馬鴻澤 郭濤 沙潔

摘 要：為了深入了解漏斗顆粒在外部激勵(lì)下的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，本文基于離散元方法，探究了重力驅(qū)動(dòng)下漏斗出口傾角、振動(dòng)幅值、振動(dòng)方向、顆粒豎向初始速度以及是否加裝出口擋板對(duì)于顆粒流流量的影響。結(jié)果表明：出口傾角和振動(dòng)幅值的增大都有利于顆粒流量的增加；在不考慮初始速度和擋板情況下，當(dāng)振動(dòng)方向由水平逐漸轉(zhuǎn)向豎直這一過(guò)程中，顆粒流量隨之減小，并且在水平方向振動(dòng)時(shí)，顆粒流量達(dá)到最大值，而在加裝出口擋板和考慮初始速度兩種情況下，結(jié)果與之相反；在出口無(wú)擋板且振幅為零的條件下，賦予顆粒物質(zhì)豎直方向速度有益于流量的增加，隨著振幅的增大，流量穩(wěn)步提高，但增長(zhǎng)幅度均低于相同環(huán)境下無(wú)豎直方向速度的流量增長(zhǎng)幅度；出口的擋板在低振幅下不利于顆粒物質(zhì)的排出，但在提高振幅且振動(dòng)方向逐步轉(zhuǎn)向豎直方向后，顆粒流量大幅提高。

關(guān)鍵詞：顆粒流；振動(dòng)幅度；振動(dòng)方向；流量；離散元

中圖分類號(hào)：O311

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

顆粒物質(zhì)是由大量具有宏觀尺寸的粒子組成的相互作用的復(fù)雜集合體系。自然界中單個(gè)顆粒的尺寸一般在10-6～10 m之間，其顆粒的運(yùn)動(dòng)情況遵從牛頓定律。當(dāng)它們靜止時(shí)，顆粒物質(zhì)呈固態(tài)。當(dāng)收到外界能量的擾動(dòng)，產(chǎn)生流動(dòng)時(shí)，具有類似于流體的運(yùn)動(dòng)方式，通常稱為顆粒流，其廣泛存在于自然環(huán)境中的泥石流［1］、雪崩［2］、巖土體滑坡［3-4］、沙丘遷移［5］、交通流［6］、以及離散物料的加工、輸運(yùn)、存儲(chǔ)等工業(yè)生產(chǎn)中［7］。如，筒倉(cāng)中的糧食出料動(dòng)力學(xué)行為。美國(guó)《Science》［8］雜志將“顆粒流動(dòng)力學(xué)理論”列為當(dāng)今125個(gè)重大科學(xué)問(wèn)題之一，2014年出版的《中國(guó)學(xué)科發(fā)展戰(zhàn)略：流體動(dòng)力學(xué)》［9］也將“顆粒物質(zhì)與顆粒流”列為6個(gè)基礎(chǔ)與前沿學(xué)科之一。由此可見(jiàn)，探究并認(rèn)識(shí)顆粒物質(zhì)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律和本質(zhì)具有較大的實(shí)際工程應(yīng)用和科學(xué)意義。

