116頁“拓廣探索”第14題）&&

已知橢圓x24＋y29＝1，一組平行直線的斜率是32.

（1）這組直線何時與橢圓有兩個公共點？

（2）當(dāng)它們與橢圓有兩個公共點時，證明這些直線被橢圓截得的線段的中點在同一條直線上.

第（1）問研究的是直線與曲線的交點問題，只需設(shè)出直線方程并聯(lián)立橢圓方程，消去一個未知量，根據(jù)一元二次方程的判別式進行判定即可求解.這里我們重點探究第（2）問.

思路一：要證明被橢圓截得的線段中點共線，首先要求出每條線段所對應(yīng)的弦中點坐標(biāo)，所以設(shè)出直線方程，利用韋達定理即可求出弦中點的坐標(biāo)，最后再利用消參法求出軌跡方程.具體求解過程如下：

解析：設(shè)這一組平行直線的方程為y＝32x＋t，直線與橢圓交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點，記AB中點為M（x0，y0）.將直線方程代入橢圓方程，整理，得18x2＋12tx＋4t2－36＝0，由韋達定理可知，x1＋x2＝－23t，則x0＝－13t，再由直線y＝32x＋t可得弦中點的縱坐標(biāo)y0＝12t.消去t可得y＝－32x，則這組平行直線被橢圓截得的線段的中點在直線y＝－32x上.

方法總結(jié)：此方法主要是利用消參法求動點的軌跡，進而求出直線的方程，屬于基本解法.

思路二：提到弦中點，我們還可以利用點差法尋求直線斜率之間的關(guān)系.這也是學(xué)生比較熟悉的與弦中點相關(guān)的二級結(jié)論.具體求解過程如下：

解析：設(shè)橢圓x24＋y29＝1與直線y＝32x＋t相交于點A（x1，y1），B（x2，y2），線段AB的中點為M（x0，y0），由題意可得x214＋y219＝1，

x224＋y229＝1.兩式相減可得（x1＋x2）（x1－x2）4＋（y1＋y2）（y1－y2）9＝0，即y1－y2x1－x2·y1＋y2x1＋x2＝－94，其中y1－y2x1－x2＝kAB.因為M（x0，y0）是線段AB的中點，所以x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，則y1＋y2x1＋x2＝y(tǒng)0x0，而y0x0＝kOM，所以kAB·kOM＝－94，即直線AB的斜率與直線OM的斜率的乘積為定值－94.從而求出OM的斜率為定值－32，即這組平行直線被橢圓截得的線段的中點在直線y＝－32x上.

方法總結(jié)：此方法主要是利用弦中點的結(jié)論（證明方法同上）：已知橢圓x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0），O為坐標(biāo)原點，過點M（x0，y0）且不平行于坐標(biāo)軸的直線l與橢圓相交于A，B兩點，且M為線段AB的中點，則有kAB·kOM＝－b2a2.該結(jié)論還可以進一步推廣：已知橢圓x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0），O為坐標(biāo)原點，過點O的直線l與橢圓相交于A，B兩點，P為橢圓上異于A，B的點，若直線PA，PB的斜率存在，則有kPA·kPB＝－b2a2.教材上有對應(yīng)的例題［3］，此處不再贅述.

2? 對比反思

通過以上兩種求解思路的對比我們發(fā)現(xiàn)，利用斜率乘積為定值的二級結(jié)論在解決圓錐曲線中與弦中點相關(guān)問題的時候，會更快速簡便.解決了這道課本習(xí)題之后，我們也可以得到如下推廣：橢圓的一組平行弦的中點與原點共線.

【一找蘑菇】由上面的推廣結(jié)論，我們知道弦中點與原點共線，除此之外，是否還能發(fā)現(xiàn)其他的性質(zhì)呢？帶著這樣的思考，我們將本道習(xí)題進行改編：

變式習(xí)題? 如圖1，已知橢圓E：x216＋y24＝1，橢圓上有四個動點A，B，C，D，CD∥AB，AD與BC相交于點P.若點P的坐標(biāo)為（8，6），求直線AB的斜率.

