何克誠

（廣西農(nóng)墾設(shè)計院有限公司，廣西 南寧 530000）

0 引言

分析鋼框架結(jié)構(gòu)的極限荷載對其設(shè)計、優(yōu)化和安全性評價具有十分重要的作用。曾梓逸等[1]認(rèn)為彈塑性分析是鋼框架極限承載力最常用的方法。朱賀等[2]通過塑性鉸法在結(jié)構(gòu)極限荷載分析中，可以將每個單元劃分為一或兩個單元，這可以顯著提高計算效率。馬哲昊等[3]按照計算時所需考慮的各種因素，將塑性鉸方法劃分為三種類型。首先是一階塑性鉸算法，利用外部載荷與加載響應(yīng)的比值特征，實現(xiàn)對加載增量及塑性鉸的快速定位，從而實現(xiàn)對結(jié)構(gòu)的承載能力及破壞途徑的快速辨識。第二類方法是一類經(jīng)典的二階塑性鉸算法，它是一種建立在遞增非線性迭代解基礎(chǔ)上的，可以較好地考慮幾何非線性、初始缺陷等對結(jié)構(gòu)穩(wěn)定的影響，且具有較高的計算精度。第三類為近年來發(fā)展起來的廣義塑性鉸方法，在保持一階塑性鉸方法一階特征的前提下，采用齊次廣義屈服方程，既能實現(xiàn)對構(gòu)件承載能力的快速計算，又能克服傳統(tǒng)方法不能反映多重內(nèi)力聯(lián)合作用的缺點。鑒于此，此次研究將提出一種基于二階廣義塑性鉸法的鋼結(jié)構(gòu)承載力計算方法以實現(xiàn)快捷且準(zhǔn)確的求解。此次研究的創(chuàng)新點在于基于截面合成方法，構(gòu)建工字形截面和H 型截面的一般廣義屈服方程，采用二階塑性方法對其進(jìn)行線性迭代求解。

1 基于二階廣義塑性鉸法的鋼結(jié)構(gòu)承載力計算

1.1 廣義屈服函數(shù)齊次化的廣義塑性鉸法

在進(jìn)行結(jié)構(gòu)的解析和計算時，塑性鉸法的假定是：零長度的塑性區(qū)是指僅在構(gòu)件的末端段產(chǎn)生塑性區(qū)，其他段仍然是彈性區(qū)。橫斷面是平斷面的假設(shè)，橫斷面在變形后仍然屬于單平面。結(jié)構(gòu)具有較小的斷面尺寸和較多的支座，可使其獲得較高的塑性承載能力。雖然構(gòu)件的整體變形不大，但是可以產(chǎn)生很大的剛性位移量。載荷按一定的比例增大，所以整個結(jié)構(gòu)的外部載荷可用一個載荷乘數(shù)來表達(dá)。在塑性鉸方法中，首先對構(gòu)件進(jìn)行解析，得到剛度表達(dá)式，并對構(gòu)件的載荷和變形進(jìn)行計算；采用整體解析法，將各單元組合為整體，并確立載荷與位移之間的整體的剛度矩陣，從而得到整體的剛度公式。所以，在進(jìn)行塑性鉸法計算時，必須首先確立剛度矩陣。當(dāng)構(gòu)件在橫斷面上產(chǎn)生塑性鉸鏈時，需對包含塑性鉸鏈的構(gòu)件的剛性矩陣進(jìn)行修正，使之能夠體現(xiàn)構(gòu)件的力學(xué)特性。公式（1）為單元剛度矩陣。

式（1）中，A是單元的截面積，I是面積慣性矩，L是單元的長度，ψ1、ψ2、ψ3、ψ4是穩(wěn)定剛度函數(shù)?；谝浑A塑性鉸法，廣義塑性鉸法考慮了不同類型內(nèi)力對極限荷載的影響?；谶@種方法，可以認(rèn)為由受損節(jié)段的整個橫截面產(chǎn)生的塑性鉸鏈不僅取決于彎矩，還取決于其他內(nèi)力，如軸向力。公式（2）為一階塑性鉸法的截面屈服判據(jù)。

式（2）中，f（m）表示廣義屈服函數(shù)，M是構(gòu)件截面彎矩，Mp是全截面塑性抗彎強度?？梢钥闯觯浑A塑性鉸法根據(jù)彎矩建立截面的屈服準(zhǔn)則，當(dāng)內(nèi)力的比值超過彎矩時，內(nèi)力對橫截面的影響可以忽略不計。但在實際工程中，大多數(shù)結(jié)構(gòu)的截面都受到軸向力和彎矩的共同作用，這一點不容忽視。因此，需要考慮多個內(nèi)力對截面塑性屈服的影響，這使得式（2）不適用于這種情況。為了充分考慮軸向力、彎曲力和剪切力的共同作用，采用上限承載力關(guān)系方程作為截面屈服的標(biāo)準(zhǔn)，如公式（3）所示。

