馮洪 齊金平 劉曉宇 李鴻偉 燕大強(qiáng) 付錄生

摘要：

由于機(jī)械部件失效受多個(gè)退化過(guò)程及外界沖擊等各種因素的耦合作用影響，而當(dāng)前研究多考慮單一因素，并認(rèn)為失效閾值為定值，未考慮到設(shè)備會(huì)因退化而導(dǎo)致其抗沖擊能力降低的事實(shí)，因此同時(shí)考慮沖擊對(duì)退化過(guò)程的影響，退化過(guò)程對(duì)沖擊失效閾值的隨機(jī)不確定性影響以及不同退化過(guò)程之間存在相關(guān)性影響，提出考慮隨機(jī)變閾值的多相關(guān)退化可靠性模型。此外，通過(guò)Copula函數(shù)描述不同退化過(guò)程間的相關(guān)性，給出相關(guān)模型的參數(shù)估計(jì)方法。根據(jù)某型動(dòng)車組的車輪實(shí)測(cè)磨耗數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)例計(jì)算，通過(guò)蒙特卡羅方法驗(yàn)證模型的準(zhǔn)確性，討論不同退化過(guò)程存在相關(guān)性對(duì)可靠度的影響，對(duì)隨機(jī)變失效閾值進(jìn)行靈敏度分析，進(jìn)一步說(shuō)明所提模型的實(shí)用性。

關(guān)鍵詞：可靠性；多相關(guān)退化；隨機(jī)變失效閾值；車輪磨耗；退化閾值沖擊模型

中圖分類號(hào)：U266

DOI：10.3969/j.issn.1004132X.2024.05.006

開(kāi)放科學(xué)（資源服務(wù)）標(biāo)識(shí)碼（OSID）：

Reliability Modeling for Multi-correlation Degradation Considering

Random Variable Failure Threshold

FENG Hong1? QI Jinping2? LIU Xiaoyu1? LI Hongwei1? YAN Daqiang3? FU Lusheng3

1.Mechatronics T&R Institute，Lanzhou Jiaotong University，Lanzhou，730070

2.Research Institute，Lanzhou Jiaotong University，Lanzhou，730070

3.China Railway Lanzhou Group Co.，Ltd.，Lanzhou，730070

4.CRRC Lanzhou Co.，Ltd.，Lanzhou，730070

Abstract： Since the failure of mechanical components was affected by the coupling effects of multiple degradation processes and external shocks and other factors， the current studies mostly considered a single factor and thought that the failure threshold was a fixed value， ignoring the facts that the equipment might reduce the shock resistance due to the degradation. Therefore， the influences of shocks on the degradation processes and the random uncertainty of the degradation processes on the shock failure threshold， as well as the correlation among different degradation processes were considered. A multi-correlation degradation reliability model was proposed considering a random variable threshold. In addition， the Copula function was used to describe the correlation among different degradation processes， and the parameter estimation method of the correlation model was given. According to the measured wheel wear data of a certain electric multiple unit（EMU）， the accuracy of the model was verified by the Monte Carlo method. The influences of the correlation in the degradation processes on the reliability were discussed， and the sensitivity analysis of the random variable failure threshold was carried out to further illustrate the practicability of the proposed model.

Key words： reliability; multiple-correlation degradation; random variable failure threshold; wheel wear； degradation-threshold-shock model

收稿日期：20231226

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金（72361019，71861021）；甘肅省重點(diǎn)研發(fā)計(jì)劃（23YFGA0050）

0? 引言

隨著生產(chǎn)和制造技術(shù)的發(fā)展，出現(xiàn)了大量高 可靠性、長(zhǎng)壽命周期的機(jī)械部件，故而難以在短時(shí)間內(nèi)獲得機(jī)械部件的全壽命數(shù)據(jù)。但在實(shí)際使用過(guò)程中，可利用監(jiān)測(cè)工具獲取大量關(guān)于機(jī)械部件的退化數(shù)據(jù)，故基于退化數(shù)據(jù)的可靠性建模與分析受到國(guó)內(nèi)外學(xué)者關(guān)注［1-2］。由于隨機(jī)過(guò)程模型具有良好的數(shù)學(xué)意義和描述退化數(shù)據(jù)隨機(jī)性的優(yōu)勢(shì)，因此已被廣泛應(yīng)用于退化過(guò)程建模［3］。隨機(jī)過(guò)程模型主要分為連續(xù)狀態(tài)模型（如Gamma過(guò)程［4］、Wiener過(guò)程［5］和逆高斯過(guò)程［6］）和離散狀態(tài)模型（如馬爾可夫過(guò)程及其擴(kuò)展模型［7］）。

隨著對(duì)機(jī)械故障的研究越來(lái)越全面，人們已經(jīng)意識(shí)到除了內(nèi)在的退化過(guò)程（如磨損、腐蝕、疲勞裂紋等）外，外界隨機(jī)沖擊也是機(jī)械部件故障的主要原因［8-9］。一方面，外界沖擊加速部件的內(nèi)部退化過(guò)程，另一方面，內(nèi)部退化使得部件抵抗外界沖擊能力降低。同時(shí)考慮退化過(guò)程和沖擊過(guò)程的模型被稱為退化閾值沖擊模型［10-11］，相應(yīng)失效模式稱為軟失效（退化失效）和硬失效（沖擊失效）。PENG等［12］基于累積沖擊模型，認(rèn)為每次沖擊都會(huì)對(duì)軟失效過(guò)程造成固定的退化增量。JIANG等［13］根據(jù)沖擊的大小將其分為安全區(qū)、損壞區(qū)以及致命區(qū)，認(rèn)為不同區(qū)域的沖擊會(huì)對(duì)軟失效過(guò)程產(chǎn)生不同影響，其中致命區(qū)沖擊將直接導(dǎo)致系統(tǒng)發(fā)生硬失效。孫富強(qiáng)等［14］利用復(fù)合泊松過(guò)程表征沖擊造成的退化突增量，從而建立系統(tǒng)的競(jìng)爭(zhēng)失效過(guò)程。上述文獻(xiàn)僅考慮了沖擊對(duì)退化過(guò)程產(chǎn)生的單向影響。隨著機(jī)械部件不斷退化，抵抗外界沖擊的能力降低，硬失效閾值也隨之降低。常春波等［15］認(rèn)為，當(dāng)退化過(guò)程與沖擊過(guò)程分別滿足相應(yīng)條件時(shí)，硬失效閾值與軟失效閾值會(huì)發(fā)生突變。在此基礎(chǔ)上，胡啟國(guó)等［16］引入?yún)^(qū)域沖擊，認(rèn)為只有有損沖擊才會(huì)導(dǎo)致軟失效閾值發(fā)生突變。JIANG等［17］則認(rèn)為軟失效閾值會(huì)隨沖擊次數(shù)與強(qiáng)度變化而變化。HAO等［18］認(rèn)為隨系統(tǒng)不斷退化，硬失效閾值持續(xù)減小，并與退化時(shí)間成線性關(guān)系，線性系數(shù)為定值。