顆粒流根據(jù)其流動(dòng)形態(tài)，可分為漏斗流、斜坡流、轉(zhuǎn)筒流和堆積流等，其中，漏斗流因其應(yīng)用靈活的特性和復(fù)雜的相應(yīng)機(jī)制一直被視為顆粒流問(wèn)題中重要的研究領(lǐng)域［10-12］。廣義上來(lái)講，任何一種從廣口導(dǎo)入，小口流出的裝置都可視為漏斗，在此裝置中的顆粒流便叫做漏斗流。1961年荷蘭物理學(xué)家BEVERLOO ［13］推出了著名的顆粒流流量公式——Beverloo公式，此后顆粒流流量就成為探究顆粒流運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的重要指標(biāo)之一。KOHRING等［14］模擬了2D狀態(tài)下方形顆粒在漏斗中的流出情況，研究發(fā)現(xiàn)不同流入速率下，出口流量表現(xiàn)為不穩(wěn)定狀態(tài)，最后中斷流出、堵塞出口；ASHOUR等［15］觀察了各種形狀顆粒在3D漏斗中的流出狀態(tài)，發(fā)現(xiàn)顆粒長(zhǎng)寬比的增加降低了流速且增加了出口堵塞概率；WANG等［16］的研究也證實(shí)橢球長(zhǎng)寬比的增加不利于出口流量的增大；KOIVISTO等［17］對(duì)比了表面粗糙和表面光滑這兩種顆粒的流出狀況，發(fā)現(xiàn)光滑顆粒流量隨著顆粒填充高度的減少而減少，但表面粗糙顆粒因?yàn)槟Σ亮Φ拇嬖谑沟闷涑隹谒俣葹橐粋€(gè)恒定的數(shù)值，漏斗屬性也是改變顆粒流流量情況的重要依據(jù)；JANDA等［18］的研究表明，在二維情況下，當(dāng)出口尺寸縮小到約為顆粒直徑的4倍時(shí)，流動(dòng)可能會(huì)停止，發(fā)生堵塞的幾率急劇增加；WAN等［19］考慮了出口形狀對(duì)顆粒流流量的影響，發(fā)現(xiàn)流量隨出口曲率變大而增加，由此修正了內(nèi)孔為圓弧面時(shí)的BEVERLOO公式；黃德財(cái)?shù)龋?0］研究了開(kāi)口角度對(duì)二維顆粒流流量的影響，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，無(wú)論是在固定入口流量還是固定顆粒數(shù)目的情況下，開(kāi)口角度的增大可以提高顆粒流出口流量和出口流速；YU等［21］采用了離散元法研究了顆粒壁面靜摩擦系數(shù)對(duì)顆粒流態(tài)和速度分布的影響，結(jié)果表明，靜摩擦系數(shù)對(duì)壁面區(qū)域的速度分布有明顯的影響，隨著靜摩擦系數(shù)的增大，流動(dòng)形態(tài)由質(zhì)量流轉(zhuǎn)變?yōu)槁┒妨?，壁面剪切層變大變寬，外部條件也會(huì)影響顆粒流流量的變化；DORBOLO等［22］使用離心機(jī)探究重力對(duì)筒倉(cāng)出料的影響，探究了失重和超重的環(huán)境中筒倉(cāng)的出口流量，結(jié)果表明，超重的環(huán)境有利于流量的提升，但對(duì)確定允許顆粒流出的最小出口尺寸影響不大。

顆粒流有三種情況：稀疏流、密集流和堵塞。稀疏流是指顆粒堆積密度較低，整體流速較高、顆粒之間幾乎沒(méi)有相互作用的顆粒流；密集流是指顆粒堆積密度較高、整體流速緩慢、顆粒之間多為相互碰撞、擠壓的顆粒流；隨著顆粒堆積密度繼續(xù)增大，顆粒之間的相互作用力不斷變大，在局部區(qū)域內(nèi)形成力拱，截停顆粒流，致使顆粒不再流動(dòng)，從而發(fā)生堵塞現(xiàn)象。力拱結(jié)構(gòu)并不穩(wěn)定，有時(shí)可以自行崩塌，使顆粒繼續(xù)流動(dòng)［23］，有時(shí)要通過(guò)外部激勵(lì)如碰撞、振動(dòng)等破壞力拱。HUNT［24-25］等通過(guò)實(shí)驗(yàn)裝置對(duì)料斗施加了水平方向和豎直方向的振動(dòng)，通過(guò)分析發(fā)現(xiàn)，兩種方向的振動(dòng)降低了力拱形成的概率、增加顆粒流流量、減少停滯地帶。

然而，在實(shí)際生產(chǎn)加工中，顆粒有時(shí)并非從靜止?fàn)顟B(tài)開(kāi)始出倉(cāng)，工廠所用的漏斗裝置不盡相同，為了提高出口流量施加的振動(dòng)幅值也參差不齊、振動(dòng)方向更是千差萬(wàn)別。目前少有文獻(xiàn)對(duì)以上情況進(jìn)行綜合研究。本文基于離散元方法，在2D重力驅(qū)動(dòng)的漏斗流模式下，探究了出口傾角、振動(dòng)幅值、振動(dòng)方向、顆粒豎直方向初始速度以及是否加裝出口擋板對(duì)于顆粒流流量的影響。

1 離散元理論

CUNDALL等［26］在1979年首次提出離散元法，其基本思想是將物體看做由多個(gè)非連續(xù)體分離而成剛性單元的集合，且每個(gè)剛性單元都服從牛頓第二定律，其與分子動(dòng)力學(xué)相似卻又不同，分子動(dòng)力學(xué)只需描述原子在給定相互作用力下的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，而離散元還要考慮單元固有性質(zhì)（密度、粒徑等）、物體性質(zhì)（粒徑分布、孔隙率等）和單元的運(yùn)動(dòng)和旋轉(zhuǎn)。單元的基本運(yùn)動(dòng)方程為

mx··（t）+cx·（t）+kx（t）=f（t）（1）

式中：m為單元質(zhì)量；x為位移；t為時(shí)間；c為黏性阻尼系數(shù)；k為剛度系數(shù)；f為單元所受外荷載。

離散元法最初被用于分析塊體巖石系統(tǒng)和巖土體邊坡在準(zhǔn)靜力、動(dòng)力條件下的力學(xué)行為問(wèn)題。目前，由于離散元理論的不斷發(fā)展和計(jì)算機(jī)技術(shù)的進(jìn)步，離散元法已廣泛的應(yīng)用到各個(gè)領(lǐng)域［27-29］，已成為解決顆粒物質(zhì)、顆粒流問(wèn)題的主要手段。其計(jì)算流程如圖1所示。

