耿素素

數(shù)學(xué)家羅素說：“數(shù)學(xué)是什么？數(shù)學(xué)就是符號(hào)加邏輯?！狈?hào)是數(shù)學(xué)的獨(dú)特語言，它既是對(duì)數(shù)學(xué)關(guān)系結(jié)構(gòu)的抽象表達(dá)，又是對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)部規(guī)律的具體體現(xiàn)。通過課前調(diào)研和課堂觀察，筆者發(fā)現(xiàn)，不少小學(xué)生存在使用數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)不強(qiáng)、對(duì)符號(hào)感知與理解不深、運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)進(jìn)行思考和表達(dá)的能力不足等問題。在此，筆者以北師大版小學(xué)數(shù)學(xué)三年級(jí)上冊(cè)《搭配中的學(xué)問》為研究對(duì)象，來探索培養(yǎng)小學(xué)生數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)的有效策略。

一、對(duì)比三版課標(biāo)，辨析“符號(hào)意識(shí)”的內(nèi)涵

從2001年提出“符號(hào)感”到2011年修訂為“符號(hào)意識(shí)”，新舊課標(biāo)都鮮明地揭示了數(shù)學(xué)符號(hào)的“個(gè)別屬性”和“綜合屬性”之間的差異。從教育心理學(xué)的視角看，感覺是大腦直接作用于感覺器官的、對(duì)客觀事物屬性的反映；而意識(shí)則是包括感覺、知覺、思維在內(nèi)的一種高級(jí)認(rèn)識(shí)活動(dòng)，發(fā)揮著調(diào)節(jié)、指導(dǎo)、控制的作用。

“符號(hào)感”注重從模糊感知的角度出發(fā)，借助感覺器官對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生的直觀的、淺顯的感悟和認(rèn)識(shí)；而“符號(hào)意識(shí)”既有感官參與的直觀體驗(yàn)，又有思維介入的理性判斷，強(qiáng)調(diào)的是對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)屬性功能的全面感知與應(yīng)用。在此基礎(chǔ)上，2022版新課標(biāo)中的“符號(hào)”表達(dá)的對(duì)象則更加宏觀，不僅可以表示數(shù)量關(guān)系，還可以表示空間、時(shí)間、距離、因果關(guān)系等。

數(shù)學(xué)符號(hào)的研究對(duì)象主要分為三大類，即數(shù)與量、關(guān)系、一般規(guī)律。數(shù)學(xué)符號(hào)的作用也體現(xiàn)在三個(gè)方面：進(jìn)行抽象，培養(yǎng)數(shù)學(xué)眼光；進(jìn)行推理，形成數(shù)學(xué)思維；構(gòu)建模型，發(fā)展數(shù)學(xué)語言。

二、深度研磨教材，剖析“符號(hào)意識(shí)”的異同

1.課例研究分析

《搭配中的學(xué)問》是小學(xué)數(shù)學(xué)三年級(jí)上冊(cè)“數(shù)學(xué)好玩”中的內(nèi)容，屬于比較簡(jiǎn)單的排列與組合問題。教師創(chuàng)設(shè)“搭配服裝”情境，引導(dǎo)學(xué)生尋找搭配的方法，學(xué)會(huì)有序、全面地思考問題，探索掌握簡(jiǎn)單的搭配方法，并用適當(dāng)?shù)姆绞剑〝?shù)學(xué)符號(hào)）表達(dá)出來。在引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“操作水平—表象水平—符號(hào)水平”的過程中，初步培養(yǎng)其符號(hào)意識(shí)。

2.教材對(duì)比分析

為了深度解讀教材，了解不同版本教材對(duì)于本節(jié)課的內(nèi)容設(shè)計(jì)有何異同以及文字背后的編排意圖，我們可以從縱橫兩個(gè)維度來進(jìn)行教材分析。

（1）北師大版數(shù)學(xué)教材的縱向?qū)Ρ?/p>

縱向梳理北師大版小學(xué)數(shù)學(xué)教材第一冊(cè)到第十二冊(cè)中能夠體現(xiàn)符號(hào)化思想的課程內(nèi)容，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，其中一年級(jí)到二年級(jí)聚焦“符號(hào)意識(shí)的早期蘊(yùn)伏”，三年級(jí)到四年級(jí)把游戲活動(dòng)、簡(jiǎn)單規(guī)律活動(dòng)進(jìn)行一般化擴(kuò)展，五年級(jí)到六年級(jí)能初步運(yùn)用符號(hào)表達(dá)數(shù)量、關(guān)系和一般規(guī)律。課例《搭配中的學(xué)問》，對(duì)于學(xué)生符號(hào)意識(shí)的培養(yǎng)與深化起著承上啟下的作用。