考慮隨機(jī)變失效閾值的多相關(guān)退化可靠性建?！T? 洪? 齊金平? 劉曉宇等

中國(guó)機(jī)械工程 第35卷 第5期 2024年5月

由于機(jī)械部件具有無(wú)法避免的個(gè)體差異性，它主要來(lái)源于生產(chǎn)制造過(guò)程及外界沖擊的隨機(jī)性與不確定性，因此，退化過(guò)程對(duì)失效閾值的影響也具有隨機(jī)性。USYNIN等［19］首次考慮失效閾值的隨機(jī)性，基于累積沖擊模型得到可靠度解析式方程。夏悅馨等［20］則在考慮退化過(guò)程與沖擊過(guò)程相互影響的基礎(chǔ)上，以累積退化量的期望值建立了隨時(shí)間變化的硬失效閾值，描述了硬失效閾值的隨機(jī)性。

上述研究大多僅考慮了單個(gè)退化過(guò)程與隨機(jī)沖擊之間的競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系，很少考慮多個(gè)退化過(guò)程。LI等［21］對(duì)包含兩個(gè)退化過(guò)程和一個(gè)沖擊過(guò)程的競(jìng)爭(zhēng)失效模型進(jìn)行可靠性分析，并假設(shè)這些失效過(guò)程間是相互獨(dú)立的。但對(duì)于許多機(jī)械部件，由于環(huán)境或材料特性等共同因素的影響，不同的性能指標(biāo)之間可能具有統(tǒng)計(jì)相關(guān)性，因此，需要聯(lián)合雙變量概率模型描述變量間的相關(guān)關(guān)系。傳統(tǒng)的聯(lián)合雙變量分布往往假設(shè)邊緣分布來(lái)自同分布族，并且只能對(duì)線性相關(guān)關(guān)系進(jìn)行建模，不符合機(jī)械部件的實(shí)際退化情況。

Copula函數(shù)可以將邊緣分布和相關(guān)結(jié)構(gòu)分開(kāi)建模，在描述邊緣分布之間的相關(guān)性上具有更大的靈活性［22］，因此在不同領(lǐng)域中被廣泛應(yīng)用于描述相關(guān)關(guān)系，如能源［23］和機(jī)械部件的可靠性分析或壽命預(yù)測(cè)［24］。AN等［25］考慮了失效過(guò)程間的相關(guān)性，通過(guò)Copula函數(shù)描述多個(gè)退化過(guò)程間的相關(guān)關(guān)系。LIU等［26］提出了一種基于Copula函數(shù)的相依退化可靠性模型，其中邊緣退化分布由經(jīng)過(guò)時(shí)間尺度變換后的逆高斯模型表示。SUN等［27］基于非線性Wiener退化模型考慮了退化過(guò)程與沖擊過(guò)程間的相互影響，通過(guò)赤池信息量準(zhǔn)則（Akaike information criterion，AIC）和貝葉斯信息量準(zhǔn)則（Bayesian information criterion，BIC）篩選Copula函數(shù)，從而刻畫(huà)多個(gè)失效過(guò)程間的相關(guān)性。楊志遠(yuǎn)等［28］針對(duì)同時(shí)存在多個(gè)退化過(guò)程和外界沖擊的系統(tǒng)，基于Gamma過(guò)程和Copula函數(shù)得到系統(tǒng)可靠性模型和近似解析表達(dá)式，并驗(yàn)證了可靠性近似模型的精確性。當(dāng)考慮多個(gè)退化過(guò)程相關(guān)時(shí)，大多研究并未考慮到機(jī)械部件失效閾值存在的隨機(jī)性與不確定性。

因此，筆者在認(rèn)為機(jī)械部件遭受沖擊的基礎(chǔ)上，考慮多個(gè)退化過(guò)程存在相關(guān)關(guān)系以及硬失效閾值隨機(jī)性變化，基于Gamma過(guò)程和Copula函數(shù)建立了多相關(guān)退化可靠性模型，推導(dǎo)出可靠度解析式。通過(guò)馬爾可夫鏈蒙特卡羅（Markov chain Monte Carlo，MCMC）方法得到退化過(guò)程的參數(shù)估計(jì)值，利用AIC值對(duì)Copula函數(shù)進(jìn)行選擇。基于車輪實(shí)測(cè)磨耗數(shù)據(jù)，通過(guò)蒙特卡羅方法驗(yàn)證所提模型的正確性，并進(jìn)行可靠度分析及靈敏度分析。

1? 系統(tǒng)描述

假設(shè)系統(tǒng)遭受i個(gè)退化過(guò)程和一個(gè)外界沖擊過(guò)程，則系統(tǒng)可能發(fā)生軟失效或硬失效兩種失效模式。當(dāng)任一退化過(guò)程的退化量超過(guò)相應(yīng)失效閾值時(shí)，發(fā)生軟失效；當(dāng)外界沖擊幅值超過(guò)硬失效閾值時(shí)，發(fā)生硬失效。

