吳麗沙 黃靜 鄒英慧 冀東江

摘 ?要：在計算機斷層成像過程中，為了降低輻射劑量，往往采用稀疏角度投影數(shù)據(jù)，濾波反投影重建算法（Filtered BackProjection，F(xiàn)BP）具有重建速度快的優(yōu)點，但在稀疏角度情況下重建得到的圖像中存在較嚴重的條狀偽影。針對此問題，該文研究采用基于結(jié)構(gòu)張量全變差（The Structure tensor Total Variation）CT圖像后處理去噪算法，該文中簡稱該算法為FBP-STV算法。為了驗證該算法的可靠性，該文用2類模型進行數(shù)據(jù)仿真實驗，并與FBP算法、截斷全變分2類算法進行比較，實驗結(jié)果表明，該文研究的FBP-STV算法，去噪效果相對較好，圖像質(zhì)量相對較高。

關(guān)鍵詞：結(jié)構(gòu)張量全變差；FBP濾波反投影算法；STV算法；FBP-STV算法；截斷全變分

中圖分類號：TP312 ? ? ?文獻標志碼：A ? ? ? ? ?文章編號：2095-2945（2024）14-0005-04

Abstract： In the process of computed tomography， sparse angle projection data is often used to reduce radiation dose. Filtered back projection （FBP） reconstruction algorithm has the advantage of fast reconstruction speed， but there are serious strip artifacts in the reconstructed images in the case of sparse angles. In order to solve this problem， this paper studies the denoising algorithm of CT image post-processing based on structure tensor total variation. In this paper， the algorithm is called FBP-STV algorithm for short. In order to verify the reliability of the algorithm， data simulation experiments are carried out with two kinds of models and compared with FBP algorithm and truncated total variational algorithm. The experimental results show that the FBP-STV algorithm studied in this paper has a relatively good denoising effect and relatively high quality of images.

Keywords： total variation of structure tensor; filtered back projection（FBP） algorithm; STV algorithm; FBP-STV algorithm; truncated total variation

圖像重建算法中解析重建算法和迭代重建算法是2種最常用的圖像重建算法。濾波反投影重建算法（Filtered BackProjection，F(xiàn)BP）[1]屬于解析重建算法。為了降低重建圖像的劑量，實際中可以采用稀疏角投影重建圖像，但對于采用FBP重建算法，重建圖像中有明顯的條狀偽影。為了解決這個問題，學者們研究了一系列的圖像去噪算法。去噪算法包括有基于偏微分方程和變換域圖像去噪[2]、基于改進閾值函數(shù)的TOFD小波去噪[3]、總變差（TV）等[4]。TV是一個凸泛函，其通常用于灰度圖像，但也已擴展應用于向量值圖像，其成功的主要原因是其能夠重建具有清晰、邊緣保持良好的圖像。然而，其也有缺點，如過度平滑均勻區(qū)域和產(chǎn)生階梯狀偽影。

為了克服TV的局限性，文獻中又提出了幾種正則化泛函。其中包括適應圖像變化懲罰的擴展，通過局部改變正則化權(quán)重[5]或通過結(jié)合圖像的局部結(jié)構(gòu)引入各向異性[6]。然而，這些方法從輸入圖像中提取局部信息，要么作為預處理步驟，要么作為優(yōu)化問題的額外未知函數(shù)，而不是直接依賴于潛在圖像。相反，所謂的各向異性TV（ATV）[7]通過引入一個依賴于未知圖像本身的結(jié)構(gòu)張量的“擴散”張量，來適應圖像變化的懲罰。另一種旨在消除TV的階梯效應的正則化方法涉及可以編碼更高階信息的泛函。這些正則化器促進分段線性而非分段常數(shù)的重建，并且與TV結(jié)合使用，如總廣義變差（TGV）[8]和Hessian Schatten-范數(shù)正則化[9]。2015年結(jié)構(gòu)張量全變差（The Structure tensor Total Variation，STV）[10]正則項被提出，該正則項應用在各種圖像的反問題中。本文針對FBP算法在稀疏投影數(shù)據(jù)情況下重建圖像中存在條狀偽影這一問題，將STV引入到FBP重建算法當中，簡稱為FBP-STV算法。FBP-STV被用來約束重建圖像中每個點的結(jié)構(gòu)張量的特征值。

