DOI：10.16601/j.cnki.issn2096-7330.2024.01.007"文章編號：2096-7330（2024）01-0047-13

摘"要：該文考慮一類食餌—捕食者系統(tǒng)，其中食餌具有弱Allee-II效應，并且兩個種群都表現(xiàn)出種群行為.研究了系統(tǒng)平衡點的存在性和穩(wěn)定性，并給出了系統(tǒng)發(fā)生Hopf分岔、鞍結(jié)點分岔和B-T分岔的條件，最后用數(shù)值模擬驗證了理論分析的結(jié)果.

關(guān)鍵詞：種群行為；Allee-II效應；穩(wěn)定性；分岔

中圖分類號：O157.5""""文獻標志碼：A

1"研究背景

近年來，具有種群防御行為和Allee效應的食餌-捕食者模型的動力學行為已成為生物數(shù)學研究領域的熱點之一.種群行為表示種群在面臨危險時相互作用的情況.食餌會采用各種防御機制來讓自己免遭捕食，捕食者也會用各種策略來捕獵食餌.為弄清楚捕食者的數(shù)量是如何影響獵物的，許多學者研究了食餌具有種群防御機制的食餌—捕食者模型的相互作用.

2012年Braza[1]研究了食餌表現(xiàn)出群體行為的食餌—捕食者模型：

{SX（dxdtSX）=rx（1－SX（xKSX））－SX（αKF（xKF）y1+ThαKF（xKF）SX），SX（dydtSX）=－δy+SX（βαKF（xKF）y1+ThαKF（xKF）SX），

其中x和y分別為食餌和捕食者的種群密度，r為食餌增長率，K為環(huán)境容納量，α為捕食率，δ為捕食者死亡率，Th為捕食者處理獵物的平均時間，β為生物轉(zhuǎn)化率;所有的參數(shù)均非負.Braza假設捕食者處理獵物的平均時間為零Th=0，分析平衡點的穩(wěn)定性和分岔行為.Manaf等[2]和Maiti等[3]都假設生活在畜群中的食餌和捕食者都表現(xiàn)出種群行為，前者研究平衡點的分岔行為；后者討論平衡點的定性性質(zhì)，考慮高斯白噪聲環(huán)境波動對種群的影響.2020年Biswas等[4]將食餌和捕食者都表現(xiàn)出種群行為和Allee效應（SX（MK0SX）－1）結(jié)合起來，研究了食餌具有強Allee效應和兩個種群都表現(xiàn)出種群行為的食餌—捕食者模型，討論了該模型的定性性質(zhì)，分析平衡點的存在性和穩(wěn)定性，并通過數(shù)值模擬驗證了平衡點的一些全局行為.

Allee效應是指種群密度低于某一閾值時，種群生存和繁殖能力受到影響，導致種群數(shù)量減少的現(xiàn)象.根據(jù)Allee效應的強度的不同，分為強Allee效應和弱Allee效應，強Allee效應會導致種群數(shù)量迅速減少；弱Allee效應會導致種群數(shù)量緩慢減少.2010年Merdan[5]研究了食餌具有Allee效應為SX（xβ+xSX）的食餌—捕食者模型，其中，β表示Allee效應的強度.對食餌具有Allee效應的穩(wěn)態(tài)解進行穩(wěn)定性分析表明，受Allee效應影響的系統(tǒng)需要更長的時間才能達到其穩(wěn)定的穩(wěn)態(tài)解.2019年Singh等[6]在Aziz-Alaoui等[7]的研究基礎上考慮弱Allee-II效應（1+SX（AxSX）），A為Allee閾值.Singh等對該模型進行了穩(wěn)定性分析、分岔分析和數(shù)值研究，并與無Allee-II效應的模型進行對比，發(fā)現(xiàn)弱Allee-II效應有更加豐富且復雜的動力學行為.

本文考慮食餌具有弱Allee-II效應和兩個種群都表現(xiàn)出種群行為的食餌—捕食者系統(tǒng)

{HL（2：1，ZSX（dxdtSX）=rx（1－SX（xKSX））－qKF（xyKF）（1+SX（AxSX）），SX（dydtSX）=－sy+cKF（xyKF）.HL（5HL）HL）JY，2（1）

為簡化系統(tǒng)（1），作變換xDD（-*1/2-=SX（xKSX），yDD（-*1/2-=SX（yKSX），tDD（-*1/2-=rt，再去掉“-”，得到{SX（dxdtSX）=x（1－x）－SX（（αx+β）KF（yKF）KF（xKF）SX），SX（dydtSX）=－δy+dKF（xyKF），JY，2（2）

其中α=SX（qrSX），β=SX（qArKSX），δ=SX（srSX），d=SX（crSX）.對系統(tǒng)（2）研究平衡點的存在性和穩(wěn)定性，通過計算第一Lyapunov系數(shù)和數(shù)值模擬結(jié)果判斷Hopf分岔產(chǎn)生極限環(huán)的穩(wěn)定性；利用Sotomayor定理證明鞍結(jié)點分岔；通過推導B-T分岔的正規(guī)型，給出B-T分岔的分岔曲線.最后用數(shù)值模擬來驗證理論分析的結(jié)果.

2"平衡點分析

2.1"平衡點的存在性

為了獲得系統(tǒng)（2）的平衡點，我們考慮該系統(tǒng)的食餌等傾線和捕食者等傾線

{x（1－x）－SX（（αx+β）KF（yKF）KF（xKF）SX）=0，－δy+dKF（xyKF）=0，

顯然，平衡點是等傾線的交點.因為KF（xKF）作分母且不能為零，所以x≠0，系統(tǒng)（2）不存在滅絕平衡點E0（0，0）.容易看出E1（1，0）是系統(tǒng)（2）的邊界平衡點.對于內(nèi)部平衡點，我們只需考慮如下方程的正解：

{x2－SX（δ－dαδSX）x+SX（βdδSX）=0，y=SX（d2δ2SX）x，

其中第一個方程的判別式為

Δ=SX（（δ－dα）2－4βdδδ2SX）.JY，2（3）

當Δ≥0時，即參數(shù)條件滿足（δ－dα）2≥4βdδ時，系統(tǒng)（2）的內(nèi)部平衡點存在.關(guān)于系統(tǒng)（2）的內(nèi)部平衡點的個數(shù)，我們有

定理 1"對于所有的正參數(shù)，當δ＞dα時，系統(tǒng)（2）總存在邊界平衡點E1（1，0），對內(nèi)部平衡點分析如下：

（a） 若（δ－dα）2＜4βdδ，則系統(tǒng)（2）無內(nèi)部平衡點.

（b） 3若（δ－dα）2=4βdδ，則系統(tǒng)（2）有唯一的內(nèi)部平衡點E2（x2，y2），其中x2=SX（δ－dα2δSX），y2=SX（d2δ2SX）x2.

（c） 若（δ－dα）2＞4βdδ，則系統(tǒng)（2）有兩個內(nèi)部平衡點E3，4（x3，4，y3，4），其中

x3，4=SX（（δ－dα）±KF（（δ－dα）2－4βdδKF）2δSX），"y3，4=SX（d2δ2SX）x3，4.