令Xsi（t）為系統(tǒng)第i個(gè)退化過(guò)程在時(shí)刻t的總退化量，i=1，2，…，n，n為退化過(guò)程的數(shù)量，相應(yīng)的軟失效閾值為L(zhǎng)i；Wj為第j次沖擊的幅值，j=1，2，…，k，k為沖擊次數(shù)，系統(tǒng)的硬失效閾值為D（t）。假設(shè)每次沖擊都會(huì)使系統(tǒng)產(chǎn)生退化突增量，并且隨系統(tǒng)不斷退化，抵抗外界沖擊的能力降低，硬失效閾值D（t）是與退化時(shí)間t相關(guān)的遞減函數(shù)。由此，軟失效過(guò)程和硬失效過(guò)程的示意圖分別見(jiàn)圖1、圖2。圖1中X1和X2表示不同退化過(guò)程，tj（j=1，2，3，4）為第j次沖擊的到達(dá)時(shí)刻，Yij（j=1，2，3，4）為第j次沖擊對(duì)第i個(gè)退化過(guò)程造成的退化突增量。

如上所述，本文考慮退化過(guò)程存在相關(guān)性主要包括以下3個(gè)方面：①?zèng)_擊過(guò)程會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)產(chǎn)生退化突增量；②退化過(guò)程會(huì)對(duì)硬失效閾值產(chǎn)生影響；③不同退化過(guò)程間具有相關(guān)性。

1.1? 軟失效退化分析

由于隨機(jī)過(guò)程能夠描述性能退化指標(biāo)的演變過(guò)程，且Gamma過(guò)程具有無(wú)限可分性，在數(shù)學(xué)和物理上具有較強(qiáng)的可解釋性，已被廣泛應(yīng)用于描述磨損、侵蝕、裂紋等［29］，因此，本文采用Gamma過(guò)程描述系統(tǒng)的退化過(guò)程Xi（t），有Xi（t）～Ga（aiΛ（t），βi），其中ai為第i個(gè)退化過(guò)程的形狀參數(shù)，βi為第i個(gè)退化過(guò)程的尺度參數(shù)，Λ（t）=tbi，bi為退化時(shí)間的指數(shù)，可表征Gamma過(guò)程的非線性，bi≠1。

在給定ai和βi的條件下，相應(yīng)的概率密度函數(shù)和分布函數(shù)［30］分別為

f（Xiai）=βaiΛ（t）iΓ（aiΛ（t））XaiΛ（t）－1iexp（－βiXi）（1）

F（Xiai，βi）=Γ（aiΛ（t），Xiβi）Γ（aiΛ（t））（2）

其中，Γ（aiΛ（t））為Gamma函數(shù)，可表示為

Γ（aiΛ（t））=∫∞0XaiΛ（t）－1iexp（－Xi）dXi

Γ（aiΛ（t），Xiβi）=∫∞XiβiXaiΛ（t）－1iexp（－Xi）dXi

Gamma分布函數(shù)的計(jì)算較為復(fù)雜，可通過(guò)Laypunov中心極限定理［28］將F（Li）近似表示為

F（Li）=Φ（Li－Ai（t）Bi（t））（3）

Ai（t）=aitbiβi? Bi（t）=aitbiβ2i

其中，Ф（·）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量的分布函數(shù)。

一般假設(shè)外界沖擊的到達(dá)過(guò)程服從Possion分布。令Possion分布的到達(dá)率為常數(shù)λ，在t時(shí)間內(nèi)發(fā)生沖擊的次數(shù)為N（t），有

P（N（t）=j）=exp（－λt）（λt）jj！（4）

式中，j為發(fā)生的沖擊次數(shù)；P（N（t）=j）為發(fā)生j次沖擊的概率。

令Yij（j=1，2，…）表示第j次沖擊對(duì)第i個(gè)退化過(guò)程產(chǎn)生的退化突增量，Yij為獨(dú)立同分布的非負(fù)隨機(jī)變量。在時(shí)間t內(nèi)，由外界沖擊產(chǎn)生的退化增量Si（t）為

Si（t）=∑N（t）j=1Yij? N（t）＞0

0N（t）=0（5）

根據(jù)上述分析，軟失效過(guò)程Xsi（t）由兩部分組成，包括系統(tǒng)的自然退化量Xi（t）和沖擊導(dǎo)致的退化突增量Si（t），則系統(tǒng)的總退化量Xsi（t）可以表示為

Xsi（t）=Xi（t）+Si（t）（6）

1.2? 硬失效退化分析

隨著系統(tǒng)的不斷退化，系統(tǒng)抵抗外界沖擊能力下降，沖擊失效閾值（即硬失效閾值）也隨之減小。將沖擊失效閾值表示為與退化時(shí)間t相關(guān)的遞減函數(shù)D（t），有

D（t）=D0－dt（7）

式中，D0為沖擊失效閾值的初始值；d為線性系數(shù)（即沖擊失效閾值的變化率）。

為了表征自然退化對(duì)沖擊失效閾值所造成的不確定性影響，設(shè)線性系數(shù)d服從正態(tài)分布［31］，即d～N（μd，σ2d），μ、σ分別為均值和標(biāo)準(zhǔn)差。當(dāng)外界沖擊為極端沖擊時(shí)，第j（j=1，2，…，k）次沖擊大小為Wj，所有Wj為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量。設(shè)Wj服從正態(tài)分布，即Wj～N（μW，σ2W），則系統(tǒng)不發(fā)生硬失效的概率為

FW（D）=Φ（D0－（μW+μdt）σ2W+σ2dt2）（8）

在工程實(shí)際中，系統(tǒng)遭受的沖擊幅值越大，所產(chǎn)生的退化突增量也就越大。沖擊造成的退化突增量與相應(yīng)的沖擊幅值成正比關(guān)系［20］，有

Yij=cwiWj（9）

其中，cwi為第i個(gè)退化過(guò)程的突增量與沖擊幅值的比例系數(shù)。由于Wj服從正態(tài)分布，故Yij也服從正態(tài)分布，即Yij～N（μYi，σ2Yi），μYi=cwiμW，σ2Yi=c2wiσ2W。

1.3? 相關(guān)性退化分析

假設(shè)有一個(gè)n維隨機(jī)變量（X1，X2，…，Xn），其各自的邊緣分布函數(shù)ui可表示為ui=Fi（Xi）=P（Xi≤Li），i=1，2，…，n，聯(lián)合分布函數(shù)為F（X1，X2，…，Xn） = P（X1≤L1， X2≤L2，…， Xn≤Ln），則基于n維Copula函數(shù)C（u1，u2，…，un）的聯(lián)合分布函數(shù)可表示為

