DOI：10.16601/j.cnki.issn2096-7330.2024.01.002

文章編號：2096-7330（2024）01-0007-05

摘"要：設(shè)Γ是一個階為abc的群（a，b，c均為正整數(shù)），所謂Γ上的幻矩集MRSΓ（a，b;c），是一個由c個a×b階矩形組成的集合，使得Γ的每個元素都在這些矩形中恰好出現(xiàn)一次，并且這些矩形的各行元素之積和各列元素之積分別相等.該文證明了當(dāng)abc=2n且a，b都是偶數(shù)時，存在二面體群D2n上的幻矩集MRSD2n（a，b;c）.這推廣了Γ是交換群時的結(jié)果.

關(guān)鍵詞：幻方;幻矩;幻矩集;二面體群

中圖分類號：O151.21""""文獻標(biāo)志碼：AHK1.85mm

對正整數(shù)n，n階幻方是一個n×n的排列，使得1，2，…，n2在其中各恰好出現(xiàn)一次，并且該排列中的所有行、所有列以及兩條對角線上的n個數(shù)之和都相等.幻方可追溯到4000多年前的“洛書”，是組合設(shè)計中的一個重要研究對象. 我國古代數(shù)學(xué)家楊輝曾給出了一個8 階幻方，它具有一些特殊的性質(zhì)，文獻[1]中稱這類幻方為楊輝型幻方.2015年Cao等[2]研究了楊輝型幻方的遞歸構(gòu)造，從而可以構(gòu)造出更高階數(shù)的楊輝型幻方.

幻矩是幻方的自然推廣.幻矩MR（a，b）是一個a×b型排列，使得1，2，…，ab在其中都恰好出現(xiàn)一次， 并且排列的各行元素之和和各列元素之和分別相等.幻矩的研究引起了廣泛的興趣.Harmuth早在近一個半世紀(jì)前就開始研究幻矩（見[3，4]），他證明了如下結(jié)果.

定理1"存在幻矩MR（a，b）當(dāng)且僅當(dāng)a，b＞1，ab＞4且a與b同奇偶.

Froncek[5]給出了幻矩集的概念， 它是幻矩的進一步推廣.幻矩集MRS（a，b;c）是c個a×b型排列，使得1，2，…，abc在其中各恰好出現(xiàn)一次.并且排列的各行元素之和和各列元素之和分別相等.Froncek[5，6]證明了如下結(jié)論.

定理2"設(shè)a，b＞1，ab＞4，則存在幻矩集MRS（a，b;c）當(dāng)且僅當(dāng)a，b均為偶數(shù)或abc是奇數(shù).

Cichacz等[7]給出了群上的幻矩集的概念.

定義3"設(shè)Γ是交換群，X是Γ的一個階為n=abc的子集.X上一個的幻矩集MRSX（a，b;c）是c個a×b型排列，使得X中的每個元素都恰好出現(xiàn)一次，并且存在常數(shù)δ，ω使得每個a×b型排列中的每一行的元素之和等于δ，每一列的元素之和等于ω.當(dāng)c=1的時候，稱唯一的那個排列為X上的一個幻矩，記為MRX（a，b）. 特別地當(dāng)c=1，a=b，且那個唯一的排列中每一行的a個元素，每一列的a個元素以及兩條對角線上的a個元素之和都相等時，稱其為X上的一個幻方，記為MSX.

由經(jīng)典幻方結(jié)論知道，如果a是Γ中一個階不小于n2的元素，n≠2，那么存在集合{ia;1≤i≤n2}上的幻方.特別地，對n2階循環(huán)群n2（n≠2），都存在它上面的幻方.文獻[8]證明了如下結(jié)論.

定理4"設(shè)a為奇素數(shù)且Γ=a，則存在Γ上的幻方.

其證明方式是直接驗證A=（（i，j））1≤i，j≤a就是Γ上的幻常數(shù)為0的幻方，顯然該構(gòu)造方式對于任意奇數(shù)a都成立.文獻[7]還給出了如下關(guān)于幻矩的結(jié)果.

定理5"設(shè)Γ是一個階為abc的交換群，其中ab≥2.

（1） 若a，b均為偶數(shù)，則存在幻矩集MRSΓ（a，b;c）.

（2） 若a，b一奇一偶，且Γ恰有一個2階元，那么不存在幻矩集MRSΓ（a，b;c）.

（3） 若a，b，c恰好有一個是偶數(shù)，且Γ恰有一個2階元，那么不存在幻矩陣集MRSΓ（a，b;c）.

此外，Cichacz和Hinc[9]給出了交換群上幻矩存在的一個充分必要條件.