本文視顆粒為剛體，賦予顆粒間線彈性模型以考慮其相互的擠壓、碰撞和摩擦這三種作用［30］，如圖2所示。公式（2）為顆粒間法、切向力的計(jì)算公式。

式中：Fn、Fs為法向、切向力；Kn、Ks為法向、切向剛度；kn1、kn2分別為兩個(gè)接觸小球各自的法向剛度；ks1、ks2分別為兩個(gè)接觸小球各自的切向剛度；Xn，Xs為法向、切向相對(duì)位移；Xb為斷裂位移。當(dāng)顆粒之間的變形超過(guò)斷裂位移時(shí)，顆粒分離，不考慮兩者相互作用。

顆粒之間的切向相互作用效應(yīng)，采用莫爾-庫(kù)倫準(zhǔn)則，即

Fs max=Fs0－μpFn（3）

式中：Fs max為最大剪切力；μp為顆粒間摩擦系數(shù)；Fs0為沒(méi)有施加法向力時(shí)，顆粒間所能承受的最大抗剪力。當(dāng)切向力超過(guò)最大抗剪力，切向彈簧斷裂，此時(shí)顆粒間只存在滑動(dòng)摩擦力－μpFn。

2 數(shù)值模型

本文漏斗流模型尺寸如圖3所示，由漏斗壁和顆粒群共同組成。單顆粒質(zhì)量為m=0.84 g，顆粒直徑d=10 mm，出口尺寸與顆粒直徑之比D0/d=10>4，以防止出口尺寸過(guò)小而堵塞顆粒流動(dòng)。顆粒與容器壁摩擦系數(shù)μpw和顆粒間摩擦系數(shù)均為μ=0.4，顆粒間的法向剛度Kn=7.12×106 KN/m，切向剛度Ks=4×106 KN/m。

顆粒從入口上方由重力（g=9.8 m/s2）作用做自由落體運(yùn)動(dòng)，堆積到出口封閉的漏斗裝置中，一段時(shí)間后，顆粒堆積形狀如圖3 陰影部分所示，以此模擬自然堆積的初始狀態(tài)，此時(shí)顆粒速度為零，顆粒之間相互作用力微弱，再打開(kāi)漏斗出口，使顆粒物質(zhì)下落。考慮初始速度V0=0 m/s（靜止）和V0=－1 m/s兩種初始狀態(tài)下的顆粒流動(dòng)，豎向初始速度V0的控制方法是將自然堆積狀態(tài)下的顆粒群統(tǒng)一抬升一定高度，自由釋放獲取速度。

另外，計(jì)算中還考慮了左右兩側(cè)漏斗壁相同方向、幅值下的振動(dòng)和出口傾角θ對(duì)出口顆粒流量的影響。α為振動(dòng)方向與X軸的夾角，0°≤α≤90°α=0°時(shí)為水平振動(dòng)，α=90°時(shí)為豎直振動(dòng)；漏斗壁振動(dòng)形式以正弦函數(shù)Asin（10T0π/180）控制（A為振動(dòng)幅值、T0為時(shí)間步）。

3 結(jié)果分析

3.1 無(wú)振動(dòng)情況下顆粒流速分析

在不考慮振動(dòng)的情況下，探究改變漏斗出口傾角θ、加裝出口擋板L和顆粒初始速度V0等因素對(duì)顆粒流速的影響，其結(jié)果如圖4、圖5所示。

由圖4可知，無(wú)論是否增加出口擋板，還是賦予顆粒豎直方向初速度，出口傾角的增加都有利于顆粒的流出。出口越陡峭，顆粒流出的質(zhì)量越多。如圖5所示，在顆粒滾動(dòng)的過(guò)程中，斜邊方向上顆粒重力的兩個(gè)分量Mgsin θ和Mgcos θ，分別提供驅(qū)動(dòng)顆粒運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力和阻礙顆粒運(yùn)動(dòng)的摩擦力，當(dāng)θ不斷增大，兩個(gè)分量此消彼長(zhǎng)，數(shù)值差距不斷增大，致使顆粒的獲得加速度越來(lái)越大，最終實(shí)現(xiàn)流量的增大。擁有初始速度V0的顆粒流量更大，比V0=0 m/s的情況下的顆粒流量提高了52%～69%。