2.2"平衡點的穩(wěn)定性

系統(tǒng)（2）的Jacobi矩陣為

J=［HL（21－2x－SX（1xSX）（αKF（xyKF）－SX（（αx+β）KF（yKF）2KF（xKF）SX））－SX（αx+β2KF（xyKF）SX）SX（dKF（yKF）2KF（xKF）SX）－δ+SX（dKF（xKF）2KF（yKF）SX）HL）］.JY，2（4）

2.2.1"邊界平衡點的穩(wěn)定性

我們用文獻[1]中的方法，對系統(tǒng)（2）的邊界平衡點E1（1，0）進行分析.

在E1的小鄰域內(nèi)令KF（xKF）≈1，yKF（y，KF）使得系統(tǒng)（2）充分靠近原點，則有

{HL（1SX（dxdtSX）=（1－x）－（α+β）KF（yKF），SX（dydtSX）=－δy+dKF（yKF）≈dKF（yKF）.HL）JY，2（5）

令z=1－x，則系統(tǒng)（5）化簡為

{SX（dzdtSX）=－z+（α+β）KF（yKF），SX（dydtSX）=dKF（yKF）.JY，2（6）

當x→1，y→0時，z，KF（yKF）等價于無窮小量，即將xoy平面上的邊界平衡點（1，0）平移到zoy平面的原點（0，0）上來討論其穩(wěn)定性.用常數(shù)變易法求解系統(tǒng)（6）的解曲線，再將zoy平面回代到xoy平面，則系統(tǒng)（5）的解曲線為x=1－（α+β）（KF（yKF）－SX（d2SX））－e－SX（2dSX）（KF（yKF）－KF（y0KF））［1－x0－（α+β）（KF（y0KF）－SX（d2SX））］.所以從（1，0）出發(fā)的解曲線為x=1－（α+β）（KF（yKF）－SX（d2SX））－SX（d2SX）（α+β）e－SX（2dSX）KF（yKF）.

根據(jù)實際的生態(tài)意義，我們只需要考慮第一象限的解曲線表達式，因為0＜e－SX（2dSX）KF（yKF）≤1，所以不等式0＜SX（d2SX）（α+β）e－SX（2dSX）KF（yKF）≤SX（d2SX）（α+β）成立，推出SX（d2SX）（α+β）－SX（d2SX）（α+β）e－SX（2dSX）KF（yKF）＞0，在此基礎上要確保1－（α+β）KF（yKF）＜0，即KF（yKF）＞SX（1α+βSX）＞0，才能使種群密度大于0，隨著解曲線的軌跡食餌種群逐漸趨向于滅絕（如圖1（a））.

由上述分析可知，初值為（x0，y0）且從邊界平衡點E1（1，0）的鄰域內(nèi)出發(fā)的解曲線上的點隨著時間的變化隨系統(tǒng)軌線運動，最終落在y軸的上半軸.根據(jù)數(shù)值結(jié)果顯示，系統(tǒng)（6）的原點是一個不穩(wěn)定的鞍點（如圖1（b）），它對應系統(tǒng)（2）上的平衡點E1（1，0），E1也是一個不穩(wěn)定鞍點（如圖1（c））.本文只考慮食餌與捕食者兩個種群之間的相互關(guān)系，不考慮其他獵物對捕食者的影響.隨著食餌的消亡，捕食者首先到達y軸上，但由于食餌的消亡，使之迫于饑餓而逐漸消亡，最終滅絕.

2.2.2"內(nèi)部平衡點的穩(wěn)定性

式（4）可化簡為

J=［HL（21－2x－SX（dαδSX）+SX（d（αx+β）2δxSX）－SX（δ（αx+β）2dxSX）SX（d22δSX）－SX（δ2SX）HL）］.JY，2（7）

定理2"（a） 平衡點E2（x2，y2）是一個退化奇點.

（b） 平衡點E3（x3，y3）是一個鞍點.

（c） 若1－2x4－SX（dαδSX）+SX（d（αx4+β）2δx4SX）＜SX（δ2SX），則平衡點E4（x4，y4）是穩(wěn)定點，若1－2x4－SX（dαδSX）+SX（d（αx4+β）2δx4SX）＞SX（δ2SX）則平衡點E4（x4，y4）是不穩(wěn)定點.

證明"（a） 系統(tǒng)（2）在平衡點E2（x2，y2）處的Jacobi矩陣為

JE2=［HL（2SX（12δ（δ－dα）SX）［dα（δ－dα）+2βdδ］－SX（δ2d（δ－dα）SX）［α（δ－dα）－2βδ］SX（d22δSX）－SX（δ2SX）HL）］，

可得det（JE2）=0，所以平衡點E2（x2，y2）是一個退化奇點.

（b） 系統(tǒng)（2）在平衡點E3（x3，y3）處的Jacobi矩陣為

JE3=［HL（21－2x3－SX（dαδSX）+SX（d（αx3+β）2δx3SX）－SX（δ（αx3+β）2dx3SX）SX（d22δSX）－SX（δ2SX）HL）］，

可得det（JE3）=－SX（12SX）KF（（δ－dα）2－4βdδKF）＜0，所以平衡點E3（x3，y3）是一個鞍點.

（c） 系統(tǒng)（2）在平衡點E4（x4，y4）處的Jacobi矩陣為

JE4=［HL（21－2x4－SX（dαδSX）+SX（d（αx4+β）2δx4SX）－SX（δ（αx4+β）2dx4SX）SX（d22δSX）－SX（δ2SX）HL）］，

可得det（JE4）=SX（12SX）KF（（δ－dα）2－4βdδKF）＞0，Tr（JE4）=1－2x4－SX（dαδSX）+SX（d（αx4+β）2δx4SX）－SX（δ2SX），因此，當1－2x4－SX（dαδSX）+SX（d（αx4+β）2δx4SX）＜SX（δ2SX）時，平衡點E4（x4，y4）是穩(wěn)定的，當1－2x4－SX（dαδSX）+SX（d（αx4+β）2δx4SX）＞SX（δ2SX）時，平衡點E4（x4，y4）是不穩(wěn)定的.

定理3"若平衡點E2（x2，y2）存在，則

（a） a10+b01≠0，平衡點E2（x2，y2）是鞍結(jié)點.

（b） a10+b01=0，β20≠0，2α20+β11≠0，平衡點E2（x2，y2）是余維2的尖點.