定理6"設(shè)a，b＞1，Γ是階為ab的交換群，那么存在MRΓ（a，b）當(dāng)且僅當(dāng)以下之一成立：

（1） a與b同奇偶.

（2） a與b不同奇偶且Γ包含多于一個的2階元.

文獻[9]中還提出了非交換群上的幻矩和幻矩集的問題.我們給出定義如下.

定義7"設(shè)Γ是一個階為abc的乘法群，一個Γ-幻矩集MRSΓ（a，b;c）是一個包含c個a×b型排列的集合，其中Γ的每個元素恰好出現(xiàn)一次，并且存在δ，ω∈Γ，使得每個排列的每行乘積（從左到右）都等于δ，每列乘積（從上到下）都等于ω.我們稱δ和ω分別為該幻矩集的行積和列積.若c=1，則稱MRSΓ（a，b;c） 為一個Γ-"幻矩，記為MRΓ（a，b）.

本文主要研究二面體群上的幻矩集，我們得到了類似于定理5的結(jié)果，這是第一個關(guān)于非交換群上的幻矩集的結(jié)論.

1"有限交換群上的幻方

文獻[8]中斷言對任意n2階交換群Γ（n＞2），都存在Γ上的幻方，但并未給出證明.本節(jié)主要證明對任意n2階交換群Γ（n＞2），都存在幻矩MRΓ（n，n）.特別地，當(dāng)n是奇數(shù)時存在幻方MSΓ.對Γ上的兩個矩形A=（xi，j）a1×b1，B=（yi，j）a2×b2以及z∈Γ，定義

z+A∶=（z+xij）a1×b1，

而A與B的Kronecker和為分塊矩形

AB∶=（xij+B）a1×b1.

進一步地，設(shè)M1和M2均為Γ上的矩形集合，定義 M1M2∶={A1A2：Ai∈Mi}.Γ的兩個非空子集H1與H2之和定義為

H1+H2∶={h1+h2：hi∈Hi}.

引理8"設(shè)Γ是有限交換群，其子集H1和H2使得｜Γ｜=｜H1｜·｜H2｜且Γ=H1+H2.如果存在MRSH1（a1，b1;c1）和MRSH2（a2，b2;c2），那么存在MRSΓ（a1a2，b1b2;c1c2）.同樣地，如果存在MSH1和MSH2，那么存在MSΓ.

證明"設(shè)Mi=MRSHi（ai，bi;ci）是Hi上行和為δi列和為ωi的幻矩集，i=1，2.直接驗證可知M1M2即為Γ上的一個行和為 b2δ1+b1δ2、列和為a2ω1+a1ω2的幻矩集.幻方的情況是類似的.

引理9"設(shè)Γ是p2m階交換群，其中p是奇素數(shù)，m是正整數(shù)，則存在Γ上的幻方.

證明"先考慮Γ=pm2，其中m1≤m2均為奇數(shù)的情形.令

H1={（x，y）：pm2－m1｜y}，"H2={（0，i）：0≤i≤pm2－m1}.

那么H1是Γ的一個子群且有相應(yīng)的陪集分解Γ=∪pm2－m1i=1（（0，i）+H1）. 所以Γ=H1+H2 且｜Γ｜=｜H1｜·｜H2｜.由定理4后的討論可知MSH1存在，而由經(jīng)典的幻方結(jié)論可知MSH2 存在.進而由引理8知幻方MRΓ存在.

對于一般情形，由有限交換群的結(jié)構(gòu)定理得Γri=1，其中∑ri=1mi=2m.不妨設(shè)m1，m2，…，m2k是奇數(shù)而m2k+1，m2k+2，…，mr是偶數(shù).令

H={HL（2：2，Zi，1≤i≤k，pmi+k，1≤i≤r－k，HL）

則有Γr－ki=1Hi.于是由特殊情形的討論以及經(jīng)典幻方的結(jié)論可知存在Hi上的幻方.再次由引理8知存在Γ上的幻方.引理9證畢.

定理10"設(shè)Γ是n2階交換群，其中n是奇數(shù)，則存在Γ上的幻方.

證明"設(shè)n=∏ki=1prii是n的標(biāo)準(zhǔn)分解，則由有限交換群的結(jié)構(gòu)定理知ΓΓ1Γ2…Γk，其中Γi是階為p2rii的pi-群，i=1，2…，k.由引理9知存在Γi上的幻方，再反復(fù)使用引理8即得結(jié)論.

2"主要結(jié)果

2n階二面體群D2n定義為

D2n=〈x，y｜xn=y2=1，y－1xy=x－1〉 .