圖6為無(wú)振動(dòng)情況下，最快下落20個(gè)顆粒的平均堅(jiān)直方向速度圖。從圖4、圖6 的數(shù)據(jù)可以判斷，豎直擋板對(duì)于顆粒的加速具有負(fù)作用，豎直擋板與出口構(gòu)成了一個(gè)狹小的矩形區(qū)域，顆粒在流過(guò)此區(qū)域時(shí)，活動(dòng)空間變小、水平方向約束加強(qiáng)，增加了顆粒與顆粒之間碰撞、擠壓，顆粒與擋板之間的摩擦力也隨之增強(qiáng)，導(dǎo)致顆粒向下運(yùn)動(dòng)受阻，同比于不加裝數(shù)值擋板的裝置來(lái)說(shuō)，加裝出口擋板后流量和流速分別降低了約11%～23%、5%～19%。

3.2 振動(dòng)情況下顆粒流速分析

圖7為漏斗不同振動(dòng)方向下顆粒的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)圖。由圖7可看出，振動(dòng)方向由水平轉(zhuǎn)向豎直方向時(shí)大致可分為三個(gè)情況。

（1）第一種情況，當(dāng)α=0°時(shí)（水平振動(dòng)），處于左側(cè)的顆粒會(huì)跟隨壁面一同向右運(yùn)動(dòng)。受到擠壓作用，左壁附近的顆粒相對(duì)更密集，阻礙了顆粒的流動(dòng)。而此時(shí)右壁向右移動(dòng)之后，壁和顆粒之間存在一定空隙，由于與壁面分離，顆粒約束減弱，右側(cè)粒子在重力作用下可以快速的向右下方移動(dòng)，如圖7（a）。

（2）第二種情況，當(dāng)α=θ時(shí)，振動(dòng)方向與漏斗壁平行。此時(shí)，漏斗左壁附近的顆粒會(huì)隨著壁面一起向右上方運(yùn)動(dòng)，但右壁附近的顆粒卻沿著壁面向下滾動(dòng)，不受右壁運(yùn)動(dòng)的影響。在這種情況下，左壁將附近的顆粒向上抬升了一定的距離，相當(dāng)于延緩了顆粒下落的時(shí)間。但右壁向上移動(dòng)后，縮短了右壁顆粒與出口之間的距離，使此部分顆粒更快流出，如圖7（b）所示。

（3）第三種情況，α>θ時(shí)，左右壁附近的顆粒運(yùn)動(dòng)情況相似，由于撞擊、擠壓的作用各個(gè)顆粒都隨壁面向右上移動(dòng)，如圖7（c）所示。

在經(jīng)歷了多次振動(dòng)后，顆粒之間的分界線已經(jīng)模糊，各層顆粒通過(guò)運(yùn)動(dòng)后相互交錯(cuò)在一起，上層的顆粒落入下層，下層的顆粒運(yùn)動(dòng)到上層，如圖8所示。因此，可以將豎向振動(dòng)看做是加快顆粒運(yùn)動(dòng)到不同層級(jí)的一種方式，而這種方式無(wú)疑是有利于顆粒流出。

圖9為改變振動(dòng)方向、振動(dòng)幅值、出口傾角等影響因素下，顆粒的流量變化。從結(jié)果可知：（1）無(wú)論如何更改振動(dòng)方向、出口傾角，振動(dòng)總是能加速顆粒的流出，并且振幅A越大，效果越明顯，隨著振動(dòng)幅值A(chǔ)的增加，在第一和第二中情況下顆粒能較快地流出漏斗。在無(wú)豎向初始速度和不加裝出口擋板的情況下，水平方向振動(dòng)時(shí)流出顆粒的流量總是最大，且隨著振動(dòng)方向逐漸轉(zhuǎn)為豎直時(shí)而減小。

（2）在不考慮初始速度和擋板（V0=0 m/s，L=0 m）、不考慮初始速度+擋板（V0=0 m/s，L=0.2 m）、考慮初始速度+無(wú)擋板（V0=－1 m/s，L=0 m）、考慮初始速度+擋板（V0=－1 m/s，L=0.2 m）四種工況下，隨著出口傾角θ的不斷增加，顆粒的流量與振動(dòng)傾角α的變化曲線越來(lái)越平緩。在V0=0 m/s，L=0 m況中，相同振動(dòng)幅值下，出口傾角對(duì)顆粒流量影響較小。但是在其他三種工況中，當(dāng)振動(dòng)幅度A≥3 mm時(shí)，振動(dòng)角度α對(duì)顆粒流量影響較大，流量隨α的增加而增加。

