DOi：10.16601/j.cnki.issn2096-7330.2024.01.003"文章編號(hào)：2096-7330（2024）01-0012-03

摘"要：如果對(duì)環(huán)R中的每個(gè)元素a，都存在u∈R使得aua=a，則稱R為正則環(huán).如果環(huán)R中的每個(gè)元素都可分解成一個(gè)擬冪等元與一個(gè)單位之和， 則稱R為擬clean環(huán).該文構(gòu)造了一個(gè)列有限矩陣環(huán)，說明正則環(huán)不一定是擬clean的.

關(guān)鍵詞：正則環(huán)：clean環(huán)；擬clean環(huán)

中圖分類號(hào)：O153.3""""文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

1"問題背景

本文中的環(huán)都是有單位元1的結(jié)合環(huán).1936年Von Neumann在研究連續(xù)幾何時(shí)[1]引入了正則環(huán)[2].環(huán)R中的一個(gè)元素a稱為（Von Neumann）正則的，如果存在u∈R使得aua=a，其中u稱為a的一個(gè)內(nèi)逆.如果R中的每個(gè)元素都是正則的，則稱R為正則環(huán).1968年Ehrlich定義了單位正則環(huán)：環(huán)R中的一個(gè)元素a稱為單位正則的，如果它有內(nèi)逆且其內(nèi)逆是R的一個(gè)單位；環(huán)R稱為單位正則的，如果R中的每個(gè)元素都是單位正則的[3].顯然，單位正則環(huán)都是正則的.

1977年Nicholson引入了clean環(huán)的概念，環(huán)R中一個(gè)元素a稱為clean的，如果a=u+e，其中e，u分別是R中的冪等元和單位.環(huán)R為clean的，如果它的每個(gè)元素都是clean的[4].因?yàn)楹唵蔚姆纸夥绞剑琧lean性和正則性之間的關(guān)系受到學(xué)者們的廣泛關(guān)注.1994年

Camillo等引用Bergman構(gòu)造的例子說明正則環(huán)不一定是clean的（[5，Example1]）.其他學(xué)者也給出了類似的例子[6，7].1999年Nicholson又給出了強(qiáng)clean環(huán)的定義.環(huán)R稱為強(qiáng)clean的，如果R中的每個(gè)元素都可以寫成一個(gè)冪等元和一個(gè)單位元的和并且這兩個(gè)元素可交換，強(qiáng)clean環(huán)是一類重要的clean環(huán)[8].2018年Nielsen等構(gòu)造反例說明單位正則環(huán)未必是強(qiáng)clean的，同時(shí)構(gòu)造了幾個(gè)非clean的正則環(huán)的例子[9].

2023年唐高華等提出了擬冪等元的概念[10]，還定義了擬clean環(huán)和強(qiáng)擬clean環(huán).環(huán)R中的元素a稱為擬冪等元，如果存在R的中心單位k使得a2=ka（或等價(jià)地，a=ke）.環(huán)R稱為（強(qiáng)）擬clean的，如果它的每個(gè)元素都可表為一個(gè)擬冪等元與一個(gè)單位元之和（且兩者可交換），并提出了幾個(gè)公開問題，其中一個(gè)是：哪些正則環(huán)是擬clean環(huán)？本文將構(gòu)造反例說明正則環(huán)不一定是擬clean的.

本文將用U（R）、UC（R）、id（R）和Qid（R）依次表示環(huán)R的單位群、中心單位群、所有冪等元以及所有擬冪等元組成的集合.

2"主要結(jié)果

設(shè)F是域，F(xiàn)（（t））表示F上的形式Laurent級(jí)數(shù)環(huán)，M表示F上的階矩陣環(huán).

考慮M的由如下性質(zhì)確定的子集R：設(shè)A∈M，則A∈R當(dāng)且僅當(dāng)存在F上的形式Laurent級(jí)數(shù)f（t）=∑DD（Xk≥k0aktk，使得A形如

XC羅麗華2-1.TIF

其中左上角的*代表（m-1）×（n-1）階子矩陣，m，n為任意正整數(shù).

易驗(yàn)證R構(gòu)成M的一個(gè)子環(huán)，其中的元素均為F上的階列有限矩陣（即各列都只有有限多個(gè)非零元的矩陣）.由[9，Example 422]的證明可知R是正則環(huán).定義映射φ：R→F（（t））， 對(duì)每個(gè)A∈R，令φ（A）為A所對(duì)應(yīng)的形式Laurent級(jí)數(shù).易知φ是環(huán)的滿同態(tài)，且其核ker（φ）=∶K中每個(gè)矩陣的分量除有限多行之外都為0.

定理1"存在非擬clean的正則環(huán).

證明"取如上構(gòu)造的正則環(huán)R及其理想K.考慮M2（R）的子環(huán)

S∶=（HL（2RKKRHL））.

由[9，Example 4.22]知S是正則環(huán).不難證明，若（HL（2：2，Za11*HL））∈U（S），則a11作為F上的矩陣，除有限多行外，其右下角為R中的單位.