分析：本題雖然沒有提及弦中點，但是在題設(shè)條件中出現(xiàn)了平行弦，延續(xù)教材習(xí)題所帶來的方法引導(dǎo)，我們很快可以得到如下方法：

解析：如圖2，取AB中點M，連接PM并延長，交CD于點N.因為CD∥AB，所以AMDN＝PMPN＝BMCN.又AM＝BM，所以CN＝DN，即N為CD中點.設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），弦AB中點為M（x0，y0）.因為x2116＋y214＝1，x2216＋y224＝1，所以（x1＋x2）（x1－x2）16＋（y1＋y2）（y1－y2）4＝0，2x0（x1－x2）16＋2y0（y1－y2）4＝0，故kAB·kOM＝－14，同理可得kCD·kON＝－14.因為kAB＝kCD，所以kOM＝kON，從而得O，M，N三點共線，因此O，P，M，N四點共線.由kAB·kOP＝－14，kOP＝34，解得kAB＝－13，即AB的斜率為－13.

方法總結(jié)：通過變式推廣，我們發(fā)現(xiàn)若橢圓一組平行弦對應(yīng)端點的連線交于一點，則該點與平行弦中點及原點均共線.

【二找蘑菇】本題除了用共線來求解直線的斜率，還有沒有其他方法呢？考慮到平行線帶來的三角形相似，可以嘗試通過比例關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量定比分點進行求解，從而挖掘出以下的雙割線同構(gòu)法：

方法探究1：雙割線同構(gòu)

解析：如圖1，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），因為CD∥AB，可記PD＝λPA，PC＝λPB.由PD＝λPA，得x4－8＝λ（x1－8），

y4－6＝λ（y1－6），

所以x4＝λx1－8λ+8，

y4＝λy1－6λ+6.

又A，D均在橢圓上，所以

x2116＋y214＝1①，

（λx1－8λ+8）216＋（λy1－6λ+6）24＝1②，將①式代入②式，化簡，得λx1＋3λy1-14λ＋12＝0，同理可得λx2＋3λy2-14λ＋12＝0，即直線AB：λx＋3λy-14λ＋12＝0（λ≠0），所以直線AB的斜率為－13.

方法總結(jié)：通過將平行線等分線段比例進行量化，利用向量坐標(biāo)的運算得到x1，y1與比例系數(shù)λ之間的關(guān)系，同理又可以推出x2，y2與λ之間的關(guān)系，采用兩點同構(gòu)的方法直接寫出直線AB的方程，進而求出直線AB的斜率.同構(gòu)的推廣告訴我們，如果過橢圓外一點作橢圓的兩條割線，那么在每一條割線上均可以利用定比分點找到坐標(biāo)與比例系數(shù)之間的關(guān)系式，最后采用雙割線同構(gòu)的方法求出目標(biāo)直線的方程.這樣，習(xí)題的變式就得到進一步推廣和深化.

除了同構(gòu)法的拓展，在教學(xué)中，坐標(biāo)關(guān)系式化簡的方式也不唯一，教師可以引導(dǎo)學(xué)生自主探究，嘗試不同的化簡方法，就比如下面的定比點差法：

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），記AP＝λPD，得8＝x1＋λx41＋λ，

6＝y(tǒng)1＋λy41＋λ.（*）又A，D均在橢圓上，所以x2116＋y214＝1，

x2416＋y244＝1，變形可得x2116＋y214＝1，

λ2x2416＋λ2y244＝λ2，兩式作差，得（x1＋λx4）（x1－λx4）16＋（y1＋λy4）（y1－λy4）4＝1－λ2，將（*）代入可得8（1＋λ）（x1－λx4）＋24（1＋λ）（y1－λy4）＝1－λ2（**）.因為λ≠－1，所以8（x1－λx4）＋24（y1－λy4）＝1－λ.

通過（*）式變形可得λx4＝8（1＋λ）－x1，λy4＝8（1＋λ）－y1，代入（**）式化簡可得16x1＋48y1－255λ2－257＝0.同理可得16x2＋48y2－255λ2－257＝0，即直線AB的方程為16x＋48y－255λ2－257＝0，所以AB的斜率為－13.

【三找蘑菇】到此，尋找蘑菇的腳步是不是就可以停止了呢？通過觀察，我們發(fā)現(xiàn)，同構(gòu)的方法是建立在兩條割線比例關(guān)系相同的情況下研究的，如果僅有一條割線，或者割線上的比例關(guān)系不一樣，那同構(gòu)的方法還具有適用性嗎？

方法探究2：單割線同構(gòu)

習(xí)題再變式? 如圖3，已知橢圓C：x24＋y22＝1.過點P（4，1）的動直線l與橢圓C相交于不同的A，B兩點，在線段AB上取點Q，滿足|AP|·|QB|＝|AQ|·|PB|，證明：點Q總在某定直線上.

