DOI：10.16601/j.cnki.issn2096-7330.2024.01.004"文章編號(hào)：2096-7330（2024）01-0015-06

摘"要：該文用Painlevé方法驗(yàn)證了Ito方程的可積性.從Ito方程的Laurent展開(kāi)式出發(fā)，通過(guò)有限項(xiàng)截?cái)嗟玫揭粋€(gè)Bcklund變換然后用Bcklund變換構(gòu)造了Ito方程的一些有趣的精確解.

關(guān)鍵詞：Ito方程；Painlevé分析；Bcklund變換；精確解

中圖分類號(hào)：O157.5""""文獻(xiàn)標(biāo)志碼：AHK1.56mm

Painlevé分析是研究非線性系統(tǒng)可積性的一個(gè)有效方法[1].一方面，它與可積系統(tǒng)理論中的Bcklund變換、Lax對(duì)等重要內(nèi)容有緊密聯(lián)系;另一方面，Painlevé方法可為構(gòu)造非線性微分方程的精確解提供一種方便的工具[2].目前，諸如Burgers方程、KdV方程等許多重要的非線性方程都進(jìn)行了Painlevé試驗(yàn)，并得到了相應(yīng)的精確解[3].

Ito在研究具有3-孤子解的雙線性方程時(shí)提出了如下的方程[4]

Dt（Dt+D3x）f·f=0，JY，2（1）

其中f=f（x，t），Dt和Dx為雙線性導(dǎo)數(shù).通過(guò)對(duì)方程（1）進(jìn)行變量變換u=2（ln f）xx，可得

utt+uxxxt+3（2uxut+uuxt）+3uxx∫x－SymboleB@utdx=0.

再令u→SX（13SX）u，t→－t，同時(shí)引入一個(gè)新變量v=v（x，t）使得ut=3vx，便可將上述方程改寫為如下的耦合系統(tǒng)：

ut=3vx，"vt=vxxx+（uv）x.JY，2（2）

稱（2）為Ito方程.學(xué)者們從不同角度對(duì)Ito方程進(jìn)行了研究，例如：Jimbo和Miwa指出Ito方程是與Kac-Moody代數(shù)D（2）3有關(guān)的系統(tǒng)[5].Drinfeld和Sokolov將Ito方程作為他們?cè)诶畲鷶?shù)和KdV型方程研究上的一個(gè)例子[6].Ito方程還具有Darboux變換、Bcklund變換、非線性疊加公式、雙哈密頓結(jié)構(gòu)等可積性質(zhì)[7-10].此外，Ito方程還被推廣到了向量形式[11]和超對(duì)稱形式[12].

本文將利用Painlevé方法對(duì)Ito方程展開(kāi)研究，說(shuō)明該方程具有Painlevé可積的性質(zhì).同時(shí)利用展開(kāi)式的截?cái)鄟?lái)尋找Ito方程的Bcklund變換，進(jìn)而構(gòu)造Ito方程的精確解.

1"Ito方程的Painlevé分析

首先假定Ito方程解的奇異流形展開(kāi)式為

u=φa∑SymboleB@i=0uiφi，v=φb∑SymboleB@i=0viφi，JY，2（3）

其中a，b為待定常數(shù).將（3）代入（2），通過(guò)首項(xiàng)分析可得a=b=－2，以及

u0=－6φ2x，"v0=－2φxφt.JY，2（4）

為了找到共振點(diǎn)，我們?nèi)?/p>

u=u0φ－2+urφr－2=－6φ2xφ－2+urφr－2，v=v0φ－2+vrφr－2=－2φxφtφ－2+vrφr－2.JY，2（5）

將（5）代入（2），得

6φxφxtφ－2－6φxxφtφ－2+3vrxφr－2－urtφr－2+3（r－2）vrφxφr－3－（r－2）urφtφr－3=0，

φ－2［－2φxxxxφt－6φxxxφtx－6φxxφtxx－2φxφtxxx+2φxtφt+2φxφtt－vrtφr］+φ－3［16φxxxφtφx+

36φxφxxφtx+12φ2xxφt+12φ2xφtxx+3（r－2）vrxxφxφr+3（r－2）vrxφxxφr+（r－2）vrφxxxφr－

4φxφ2t－（r－2）vrφtφr］+φ－4［－36φ2xφxxφt－24φ3xφtx+（r－2）（r－3）vrxφxφr+

（3r2－15r+12）vrxφ2xφr+（3r2－15r+6）vrφxφxxφr－2φxxφturφr－2φxφtxurφr－

2φxφturxφr+urxvrφ2r+urvrxφ2r］+φ－5［r（r－4）（r－5）vrφ3xφr－2（r－4）urφ2xφtφr+

（2r－4）urvrφ2xφ2r］=0.