以下總設(shè)abc=2n，a，b，n≥2.令H為G中由x生成的循環(huán)子群，于是D2n=H∪Hy.若存在MRSD2n（a，b;c），總把其行積記為δ，列積記為ω.

定理11"當(dāng)n是奇數(shù)時不存在MRSD2n（a，b;c）.

證明"3假設(shè)存在幻矩集MRSD2n（a，b;c）.由于c個a×b型排列共有ac行和bc列，給這些行和列分別定一個順序.不妨設(shè)第i行中有ki個元素來自Hy，第j列中有l(wèi)j個元素來自Hy，那么有∑aci=1ki=∑bcj=1lj=n.

由D2n的定義可知，對任意u1，u2，…，uk∈D2n，k≥2，有u1u2…uk∈H當(dāng)且僅當(dāng)u1u2…uk∈H是一個偶數(shù). 所以k1，k2，…，kac有相同的奇偶性，l1，l2，…，lbc也有相同的奇偶性.由于abc=2n，故ac或bc是偶數(shù)，所以∑aci=1ki和∑bcj=1lj之一是偶數(shù)，這與n是奇數(shù)矛盾.

由于D4是交換群，故由定理6知存在幻矩MRD4（2，2）.以下總設(shè)n是不小于4的偶數(shù).

3引理12"設(shè)存在幻矩集MRSD2n（2，2;SX（n2SX）），其行積和列積分別為δ和ω，A是該幻矩集中的一個矩形.

（1） 若δ，ω∈H，則A形如（HL（2：2，ZHHHHHL））或（HL（2：2，ZHyHyHyHyHL）），即A的分量全都在H中或全都在Hy中.

（2） 若δ∈H，ω∈Hy，則A形如（HL（2：2，ZHHHyHyHL））或（HL（2：2，ZHyHyHHHL））.

（3） 若δ∈Hy，ω∈H，則A形如（HL（2：2，ZHHyHHyHL））或（HL（2：2，ZHyHHyHHL））.

（4） 若δ，ω∈Hy，則A形如（HL（2：2，ZHHyHyHHL））或（HL（2：2，ZHyHHHyHL））.

證明"我們只證（1），其他三種情形的證明是類似的.設(shè)A=（HL（2：2，Za11a12a21a22HL））.由于a11a12=a21a22∈H，a11a21=a12a22∈H，所以A的分量全都屬于H或全都屬于Hy.

例13"當(dāng)n=4時，引理12中的四種情形的幻矩集的存在性如下：

（1） 不存在行積和列積均屬于H的幻矩集.

（2） {（HL（2：2，Z1xxyyHL）），（HL（2：2，Zx2x3x3yx2yHL））}是行積為x、列積為xy的幻矩集.

（3） {（HL（2：2，Z1xyxyHL）），（HL（2：2，Zx2x3yx3x2yHL））}是行積為xy、列積為x的幻矩集.

（4） {（HL（2：2，Zx2y1xxyHL）），（HL（2：2，Zyx2x3x3yHL））}是行積為x2y、列積為xy的幻矩集.

我們只證明（1）.設(shè)（HL（2：2，Zxi1xi2xi3xi4HL）），（HL（2：2，Zxj1yxj2yxj3yxj4yHL））是一個行積為xδ、列積為xω的幻矩集，那么

JZ（δ≡i1+i2≡i3+i4≡j1－j2≡j3－j4（mod 4）.

ω≡i1+i3≡i2+i4≡j1－j3≡j2－j4（mod 4）.JZ）

易得

2δ≡2ω≡i1+i2+i3+i4≡2（mod 4）.

所以δ，ω都是奇數(shù)，從而4能被δ－ω，δ+ω之一整除.又由于

JZ（j3－j2=（j1－j2）－（j1－j3）≡δ－ω（mod 4），

j1－j4=（j1－j2）+（j2－j4）≡δ+ω（mod 4），JZ）

所以有xj2y=xj3y或xj1y=xj4y，矛盾.

引理14"如果存在MRSD2n（2，2;SX（n2SX）），且其行積和列積不在H的同一個陪集中，則n=4.

證明"不妨設(shè)該幻矩集的行積δ在H中，列積ω在Hy中，于是該幻矩集中的每個矩形都形如（i）（HL（2：2，Zxi1xi2xi3yxi4yHL））或（ii）（HL（2：2，Zxi1yxi2yxi3xi4HL））.