H（X1，X2，…，Xn）=

C（F1（X1），F(xiàn)2（X2），…，F(xiàn)n（Xn）θ）（10）

其中，C（F1（X1），F(xiàn)2（X2），…，F(xiàn)n（Xn）θ）表示n維Copula函數(shù)，θ為Copula函數(shù)中的參數(shù)值。上述聯(lián)合分布的概率密度函數(shù)可表示為

h（X1，X2，…，Xn）=c（Fi（Xi）θ）∏ni=1fi（Xi）（11）

c（Fi（Xi）θ）=nC（Fi（Xi）θ）F1（X1）F2（X2）…Fn（Xn）

fi（Xi）=dFi（Xi）dXi

其中，c（Fi（Xi）θ）表示Copula密度函數(shù)。

由相關(guān)性退化模型可得（ΔX1，ΔX2，…，ΔXn）的聯(lián)合分布函數(shù)和概率密度函數(shù)分別為

H（ΔX1，ΔX2，…，ΔXn）=

∫…（C（Fi（ΔXi）θ）∏ni=1fi（ΔXi））dΔX1dΔX2…dΔXn（12）

h（ΔX1，ΔX2，…，ΔXn）=nH（ΔX1，ΔX2，…，ΔXn）ΔX1ΔX2…ΔXn（13）

1.4? 系統(tǒng)可靠度

由上述分析可知，在退化過(guò)程和沖擊過(guò)程同時(shí)存在的情況下，t時(shí)刻內(nèi)的系統(tǒng)可靠度可以表示為［18］

R（t）=∑∞j=0R（tN（t）=j）P（N（t）=j）（14）

式中，R（tN（t）=j） 表示［0，t］時(shí)間段內(nèi)系統(tǒng)發(fā)生j次沖擊的可靠度；P（N（t）=j）表示［0，t］時(shí)間段內(nèi)發(fā)生j次沖擊的概率。

根據(jù)在t時(shí)刻內(nèi)系統(tǒng)是否發(fā)生沖擊可將可靠度分為以下兩種情況：

（1）系統(tǒng)在時(shí)間t內(nèi)沒(méi)有發(fā)生沖擊，僅發(fā)生了退化，可靠度函數(shù)R1（t）表示為

R1（t）=R（tN（t）=0）P（N（t）=0）=

P（X1（t）

C（（R1（t），R2（t）θ）N（t）=0）P（N（t）=0）=

C（（Φ（Li－Ai（t）Bi（t））θ）N（t）=0）P（N（t）=0）=

C（Φ（Li－aitbiβiaitbiβ2i）θ）exp（－λt） （15）

（2）系統(tǒng)在時(shí)間t內(nèi)發(fā)生了沖擊，可靠度R2（t）表示為

R2（t）=R（tN（t）=j）P（N（t）=j）·

P（Wj＜D（t））=P（X1＜L1，X2＜L2N（t）=j）·

P（N（t）=j）P（Wj＜D（t））=

∑∞j=1P（X1＜L1，X2＜L2N（t）=j）P（N（t）=j）·

Φ（D0－（μW+μdt）σ2W+σ2dt2）j=

∑∞j=1C（Φ（Li－（aitbiβi+jμYi）aitbiβ2i+jσ2Yi）θ）·

λtjj！exp（－λt）Φ（D0－（μW+μdt）σ2W+σ2dt2）j（16）

由于兩種情況相互獨(dú)立且為互斥事件，故在t時(shí)刻下系統(tǒng)的總可靠度為兩種情況的可靠度之和，表示為

R（t）=R1（t）+R2（t）=

C（Φ（Li－aitbiβiaitbiβ2i）θ）exp（－λt）+

∑∞j=1C（Φ（Li－（aitbiβi+jμYi）aitbiβ2i+jσ2Yi）θ）·

exp（－λt）λtjj！Φ（D0－（μW+μdt）σ2W+σ2dt2）j（17）

2? 參數(shù)估計(jì)

2.1? 退化模型參數(shù)估計(jì)

假設(shè)第q個(gè)樣本的測(cè)量次數(shù)為K，q=1，2，…，N（N為樣本數(shù)量），K=1，2，…，Kq（Kq為樣本q的測(cè)量總次數(shù)），則第i個(gè)退化過(guò)程中第q個(gè)樣本的第K次測(cè)量的退化量記為Xi（tq，K），其中tq，K為第q個(gè)樣本的第K次測(cè)量時(shí)刻。ΔXi（tq，K）= Xi（tq，K）- Xi（tq，K-1）表示第i個(gè)退化過(guò)程中第q個(gè)樣本在時(shí)間間隔［tK-1，tK］下的退化增量。為了便于表達(dá)，下文將Xi（tq，K）簡(jiǎn)化為Xi，q，K。

根據(jù)Gamma過(guò)程和Possion分布的獨(dú)立增量特性，基于式（3）可得退化數(shù)據(jù)樣本的對(duì)數(shù)似然函數(shù)為

ln（L（ai，bi，βiXi））=∑Nq=1∑KqK=1ln（fXi，q，K（ΔXi，q，K））=

∑Nq=1∑KqK=1（ln（Φ（ΔXi，q，K－Ai（Δtq，K）Bi（Δtq，K））））（18）

其中，Δtq，K= tq，K-tq，K-1， ΔXi，q，K = Xi，q，K - Xi，q，K-1。通過(guò)最大化對(duì)數(shù)似然函數(shù)即可得到參數(shù)估計(jì)值。

2.2? Copula參數(shù)估計(jì)

在式（13）的基礎(chǔ)上可得退化數(shù)據(jù)樣本的對(duì)數(shù)似然函數(shù)為

ln（L（θ））=

∑Nq=1∑KqK=1ln（h（ΔX1，q，K，ΔX2，q，K，…，ΔXn，q，K））（19）

由于樣本似然函數(shù)涉及到多維積分求微分，且積分函數(shù)本身也比較復(fù)雜，通過(guò)直接最大化式（19） 很難得到似然函數(shù)的解析表達(dá)形式，而馬爾可夫鏈蒙特卡羅（MCMC）方法具有數(shù)據(jù)模擬、迭代過(guò)程，在高維總體取樣求解問(wèn)題中已趨于成熟［32］，因此，采用MCMC方法估計(jì)未知參數(shù)。