式中，n表示軸力N的無量綱內(nèi)力，m表示彎矩M的無量綱內(nèi)力，q表示剪力Q的無量綱內(nèi)力。Qp表示剪切強度。公式（4）為齊次廣義屈服函數(shù)表達(dá)式。

齊次化的必要性是由于式（3）中的廣義屈服函數(shù)的無量綱內(nèi)力項中的軸線和彎矩將導(dǎo)致函數(shù)值與外部負(fù)載的比例不是恒定的。為了充分利用內(nèi)外力的相對特性和增量荷載的快速計算，需要使用齊次屈服函數(shù)來消除不均勻性的影響。公式（5）為單元承載比計算表達(dá)式。

式中，Re是截面初始強度，是失效階段原始負(fù)載的負(fù)載效應(yīng)，是序前累計負(fù)荷。圖1 為力點在屈服平面上的運動軌跡。

圖1 屈服面力點移動路徑

橫截面的應(yīng)力狀態(tài)在曲線的Q 點處。如果軸向力從n1增加到n2，那么力必須從曲線的點Q 轉(zhuǎn)移到R 位置，但假設(shè)橫截面的彎曲力矩將保持不變，應(yīng)力條件將從Q 轉(zhuǎn)移到T，這將破壞塑性鉸鏈段內(nèi)力的平衡，從而導(dǎo)致計算中的誤差。為此，廣義塑性鉸法提出了一個平衡向量，用公式（7）表示。

式（8）中，Ki是等效于荷載初始階段的整體剛性矩陣。是載荷步進(jìn)節(jié)點的位移矢量。是從單位均衡矢量中綜合出總體均衡矢量。為第i加載步末的結(jié)點荷載向量。

1.2 基于二階廣義塑性鉸法的鋼框架結(jié)構(gòu)穩(wěn)定承載力分析

由于受力性能的限制，鋼架的面內(nèi)穩(wěn)定性問題較之面外穩(wěn)定性問題更為復(fù)雜，且受構(gòu)件的幾何非線性及初生缺陷等因素的制約。幾何非線性亦指由構(gòu)件彎曲變形所引起的P-δ影響及由橫移所引起的P- Δ 影響。而原始缺陷，就是因為生產(chǎn)工藝、安裝技術(shù)等原因，總會有一些諸如初偏心等的幾何缺陷，以及殘留應(yīng)力。因此，在進(jìn)行構(gòu)件的極限承載力計算時，應(yīng)充分考慮這兩方面的影響。然而，由于忽視了上述兩個影響，目前常用的廣義塑性鉸方法在某些情況下存在著計算精度不高的問題。二階解析法是在計算結(jié)構(gòu)內(nèi)力時，將二階效應(yīng)、初值等穩(wěn)定因素納入其中的一種，也就是所謂的二階內(nèi)力[4]。考慮到多個內(nèi)力共同加載時，需要使用承載力關(guān)聯(lián)公式來判定塑性鉸鏈的產(chǎn)生，而在此基礎(chǔ)上構(gòu)建的廣義屈服函數(shù)可以有效地反映構(gòu)件的屈服水平。圖2 是H 形剖面的簡圖，并給出了H 形剖面的結(jié)構(gòu)參數(shù)和內(nèi)部壓力。

圖2 H 字型截面參數(shù)及內(nèi)力示意圖

該截面受軸力N 和彎矩M 作用，b、h、tf和tw分別表示截面寬、高、翼緣和腹板厚度，材料屈服應(yīng)力為fy。斷面組合法假設(shè)，接近中性軸線的部位，腹板受到軸向力，距離中性軸線較遠(yuǎn)的部位，腹板和凸緣受到力矩，將斷面上每一塊矩形板的內(nèi)力綜合起來，以求出整個斷面的承載力，進(jìn)而得出在軸向力和彎矩共同作用下工字形和H 形斷面的廣義屈服函數(shù)。在二階解析中，因為在剛性矩陣中包含了軸向力，使得剛性方程不能被線性地計算出來，為了處理這樣的非線性問題，就必須進(jìn)行遞增式的非線性迭代法，在每一次迭代法之后，都會對位移進(jìn)行修正，直到將不平衡力的矢量降到可以忽略的程度，才能進(jìn)行下一次的遞增。為了獲得準(zhǔn)確的非線性方程組，需要采用遞增的方法進(jìn)行迭代，但在工程中，為了保證方程組的正確性，需要盡可能減少迭代次數(shù)。鑒于此，在已有工作的基礎(chǔ)上，擬提出一種二階塑性有限元簡化算法，并將其應(yīng)用于工程實際。