分析：本題僅有一條割線，這就導(dǎo)致兩個向量的比例關(guān)系均分布在同一條直線上，但是本質(zhì)上還是可以看作是兩組不同的比例關(guān)系式，結(jié)合上面的同構(gòu)方法，整理出以下解法：

解析：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x，y），P（4，1），設(shè)AP＝λAQ，則BP＝μBQ，由|AP|·|QB|＝|AQ|·|PB|，可知λ＋μ＝0.由AP＝λAQ可得（4－x1，1－y1）＝λ（x－x1，y－y1），所以x1＝λx－4λ－1，y1＝λy－1λ－1，代入橢圓方程化簡，得（x2+2y2－4）λ2－（8x＋4y－8）λ＋14＝0.同理可得（x2+2y2－4）μ2－（8x＋4y－8）μ＋14＝0.即λ，μ為關(guān)于t的方程（x2+2y2－4）t2－（8x＋4y－8）t＋14＝0的兩個實數(shù)根（其中x2+2y2－4≠0），λ＋μ＝8x＋4y－8x2+2y2－4＝0，即8x＋4y－8＝0，所以點Q總在定直線2x＋y－2＝0上.

3? 方法總結(jié)

單割線同構(gòu)的方法首先是設(shè)出比例系數(shù)，將同一條直線上的比例關(guān)系用向量刻畫，然后求出點的坐標(biāo)，代入橢圓方程之后建立等量關(guān)系.最后將比例系數(shù)看作未知數(shù)，同構(gòu)出比例系數(shù)所滿足的方程，再利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求出定直線的方程.本題的同構(gòu)與前面有一定的區(qū)別，通過對這兩種同

構(gòu)的對比，學(xué)生也能發(fā)現(xiàn)，同構(gòu)的本質(zhì)是要出現(xiàn)兩組相同結(jié)構(gòu)的關(guān)系式，跟割線的條數(shù)無關(guān)，與比例關(guān)系式的個數(shù)相關(guān).

通過對這道課本習(xí)題的探究和拓展，我們可以總結(jié)出圓錐曲線中有關(guān)弦中點和中心弦的二級結(jié)論，也可以引出定比分點的向量坐標(biāo)運算，從而進一步探索出同構(gòu)的方法.

其實，在實際教學(xué)中，尋找蘑菇的腳步還可以繼續(xù)走下去，比如最后的變式本質(zhì)上就是“調(diào)和點列”的內(nèi)容，教師可以借這個機會引導(dǎo)學(xué)生深入研究，拓展思路，通過自主學(xué)習(xí)獲得習(xí)題背后更多的知識與方法，真正意義上通過一個蘑菇找到成堆的蘑菇.

波利亞的蘑菇理論，要求教師在教學(xué)中首先要培養(yǎng)學(xué)生的“尋找”意識，不能只是就題做題；其次，在解決一個問題后，要善于去總結(jié)一個模式，并把它

儲存起來，以后可以隨時用它去解決類似的問題，進而提高解題能力.因此，重視教材的課后習(xí)題，引導(dǎo)學(xué)生對習(xí)題進行探究拓展，并在此過程中教會學(xué)生如何抽象和一般化，關(guān)注學(xué)生深度的思維經(jīng)歷，也是促進數(shù)學(xué)解題教學(xué)從低階思維向高階思維轉(zhuǎn)變的重要方式［4］.

參考文獻

［1］ 陳炳泉.從課本題目到高考試題的變式研究［J］.數(shù)學(xué)通報，2019，58（11）：38－41.

［2］ 袁濤，賀文.回歸數(shù)學(xué)教材，重視習(xí)題探究——從教材中的一道圓錐曲線練習(xí)題說起［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2022（30）：84－86.

［3］ 章建躍，李增滬.普通高中教科書：數(shù)學(xué)（選擇性必修第一冊）［M］.北京：人民教育出版社，2021.

［4］ 趙鋒.指向高階思維的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課教學(xué)例談［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2022（29）：32－35.