證明"作變換X=x－x2，Y=y－y2，將系統(tǒng)（2）的平衡點E2（x2，y2）移到原點，并將右式按Taylor級數(shù)展開到二階，得

{SX（dXdtSX）=a10X+a01Y+a20X2+a11XY+a02Y2+o|（X，Y）3|，

SX（dYdtSX）=b10X+b01Y+b20X2+b11XY+b02Y2+o|（X，Y）3|，JY，2（8）

其中，

a10=1－2x2－SX（1x2SX）［αKF（x2y2KF）－SX（（αx2+β）KF（y2KF）2KF（x2KF）SX）］，

a01=－SX（αx2+β2KF（x2y2KF）SX），

a20=－1+SX（αKF（y2KF）8KF（x32KF）SX）－SX（3βKF（y2KF）8KF（x52KF）SX），"a11=－SX（α4KF（x2y2KF）SX）+SX（β4KF（x32y2KF）SX），

a02=－SX（（αx2+β）8KF（x2y32KF）SX），

b10=SX（dKF（y2KF）2KF（x2KF）SX），

b01=－δ+SX（dKF（x2KF）2KF（y2KF）SX），"b20=－SX（dKF（y2KF）8KF（x32KF）SX），

b11=SX（d4KF（x2y2KF）SX），"b02=－SX（dKF（x2KF）8KF（y32KF）SX）.

情況1"若a10+b01≠0，也就是說Tr（JE2）≠0，Jacobi矩陣JE2對應的一個特征值為零，另一個特征值非零.

將x2=SX（δ－dα2δSX），y2=SX（d2δ2SX）x2代入aij，bij，（i，j=0，1，2），得到b10和b01之間的關(guān)系b10=－SX（d2δ2SX）b01.對應的Jacobi矩陣

JE2=（HL（2a10a01b10b01HL））a10+b01≠0=（HL（2a10a01－SX（d2δ2SX）b01b01HL））.Jacobi矩陣

JE2的特征值λ1=0，λ2=a10+b01，對應的特征向量為V1=［HL（11SX（d2δ2SX）HL）］，V2=［HL（11－SX（d2b01δ2a10SX）HL）］.

設T=［HL（211SX（d2δ2SX）－SX（d2b01δ2a10SX）HL）］，對系統(tǒng)（8）作變換（HL（1XYHL））=（HL（211SX（d2δ2SX）－SX（d2b01δ2a10SX）HL））（HL（1xyHL）），有

{HL（2：1，ZSX（dxdtSX）=αDD（-*1/2-20x2+αDD（-*1/2-11xy+αDD（-*1/2-02y2+o|（x，y）3|，SX（dydtSX）=βDD（-*1/2-01y+βDD（-*1/2-20x2+βDD（-*1/2-11xy+βDD（-*1/2-02y2+o|（x，y）3|，HL）

其中αDD（-*1/2-20=SX（a10a10+b01SX）{SX（b01a01SX）［SX（d2δ2SX）（a11+SX（d2δ2SX）a02）+a20］+SX（δ2d2SX）b20+b11+SX（d2δ2SX）b02}，

αDD（-*1/2-11=SX（a10a10+b01SX）［SX（2b01a10SX）（a20－SX（d2δ2SX）b02）+（b11+SX（d2a11b01δ2a10SX））（1－SX（b01a10SX））－SX（2a02b201a210SX）+SX（δ2d2SX）b02］，

αDD（-*1/2-02=SX（a10a10+b01SX）{SX（b01a01SX）［SX（d2δ2SX）（a11+SX（d2δ2SX）a02）+a20］+SX（δ2d2SX）b20－SX（b01a10SX）（b11－SX（d2b01b02δ2a10SX））}，

βDD（-*1/2-01=a10+b01，

βDD（-*1/2-20=SX（a10a10+b01SX）［a20－b11+SX（d2δ2SX）（a11－b02）+SX（d4δ4SX）a02－SX（δ2d2SX）b20］，

βDD（-*1/2-11=SX（a10a10+b01SX）［2a20+（1－SX（b01a10SX））（a11－b11）+SX（2d2b01δ2a10SX）（b02－SX（d2δ2SX）a02）－SX（δ2d2SX）b20］，

βDD（-*1/2-02=SX（a10a10+b01SX）［a20+SX（b01a10SX）（b11+SX（d2δ2SX）a11）－SX（d2b201δ2a210SX）（b02+SX（d2δ2SX）a02）－SX（δ2d2SX）b20］.

作時間尺度變換τ=（a10+b01）t，即τ=βDD（-*1/2-01t，得

{HL（2：1，ZSX（dxdtSX）=αDD（-*1/2＾20x2+αDD（-*1/2＾11xy+αDD（-*1/2＾02y2+o|（x，y）3|，SX（dydtSX）=y+βDD（-*1/2＾20x2+βDD（-*1/2＾11xy+βDD（-*1/2＾02y2+o|（x，y）3|，HL）JY，2（9）

其中αDD（-*1/2＾ij=SX（αDD（-*1/2-ija10+b01SX），βDD（-*1/2＾ij=SX（βDD（-*1/2-ija10+b01SX）（i，j=0，1，2）.

根據(jù)文獻[8，定理7.1]，因為m=2為偶數(shù)，所以系統(tǒng)（9）的原點O（0，0）是一個鞍結(jié)點；進入原點的分界線分成兩個部分，一部分是拋物扇形，另一部分是兩個雙曲扇形.當αDD（-*1/2＾20＞0（＜0）時，拋物扇形落在右（左）半平面（如圖2（a）（b））.又因為系統(tǒng)（2）與系統(tǒng)（9）拓撲等價，所以E2也是一個鞍結(jié)點.

情況2"若a10+b01=0，則Jacobi矩陣JE2的兩個特征值都為零.

對系統(tǒng)（8）作變換U1=X，U2=a10X+b01Y得

{SX（dU1dtSX）=U2+α20U21+α11U1U2+α02U22+o|（U1，U2）3|，SX（dU2dtSX）=β20U21+β11U1U2+β02U22+o|（U1，U2）3|，JY，2（10）

其中α20=a20－SX（a10a11a01SX）+SX（a210a02a201SX），α11=SX（a11a01SX）－SX（2a10a02a201SX），α02=SX（a02a201SX），β02=SX（b02a01SX）+SX（a01a10a210SX），

β20=a10a20+a01b20－a10b11－SX（a210a11a01SX）+SX（a210b02a01SX）+SX（a310a02a201SX），β11=b11+SX（a10a11a01SX）－SX（2a10b02a01SX）－SX（2a210a02a201SX）.

再對系統(tǒng)（10）作變換V1=U1，V2=U2－β02U1U2，得

{SX（dV1dtSX）=V2+α20V21+（α11+β02）V1V2+α02V22+o|（V1，V2）3|，

SX（dV2dtSX）=β20V21+β11V1V2+o|（V1，V2）3|，JY，2（11）

對系統(tǒng)（11）作變換Z1=V1－SX（12SX）（α11+β02），Z2=V2+α20V21+α02V22+o|（V1，V2）3|得

{SX（dZ1dtSX）=Z2，

SX（dZ2dtSX）=β20Z21+（2α20+β11）Z1Z2+o|（Z1，Z2）3|.JY，2（12）

若系統(tǒng)（12）滿足非退化條件β20≠0，2α20+β11≠0，則原點O（0，0）在Z1Z2平面上是余維2的尖點.因為系統(tǒng)（2）在E2處的穩(wěn)定性拓撲等價于系統(tǒng)（12）在原點處的穩(wěn)定性，所以平衡點E2在xy平面上是余維2的尖點.例如取α20=0.3，β20=0.2，β11=0.5時，可得尖點如圖2（c）所示.