整理關(guān)于φ的最低次冪，選擇ur和vr的線性項(xiàng)，得到系數(shù)矩陣

BW（（S-2mm，0mm，0mm）BG（BHDWG7mm，WK160mmWSQ+0.9mm數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)BHDWG5mm，WK18mmZQ3mm，WK127mm，WK17mmZQ3mmW2024年吳雯雯，等/Ito方程的Painlevé分析與精確解第1期BG）BW）

BW（S（S-2mm，0mm，0mm）MD9mmBG（BHDWG6mm，WK6ZQ1，WK38YQ1W2024年"""""""南 寧 師 范 大 學(xué) 學(xué) 報(bào)（自 然 科 學(xué) 版）"""""""""""""第41卷BG）BW）

（HL（2：2，Z－（r－2）φr－3φt3（r－2）φxφr－3－2（r－4）φ2xφtφr－5r（r－4）（r－5）φ3xφr－5HL）），

其行列式與下式成比例：

（r+1）（r－2）（r－4）（r－6）.

因此Ito方程的共振點(diǎn)為r=－1，2，4，6.其中，r=－1對(duì)應(yīng)φ的任意性.

接下來(lái)驗(yàn)證共振條件.取

{u=－6φ2xφ－2+u1φ－1+u2φ0+u3φ1+u4φ2+u5φ3+u6φ4，v=－2φxφtφ－2+v1φ－1+v2φ0+v3φ1+v4φ2+v5φ3+v6φ4.JY，2（6）

將（6）代入（2）中的兩個(gè)方程，依次比較φ的各次冪的系數(shù).根據(jù)（2）中第一個(gè)方程φ－2的系數(shù)以及第二個(gè)方程φ－4的系數(shù)，可解得

u1=6φxx，"v1=2φtx.JY，2（7）

根據(jù)（2）中第一個(gè)方程φ－1的系數(shù)以及第二個(gè)方程φ－3的系數(shù)，可解得

u2=SX（φtφxSX）－SX（φxxxφxSX）+SX（3φtxφxxφxφtSX）－SX（3φxv2φtSX）－SX（3φtxxφtSX）.JY，2（8）

此時(shí)v2是任意的，所以r=2滿足共振條件.根據(jù)（2）中第一個(gè)方程φ0的系數(shù)以及第二個(gè)方程φ－2的系數(shù)，可解得

{u3=－SX（3φtxφtxxφxφ2tSX）+SX（φtxxxφxφtSX）－SX（φttφxφtSX）+SX（3φ2txφxxφ2xφ2tSX）+SX（φtxφ2xSX）－SX（φtxφxxxφtφ2xSX）+SX（32SX）SX（φttφxxφtxφ3tφxSX）－

SX（32SX）SX（φttφtxxφ3tSX）+SX（32SX）SX（φttxxφ2tSX）－SX（32SX）SX（φxxφttxφ2tφxSX）+SX（3v2φxx2φxφtSX）+SX（3v2x2φtSX）+SX（3v2tφx2φ2tSX）－SX（3v2φxφtt2φ3tSX），v3=－SX（φttφtxφxx2φ2xφ2tSX）+SX（φtxxφtt2φxφ2tSX）－SX（φttxx2φxφtSX）+SX（φxxφttx2φ2xφtSX）+SX（v2φxx2φ2xSX）+SX（v2φtt2φ2tSX）－SX（v2φxtφxφtSX）－SX（v2x2φxSX）－SX（v2t2φtSX）.JY，2（9）

根據(jù)（2）中第一個(gè)方程φ1的系數(shù)以及第二個(gè)方程φ－1的系數(shù)，可得

u4=SX（3（v3x+2v4φx）－u3t2φtSX）.JY，2（10）

此時(shí)v4是任意的，所以r=4滿足共振條件.根據(jù)（2）中第一個(gè)方程φ2的系數(shù)以及第二個(gè)方程φ0的系數(shù)，可解得

{u5=SX（12φtφ2xSX）（2u3φtxx+7v3φxxx+v2xxx－2u4φtφxx+9v3xφxx+2φtxu3x+3φxv3xx

－2u4xφtφx+u2v3φx+u3v2φx+u2v2x－φtv3+v2u2x－v2t），v5=SX（118φ3xSX）（6u3φtxx+21v3φxxx+3v2xxx－6u4φtφxx+27v3xφxx+6φtxu3x+

9φxv3xx+2u4tφ2x－6v4xφ2x－6u4xφtφx+3u2v3φx+3u3v2φx+

3v2u2x+3u2v2x－3φtv3－3v2t）.JY，2（11）

根據(jù)（2）中第一個(gè)方程φ3的系數(shù)以及第二個(gè)方程φ1的系數(shù)，可解得

u6=SX（14φtSX）（－u5t+3v5x+12v6φx），JY，2（12）

此時(shí)v6是任意的，所以r=6滿足共振條件.