此外，為了提高求解效率，利用半?yún)?shù)估計(jì)法求解參數(shù)值，將核密度分布函數(shù)Gi（Xq）代替邊緣分布函數(shù)［33］，則有

θ=argmax∑Nq=1ln（c（G1（Xq），…，Gn（Xq）））（20）

AIC和BIC是衡量模型擬合優(yōu)良性常用的標(biāo)準(zhǔn)。AIC準(zhǔn)則同時(shí)考慮了模型的擬合精度和未知參數(shù)的個(gè)數(shù)；BIC準(zhǔn)則加入了懲罰項(xiàng)，主要是為了避免樣本容量過(guò)大時(shí)造成的過(guò)擬合現(xiàn)象。為了篩選出最佳的Copula函數(shù)，同時(shí)選擇AIC和BIC作為擬合優(yōu)度標(biāo)準(zhǔn)，較小的AIC值和BIC值表示具有更好的統(tǒng)計(jì)擬合效果［27］。

3? 數(shù)值計(jì)算

在車輛運(yùn)行過(guò)程中，車輪輪緣磨耗超限易使車輛在通過(guò)彎道時(shí)發(fā)生車體運(yùn)行失穩(wěn)，造成脫軌事故；輪徑磨耗會(huì)使車輪尺寸發(fā)生變化，縮短車輪全壽命周期，進(jìn)而增加車輪維修成本［34］，因此，本文選擇輪緣磨耗和輪徑磨耗作為車輪的兩個(gè)退化過(guò)程，相應(yīng)的磨耗量曲線見(jiàn)圖3。

由于車輪在服役環(huán)境中受到多種因素的影響，如線路條件、環(huán)境條件等，車輪的磨耗過(guò)程具有隨機(jī)性和不確定性，且輪緣和輪徑磨耗量都是單調(diào)過(guò)程，而Gamma隨機(jī)退化過(guò)程僅適用于描述單調(diào)過(guò)程，故采用Gamma過(guò)程刻畫(huà)車輪輪緣和輪徑的退化軌跡。為了進(jìn)一步說(shuō)明輪緣和輪徑性能退化量與Gamma隨機(jī)過(guò)程的顯性關(guān)系，通過(guò)概率圖和K-S假設(shè)檢驗(yàn)法對(duì)輪緣和輪徑磨耗量進(jìn)行分析，分析結(jié)果分別如圖4和表1所示。

觀察圖4可知，在95%的置信水平下，輪緣與輪徑退化增量均在相應(yīng)規(guī)定范圍內(nèi)。在表1中，K-S假設(shè)檢驗(yàn)結(jié)果為P＞αc，表明不排除Gamma分布。由此證明了采用Gamma隨機(jī)過(guò)程描述輪緣與輪徑退化過(guò)程的正確性。

3.1? Copula選擇

為了更準(zhǔn)確地描述輪緣與輪徑的相關(guān)關(guān)系，通過(guò)AIC、BIC準(zhǔn)則選擇合適的Copula函數(shù)，結(jié)果如表2所示。針對(duì)該數(shù)據(jù)，F(xiàn)rank Copula函數(shù)對(duì)應(yīng)的AIC值和BIC值最小，故本文選擇Frank Copula函數(shù)描述兩個(gè)退化量的相關(guān)關(guān)系。

3.2? 退化過(guò)程參數(shù)估計(jì)

根據(jù)同批次車輪的歷史數(shù)據(jù)得到未知參數(shù)的先驗(yàn)分布，有a～U（0，10），b～U（0，1），β～U（0，30）。通過(guò)MCMC算法估計(jì)模型參數(shù)，仿真進(jìn)行10 000次。為了減少前期未收斂數(shù)據(jù)對(duì)最后結(jié)果的干擾，將前1000次仿真結(jié)果作為過(guò)渡期舍棄，保留后9000次結(jié)果。部分樣本參數(shù)的迭代過(guò)程如圖5所示，其中上標(biāo)（q）表示第q個(gè)樣本，q=1， 2， …， 8，下標(biāo)（i）表示第i個(gè)性能退化指標(biāo)，i=1，2。

為了確保參數(shù)估計(jì)值的準(zhǔn)確性，需要使參數(shù)迭代軌跡圖收斂。觀察圖5可發(fā)現(xiàn)，參數(shù)的迭代軌跡并無(wú)顯著不規(guī)律現(xiàn)象，因此可認(rèn)為迭代收斂。將此時(shí)各樣本參數(shù)估計(jì)值求平均并作為后驗(yàn)估計(jì)值，具體參數(shù)估計(jì)值及沖擊過(guò)程參數(shù)值如表3所示。

3.3? 可靠度分析

在退化可靠性建模中，為了解決多重積分導(dǎo)致難以得到模型可靠度解析式的問(wèn)題，常通過(guò)Monte Carlo方法得到模型可靠度，也將該方法作為驗(yàn)證模型準(zhǔn)確性的一種途徑［35］，因此，本文以利用Monte Carlo方法得到的可靠度為基準(zhǔn)來(lái)評(píng)價(jià)所提模型的正確性。

根據(jù)表3所示的各參數(shù)值，通過(guò)仿真得到考慮多相關(guān)退化與僅考慮存在單個(gè)退化過(guò)程的可靠度曲線，見(jiàn)圖6。觀察圖6發(fā)現(xiàn)：考慮多相關(guān)退化的曲線相比于考慮一個(gè)退化過(guò)程更靠近縱坐標(biāo)軸，即考慮多相關(guān)退化會(huì)得到更保守的可靠性結(jié)果。為了定量分析可靠性結(jié)果，引入均方根誤差進(jìn)行評(píng)價(jià)。考慮多相關(guān)退化與僅考慮輪緣和輪徑的均方根誤差值依次為0.0052、0.0109和0.0764，發(fā)現(xiàn)考慮多相關(guān)退化模型的均方根值最小，驗(yàn)證了多相關(guān)退化模型的準(zhǔn)確性。

為了更直觀地對(duì)可靠度的變化情況進(jìn)行分析，引入可靠度變化率對(duì)其進(jìn)行量化，進(jìn)行數(shù)值比較分析，有vR=RC－RBRB，其中，vR為可靠度變化率，RC為比較者的可靠度，RB為被比較者的可靠度。