本研究在得到結(jié)構(gòu)張量TV模型的情況下將其與原圖、截斷TV[11]及FBP算法處理后的圖像進行圖像去噪對比分析。采用峰值信噪比（PSNR）和均方誤差（MSE）[12]等指標來評估重建圖像的質(zhì)量。

1 ?圖片去噪算法

1.1 ?FBP濾波反投影算法

濾波反投影是指對投影數(shù)據(jù)先進行濾波，然后再進行反投影算法。其中u（x，y）為反投影后的圖像，該算法如公式（1）所示

式中：|ω|是一維濾波器函數(shù)，而[ ]中所包括的為一維傅里葉反變換，ρ=xcosθ+ysinθ是一條直線的法線表示，且ρ對于ω來說是一個常數(shù)，G（ω，θ）是投影的一維傅里葉變換，如公式（2）所示

得到，在公式（2）中ω是頻率變化量，g（ρ，θ）是固定的θ值下得到的對ρ的完整投影。

1.2STV結(jié)構(gòu)張量算法[8]

在該算法中STV被用來約束圖像中每個點的結(jié)構(gòu)張量的特征值，與傳統(tǒng)TV的算法相比，基于STV的算法在圖像恢復方面具有較大優(yōu)勢。結(jié)構(gòu)張量主要用于區(qū)分圖像的平坦區(qū)域、邊緣區(qū)域與角點區(qū)域。在數(shù)學上，STV可以表示如下

3 ?實驗與分析

本文選取2幅圖像進行試驗，在0～179°范圍內(nèi)等間隔采樣了90個投影，分別采用FBP算法、FBP-STV算法、截斷TV算法來進行實驗，并通過主客觀兩方面進行評價。

3.1 ?第一幅圖實驗結(jié)果分析

如圖1（a）—（d） 所示，在90個投影采樣下，tiff的3種算法重建得到的圖像各有差異。從視覺上來看，圖1（b）中FBP算法重建得到的圖像質(zhì)量最差，且偽影較多。圖1（c）中 FBP-STV算法與圖1（d）中截斷TV算法的邊界較為清晰，但圖1（d）截斷TV算法中，箭頭指向處相比于圖1（c）FBP-STV算法存在較多偽影，可以看出，F(xiàn)BP-STV算法有較優(yōu)的視覺效果。

表1則為tiff的3種算法的MSE、PSNR評價指標，為了更加直觀地進行對比，圖2給出了tiff的3種算法評價指標的柱狀圖。由圖2可發(fā)現(xiàn)FBP-STV算法與截斷TV算法相比，MSE較小而PSNR較大，都具有較好的MSE、PSNR值，圖像質(zhì)量較好。而FBP算法的MSE指標均大于上述2種算法，PSNR指標也都小于這2種算法，從視覺上也能看出FBP算法偽影較多，圖片質(zhì)量較差。

3.2 ?第二幅圖實驗結(jié)果分析

如圖3（a）—（d）所示，在90個投影采樣下，腦CT的3種算法重建得到的圖像有所差別。從視覺上來看，圖3（b）中FBP算法重建得到的圖像邊界偽影最多，圖像質(zhì)量較差。通過比較圖3（c）與圖3（d）可以發(fā)現(xiàn)，圖3（c）中FBP-STV算法與圖3（d）中截斷TV算法的邊界都較為清晰，圖像存在少量偽影，圖像質(zhì)量比圖3（b）FBP算法較好。

表2則為腦CT的3種算法的MSE、PSNR評價指標。為了更加直觀地進行對比，圖4給出了腦CT的3種算法評價指標的柱狀圖。由圖4可發(fā)現(xiàn)FBP-STV算法較其他2種算法評價指標都要好一些，客觀評價表明該算法優(yōu)于其他2種算法。

4 ?結(jié)論

本文在稀疏角度采用投影數(shù)據(jù)情況下，首先采用FBP重建出初始圖像，然后采用了STV對重建圖像進行約束，為了證明所研究算法的有效性，將該算法與其他2種算法（FBP和截斷TV）進行了去噪對比實驗，比較實驗結(jié)果表明，F(xiàn)BP-STV算法與其他2種算法相比，在去除條狀偽影同時可以對邊界的結(jié)構(gòu)有很好的保護效果。

參考文獻：

[1] Rafacl C. Gonzalez，Richard E. Woods.數(shù)字圖像處理[M].4版.阮秋琦，阮宇智，譯．北京：電子工業(yè)出版社，２０２０：２５６－２７2.