3"分岔分析

3.1"Hopf分岔

在定理2（c）中，當Jacobi矩陣的跡的符號發(fā)生改變時，平衡點E4的穩(wěn)定性發(fā)生變化.若1－2x4－SX（dαδSX）+SX（d（αx4+β）2δx4SX）=SX（δ2SX），則有tr（JE4）=0，det（JE4）＞0，故JE4的特征值是一對共軛的純虛根，從而E4可能是一個中心或一個弱焦點.

定理4"2若E4（x4，y4）存在，選β作為分岔參數(shù)，當β=βH=SX（110dδSX）（δ－dα+KF（ΔKF））（δ2+2δ－3dα）時，系統(tǒng)（2）在E4（x4，y4）處發(fā)生Hopf分岔，產(chǎn)生一個不穩(wěn)定的極限環(huán).

證明"選取β作為分岔參數(shù)，根據(jù)穩(wěn)定性分析知，平衡點E4處的Jacobi矩陣的行列式和跡分別為

det（JE4）=SX（12SX）KF（（δ－dα）2－4βdδKF）＞0，"tr（JE4）=1－2x4－SX（dαδSX）+SX（d（αx4+β）2δx4SX）－SX（δ2SX）.

當tr（JE4）=0時，分岔參數(shù)β=βH=SX（110dδSX）（δ－dα+KF（ΔKF））（δ2+2δ－3dα），因為判別式Δ是關(guān)于β的函數(shù)，所以βH是隱函數(shù).若參數(shù)同時滿足限制條件tr（JE4）=0，det（JE4）＞0和橫截性條件

SX（ddβSX）tr（JE4）|β=βH=（SX（2dKF（ΔKF）SX）+SX（d2δx4SX）+SX（βd22δx24KF（ΔKF）SX））|β=βH≠0，

則系統(tǒng)（2）發(fā)生Hopf分岔，內(nèi)部平衡點E4的穩(wěn)定性發(fā)生改變.為了討論極限環(huán)的穩(wěn)定性，首先計算第一Lyapunov系數(shù).對系統(tǒng)（2）作變換xDD（-*1/2-=x－x4，yDD（-*1/2-=y－y4，再去掉“-”得到

3{SX（dxdtSX）=aDD（-*1/2＾10x+aDD（-*1/2＾01y+aDD（-*1/2＾20x2+aDD（-*1/2＾11xy+aDD（-*1/2＾02y2+aDD（-*1/2＾30x3+aDD（-*1/2＾21x2y+aDD（-*1/2＾12xy2+aDD（-*1/2＾03y3+P（x，y），SX（dydtSX）=bDD（-*1/2＾10x+bDD（-*1/2＾01y+bDD（-*1/2＾20x2+bDD（-*1/2＾11xy+bDD（-*1/2＾02y2+bDD（-*1/2＾30x3+bDD（-*1/2＾21x2y+bDD（-*1/2＾12xy2+bDD（-*1/2＾03y3+Q（x，y），JY，2（2）′

3其中aDD（-*1/2＾10=1－2x4－SX（1x4SX）［αKF（x4y4KF）－SX（（αx4+β）KF（y4KF）2KF（x4KF）SX）］，aDD（-*1/2＾01=－SX（αx4+β2KF（x4y4KF）SX），aDD（-*1/2＾20=－1+SX（αKF（y4KF）8KF（x34KF）SX）－SX（3βKF（y4KF）8KF（x54KF）SX），

aDD（-*1/2＾11=－SX（α4KF（x4y4KF）SX）+SX（β4KF（x34y4KF）SX），

aDD（-*1/2＾02=－SX（（αx4+β）8KF（x4y34KF）SX），

aDD（-*1/2＾30=－SX（αKF（y4KF）16KF（x54KF）SX）+SX（5βKF（y4KF）16KF（x74KF）SX），

aDD（-*1/2＾21=SX（α16KF（x34y4KF）SX）－SX（3β16KF（x54y4KF）SX），

aDD（-*1/2＾12=SX（α16KF（x4y34KF）SX）－SX（β16KF（x34y34KF）SX），

aDD（-*1/2＾03=SX（α16KF（x4y54KF）SX）+SX（β16KF（x4y54KF）SX），

bDD（-*1/2＾10=SX（dKF（y4KF）2KF（x4KF）SX），

bDD（-*1/2＾01=－δ+SX（dKF（x4KF）2KF（y4KF）SX），

bDD（-*1/2＾20=－SX（dKF（y4KF）8KF（x34KF）SX），

bDD（-*1/2＾11=SX（d4KF（x4y4KF）SX），

bDD（-*1/2＾02=－SX（dKF（x4KF）8KF（y34KF）SX），

bDD（-*1/2＾30=SX（dKF（y4KF）16KF（x54KF）SX），

bDD（-*1/2＾21=－SX（d16KF（x34y4KF）SX），

bDD（-*1/2＾12=－SX（d16KF（x4y34KF）SX），

bDD（-*1/2＾03=SX（dKF（x4KF）16KF（y54KF）SX），

P（x，y）和Q（x，y）是滿足i+j≥4的冪級數(shù)項xiyj.因此，根據(jù)文獻[9]知，系統(tǒng)（2）′的第一Lyapunov系數(shù)為

σ=－SX（3π2aDD（-*1/2＾01ΔSX（32SX）1SX）｛aDD（-*1/2＾10bDD（-*1/2＾10（aDD（-*1/2＾211+aDD（-*1/2＾11bDD（-*1/2＾02+aDD（-*1/2＾02bDD（-*1/2＾11）+aDD（-*1/2＾10aDD（-*1/2＾01（bDD（-*1/2＾211+aDD（-*1/2＾20bDD（-*1/2＾11+aDD（-*1/2＾11bDD（-*1/2＾02）+

bDD（-*1/2＾210（aDD（-*1/2＾11aDD（-*1/2＾02+2aDD（-*1/2＾02bDD（-*1/2＾02）

－2aDD（-*1/2＾10bDD（-*1/2＾10（bDD（-*1/2＾202－

aDD（-*1/2＾20aDD（-*1/2＾02）－

2aDD（-*1/2＾10aDD（-*1/2＾01（aDD（-*1/2＾220－

bDD（-*1/2＾20bDD（-*1/2＾02）－

aDD（-*1/2＾201（2aDD（-*1/2＾20bDD（-*1/2＾20+

bDD（-*1/2＾11bDD（-*1/2＾20）+

（aDD（-*1/2＾01bDD（-*1/2＾10－

2aDD（-*1/2＾210）（bDD（-*1/2＾11bDD（-*1/2＾02－aDD（-*1/2＾11aDD（-*1/2＾20）－

（aDD（-*1/2＾210+aDD（-*1/2＾01bDD（-*1/2＾10）［3（bDD（-*1/2＾10bDD（-*1/2＾03－

aDD（-*1/2＾01aDD（-*1/2＾30）+

2aDD（-*1/2＾10（aDD（-*1/2＾21+bDD（-*1/2＾12）+（bDD（-*1/2＾10aDD（-*1/2＾12－aDD（-*1/2＾01bDD（-*1/2＾21）］｝.

