劉敏

摘 要：本文以2021年鹽城市中考壓軸題為例，探究圖形旋轉(zhuǎn)變換的另一類題型——在平面直角坐標系下，通過旋轉(zhuǎn)來實現(xiàn)點的坐標變換.抓住旋轉(zhuǎn)變換中的變量與不變量，抓住特殊角，解決動點問題，運用逆向思維和轉(zhuǎn)化思想，以靜制動解決此類問題.通過研究這一類問題，有助于學(xué)生在空間觀念的基礎(chǔ)上進一步建立幾何直觀，提升抽象能力和推理能力.

關(guān)鍵詞：點的坐標變換；逆向思維；轉(zhuǎn)化思想；以靜制動

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1008-0333（2024）08-0006-04

近年來，圖形的旋轉(zhuǎn)變換已成為中考試題的熱點之一，現(xiàn)有大量文章基于旋轉(zhuǎn)變換多種模型進行研究，常見的旋轉(zhuǎn)模型有“手拉手”模型、“夾半角”模型和“對角互補”模型[1].經(jīng)對比發(fā)現(xiàn)，通過旋轉(zhuǎn)來實現(xiàn)點的坐標變換的這一類題型中隱含著“手拉手”模型.“手拉手”模型指共頂點且兩個頂角相等的等腰三角形（或等邊三角形）組成的圖形，圖形中兩個頂角相等，若它們減去（或加上）公共部分后所得的角相等[2]，則可構(gòu)造全等三角形.本文研究的題型中隱含“手拉手”全等三角形模型.

1 原題呈現(xiàn)

學(xué)習(xí)了圖形的旋轉(zhuǎn)之后，小明知道，將點P繞著某定點A順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度α，能得到一個新的點P′，經(jīng)過進一步探究，小明發(fā)現(xiàn)，當(dāng)上述點P在某函數(shù)圖象上運動時，點P′也隨之運動，并且點的運動軌跡能形成一個新的圖形.

初步感知

如圖1，設(shè)點A（1，1），α=90°，P是一次函數(shù)y=kx+b圖象上的動點，已知該一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點P1（-1，1）.

（1）點P1旋轉(zhuǎn)后，得到的點P′1的坐標為；

（2）若點P′的運動軌跡經(jīng)過點P′2（2，1），求原一次函數(shù)的表達式.

2 解題思路分析

初步感知

（1）在旋轉(zhuǎn)變換中，對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心距離相等，各組對應(yīng)點分別與旋轉(zhuǎn)中心連線所成的角都等于旋轉(zhuǎn)角度.本題基于旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，巧用90°角，可知△P1AP′1為等腰直角三角形，即可求出點P′1的坐標.在思考該題時，可緊扣“巧用旋轉(zhuǎn)角，構(gòu)造特殊圖形”.

（2）P是一次函數(shù)圖象上的動點，繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到P′，其運動軌跡經(jīng)過點P′2，可以抓住“圖形的旋轉(zhuǎn)變換就是關(guān)鍵點的旋轉(zhuǎn)”這一本質(zhì)，該問題可以將一次函數(shù)圖象的旋轉(zhuǎn)視作定點P2的旋轉(zhuǎn)，已知點P2繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°后點P′2的坐標，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知旋轉(zhuǎn)前P2的坐標，即可求出一次函數(shù)表達式.在思考該題時，可緊扣“抓住旋轉(zhuǎn)本質(zhì)，巧妙轉(zhuǎn)化”.