（2）與其他版本數(shù)學(xué)教材的橫向?qū)Ρ?/p>

通過對(duì)人教版、冀教版、魯教版、浙教版和北師大版教材內(nèi)容的對(duì)比，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，各版本教材的情境創(chuàng)設(shè)均選取了學(xué)生熟悉的生活情境。在尋找搭配方法時(shí)，都先根據(jù)事物的特征進(jìn)行分類，以“先定后配”作為有序思考和搭配的方法。北師大版、魯教版教材要求學(xué)生能解決比較簡(jiǎn)單的組合問題，對(duì)于列式計(jì)算的方法沒有統(tǒng)一要求；而其他三個(gè)版本教材對(duì)列式計(jì)算的方法引導(dǎo)意圖明顯，并努力讓搭配方法回歸到乘法模型的知識(shí)系統(tǒng)中。

三、精準(zhǔn)調(diào)研學(xué)情，明晰“符號(hào)意識(shí)”水平

為了了解學(xué)生的真實(shí)學(xué)情，筆者經(jīng)過多輪的預(yù)測(cè)、優(yōu)化、改進(jìn)，最終完成了評(píng)價(jià)工具設(shè)計(jì)，并隨機(jī)選取三年級(jí)一個(gè)班（共53名學(xué)生）開展課前調(diào)研。

評(píng)價(jià)工具題目1采用的是二年級(jí)下冊(cè)《重復(fù)中的奧妙》中的例題，旨在了解學(xué)生的符號(hào)意識(shí)基礎(chǔ)。通過數(shù)據(jù)分析，發(fā)現(xiàn)大部分學(xué)生能夠用符號(hào)表示出簡(jiǎn)單的一一對(duì)應(yīng)的數(shù)量關(guān)系。題目2的設(shè)計(jì)重在了解學(xué)生能否做到有序思考，并探究無序思考背后的原因。題目3仿照搭配服裝的問題進(jìn)行設(shè)計(jì)，重在了解學(xué)生在學(xué)習(xí)新知識(shí)時(shí)可能會(huì)遇到的障礙。

結(jié)果發(fā)現(xiàn)，有43%的學(xué)生可以找到所有的搭配方法，但能運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)準(zhǔn)確記錄搭配方法的學(xué)生僅有11%?；诖?，開始設(shè)計(jì)本節(jié)課的學(xué)習(xí)目標(biāo)和活動(dòng)。

四、開展研磨課例，促進(jìn)“符號(hào)意識(shí)”發(fā)展

在《搭配的學(xué)問》這一課中，基于北師大教材“情境+問題串”的編排特點(diǎn)，筆者以問題為引領(lǐng)，開展了一系列學(xué)習(xí)進(jìn)階活動(dòng)，初步培養(yǎng)學(xué)生的符號(hào)意識(shí)。

策略1：創(chuàng)設(shè)情境，喚醒學(xué)生的符號(hào)意識(shí)

本節(jié)課創(chuàng)設(shè)了“小丑要去動(dòng)物園表演節(jié)目”的任務(wù)情境，將“穿什么——搭配服裝”“吃什么——營(yíng)養(yǎng)配餐”“怎么走——行走路線”三個(gè)情境串聯(lián)在一起，形成一個(gè)結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化的學(xué)習(xí)脈絡(luò)，激發(fā)學(xué)生的參與興趣。

策略2：動(dòng)手操作，感知數(shù)學(xué)符號(hào)的意義

圍繞第一個(gè)問題，先讓學(xué)生猜測(cè)之后，教師設(shè)計(jì)了動(dòng)手操作的活動(dòng)，讓學(xué)生在擺一擺、試一試、說一說的過程中，借助學(xué)具找到所有的搭配方法。那么，到底有多少種不同的搭配方法呢？教師接著設(shè)計(jì)了實(shí)驗(yàn)探究活動(dòng)。重點(diǎn)是通過“一擺、二聽、三思、四說、再擺”五步流程，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)事物特征先進(jìn)行分類，分類之后掌握“先定（帽子或褲子）后配（褲子或帽子）”有序思考、有序搭配的步驟和方法。