其中Δ1=det（JE4）=SX（12SX）KF（（δ－dα）2－4βdδKF）.因σ＞0，故系統(tǒng)（2）發(fā)生亞臨界Hopf分岔，數(shù)值結(jié)果如圖3所示.取參數(shù)α=05，d=02，δ=015，β＜00083，則σ＞0，于是系統(tǒng)（2）發(fā)生亞臨界Hopf分岔.當β=00083時平衡點E4不穩(wěn)定，當β=0006時平衡點E4附近產(chǎn)生一個不穩(wěn)定的極限環(huán)，當β=0004時平衡點E4穩(wěn)定.

3.2"鞍結(jié)點分岔

在定理1中，δ＞dα，當（δ－dα）2＞4βdδ時系統(tǒng)（2）有兩個內(nèi)部平衡點；當（δ－dα）2=4βdδ時，兩個內(nèi)部平衡點相互重合，得到一個內(nèi)部平衡點E2；當（δ－dα）2＜4βdδ時系統(tǒng)（2）無內(nèi)部平衡點.系統(tǒng)（2）的內(nèi)部平衡點個數(shù)從2變成0，發(fā)生鞍結(jié)點分岔，取β作為分岔參數(shù)β=βSN=SX（（δ－dα）24dδSX）.

定理5"系統(tǒng)（2）滿足參數(shù)條件δ＞dα，a10+b01≠0，α≠α*=SX（δ（7+3δ2d2）d（11－δ2d2）SX），β=βSN=SX（（δ－dα）24dδSX）時，在點E2處關(guān)于分岔參數(shù)β發(fā)生鞍結(jié)點分岔.

證明"利用Sotomayor定理[10]來證明系統(tǒng)（2）在參數(shù)β=βSN時發(fā)生鞍結(jié)點分岔.注意到det（JE2）=λ1λ2=0，tr（JE2）=λ1+λ2≠0，可不妨設λ1=0，λ2≠0.設V和W分別是JE2和JTE2的屬于特征值λ1的特征向量，可求得V=［HL（1V1V2HL）］=［HL（1SX（δ2d2SX）1HL）］，W=［HL（1W1W2HL）］=［HL（1－SX（d（δ－dα）α（δ－dα）+2βδSX）1HL）］.進一步可得

Fβ（E2;βSN）=［HL（1－SX（KF（yKF）KF（xKF）SX）0HL）］（E2;βSN）=［HL（1－SX（dδSX）0HL）］，

D2F（E2;βSN）（V，V）=［HL（1SX（2F1x2SX）V21+2SX（2F1xySX）V1V2+SX（2F1y2SX）V22SX（2F2x2SX）V21+2SX（2F2xySX）V1V2+SX（2F2y2SX）V22HL）］（E2;βSN）=

［HL（1SX（δ4d4SX）［－2+SX（KF（y2KF）4KF（x32KF）SX）（α－SX（3βx2SX））］+SX（δ22d2KF（x2y2KF）SX）（－α+SX（βx2SX））－SX（KF（x2KF）4KF（y32KF）SX）（α－SX（βx2SX））－SX（δ4KF（y2KF）4d3KF（x32KF）SX）+SX（δ22dKF（x2y2KF）SX）－SX（dKF（x2KF）4KF（y32KF）SX）HL）］.

顯然，V和W滿足橫截性條件

WTFβ（E2;βSN）=SX（d2（δ－dα）αδ（δ－dα）+2βδ2SX）≠0，

WT［D2F（E2;βSN）（V，V）］=SX（δ44d3［α（δ－dα）+2βδ］SX）［7δ－11dα+δ2d2（3δ+dα）］≠0.

令B=WT［D2F（E2;βSN）（V，V）］，α*=SX（δ（7+3δ2d2）d（11－δ2d2）SX），當α≠α*時，B≠0滿足鞍結(jié)點分岔的橫截性條件.參數(shù)β從小到大變化時，系統(tǒng)（2）的內(nèi)部平衡點的個數(shù)從2變?yōu)?，在E2處發(fā)生鞍結(jié)點分岔.數(shù)值模擬圖如圖4所示，取β作為分岔參數(shù)，α=0.2，d=0.2，δ=0.1，βSN=0.045.內(nèi)部平衡點的存在性依賴于參數(shù)β的取值：若β＜βSN，則系統(tǒng)（2）有兩個內(nèi)部平衡點E3，4；若β=βSN，則系統(tǒng)（2）有唯一的內(nèi)部平衡點E2；若β＞βSN，則系統(tǒng)（2）無內(nèi)部平衡點.

3.3"B-T分岔

在定理3（b）中，我們討論了E2是余維2的尖點，其中，a10+b01=0，β20≠0，2α20+β11≠0.取β和δ作為分岔參數(shù)，推導系統(tǒng)（2）的B-T分岔正規(guī)型，得出分岔曲線.

定理6"取β，δ作為分岔參數(shù)，若滿足1－2x2－SX（dαδSX）+SX（d（αx2+β）2δx2SX）=SX（δ2SX），β20≠0，2α20+β11≠0.則系統(tǒng)（2）在E2的充分小鄰域內(nèi)經(jīng)歷余維2的B-T分岔.因此，在獨立參數(shù)向量λ1λ2平面上通過B-T分岔點時存在三條分岔曲線：

（i） 鞍結(jié)點分岔曲線lSN={（λ1，λ2）：α1=0，α2≠0}，

（ii） Hopf分岔曲線lH={（λ1，λ2）：α2=±KF（－α1KF），α1＜0}，

（iii） 同宿分岔曲線LHL={（λ1，λ2）：α2=±SX（57SX）KF（－α1KF），α1＜0}.

證明"假設分岔參數(shù)β，δ在（β+λ1，δ+λ2）鄰域內(nèi)發(fā)生變化，λ=（λ1，λ2）是原點（0，0）的小鄰域內(nèi)的獨立參數(shù)向量，系統(tǒng)（2）的擾動系統(tǒng)為

{SX（dxdtSX）=x（1－x）－SX（（αx+β+λ1）KF（yKF）KF（xKF）SX），

SX（dydtSX）=－（δ+λ2）xy+dKF（xyKF）.JY，2（13）

作變換xDD（-*1/2-=x－x2，yDD（-*1/2-=y－y2，使得原點（0，0）作為分岔點，得

{SX（dxDD（-*1/2-dtSX）=aDD（-*1/2-00+aDD（-*1/2-10xDD（-*1/2-+aDD（-*1/2-01yDD（-*1/2-+aDD（-*1/2-20xDD（-*1/2-2+aDD（-*1/2-11xDD（-*1/2-yDD（-*1/2-+aDD（-*1/2-02yDD（-*1/2-2+P1（xDD（-*1/2-，yDD（-*1/2-，λ），