深入感悟

由旋轉(zhuǎn)可知，本題應(yīng)分類討論點P的位置，分為三種情況，當(dāng)點P的橫坐標小于-1時，當(dāng)點P的橫坐標大于-1小于0時，當(dāng)點P的橫坐標等于-1時.由于P是反比例函數(shù)上的動點，運用中學(xué)知識很難求出旋轉(zhuǎn)后點的運動軌跡.當(dāng)點P的橫坐標小于-1時，基于旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得OP=OP′，∠P′OP等于直線OM與x軸形成的銳角，則它們減去公共部分∠MOP后所得的角仍相等，聯(lián)想到構(gòu)造“手拉手”全等三角形模型，添加同樣的輔助線，過點P作PN⊥x軸于點N，抓住“手拉手”模型的兩個等腰△OP′P和△OMN，構(gòu)造全等三角形，以靜制動，將無法確定的動點P′轉(zhuǎn)化為已知運動軌跡的動點P，根據(jù)全等三角形性質(zhì)即將△OMP′的面積轉(zhuǎn)化為求△ONP的面積，再運用反比例函數(shù)k的幾何意義即可得到答案.當(dāng)點P的橫坐標大于-1小于0時，∠MOQ和∠P′OP加上公共部分∠MOP后所得的角仍相等，即∠POQ=∠P′OM，同理可構(gòu)造“手拉手”全等三角形模型.在思考該題時，可緊扣“以靜制動，構(gòu)造全等，巧妙轉(zhuǎn)化”.

靈活運用

運用中學(xué)知識，很難求出二次函數(shù)圖象上的動點P繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°后點P′的運動軌跡，故“反其道而行之”，運用逆向思維，將點B、C繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°后得到點B′、C′，將求△BCP′面積的最小值轉(zhuǎn)化為求△B′C′P面積的最小值.由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知△ACC′和△ABB′是等邊三角形，頂角∠B′AB和C′AC減去公共部分∠C′AB后所得的角仍相等，則構(gòu)造“手拉手”全等三角形模型，即△ABC和△AB′C′全等，即可求出線段B′C′的長度和B′C′的函數(shù)表達式.需求△B′C′P面積的最小值，即求點P到直線B′C′的距離最小值，因為點到直線之間垂線段最短，從而發(fā)現(xiàn)當(dāng)平行與B′C′的直線與拋物線相切時，切點到直線B′C′的距離最小，此切點與點B′、C′組成的三角形面積最小.在思考該題時，可緊扣“逆向思考，巧妙轉(zhuǎn)化”.

3 問題解析

如圖6，當(dāng)點P的橫坐標等于-1時，即P在二、四象限角平分線上，點P′在y軸上.過點P作PH⊥x軸與點H.同理可證，△OHP≌△OMP′，所以

4 解題反思

關(guān)于上述解題過程中，所提到的以靜制動，并不是把動點轉(zhuǎn)化為定點，此時的“靜”并不是絕對的靜止，而是運用逆向思維的方法后，此時的點可能還是動點，但更易于掌握，也就相當(dāng)于“靜”了[4].例如，在[靈活運用]中，我們難以求出動點P′的運動軌跡，但我們已知動點P的運動軌跡，因此保持二次函數(shù)不動，將點B、C逆時針旋轉(zhuǎn)60°后可得到B′、C′將求解△BCP′的面積最小值轉(zhuǎn)化為求解△B′C′P的面積最小值，大大降低了求解的難度.因此，這里提到的“以靜制動”的實質(zhì)就是將難以掌握的“動”轉(zhuǎn)化為已知的“動”，最終化繁為簡，將直線的“動”和函數(shù)圖像的“動”，最終都看作是點的“動”.

5 教學(xué)啟示

5.1 夯實基礎(chǔ)，注重知識的綜合運用，組織專題復(fù)習(xí)

一道壓軸題蘊含多個知識點，例如上述試題綜合考查了函數(shù)圖象與性質(zhì)、圖形的旋轉(zhuǎn)變換、全等三角形的判定和性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、一元二次方程的根、三角形面積求解等多個知識點.教師研讀教材時如果能夠從系統(tǒng)角度思考，著眼于知識之間的聯(lián)系與規(guī)律，把表面看來不相同的概念、定理、法則，通過數(shù)學(xué)本質(zhì)的揭示，使之處于一個統(tǒng)一體中，會有意外的收獲［5］.因此，教師在中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)時要組織專題復(fù)習(xí)，注重知識點之間的聯(lián)系，運用框架法梳理知識，幫助學(xué)生進行有效的知識遷移，進一步實現(xiàn)數(shù)學(xué)知識間的同化.