（3）在顆粒具有豎直方向初速度后，在流經(jīng)振動(dòng)過(guò)程中的漏斗時(shí)，增加了顆粒撞擊壁面的概率，由于顆粒與壁面、顆粒間的碰撞、擠壓阻礙了顆粒的向下運(yùn)動(dòng)。因此，在顆粒具有豎直方向初速度的情況下，水平振動(dòng)流出的顆粒質(zhì)量反而最小，豎直振動(dòng)流出的顆粒質(zhì)量最大。

（4）總體而言，考慮初始速度及無(wú)擋板（V0=－1 m/s，L=0 m）的情況，顆粒流出效率較優(yōu)。水平振動(dòng)下加裝擋板，阻礙顆粒的流出。而豎直振動(dòng)下加裝擋板則增加顆粒的流出，且豎直振動(dòng)時(shí)，加裝擋板的影響有限。

（5）當(dāng)出口傾角θ=75°時(shí)，顆粒流出質(zhì)量的趨勢(shì)除了在V0=0 m/s，L=0 m工況下與其他出口傾角的趨勢(shì)相同外，其他工況均是先漲后落，如圖9（e）所示。主要由于當(dāng)出口傾角θ=75°時(shí)，壁面近似豎立，顆?？梢曰顒?dòng)的區(qū)域較為狹窄，當(dāng)壁面開(kāi)始水平方向振動(dòng)時(shí)，顆粒水平向加速度較大，顆粒之間相互作用力增強(qiáng)，擠壓、碰撞的概率變大，減緩顆粒流出。隨著振動(dòng)方向的變化，顆粒在水平方向上獲得的速度逐漸減少，在振動(dòng)傾角α=60°左右時(shí)，加速顆粒向漏斗中心線聚攏，又不與其他顆粒發(fā)生激烈的碰撞，使其更快流出裝置。

4 結(jié)論

本文基于離散元方法，在重力驅(qū)動(dòng)的漏斗流模式下，探究出口傾角、振動(dòng)幅值、振動(dòng)方向、顆粒豎直方向速度以及是否加裝出口擋板對(duì)于顆粒流流量的影響。結(jié)果表明：

1）出口傾角增加和賦予顆粒豎直向下方向速度都可以加快顆粒從漏斗裝置流出，雖然在出口加裝豎直擋板有利于顆粒流出后的堆積，但兩側(cè)擋板之間的空間十分狹隘，不利于顆粒的流出。

2）在不改變振動(dòng)方向的情況下，振動(dòng)幅值越大越有利于顆粒的逃逸，裝置振動(dòng)可以使顆粒獲取速度，加快顆粒從其他位置運(yùn)動(dòng)到出口的過(guò)程，減少形成力拱的概率。

3）振動(dòng)的方向不同，振動(dòng)后的作用效果也不同，在只改變出口傾角的情況下，水平振動(dòng)最有利于顆粒的流出，但是在顆粒有豎直向下方向和漏斗出口有豎直擋板時(shí)，豎直振動(dòng)對(duì)顆粒運(yùn)動(dòng)方向的改變量最小，此時(shí)顆粒流出質(zhì)量最大。

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Analysis of the Effect of Funnel Outlet Shape and Vibration

Factors on Particle Mass Flow under Gravity

Abstract：

In order to gain a deeper understanding of the motion state of funnel particles under external excitation， this paper， based on the discrete element method， explores the influence of outlet dip ngle， vibration amplitude， vibration direction， vertical velocity of particles and whether to install the outlet bundle device on the particle flow rate under the gravity-driven funnel flow mode. The experimental results show that the increase of outlet angle and vibration amplitude is conducive to the increase of particle flow rate. Without considering the initial velocity and baffle， as the vibration direction gradually shifts from horizontal to vertical， the particle flow rate decreases accordingly. When the vibration direction is horizontal， the particle flow rate reaches the maximum value. However， the result is opposite when the bunching device is installed and the vertical velocity is set. Under the condition that the outlet is not bunching and the amplitude is zero， the vertical velocity is beneficial to the increase of the flow rate. With the increase of the amplitude， the flow rate increases steadily， but the growth rate is lower than that of the flow rate without vertical velocity in the same environment. The baffle at the outlet is not conducive to the discharge of particulate matter under low amplitude， but after increasing the amplitude and gradually turning the vibration direction towards the vertical direction， the particle flow rate increases significantly.

Key words：

particle flow; vibration amplitude; vibration direction; flow; discrete element