SX（dyDD（-*1/2-dtSX）=bDD（-*1/2-00+bDD（-*1/2-10xDD（-*1/2-+bDD（-*1/2-01yDD（-*1/2-+bDD（-*1/2-20xDD（-*1/2-2+bDD（-*1/2-11xDD（-*1/2-yDD（-*1/2-+bDD（-*1/2-02yDD（-*1/2-2+Q1（xDD（-*1/2-，yDD（-*1/2-，λ），

其中aDD（-*1/2-00=－SX（dδSX）λ1，aDD（-*1/2-10=1－2x2－SX（1x2SX）［αKF（x2y2KF）－SX（（αx2+β+λ1）KF（y2KF）2KF（x2KF）SX）］，aDD（-*1/2-01=－SX（αx2+β+λ12KF（x2y2KF）SX），

aDD（-*1/2-20=－1+SX（αKF（y2KF）8KF（x32KF）SX）－SX（3（β+λ1）KF（y2KF）8KF（x52KF）SX），aDD（-*1/2-11=－SX（α4KF（x2y2KF）SX）+SX（β+λ14KF（x32y2KF）SX），aDD（-*1/2-02=－SX（（αx2+β+λ1）8KF（x2y32KF）SX），

bDD（-*1/2-00=－SX（d2（δ－dα）2δ3SX）λ2，bDD（-*1/2-10=SX（dKF（y2KF）2KF（x2KF）SX），bDD（-*1/2-01=－（δ+λ2）+SX（dKF（x2KF）2KF（y2KF）SX），

bDD（-*1/2-20=－SX（dKF（y2KF）8KF（x32KF）SX），bDD（-*1/2-11=SX（d4KF（x2y2KF）SX），bDD（-*1/2-02=－SX（dKF（x2KF）8KF（y32KF）SX），

P1和Q1是（xDD（-*1/2-，yDD（-*1/2-）平面中滿足i+j≥3的冪級數(shù)xiyj.作變換zDD（-*1/2-1=xDD（-*1/2-，zDD（-*1/2-2=aDD（-*1/2-10xDD（-*1/2-+aDD（-*1/2-01yDD（-*1/2-，得

{SX（dzDD（-*1/2-1dtSX）=cDD（-*1/2-00+zDD（-*1/2-2+cDD（-*1/2-20zDD（-*1/2-21+cDD（-*1/2-11zDD（-*1/2-1zDD（-*1/2-2+cDD（-*1/2-02zDD（-*1/2-22+P2（zDD（-*1/2-1，zDD（-*1/2-2，λ），

SX（dzDD（-*1/2-2dtSX）=dDD（-*1/2-00+dDD（-*1/2-10zDD（-*1/2-1+dDD（-*1/2-01zDD（-*1/2-2+dDD（-*1/2-20zDD（-*1/2-21+dDD（-*1/2-11zDD（-*1/2-1zDD（-*1/2-2+dDD（-*1/2-02zDD（-*1/2-22+Q2（zDD（-*1/2-1，zDD（-*1/2-2，λ），

其中cDD（-*1/2-00=aDD（-*1/2-00，dDD（-*1/2-00=aDD（-*1/2-00aDD（-*1/2-10+aDD（-*1/2-01bDD（-*1/2-00，cDD（-*1/2-20=aDD（-*1/2-20－SX（aDD（-*1/2-10aDD（-*1/2-11aDD（-*1/2-01SX）+SX（aDD（-*1/2-02aDD（-*1/2-210aDD（-*1/2-201SX），cDD（-*1/2-11=SX（aDD（-*1/2-11aDD（-*1/2-01SX）－SX（2aDD（-*1/2-02aDD（-*1/2-10aDD（-*1/2-201SX），cDD（-*1/2-02=SX（aDD（-*1/2-02aDD（-*1/2-201SX），

dDD（-*1/2-10=aDD（-*1/2-01bDD（-*1/2-10－aDD（-*1/2-10bDD（-*1/2-01，dDD（-*1/2-01=aDD（-*1/2-10+bDD（-*1/2-01，dDD（-*1/2-20=aDD（-*1/2-10aDD（-*1/2-20+aDD（-*1/2-01bDD（-*1/2-20－aDD（-*1/2-10bDD（-*1/2-11－SX（aDD（-*1/2-210aDD（-*1/2-11aDD（-*1/2-01SX）+SX（aDD（-*1/2-210bDD（-*1/2-02aDD（-*1/2-01SX）+SX（aDD（-*1/2-02aDD（-*1/2-310aDD（-*1/2-201SX），

dDD（-*1/2-11=bDD（-*1/2-11+SX（aDD（-*1/2-10aDD（-*1/2-11aDD（-*1/2-01SX）－SX（2aDD（-*1/2-10bDD（-*1/2-02aDD（-*1/2-01SX）－SX（2aDD（-*1/2-02aDD（-*1/2-210aDD（-*1/2-201SX），dDD（-*1/2-02=SX（bDD（-*1/2-02aDD（-*1/2-01SX）+SX（aDD（-*1/2-02aDD（-*1/2-10aDD（-*1/2-201SX），

P2和Q2是（zDD（-*1/2-1，zDD（-*1/2-2）平面中滿足i+j≥3的冪級數(shù)zDD（-*1/2-i1zDD（-*1/2-j2.作變換uDD（-*1/2-1=zDD（-*1/2-1，uDD（-*1/2-2=zDD（-*1/2-2－dDD（-*1/2-02zDD（-*1/2-1zDD（-*1/2-2，得

{SX（duDD（-*1/2-1dtSX）=eDD（-*1/2-00+uDD（-*1/2-2+eDD（-*1/2-20uDD（-*1/2-21+eDD（-*1/2-11uDD（-*1/2-1uDD（-*1/2-2+eDD（-*1/2-02uDD（-*1/2-22+P3（uDD（-*1/2-1，uDD（-*1/2-2，λ），

SX（duDD（-*1/2-2dtSX）=fDD（-*1/2-00+fDD（-*1/2-10uDD（-*1/2-1+fDD（-*1/2-01uDD（-*1/2-2+fDD（-*1/2-20uDD（-*1/2-21+fDD（-*1/2-11uDD（-*1/2-1uDD（-*1/2-2+Q3（uDD（-*1/2-1，uDD（-*1/2-2，λ），

其中eDD（-*1/2-00=cDD（-*1/2-00，eDD（-*1/2-20=cDD（-*1/2-20，eDD（-*1/2-11=（cDD（-*1/2-11+dDD（-*1/2-02），eDD（-*1/2-02=cDD（-*1/2-02，fDD（-*1/2-00=dDD（-*1/2-00，fDD（-*1/2-10=dDD（-*1/2-10－dDD（-*1/2-02dDD（-*1/2-00，fDD（-*1/2-01=dDD（-*1/2-01－cDD（-*1/2-00dDD（-*1/2-02，

fDD（-*1/2-20=dDD（-*1/2-20－dDD（-*1/2-02dDD（-*1/2-10，fDD（-*1/2-11=dDD（-*1/2-11－dDD（-*1/2-01dDD（-*1/2-02－cDD（-*1/2-00dDD（-*1/2-202，