對數(shù)學(xué)知識的深刻理解關(guān)鍵還是在學(xué)生的自我建構(gòu)，為了促成這種建構(gòu)，通過對經(jīng)典問題的系列變式、深度探究就是一條有效的途徑.教師的教學(xué)不能“照本宣科”完全按照教材去教，要結(jié)合學(xué)生實際，對教材內(nèi)容再創(chuàng)造，再組織.為了防止題型的機械練習(xí)，教師應(yīng)圍繞考點創(chuàng)造性地挑選試題，分析題干的條件和結(jié)論，鼓勵學(xué)生積極思考、主動參與、拓展思維、合作探究、歸納總結(jié)，提高復(fù)習(xí)效率，做到“解一道題會一類題”，真正實現(xiàn)問題解決.

5.2 抓住解題關(guān)鍵，深入探究解題思路

通過上述研究，“圖形旋轉(zhuǎn)—點的坐標變換”這一類題型，解題的關(guān)鍵主要有以下幾點：一是當(dāng)難以求出旋轉(zhuǎn)后P′的運動軌跡時，會用轉(zhuǎn)化思想和逆向思維，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為易于求解的問題.二是抓住旋轉(zhuǎn)的特殊角45°，60°，90°，120°等，巧用旋轉(zhuǎn)角，構(gòu)造特殊圖形（等腰直角三角形、等邊三角形等）簡便計算，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的構(gòu)造思想.例如，在[深入探究]中，巧用45°角，直線y=-x繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45°后恰好與x軸重合，大大降低了畫圖和計算難度.三是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造圖形中隱含的“手拉手”全等三角形模型，利用全等三角形面積相等的性質(zhì)轉(zhuǎn)化問題的求解.在課堂中，教師可以運用信息技術(shù)的演示或者實物的操作，讓學(xué)生感悟圖形變化的基本特征，并且知道平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)不改變圖形的大小和形狀.

5.3 巧用逆向思維，探索解題新路徑

首先，逆向思維的培養(yǎng)不是一蹴而就的，應(yīng)滲透于平時的教學(xué)環(huán)節(jié)中.例如，幾何性質(zhì)定理和判定定理中存在許多互逆命題，如角平分線定理，在教學(xué)中，教師應(yīng)抓住時機，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)知識間存在的雙向關(guān)系.其次，逆向思維應(yīng)在數(shù)學(xué)應(yīng)用過程中培養(yǎng)，例如數(shù)學(xué)運算中存在很多互逆思想，加法法則可以轉(zhuǎn)化為減法法則.最后，反證法也是一種常見的逆向思維的運用.

6 結(jié)束語

逆向思維的培養(yǎng)需要經(jīng)歷一段時間的訓(xùn)練，讓學(xué)生在潛移默化中形成雙向思考，突破思維定式，激發(fā)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，以獲得解題的新途徑，最終提高學(xué)生的逆向思維能力.

參考文獻：

［1］ 蘇國東.基于旋轉(zhuǎn)模型的數(shù)學(xué)壓軸題研究[J].中學(xué)數(shù)學(xué)參考，2022（03）：4-6.

[2] 黎樂鋒.西蒙數(shù)學(xué)視角下的初中幾何模型復(fù)習(xí)課設(shè)計：以“手拉手模型復(fù)習(xí)”為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2021（12）：32-35.

[3] 蔡維.探究識別模型，拓展深化反思：以“手拉手”模型為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2021（9）：14-16.

[4] 張曉鵬.參數(shù)分離，以靜制動：動態(tài)函數(shù)圖象定區(qū)間內(nèi)交點問題的求解策略[J].初中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2022（6）：08-10.

[5] 劉耀斌.鉆研數(shù)學(xué)教材的四重境界[J].數(shù)學(xué)通報，2022，61（01）：15-19.