于是，由上述分析可知Ito方程具有painleve可積的性質(zhì).

2"Ito方程的Bcklund變換和精確解

對(duì)于具有Painlevé性質(zhì)的方程，可以通過(guò)對(duì)方程的展開(kāi)式進(jìn)行有限項(xiàng)截?cái)嗟姆椒▉?lái)尋找Bcklund變換，進(jìn)而構(gòu)造方程的精確解.

在（3）中取 ui=vi=0（i3），結(jié)合（6）、（7），展開(kāi)式（3）可以寫成

{u=－6φ2xφ－2+6φxxφ－1+U，v=－2φxφtφ－2+2φtxφ－1+V.JY，2（13）

代入（2），整理φ的各次冪的系數(shù)可得

φ－3：－φ2t+φtφxxx－3φxxφtx+3φxφtxx+φxφtU+3φ2xV=0，JY，2（14a）

φ－2：（－φ2t+φtφxxx－3φxxφtx+3φxφtxx+φxφtU+3φ2xV）x+

（φtt－φtxxx－3φxxV+φtxU）φx=0，JY，2（14b）

φ－1：（φtt－φtxxx－3φxxV－φtxU）x=0.JY，2（14c）

φ0：Ut=3Vx，－Vt+Vxxx+UVx+VUx=0.JY，2（15）

不難發(fā)現(xiàn)，φ滿足的方程組（14）可進(jìn)一步簡(jiǎn)化為

{φtt－φtxxx－3φxxV－φtxU=0，－φ2t+φtφxxx－3φxxφtx+3φxφtxx+φxφtU+3φ2xV=0.JY，2（16）

從φ0的系數(shù)方程（15）可以看出U和V也是Ito方程（2）的解，于是（16）及截?cái)嗾归_(kāi)式（13）就共同構(gòu)成了Ito方程的一個(gè)Bcklund變換.這與文獻(xiàn)[4，7]中的Bcklund變換不同，是一個(gè)新的結(jié)果.

下面我們利用上述Bcklund變換來(lái)構(gòu)造Ito方程的精確解.假設(shè)U和V為常數(shù)且φ（x，t）=1+ekx+ωt+ξ，將其代入（16），可得

U=－SX（k3ω+3Vk2－ω2kωSX），

其中V，k，ω為任意常數(shù).將其代入（13），便得到Ito方程的具有非零邊界的單孤子解

u=SX（6k2ekx+ωt+ξ（1+ekx+ωt+ξ）2SX）－SX（k3ω+3Vk2－ω2kωSX），"v=SX（2kωekx+ωt+ξ（1+ekx+ωt+ξ）2SX）+V.JY，2（17）

圖1給出了解在V=1，k=1，ξ=1，ω=SX（12SX）時(shí)的具體圖像.

XC吳雯雯1.TIF

HT5\"H圖1"Ito方程單孤子解的三維圖像KH-*1/2

為了求雙孤子解，我們假設(shè)φ（x，t）=1+ek1x+ω1t+ξ1+ek2x+ω2t+ξ2.將其代入（16），可得

V=0，"U=－k21－k1k2－k22，"ω1=ω2=－k1k2（k1+k2），

其中，k1和k2為任意常數(shù).將這些結(jié)果代入（13），便可得到Ito方程的雙孤子解

{u=－k21－k1k2－k22+6［ln（1+ek1x－k1k2（k1+k2）t+ξ1+ek2x－k1k2（k1+k2）t+ξ2）］xx，v=2［ln（1+ek1x－k1k2（k1+k2）t+ξ1+ek2x－k1k2（k1+k2）t+ξ2）］xt. "JY，2（18）

圖2和圖3分別給出了雙孤子解（18）在k1=－SX（45SX），k2=SX（54SX），ξ1=ξ2=0時(shí)場(chǎng)變量u和v的具體圖像.

從圖像可以看出，該兩孤子相互作用后融合成了一個(gè)不隨時(shí)間變化的孤子.這是一種有趣的現(xiàn)象，與以前所熟悉的情況不同.

與場(chǎng)變量u的兩孤子解的情況相似，場(chǎng)變量v的兩孤子相互作用后也融合成了一個(gè)孤子，不同的是該孤子振幅隨時(shí)間增長(zhǎng)而不斷減小，直到最終消失.

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[責(zé)任編輯：彭喻振]

收稿日期：2023-03-17

*基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（12261061）;廣西自然科學(xué)基金項(xiàng)目（2022GXNSFAA035598）

第一作者簡(jiǎn)介：吳雯雯（1999—），女，廣東茂名人，碩士研究生，研究方向：可積系統(tǒng)及其應(yīng)用。

通信作者簡(jiǎn)介：毛輝（1984—），男，湖南郴州人，副教授，博士，研究方向：可積系統(tǒng)及其應(yīng)用。