同時(shí)，從圖6中可以分別得到三種不同模型在可靠度為0.9時(shí)的可靠壽命以及可靠度為0.5時(shí)的中位壽命，具體數(shù)值如表4所示。

通過(guò)表4分析可知：對(duì)于不同曲線，考慮多相關(guān)退化與僅考慮輪緣的可靠性結(jié)果更接近，與僅考慮輪徑的結(jié)果相差較大。該情況與實(shí)際情況相符。將多相關(guān)退化過(guò)程的可靠度作為比較者，單退化過(guò)程作為被比較者，得到相應(yīng)的可靠度變化率如表4所示。隨著可靠度不斷降低，可靠度變化率逐漸增大，表明考慮多相關(guān)退化與僅考慮單退化過(guò)程的差異隨退化程度的加深而增大，在退化后期尤為明顯。

3.4? 靈敏度分析

3.4.1? 參數(shù)λ的靈敏度分析

為了討論定失效閾值與變失效閾值對(duì)可靠性的影響，分別在不同沖擊到達(dá)率λ的基礎(chǔ)上得到相應(yīng)的可靠度曲線，并進(jìn)行靈敏度分析，如圖7所示。

參數(shù)λ表示沖擊到達(dá)率，圖7a給出了不同情況下車輪的可靠度曲線。隨著λ的減?。匆欢ɡ锍滔掳l(fā)生的沖擊次數(shù)減少），車輪可靠度明顯提高。相較于定失效閾值，考慮變失效閾值會(huì)得到更加保守的可靠性結(jié)果。隨著λ值的增大，前期曲線越來(lái)越陡峭，可知沖擊對(duì)退化前期產(chǎn)生的影響更大。圖7b分析了不同λ值下的可靠度變化差異，結(jié)果表明：相較于定失效閾值，考慮失效閾值變化會(huì)對(duì)車輪的整個(gè)退化過(guò)程造成影響。不同λ下可靠度變化率曲線的變化趨勢(shì)雖無(wú)顯著變化，但隨著λ值的增大，曲線明顯上移。

λ=0.01，0.05，0.1所對(duì)應(yīng)的最大可靠度變化率分別為0.006、0.0277、0.049。當(dāng)沖擊較大時(shí)，考慮變失效閾值對(duì)可靠性的影響不可忽略，說(shuō)明了考慮失效閾值隨機(jī)性變化的必要性。

3.4.2? 參數(shù)μd的靈敏度分析

參數(shù)μd表示沖擊失效閾值的變化率，μd越大表明沖擊失效閾值下降越快。在σd值不變的情況下，不同μd值的可靠度曲線及可靠度變化率曲線見(jiàn)圖8。觀察圖8a發(fā)現(xiàn)，不同μd下車輪退化前期的可靠度曲線有明顯差異，驗(yàn)證了沖擊失效閾值的變化率對(duì)車輪退化前期的影響較大。當(dāng)可靠度為0.9時(shí)，μd=0.01，0.05，0.1所對(duì)應(yīng)的運(yùn)營(yíng)里程分別為14.6×104 km、13.7×104 km、11.6×104 km，后兩者與前者分別相差0.9×104 km、3.0×104 km。觀察圖8b發(fā)現(xiàn)，不同μd值下的車輪可靠度變化率曲線都呈現(xiàn)先增大后減小的變化規(guī)律。隨μd值的增大，可靠度變化率也增大。μd=0.05，0.1所對(duì)應(yīng)的最大可靠度變化率分別約為0.044、0.079。

3.4.3? 參數(shù)σd的靈敏度分析

參數(shù)σd表示沖擊失效閾值的波動(dòng)情況，σd越大表明閾值的波動(dòng)范圍越大。在μd值不變的情況下，不同σd值下的可靠度曲線及可靠度變化率曲線見(jiàn)圖9。觀察圖9a發(fā)現(xiàn)，在車輪退化前期，不同σd值下的可靠度曲線并不重疊，

而退化后期的可靠度曲線基本重疊，由此可知沖擊失效閾值的波動(dòng)情況主要對(duì)車輪退化前期的可靠性產(chǎn)生影響。觀察圖9b發(fā)現(xiàn)，σd值變化對(duì)車輪可靠度變化率的影響趨勢(shì)與μd值基本一致。σd=0.05，0.5所對(duì)應(yīng)的最大可靠度變化率分別約為0.011、0.028。

綜上，通過(guò)對(duì)μd和σd進(jìn)行靈敏度分析（即對(duì)變失效閾值進(jìn)行靈敏度分析），發(fā)現(xiàn)改變沖擊失效閾值會(huì)對(duì)車輪可靠性產(chǎn)生影響，尤其是當(dāng)失效閾值變化較大時(shí)，對(duì)車輪退化前期的可靠性影響更為顯著，說(shuō)明了考慮變失效閾值的必要性。

4? 結(jié)論

本文針對(duì)經(jīng)歷多個(gè)退化過(guò)程與沖擊過(guò)程的機(jī)械部件建立考慮沖擊失效閾值隨機(jī)變化的多相關(guān)退化可靠性模型，并基于實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行仿真計(jì)算，驗(yàn)證了模型的合理性和有效性，得到以下結(jié)論：

（1）考慮隨機(jī)沖擊與退化過(guò)程間存在相互影響，并在此基礎(chǔ)上考慮不同退化過(guò)程之間的相關(guān)性。此外，由于沖擊失效閾值會(huì)受到退化過(guò)程的不確定影響，認(rèn)為沖擊失效閾值是一個(gè)隨機(jī)變量，基于非平穩(wěn)Gamma過(guò)程和Copula函數(shù)建立多相關(guān)退化可靠性模型，并通過(guò)馬爾可夫鏈蒙特卡羅（MCMC）方法估計(jì)退化模型的未知參數(shù)。

（2）利用Monte Carlo方法驗(yàn)證了多相關(guān)退化模型的準(zhǔn)確性，并對(duì)該模型進(jìn)行可靠度分析。與僅考慮單個(gè)退化過(guò)程的可靠性模型相比，本文所建模型會(huì)得到更加保守的可靠性結(jié)果，可確保機(jī)械部件的工作安全性。