一擺：讓學(xué)生用學(xué)具親手來搭一搭、擺一擺，驗(yàn)證猜想。二聽：驗(yàn)證之后，匯報(bào)自己的驗(yàn)證結(jié)果，分享同學(xué)的搭配方法。三思：大家想一想，為什么有的人擺來擺去老是亂，說也說不清楚；而有的人可以快速、準(zhǔn)確地找到所有的搭配方法呢？四說：通過展示交流，大家發(fā)現(xiàn)需要按照一定的順序，才能快速、準(zhǔn)確地找到所有的搭配方法。再擺：按照一定的順序再來搭配，最后找到所有的搭配方法。

策略3：展示交流，深化對(duì)符號(hào)的理解

找到所有的搭配方法后，教師鼓勵(lì)學(xué)生將自己的搭配方法記錄下來，并設(shè)計(jì)展示交流活動(dòng)。按照由繁入簡(jiǎn)、由淺入深、層層遞進(jìn)的順序，依次呈現(xiàn)不同層次水平的學(xué)生作品，分別是圖像表征、文字表征、圖形表征、字母表征等。再通過比一比、說一說的活動(dòng)，組織全班進(jìn)行觀察、對(duì)比、交流、討論，引導(dǎo)學(xué)生深刻體會(huì)用數(shù)學(xué)符號(hào)來表示搭配結(jié)果的簡(jiǎn)潔性、優(yōu)越性和一般性。親身經(jīng)歷了從具象表征到半符號(hào)化表征再到符號(hào)化表征的全過程，學(xué)生初步樹立了自覺主動(dòng)使用數(shù)學(xué)符號(hào)的習(xí)慣和意識(shí)，深化了對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)的感知與理解。

策略4：解決問題，強(qiáng)化數(shù)學(xué)符號(hào)的應(yīng)用

在解決“營(yíng)養(yǎng)配餐”和“行走路線”的現(xiàn)實(shí)問題時(shí)，大多數(shù)學(xué)生表現(xiàn)出主動(dòng)使用數(shù)學(xué)符號(hào)進(jìn)行表達(dá)、交流的傾向，符號(hào)的選取和使用也更加多元和簡(jiǎn)潔。

策略5：創(chuàng)新作業(yè)設(shè)計(jì)，感悟符號(hào)的價(jià)值

對(duì)于本節(jié)課的作業(yè)設(shè)計(jì)，以“小丑奇奇進(jìn)入動(dòng)物園后又會(huì)遇到哪些搭配問題呢”為問題驅(qū)動(dòng)，提供搭配模型，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)揮想象力，創(chuàng)編數(shù)學(xué)童話。通過作業(yè)的分享交流，引導(dǎo)學(xué)生感悟由數(shù)學(xué)符號(hào)構(gòu)建的數(shù)學(xué)模型的一般性和普適性。

五、實(shí)施課后檢測(cè)，驗(yàn)證“符號(hào)意識(shí)”的達(dá)成

通過對(duì)授課班級(jí)的后測(cè)數(shù)據(jù)分析，筆者發(fā)現(xiàn)能夠有序思考的同學(xué)達(dá)到100%，能夠自覺使用數(shù)學(xué)符號(hào)進(jìn)行表達(dá)的達(dá)到96.2%。從后測(cè)數(shù)據(jù)可以看出，大多數(shù)學(xué)生已經(jīng)掌握了有序思考的步驟與方法，能夠選用合適的數(shù)學(xué)符號(hào)進(jìn)行思考和表達(dá)，比較順利地完成了學(xué)習(xí)目標(biāo)。

綜上所述，符號(hào)意識(shí)的培養(yǎng)是一個(gè)不斷實(shí)踐、反復(fù)感悟、逐漸積累的過程，需要我們依據(jù)教材內(nèi)容和真實(shí)學(xué)情，有針對(duì)性地進(jìn)行設(shè)計(jì)與實(shí)施，堅(jiān)持不懈地將學(xué)生符號(hào)意識(shí)的培養(yǎng)落實(shí)到數(shù)學(xué)課堂中。

（作者系南京師范大學(xué)教育科學(xué)學(xué)院博士研究生，鄭州市金水區(qū)文化路第三小學(xué)副校長(zhǎng)）

（責(zé) 編 阿 木）