P3和Q3是（uDD（-*1/2-1，uDD（-*1/2-2）平面中滿足i+j≥3的冪級數(shù)uDD（-*1/2-i1uDD（-*1/2-j2.作變換n1=uDD（-*1/2-1－eDD（-*1/2-02uDD（-*1/2-1uDD（-*1/2-2，n2=uDD（-*1/2-2，得

{SX（dn1dtSX）=p00+p10n1+p01n2+p20n21+p11n1n2+P4（n1，n2，λ），

SX（dn2dtSX）=q00+q10n1+q01n2+q20n21+q11n1n2+Q4（n1，n2，λ），

其中p00=eDD（-*1/2-00，p10=－eDD（-*1/2-02fDD（-*1/2-00，p01=1－eDD（-*1/2-00eDD（-*1/2-02，p20=eDD（-*1/2-20－eDD（-*1/2-02fDD（-*1/2-10，p11=eDD（-*1/2-11－eDD（-*1/2-02fDD（-*1/2-01，q00=fDD（-*1/2-00，

q10=fDD（-*1/2-10，q01=fDD（-*1/2-01，q20=fDD（-*1/2-20，q11=fDD（-*1/2-11+eDD（-*1/2-02fDD（-*1/2-10，

P4和Q4是（n1，n2）平面中滿足i+j≥3的冪級數(shù)ni1nj2.作時間尺度變換dt=p01dτ，再用t表示τ，得

{SX（dn1dtSX）=ξ00+ξ10n1+n2+ξ20n21+ξ11n1n2+P5（n1，n2，λ），

SX（dn2dtSX）=η00+η10n1+η01n2+η20n21+η11n1n2+Q5（n1，n2，λ），

其中ξ00=SX（p00p01SX），ξ10=SX（p10p01SX），ξ20=SX（p20p01SX），ξ11=SX（p11p01SX），η00=SX（q00p01SX），η10=SX（q10p01SX），η01=SX（q01p01SX），η20=SX（q20p01SX），η11=SX（q11p01SX），

P5和Q5是（n1，n2）平面中滿足i+j≥3的冪級數(shù)ni1nj2.

作變換v1=n1，v2=ξ00+ξ10n1+n2+ξ20n21+ξ11n1n2+P5（n1，n2，λ）.

{SX（dv1dtSX）=v2，

SX（dv2dtSX）=γ00+γ10v1+γ01v2+γ20v21+γ11v1v2+Q6（v1，v2，λ），JY，2（14）

其中γ00=η00－ξ00η01，γ10=η10－ξ00η11－ξ10η01+ξ00ξ11η01，γ01=ξ10+η01，

γ20=η20－ξ10η11－ξ20η01+ξ00ξ11η11+ξ10ξ11η01，γ11=η11－ξ11η01，

Q6是（v1，v2）平面中滿足i+j≥3的冪級數(shù)vi1vj2.由于系統(tǒng)（14）中γ20的表達式過于復雜，所以不能確定γ20的符號.

情況1"γ20＞0.

作變換u1=v1，u2=SX（v2KF（γ20KF）SX），τ=KF（γ20KF）t，再用t表示τ，得

{SX（du1dtSX）=u2，

SX（du2dtSX）=s00+s10u1+s01u2+u21+s11u1u2+Q7（u1，u2，λ），

其中s00=SX（γ00γ20SX），s10=SX（γ10γ20SX），s01=SX（γ01KF（γ20KF）SX），s11=SX（γ11KF（γ20KF）SX），

Q7是（u1，u2）平面中滿足i+j≥3的冪級數(shù)ui1uj2.

作變換ω1=u1+SX（s102SX），ω2=u2，得

{SX（dω1dtSX）=ω2，

SX（dω2dtSX）=θ00+θ01ω2+ω21+θ11ω1ω2+Q8（ω1，ω2，λ），

其中θ00=s00－SX（s2104SX），θ01=s01－SX（s10s112SX），θ11=s11，Q8是（ω1，ω2）平面中滿足i+j≥3的冪級數(shù)ωi1ωj2.若γ11≠0則s11=θ11≠0.作變換x=θ211ω1，y=θ311ω2，τ=SX（tθ11SX），再用t表示τ，得

{SX（dxdtSX）=y，

SX（dydtSX）=α1+α2y+x2+xy+Q9（x，y，λ），JY，2（15）

其中

α1=θ00θ411，"α2=θ01θ11.JY，2（16）

情況2"γ20＜0.

作變換uDD（-*1/2～1=v1，uDD（-*1/2～2=SX（v2KF（－γ20KF）SX），τ=KF（－γ20KF）t，再用t表示τ，得

{SX（duDD（-*1/2～1dtSX）=uDD（-*1/2～2，

SX（duDD（-*1/2～2dtSX）=sDD（-*1/2～00+sDD（-*1/2～10uDD（-*1/2～1+sDD（-*1/2～01uDD（-*1/2～2－uDD（-*1/2～21+sDD（-*1/2～11uDD（-*1/2～1uDD（-*1/2～2+QDD（-*1/2～7（uDD（-*1/2～1，uDD（-*1/2～2，λ），

其中sDD（-*1/2～00=－SX（γ00γ20SX），sDD（-*1/2～10=－SX（γ10γ20SX），sDD（-*1/2～01=SX（γ01KF（－γ20KF）SX），sDD（-*1/2～11=SX（γ11KF（－γ20KF）SX），QDD（-*1/2～7是（uDD（-*1/2～1，uDD（-*1/2～2）平面中滿足i+j≥3的冪級數(shù)uDD（-*1/2～i1uDD（-*1/2～j2.

作變換ωDD（-*1/2～1=uDD（-*1/2～1－SX（sDD（-*1/2～102SX），ωDD（-*1/2～2=uDD（-*1/2～2，得

{SX（dωDD（-*1/2～1dtSX）=ωDD（-*1/2～2，

SX（dωDD（-*1/2～2dtSX）=θDD（-*1/2～00+θDD（-*1/2～01ωDD（-*1/2～2－ωDD（-*1/2～21+θDD（-*1/2～11ωDD（-*1/2～1ωDD（-*1/2～2+QDD（-*1/2～8（ωDD（-*1/2～1，ωDD（-*1/2～2，λ），

其中θDD（-*1/2～00=sDD（-*1/2～00+SX（sDD（-*1/2～2104SX），θDD（-*1/2～01=sDD（-*1/2～01+SX（sDD（-*1/2～10sDD（-*1/2～112SX），θDD（-*1/2～11=sDD（-*1/2～11，QDD（-*1/2～8是（ωDD（-*1/2～1，ωDD（-*1/2～2）平面中滿足i+j≥3的冪級數(shù)ωDD（-*1/2～i1ωDD（-*1/2～j2.若γ11≠0則sDD（-*1/2～11=θDD（-*1/2～11≠0.