（3）對(duì)隨機(jī)沖擊失效閾值的參數(shù)進(jìn)行靈敏度分析發(fā)現(xiàn)，沖擊失效閾值變化對(duì)機(jī)械部件的整個(gè)退化過(guò)程都有影響，但對(duì)退化前期的影響更大。當(dāng)沖擊較大時(shí)，考慮沖擊失效閾值發(fā)生變化對(duì)可靠性造成的影響不可忽略，說(shuō)明了考慮變失效閾值的必要性。

由于機(jī)械部件的制造及裝配過(guò)程存在不可避免的誤差，且工作載荷、環(huán)境條件具有時(shí)變性等原因，機(jī)械部件性能相關(guān)性往往是動(dòng)態(tài)的、不確定的，而傳統(tǒng)的常數(shù)Copula函數(shù)無(wú)法體現(xiàn)不同退化過(guò)程中的動(dòng)態(tài)變化特性，不能完全反映機(jī)械部件相關(guān)性隨時(shí)間變化的特點(diǎn)，因此，在未來(lái)的研究中將探究時(shí)變Copula函數(shù)在工程問(wèn)題上的應(yīng)用。

參考文獻(xiàn)：

［1］? GAO Hongda， CUI Lirong， QIU Qingan. Reliability Modeling for Degradation-shock Dependence Systems with Multiple Species of Shocks［J］. Reliability Engineering and System Safety， 2019， 185：133-143.

［2］? 齊金平，劉曉宇，李鴻偉，等.高速列車車輪兩階段退化建模及可靠性分析［J/OL］.中國(guó)機(jī)械工程［2024-04-09］.http：∥kns.cnki.net/kcms/detail/42.1294.TH.20240402.1306.002.html.

QI Jinping， LIU Xiaoyu， LI Hongwei， et al. Modeling and Reliability Analysis of Wheel Degradation of High-speed Trains［J/OL］. China Mechanical Engineering［2024-04-09］. http：∥ kns.cnki.net /kcms /detail /42. 1294 . TH. 20240402. 1306.002. html.

［3］? WU Bei， CUI Lirong， YIN Juan. Reliability and Maintenance of Systems Subject to Gamma Degradation and Shocks in Dynamic Environments［J］. Applied Mathematical Modelling， 2021，96：367-381.

［4］? DAI Xinliang， QU Sheng， SUI Hao， et al. Reliabi-lity Modelling of Wheel Wear Deterioration Using Conditional Bivariate Gamma Processes and Bayesian Hierarchical Models［J］. Reliability Engineering and System Safety， 2022，226：108710.

［5］? 劉小平，郭斌，崔德軍，等.基于二元維納過(guò)程的小樣本齒輪泵可靠壽命預(yù)測(cè)［J］.中國(guó)機(jī)械工程， 2020， 31（11）：1315-1322.

LIU Xiaoping， GUO Bin， CUI Dejun， et al. Q-precentile Life Prediction Based on Bivariate Wiener Process for Gear Pumps with Small Sample Sizes［J］. China Mechanical Engineering， 2020， 31（11）：1315-1322.

［6］? GUAN Qiang， TANG Yincai， XU Ancha . Reference Bayesian Analysis of Inverse Gaussian Degradation Process［J］. Applied Mathematical Modelling， 2019， 74：496-511.

［7］? LYU Hao， QU Hongchen， XIE Hualong， et al. Reliability Analysis of the Multi-state System with Nonlinear Degradation Model under Markov Environment［J］. Reliability Engineering and System Safety， 2023，238：109411.

［8］? LIANG Qingzhu， YANG Yinghao， PENG Changhong. A Reliability Model for Systems Subject to Mutually Dependent Degradation Processes and Random Shocks under Dynamic Environments［J］. Reliability Engineering and System Safety， 2023， 234：109165.

［9］? WANG Zhihua， CAO Shihao， LI Wenbo， et al. Reliability Modeling for Competing Failure Processes Considering Degradation Rate Variation under Cumulative Shock［J］. Quality and Reliability Engineering International， 2022，39（1）：47-66.

［10］? HIMANSHU S， ANN M L， ANNE B. Introduction of Degradation Modeling in Qualification of the Novel Subsea Technology［J］. Reliability Engineering and System Safety， 2021， 216：107956.

［11］? ZHANG N， FOULADIRAD M， BARROS A， et al. Reliability and Maintenance Analysis of a Degradation-Threshold-Shock Model for a System in a Dynamic Environment［J］. Applied Mathematical Modelling， 2020， 91：549-562.

［12］? PENG H， FENG Q M， CAVID W D. Reliability and Maintenance Modeling for Systems Subject to Multiple Dependent Competing Failure Processes［J］. IIE Transactions， 2010，43（1）：12-22.

［13］? JIANG L， FENG Q M， CAVID W D. Modeling Zoned Shock Effects on Stochastic Degradation in Dependent Failure Processes［J］. IIE Transactions， 2015， 47（5）：460-470.

［14］? 孫富強(qiáng)，李艷宏，程圓圓.考慮有效沖擊量級(jí)的退化-沖擊競(jìng)爭(zhēng)失效建模［J］.振動(dòng)·測(cè)試與診斷， 2023， 43（1）：152-158.

SUN Fuqiang， LI Yanhong， CHENG Yuanyuan. Reliability Modeling of Degradation-shock Competing System Considering Effective Shock Magnitude［J］. Jounal of Vibration， Measurement & Diagnosis 2023， 43（1）：152-158.

［15］? 常春波，曾建潮.極端沖擊下系統(tǒng)競(jìng)爭(zhēng)性失效過(guò)程的可靠性建模［J］.系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐，2015，35（5）：1332-1338.

CHANG Chunbo， ZENG Jianchao. Reliability Modeling for Dependent Competing Failure Process under Extreme Shock［J］. System Engineering—Theory & Practice， 2015，35（5）：1332-1338.

［16］? 胡啟國(guó)，高展.考慮區(qū)域沖擊影響的系統(tǒng)競(jìng)爭(zhēng)失效可靠性建模［J］.系統(tǒng)仿真學(xué)報(bào)，2021，33（5）：1070-1077.