令α=（ai，j）∈R為右移算子，即

ai，j={HL（2：2，Z1，i－j=1;

0，i-j≠1.HL）

我們斷言S中的元素

A∶=（HL（2α000HL））

不是擬clean的.若A是擬 clean的，則存在k∈UC（S）=F*，e∈id（S）和u∈U（S）使得kA=e+u.同態(tài)φ：R→F（（t））自然地誘導(dǎo)出同態(tài)φ：S→F（（t））2.記φ（e）=（e1，e2），φ（u）=（u1，u2），則e1和e2均為0或1，u1和u2均不為0.因

（kt－1，0）=φ（kA）=φ（e+u）=φ（e）+φ（u）=（e1，e2）+（u1，u2），

故有u1=kt－1－e1，u2=－e2.由u2≠0知e2=1，于是φ（u）=（kt－1，－1）或（kt－1－1，－1）.從而u形如

（HL（2kα+***-I+*HL））或（HL（2kα-I+***-I+*HL）），其中*代表K中的元素.注意kα+*和kα-I+*作為F上的矩陣，除有限行外，其右下角分別為kα和kα-I.易見kαU（R），故前一情形不可能.kα-I在M中有逆-（I+kα+（kα）2+…），但它不是F上的列有限矩陣，從而不在R中.這表明kα-IU（R），所以后一情形也不可能.

定理2"對(duì)任意域F，都存在非擬clean的正則F代數(shù).

證明"仍取如上構(gòu)造的正則環(huán)R及其理想K.令α為右移算子，Λ∶=F∪，其中F.令

S=（HL（4RK…KKR…KKK…RHL））Λ×Λ，"T=｛X∈S｜X的非零的非對(duì)角元只有有限多個(gè)｝.

易知S是一個(gè)F-代數(shù)，而T構(gòu)成S的一個(gè)子代數(shù).由[9，Example 423]可知T是正則的.

3考慮T中的對(duì)角陣A=diag（α，0，…），其中α是A的（∞，∞）-元，而A的（λ，λ）-元均為0（λ∈F）.

我們證明A不是擬clean的.如果A是擬clean的，則存在k∈UC（T），e∈id（T）和u∈U（T）使得kA=e+u.由T的定義可知，存在充分大的正整數(shù)n，使得k，e，u的所有非零的非對(duì)角元分別都在各自的n階順序主子陣k0，e0，u0中.注意k0，e0，u0都可視為F-代數(shù)T0∶=（HL（4RK…KKR…KKK…RHL））n×n中的元素，且易見k0∈UC（T0），e0∈id（T0），u0∈U（T0）.同時(shí)，若記A的n階順序主子陣為A0，則有k0A0=e0+u0.由同態(tài)φ：R→F（（t））可得同態(tài)φ：T0→F（（t））n .記φ（e0）=（e1，…，en），φ（u0）=（μ1，…，μn），則ei均為0或1，μi均不為0，i=1，…，n.由k0A0=e0+u0可知

（k0t－1，0，…，0）=φ（k0A0）=φ（e0+u0）=（e1，…，en）+（μ1，…，μn），

故μ1=k0t－1－e1，從而φ（u0）=（k0t－1，μ2，…，μn）或（k0t－1－1，μ2，…，μn）.接下來類似于定理1的證明過程，可知在這兩種情況下u0都不可能是T0中的單位，從而矛盾.

參考文獻(xiàn)：

[1]"Von Neumann J. Continuous geometry[J]. Proceedings of the National Academy of Sciences，1936，22（2）：92-100.

[2]"Von Neumann J. On regular rings[J]. Proceedings of the National Academy of Sciences， 1936，22（12）：707-713.

[3]"Ehrlich G. Unit-regular rings[J].Portugaliae Mathematica，1968，27（4）：209-212.

[4]"Nicholson W K. Lifting idempotents and exchange rings[J]. Transactions of the American Mathematical Society，1977，229：269-278.

[5]"Camillo V P， Yu H P. Exchange rings， units and idempotents[J]. Communications in Algebra，1994，22（12）：4737-4749.

[6]"Handelman D. Perspectivity and cancellation in regular rings[J]. Journal of Algebra，1977，48（1）：1-16.

[7]"ter J. Corner rings of a clean ring need not be clean[J]. Communications in Algebra， 2012，40（5）：1595-1604.

[8]"Nicholson W K. Strongly clean rings and Fitting's lemma[J]. Communications in Algebra，1999，27（8）：3583-3592.

[9]"Nielsen P， ter J. Connections between unit-regularity， regularity， cleanness， and strong cleanness of elements and rings[J]. Transactions of the American Mathematical Society， 2018，370（3）：1759-1782.

[10]Tang G H， Su H D， Yuan P Z. Quasi-clean rings and strongly quasi-clean rings[J]. Communications in Contemporary Mathematics， 2023，25（2）：2150079.

[責(zé)任編輯：彭喻振]

收稿日期：2023-12-17

*基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目 （11961050;12261001）

第一作者簡介：羅麗華（1999—），女，廣西河池人，碩士研究生，研究方向：環(huán)與代數(shù)。

通信作者簡介：唐高華（1965—），男，廣西桂林人，教授，博士，博導(dǎo)，研究方向：交換代數(shù)、同調(diào)代數(shù)、環(huán)的代數(shù)結(jié)構(gòu)與圖結(jié)構(gòu)。