2 二階廣義塑性鉸法計算鋼框架結(jié)構(gòu)穩(wěn)定承載力的結(jié)果分析

試驗選擇的鋼架結(jié)構(gòu)跨度為3.5m，柱高為4m，梁和柱采用歐洲制造的鋼材。該材料具有2.1×105MPa 的彈性模量，和235 yf 屈服強度。對其進(jìn)行了多種計算，得出了其承載能力及計算次數(shù)，如圖3 所示。

圖3 不同承載力計算方法的結(jié)果

從圖3 可知，廣義塑性鉸法與基于塑性區(qū)法的Vogel 的準(zhǔn)確計算值相比，存在著9.12%的相對偏差，這說明廣義塑性鉸法并沒有將穩(wěn)定因子（如：幾何非線性、初始化）引入到其有限元模型中，從而造成了廣義塑性鉸模型的過高估計。另外，所構(gòu)建的二階廣義塑性鉸模型與Vogel 模型的相對偏差只有0.76%，說明所構(gòu)建的二階廣義塑性鉸模型可以有效地綜合考慮多種穩(wěn)定因子，并有很高的準(zhǔn)確性。另外，傳統(tǒng)二階塑性鉸法和 Vogel法的相對偏差只有2.71%，同樣是一種高精度的方法。然而， 傳統(tǒng)二階塑性鉸法在進(jìn)行極限承載力數(shù)值模擬時，采用了遞進(jìn)式的非線性迭代法，使得其數(shù)值模擬的時間較二階廣義塑性鉸長達(dá)2.7 倍，且計算速度較慢。結(jié)果顯示，所構(gòu)建的二階廣義塑性鉸法具有較高的計算效率和計算精度。表1 為不同計算方法下失效階段單元截面內(nèi)力結(jié)果。

表1 不同計算方法下失效階段單元截面內(nèi)力

從表2 可知，傳統(tǒng)二階塑性鉸法和二階廣義塑性鉸法計算出來的彎矩與軸力在不同失效階段、不同截面上都可以很好地符合，相對誤差不超過4.5%。這說明建立的二階廣義塑性鉸法可以準(zhǔn)確地計算結(jié)構(gòu)內(nèi)力[5]。此外，在發(fā)生一次塑性鉸接后，采用通用有限元方法和傳統(tǒng)二階塑性鉸方法得到的結(jié)果相差很大，部分構(gòu)件的相對偏差可達(dá)15%以上。這說明該方法在實際應(yīng)用中存在著較大的偏差，從而使其與塑性區(qū)法相比具有較大的差異。由此，可以用廣義塑性鉸法所求的軸向作用力的增量修正剛性陣來逼近準(zhǔn)確的非線性剛性陣，從而使所提算法在迭代過程中能迅速收斂。圖4 為不同α下結(jié)構(gòu)極限承載力。

圖4 不同α 下結(jié)構(gòu)極限承載力

從圖4 可知，結(jié)構(gòu)重力對水平橫向位移的二階影響隨著位移的增加而增強。由于廣義塑性鉸法不能考慮幾何非線性和原始結(jié)構(gòu)缺陷，計算誤差也在上升。當(dāng)α=0.5 時，相對誤差超過8%，這夸大了結(jié)構(gòu)的極限承載能力。但是二階廣義塑性鉸的計算誤差在所有情況下都小于3%，因此該方法精度更高。

3 結(jié)論

鋼框架結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性研究是工程領(lǐng)域的一個熱點。塑性鉸和塑性區(qū)是分析鋼框架結(jié)構(gòu)極限荷載的常用方法。廣義塑性鉸鏈法作為塑性鉸鏈研究的新成果，克服了一階塑性鉸鏈不能考慮多種內(nèi)力共同作用的問題。依據(jù)此，本次研究提出了一種二階廣義塑性鉸法。結(jié)論如下：

（1）廣義塑性鉸法相對誤差超過8%，二階廣義塑性鉸的計算誤差在所有情況下都小于2%，因此該方法精度更高；

（2）廣義塑性鉸法和二階廣義塑性鉸法與基于塑性區(qū)法的Vogel 的準(zhǔn)確計算值，差值分別為9.12%和0.76%，后者差值更??；

（3）考慮穩(wěn)定荷載對結(jié)構(gòu)極限的影響，二階廣義塑性鉸法可以高效且準(zhǔn)確地進(jìn)行鋼結(jié)構(gòu)承載力計算。