銳角三角函數(shù)與我們之前學(xué)習(xí)過的“相似三角形”“勾股定理”等內(nèi)容緊密相連，同時(shí)也為高中階段更深入地理解和應(yīng)用銳角三角函數(shù)打下基礎(chǔ)。因此，我們?cè)诒菊聦W(xué)習(xí)時(shí)，需要厘清核心概念，理順直角三角形的邊角關(guān)系，進(jìn)而解決生活中的實(shí)際問題。

一、厘清概念，清晰函數(shù)本質(zhì)

如何理解銳角三角函數(shù)？我們以身邊的含30°角的三角板為例。根據(jù)之前學(xué)習(xí)的知識(shí)，無論30°角的對(duì)邊是多少，斜邊都是對(duì)邊的兩倍，這種比例關(guān)系就是正弦函數(shù)（sin）。這個(gè)比值其實(shí)是由30°角所決定的，與三角形的大小無關(guān)，只要角的度數(shù)確定了，這個(gè)比值也就確定了。與之類似的還有正切函數(shù)（tan）、余弦函數(shù)（cos）等。我們也可以求出45°角和60°角的三角函數(shù)值，發(fā)現(xiàn)當(dāng)一個(gè)銳角確定后，其對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)值也隨之確定，即角和值之間存在一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，這種關(guān)系正是銳角三角函數(shù)中“函數(shù)”一詞的由來。

二、理順邊角關(guān)系，巧解直角三角形

如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，其余5個(gè)元素之間有以下關(guān)系：

（1）三邊之間的關(guān)系：a2+b2=c2；

（2）兩銳角之間的關(guān)系：∠A+∠B=90°；

（3）邊、角之間的關(guān)系：sinA=[ac]，sinB=[bc]，cosA=[bc]，cosB=[ac]，tanA=[ab]，tanB=[ba]。

在掌握邊、角關(guān)系的基礎(chǔ)上，我們還要借助圖形來解決問題。我們要習(xí)慣將已知量在圖中標(biāo)注出來，找到與已知量和所求量相關(guān)聯(lián)的三角形，弄清楚已知條件中各量之間的關(guān)系。若給的三角形是直角三角形，根據(jù)邊、角關(guān)系進(jìn)行計(jì)算；若不是直角三角形，則要通過添加輔助線實(shí)現(xiàn)化斜（斜三角形）為直（直角三角形）。

例1 如圖2，在△ABC中，∠A＞90°，AB=10，tanB=[34]，tanC=[12]，求BC的長。

【分析】觀察圖形，我們不難發(fā)現(xiàn)，本題給予三角函數(shù)值的角都不在直角三角形中。因此，我們要通過添加輔助線實(shí)現(xiàn)化斜為直，即過點(diǎn)A作BC邊上的高AD，構(gòu)造出兩個(gè)直角三角形，并根據(jù)所得的兩個(gè)直角三角形具有公共邊這一特征（設(shè)公共邊為x），借助銳角三角函數(shù)的概念，用含有x的代數(shù)式來表示出其他線段，列出方程，求出未知數(shù)，最后得到BC的長。

解：如圖3，過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，設(shè)AD=x。

∵tanB=[34]，tanC=[12]，

∴CD=2x，BD=[43]x。

在Rt△ABD中，

由勾股定理，得

AD2+BD2=AB2，

即x2+（[43]x）2=102。

解得x1=6，x2=-6（不合題意，舍去）。

∴AD=6，CD=2x=12，BD=[43]x=8。

∴BC=CD+BD=12+8=20。

三、強(qiáng)化“化歸”意識(shí)，解決實(shí)際問題

數(shù)學(xué)來源于生活，應(yīng)用于生活。當(dāng)我們?cè)谟龅揭娩J角三角函數(shù)的知識(shí)來解決生活中的實(shí)際問題時(shí)，首先應(yīng)仔細(xì)閱讀題意，將實(shí)際問題數(shù)學(xué)化，然后緊扣解題關(guān)鍵——構(gòu)造直角三角形，便可解決這類問題。

例2 如圖4，某學(xué)校實(shí)踐小組為了測(cè)量學(xué)校旗桿MN的高度，首先用測(cè)角儀在AB處測(cè)得旗桿端點(diǎn)M的仰角為30°，再往靠近旗桿方向前進(jìn)5m至CD處，測(cè)得仰角為42°，已知測(cè)角儀高0.5m，求旗桿MN的高度（精確到0.1m）。

（參考數(shù)據(jù)：tan42°≈0.90，sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，[3]≈1.73）

【分析】本題主要考查解三角函數(shù)的應(yīng)用——仰角、俯角問題。我們可以借助仰角構(gòu)造直角三角形，即延長AC，交MN于點(diǎn)H，構(gòu)造出具有公共邊MH的兩個(gè)直角三角形（Rt△AMH和Rt△CMH），然后利用解直角三角形的方法求出MH的值，最后得到MN的值。

解：延長AC，交MN于點(diǎn)H，如圖5。

根據(jù)題意，得四邊形ABDC、四邊形CDNH、四邊形ABNH均為矩形，則∠CHN=90°，∴∠AHM=90°。

根據(jù)題意，得

HN=AB=0.5m，AC=5m，∠MCH=42°，∠MAH=30°。

在Rt△CMH中，

CH=[MHtan∠MCH]=[MHtan42°]≈1.11MH。

在Rt△AMH中，

AH=[MHtan∠MAH]=[MHtan30°]=[MH33]≈1.73MH。

∵AH-CH=AC=5，

∴1.73MH-1.11MH=5。

解得MH≈8.06m。

∴旗桿MN的高度為：MN=MH+HN=8.06+0.5=8.56≈8.6（m）。

答：旗桿MN的高度為8.6m。

我們只要厘清銳角三角函數(shù)的概念，把握好直角三角形的邊角關(guān)系，注重對(duì)實(shí)際問題的建模，就一定能夠?qū)W好“銳角三角函數(shù)”的知識(shí)。

（作者單位：江蘇省建湖縣秀夫初級(jí)中學(xué)）