HU Qiguo， GAO Zhan. System Reliability Modeling in Competitive Failure Considering Zoned Shock Effect［J］. Journal of System Simulation， 2021，33（5）：1070-1077.

［17］? JIANG L， FENG Q M， CAVID W D. Reliability and Maintenance Modeling for Dependent Competing Failure Processes with Shifting Failure Thresholds［J］. IEEE Transactions on Reliability， 2012，61（4）：932-948.

［18］? HAO Songhua， YANG Jun， MA Xiaobing， et al. Reliability Modeling for Mutually Dependent Competing Failure Processes due to Degradation and Random Shocks［J］. Applied Mathematical Modelling， 2017， 51：232-249.

［19］? USYNIN A， HINES J W， URMANOV A.Uncertain Failure Thresholds in Cumulative Damage Models［C］∥ 2008 Annual Reliability & Maintainability Symposium. Las Vegas：IEEE Computer Society， 2008：334-340.

［20］? 夏悅馨，方志耕.考慮失效閾值隨機(jī)性的退化-沖擊競(jìng)爭(zhēng)失效建模［J］.北京航空航天大學(xué)學(xué)報(bào)， 2023， 49（8）：2079-2088.

XIA Yuexin， FANG Zhigeng. Degradation-shock Competing Failure Modeling Considering Randomness of Failure Threshold［J］. Journal of Beijing University of Aeronautics and Aatronautics 2023， 49（8）：2079-2088.

［21］? LI W J， PHAM H. Reliability Modeling of Multi-State Degraded Systems with Multi-competing Failures and Random Shocks［J］. IEEE Transactions on Reliability， 2005，54（2）：297-303.

［22］? YANG Chengqiang， GU Xiaohui， ZHAO Fangchao. Reliability Analysis of Degrading Systems Based on Time-varying Copula［J］. Microelectronics Reliability， 2022， 136：114628.

［23］? BAI G H， FLECK B， ZUO J M. A Stochastic Power Curve for Wind Turbines with Reduced Variability Using Conditional Copula［J］. Wind Energy， 2016， 19（8）：1519-1534.

［24］? TANG Jiayin， CHEN Chongshuang， HUANG Lei. Reliability Assessment Models for Dependent Competing Failure Processes Considering Correlations between Random Shocks and Degradations［J］. Quality and Reliability Engineering International， 2019， 35（1）：179-191.

［25］? AN Zongwen， SUN Daoming. Reliability Modeling for Systems Subject to Multiple Dependent Competing Failure Processes with Shock Loads above a Certain Level［J］. Reliability Engineering and System Safety， 2017， 157：129-138.

［26］? LIU Zhenyu， MA Xiaobing， YANG Jun， et al. Reliability Modeling for Systems with Multiple Degradation Processes Using Inverse Gaussian Process and Copulas［J］. Mathematical Problems in Engineering， 2014（1/2）：1-10.

［27］? SUN Fuqiang， LYU Hao， CHENG Yuanyuan， et al. Reliability Analysis for a System Experiencing Dependent Degradation Processes and Random Shocks Based on a Nonlinear Wiener Process Model［J］. Reliability Engineering & System Safety， 2021， 215：107906.

［28］? 楊志遠(yuǎn)，趙建民，程中華，等.基于退化相關(guān)性分析的競(jìng)爭(zhēng)失效系統(tǒng)可靠性模型［J］.兵工學(xué)報(bào)， 2020，41（7）：1423-1433.

YANG Zhiyuan， ZHAO Jianmin， CHENG Zhonghua， et al. Reliability Model of Competing Failure System with Dependent Degradation［J］. Acta Armamentarii， 2020， 41（7）：1423-1433.

［29］? HUYNH K， CASTRO I， BARROS A， et al. Modeling Age-based Maintenance Strategies with Minimal Repairs for Systems Subject to Competing Failure Modes due to Degradation and Shocks［J］. European Journal of Operational Research， 2011，218（1）：140-151.

［30］? WANG Haowei， XU Tingxue， MI Qiaoli. Lifetime Prediction Based on Gamma Processes from Accelerated degradation data［J］. Chinese Journal of Aeronautics， 2015， 28（1）：172-179.

［31］? 王新剛，馬瑞敏，黃小凱，等.基于性能退化的失效閾值變化速率對(duì)產(chǎn)品可靠性的影響［J］.航天器環(huán)境工程，2020，37（2）：137-142.

WANG Xingang， MA Ruimin， HUANG Xiaokai， et al. Effect of Failure Threshold Change Rate on the Analysis of Product Reliability Based on Performance Degradation［J］. Spacecraft Environment Engineering， 2020， 37（2）：137-142.

［32］? ZHANG Chao， CHEN Rentong， BAI Guanghan， et al. Reliability Estimation of Rotary Lip Seal in Aircraft Utility System Based on Time-varying Dependence Degradation Model and Its Experimental Validation［J］. Chinese Journal of Aeronautics， 2020， 33（8）：2230-2241.

［33］? MILADINOVIC B，TSOKOS P C.Sensitivity of the Bayesian Reliability Estimates for the Modified Gumbel Failure Model［J］. International Journal of Reliability， Quality and Safety Engineering， 2009， 16（4）：331-341.

［34］? ZENG Yuanchen， SONG Dongli， ZHANG Weihua， et al. Influence of Different Railway Lines on Wheel Damage of High-speed Trains：Data-driven Modelling and Prediction［J］. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers， Part O：Journal of Risk and Reliability， 2022， 237（3）：1-12.

［35］? LYU Hao， QU Hongchen， YANG Zaiyou， et al.Reliability Analysis of Dependent Competing Failure Processes with Time-varying δ Shock Model［J］. Reliability Engineering and System Safety， 2023， 229：108876.

（編輯? 胡佳慧）

作者簡(jiǎn)介：

馮? 洪，女，2000年生，碩士研究生。研究方向?yàn)閯?dòng)車組部件可靠性建模。E-mail：1750380194@qq.com。

齊金平（通信作者），男，1978年生，副教授。研究方向?yàn)閯?dòng)車組部件可靠性建模、剩余壽命預(yù)測(cè)， 多源數(shù)據(jù)融合。E-mail：qijinping@mail.lzjtu.cn。