情況（i） δ=xi1+i2=xi3－i4，ω=xi1+i3y=xi2+i4y.此時i1+i2≡i3－i4（mod n），i1+i3≡i2+i4（mod n），故2i1≡0（mod n），即i1≡0，SX（n2SX）（mod n）.

情況（ii） δ=xi1－i2=xi3+i4，ω=xi1－i3y=xi2－i4y.此時i1－i2≡i3+i4（mod n），i1－i3≡i2－i4（mod n），故i1－i4≡i1+i4（mod n），即i4≡0，SX（n2SX）（mod n）.

因此該幻矩集中最多有兩個不同的矩形，故n=4.

以下是本文的主要定理.

定理15"設(shè)n是大于4的偶數(shù)，則存在D2n上行積和列積均屬于Hy的幻矩集MRSD2n（2，2;SX（n2SX）），不存在行積和列積均屬于H的幻矩集MRSD2n（2，2;SX（n2SX）），也不存在行積和列積恰有一個在H中的幻矩集MRSD2n（2，2;SX（n2SX））.

證明"存在性來自直接構(gòu)造.令A(yù)i=（HL（2：2，Zx2iyx2ix2i－1x1－2iyHL）），容易驗證集合{Ai：i=0，1，…，SX（n2SX）－1}是D2n上的一個行積為y、列積為xy的幻矩集.

由引理14知，當(dāng)n≥6時不存在幻矩集MRSD2n（2，2;SX（n2SX）），使得其行積和列積恰有一個在H中.假設(shè)存在幻矩集MRSD2n（2，2;SX（n2SX）），使得其行積和列積均在H中.

首先由引理12，該幻矩集中的每個矩形A都形如（HL（2：2，ZHHHHHL））或（HL（2：2，ZHyHyHyHyHL）），所以｜H｜=n能被4整除.

先取A=（HL（2：2，Zxi1xi2xi3xi4HL）），則行積為δ=xi1+i2=xi3+i4，列積為ω=xi1+i3=xi2+i4 .易得i1+i2≡i3+i4（mod n），i1+i3≡i2+i4（mod n）.相加得2（i1－i4）≡0（mod n），所以i1－i4≡SX（n2SX）（mod n）.從而ω=δ·xSX（n2SX）.下設(shè)δ=xk，ω=xk+SX（n2SX），并且k是奇數(shù)，否則該幻矩集中包含xSX（k2SX）的那個矩形B，B中含xSX（k2SX）的那行兩個元素都是xSX（k2SX），矛盾.

我們斷言，如果A0=（HL（2：2，Zxi1yxi2yxi3yxi4yHL））屬于該幻矩集，則A1=（HL（2：2，Zxi1+2kyxi2+2kyxi3+2kyxi4+2kyHL））也屬于該幻矩集.

事實上，通過簡單計算可知，如果A0中元素均屬于Hy，則存在i使得A0=（HL（2：2，Zxi+kyxiyxi+SX（n2SX）yxi+SX（n2SX）－kyHL））.由于k≠0，SX（n2SX）（mod n），元素xi+SX（n2SX）+ky不在A0中出現(xiàn)，從而在另一個矩形A1中出現(xiàn).由以上形式可知xi+SX（n2SX）+ky只能位于A1的右下角.所以A1=（HL（2：2，Zxi+3kyxi+2kyxi+2k+SX（n2SX）yxi+k+SX（n2SX）yHL））.斷言成立.

歸納立得Aj=（HL（2：2，Zxi+（2j+1）kyxi+2jkyxi+2jk+SX（n2SX）yxi+（2j－1）k+SX（n2SX）yHL））都屬于該幻矩集.

2由k是奇數(shù)得k+SX（n2SX）≡SX（n2SX）（mod n），故xi+SX（n2SX）y同時位于ASX（n4SX）的右上角和A0的左下角，矛盾.

推論16"若a，b均為偶數(shù)，則存在幻矩集MRSD2n（a，b;SX（2nabSX））.

證明"由定理15，存在行積為δ列積為ω的幻矩集MRSD2n（a，b;SX（2nabSX））.由結(jié)合律，可將M中SX（ab4SX）個2×2的幻矩組合形成一個a×b的幻矩，其行積為δSX（b2SX），列積為ωSX（a2SX），進而得到一個包含SX（2nabSX）個a×b矩形的幻矩集.

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[責(zé)任編輯：彭喻振]

收稿日期：2023-07-27

*基金項目：國家自然科學(xué)基金（12161059）

第一作者簡介：耿瑾（1998—），女，河南開封人，碩士研究生，研究方向：圖論。

通信作者簡介：鄧貴新（1983—），男，廣西南寧人，教授，博士，研究方向：組合數(shù)論。