[2] 張敏.基于偏微分方程和波域自適應圖像去噪方法研究[D].南京：南京信息工程大學，2020.

[3] 薛峰.基于改進閾值函數(shù)的TOFD圖像小波去噪[J].無損檢測，2０２３，４５（８）：６２－66.

[4] RUDIN L Ｉ，ＯＳＨER Ｓ， ＦＡＴEMI E. Nonlinear total variation based noise removal algorithms[J].Physica D Nonlinear Phenomeｎａ，１９９２，６０（１－４）：２５９－２６８．

[5] DONG Y，ＭＩＣＨＡＥＬ Ｈ． Ｍｕｌｔｉ－ｓｃａｌｅ ｔｏｔａｌ ｖａｒｉａｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ａｕｔｏｍａｔｅｄ ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ ｐａｒａｍｅｔｅｒ ｓｅｌｅｃｔｉｏｎ ｆｏｒ ｃｏｌｏｒ ｉｍａｇｅ ｒｅｓｔｏｒａｔｉｏｎ[C]//Inｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ ｏｎ Ｓｃａｌｅ Ｓｐａｃｅ ＆ Ｖａｒｉａｔｉｏｎａｌ Ｍｅｔｈｏｄｓ ｉｎ Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｖｉｓｉｏｎ．Ｓｐｒｉｎｇｅｒ－Ｖｅｒｌａｇ，２００９．

[6] ＳＥＴＺＥＲ Ｓ， ＳＴＥＩＤＬ Ｇ， ＴＥＵＢＥＲ Ｔ． Ｒｅｓｔｏｒａｔｉｏｎ ｏｆ ｉｍａｇｅｓ ｗｉｔｈ ｒｏｔａｔｅｄ ｓｈａｐｅs[J].Nｕｍｅｒｉｃａｌ Ａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ，２００８，４８（１－３）：４９－６６．

[7] ＧＲＡＳＭＡＩＲ Ｍ， ＬＥＮＺＥＮ Ｆ． Ａｎｉｓｏｔｒｏｐｉｃ ｔｏｔａｌ ｖａｒｉａｔｉｏｎ ｆｉｌｔｅｒｉｎｇ[J].Aｐｐｌｉｅｄ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ，２０１０（３）：３２３－３３９．

[8] ＢＲＥＤＩＥＳ Ｋ， ＫＵＮＩＳＣＨ Ｋ， ＰＯＣＫ Ｔ． Ｔｏｔａｌ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｖａｒｉａｔｉｏn[J].SIＡＭ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｎ Ｉｍａｇｉｎｇ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ，２０１０，３（３）：４９２－５２６．

[9] ＬＥＦＫＩＭＭＩＡＴＩＳ Ｓ， ＷＡＲＤ Ｊ Ｐ， ＵＮＳＥＲ Ｍ． Ｈｅｓｓｉａｎ sｃｈａｔｔｅｎ－ｎｏｒｍ ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ ｆｏｒ ｌｉｎｅａｒ ｉｎｖｅｒｓｅ ｐｒｏｂｌｅｍs[J].ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓ Ｉｍａｇｅ Ｐｒｏｃｅｓｓ，２０１３，２２（５）：１８７３－１８８８．

[10] ＬＥＦＫＩＭＭＩＡＴＩＳ Ｓ， ＲＯＵＳＳＯＳ Ａ， ＭＡＲＡＧＯＳ Ｐ， ｅｔ ａｌ． Ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｔｅｎｓｏｒ ｔｏｔａｌ ｖａｒｉation[J]. ＳＩＡＭ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｎ Ｉｍａｇｉｎｇ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ， ２０１５，８（２）： １０９０－１１２２．

[11] ＤＯＵ Ｚ， ＳＯＮＧ Ｍ， ＧＡＯ Ｋ， ｅｔ ａｌ． Ｉｍａｇｅ ｓｍｏｏｔｈｉｎｇ ｖｉａ ｔｒｕｎｃａｔｅｄ ｔｏｔａｌ ｖａｒｉａｔｉｏｎ[J].ＩＥＥＥ Ａｃｃｅｓｓ，２０１７，５：２７３３７－２７３４４．

[12] 黃小喬，石俊生，楊健，等．基于色差的均方誤差與峰值信噪比評價彩色圖像質(zhì)量研究[D].昆明：云南師范大學，２００７．