作變換xDD（-*1/2～=－θDD（-*1/2～211ωDD（-*1/2～1，yDD（-*1/2～=θDD（-*1/2～311ωDD（-*1/2～2，τ=－SX（tθDD（-*1/2～11SX），再用t表示τ，得

{SX（dxDD（-*1/2～dtSX）=yDD（-*1/2～，

SX（dyDD（-*1/2～dtSX）=αDD（-*1/2～1+αDD（-*1/2～2yDD（-*1/2～+xDD（-*1/2～2+xDD（-*1/2～yDD（-*1/2～+QDD（-*1/2～9（xDD（-*1/2～，yDD（-*1/2～，λ），JY，2（17）

其中

αDD（-*1/2～1=－θDD（-*1/3～00θDD（-*1/3～411，"αDD（-*1/2～2=－θDD（-*1/3～01θDD（-*1/3～11.JY，2（18）

為減少需考慮的參數(shù)，用α1，α2來表示（18）中的αDD（-*1/2～1，αDD（-*1/2～2.由文獻[10]知，若|SX（（α1，α2）（λ1，λ2）SX）|（λ1=λ2=0）≠0，則系統(tǒng)（15）與（17）的參數(shù)變換在原點（0，0）的小鄰域內(nèi)同胚，且α1，α2為獨立參數(shù).通過Perko[11]知，在λ=（λ1，λ2）=（0，0）的小鄰域內(nèi)，系統(tǒng)（13）經(jīng)歷B-T分岔，局部分岔曲線表示如下：

（i） 鞍結(jié)點分岔曲線lSN={（λ1，λ2）：α1=0，α2≠0}.

（ii） Hopf分岔曲線lH={（λ1，λ2）：α2=±KF（－α1KF），α1＜0}.

（iii） 同宿分岔曲線lHL={（λ1，λ2）：α2=±SX（57SX）KF（－α1KF），α1＜0}.

選取參數(shù)α=0.6，d=0.8，β=0.04，δ=0.8，則系統(tǒng)（2）有唯一的內(nèi)部平衡點E2=（0.2，0.2），且det（JE2）=0，tr（JE2）=0.因為

|SX（（α1，α2）（λ1，λ2）SX）|（λ1=λ2=0）=|HL（2267－53－53.7779818276－9.18455578903HL）|=－5302.50943253≠0，

故參數(shù)變換（16）和（18）是非奇異的.此外有

γ20=SX（1K3SX）［－0.0032768－0.2352128λ1－0.009728λ2－5.91608λ21－0.220624λ1λ2+0.011008λ22+o（λ3）］，其中K=0.16+2.5λ1+9.375λ21.

當參數(shù)（λ1，λ2）在原點的小鄰域內(nèi)擾動時，有γ20（0）＜0.因此系統(tǒng)（13）發(fā)生B-T分岔的分岔曲線表示如下：鞍結(jié)點分岔曲線lSN=｛（λ1，λ2）：α1=0，α2≠0｝，Hopf分岔曲線lH=｛（λ1，λ2）：α2=－KF（－α1KF），α1＜0｝，同宿分岔曲線lHL={（λ1，λ2）：α2=－SX（57SX）KF（－α1KF），α1＜0}.

分岔曲線將λ1λ2平面分成幾個小區(qū)域（圖5（a）），參數(shù)在不同區(qū)域上得到不同的結(jié)果：參數(shù)λ1=0，λ2=0，系統(tǒng)（2）的唯一內(nèi)部平衡點E2是一個余維2的尖點（圖5（b））；參數(shù)λ1=0.01，λ2=0，則β=0.05，δ=0.8，系統(tǒng)（2）無內(nèi)部平衡點（圖5（c））；參數(shù)λ1=－0.0325，λ2=－0.2，則β=0.0075，δ=0.6，系統(tǒng)（2）有唯一的鞍結(jié)點E2=（0.1，0.18）（圖5（d））；參數(shù)λ1=－0.03，λ2=－0.175，則β=0.01，δ=0.625，系統(tǒng)（2）有2個不同的內(nèi)部平衡點.一個是鞍點E3=（0.09，0.15），另一個是不穩(wěn)定的焦點E4=（0.14，0.23）（圖5（e））；參數(shù)λ1=－0.03，λ2=－0.1625，則β=0.01，δ=0.6375，系統(tǒng)（2）有2個不同的內(nèi)部平衡點.一個是鞍點E3=（0.07，0.11），另一個E4=（0.18，0.28）被不穩(wěn)定的極限環(huán)所包圍（圖5（f））；參數(shù)λ1=－0.03，λ2=－0.1573，則β=0.01，δ=0.6427，極限環(huán)與鞍點發(fā)生碰撞，給出一個同宿軌，系統(tǒng)（2）發(fā)生同宿分岔（圖5（g））；參數(shù)λ1=－0.03，λ2=－0.15，則β=0.01，δ=0.65，系統(tǒng)（2）有2個不同的內(nèi)部平衡點.一個是鞍點E3=（0.06，0.09），另一個E4=（0.2，0.3）是穩(wěn)定的焦點（圖5（h））；參數(shù)λ1=0.095，λ2=0.4，則β=0.135，δ=1.2，系統(tǒng)（2）有唯一的鞍結(jié)點E2=（0.3，0.13）（圖5（i））.

4"結(jié)論

本文主要研究食餌具有弱Allee-II效應和兩個種群都表現(xiàn)出種群行為的食餌—捕食者模型，該模型分析了平衡點的存在性和穩(wěn)定性，通過奇異點穩(wěn)定性分析方法研究邊界平衡點的穩(wěn)態(tài)，證明了系統(tǒng)經(jīng)歷Hopf分岔、鞍結(jié)點分岔和B-T分岔，并給出相對應的分岔條件，最后通過數(shù)值模擬驗證了理論分析的結(jié)果.由上述分析知，系統(tǒng)（2）的Allee-II閾值為β=βSN=SX（（δ－dα）24dδSX）.當β＞βSN時，兩種群滅亡；當β＜βSN時，兩種群共存；β從小變到大時，Allee-II效應從弱變強，捕食者的捕獲率逐漸變大，食餌的種群密度降低，個體之間的相互作用減少，食餌種群滅絕的可能性增大.從生態(tài)學意義上講，食餌受到的Allee效應的影響越強，捕食者捕獲率越大，食餌種群滅亡的可能性越高；食餌受到的Allee效應的影響越弱，捕食者捕獲率越小，食餌種群存活的可能性越高，甚至可能與捕食者達到穩(wěn)定共存的狀態(tài).總的來說，弱Allee-II效應相對于強Allee-II效應有更加豐富且復雜的動力學行為，對于保護種群生態(tài)多樣性有很大的作用.但當β=βH＜βSN時，這種共存變得不穩(wěn)定，系統(tǒng)（2）發(fā)生Hopf分岔，E4穩(wěn)定性發(fā)生改變，產(chǎn)生一個不穩(wěn)定的極限環(huán).

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[責任編輯：彭喻振]

收稿日期：2023-12-15

*基金項目：國家自然科學基金（12161060）

第一作者簡介：梁思甜（1998—），女，廣西桂平人，碩士研究生，研究方向：微分方程與動力系統(tǒng)。

通信作者簡介：李自尊（1984—），男，山東濟寧人，副教授，博士，碩導，研究方向：微分方程與動力系統(tǒng)。