第七章 銳角三角函數(shù)

領" 銜" 人：王競進（正高級教師）

組稿團隊：江蘇省建湖縣王競進初中數(shù)學名師工作室

“銳角三角函數(shù)”是幾何知識與函數(shù)知識相結合的一章。因此，學習本章知識時，我們需要從整體的視角把握全章知識內(nèi)容，通過類比的方法思考知識生長的一般路徑，從而建構全章知識。

一、整體感知全章知識

在此之前，我們已經(jīng)系統(tǒng)學習了平面圖形的認識、全等三角形以及圖形的相似。因此，教材以生活中的實際問題為背景，并從同學們已有的相似三角形的有關知識出發(fā)，引入銳角三角函數(shù)的概念。

“銳角三角函數(shù)”本質(zhì)上屬于三角學。中學數(shù)學把三角學分成兩部分：第一部分安排在初中階段，主要研究銳角三角函數(shù)的概念和解直角三角形；第二部分安排在高中階段，主要研究任意角的三角函數(shù)、解斜三角形等。雖然我們在學習本章時看到的大部分是特定符號（sin、cos、tan）和比值，沒有顯而易見的函數(shù)表達式，但其只是隱去了函數(shù)與自變量之間的關系，本質(zhì)還是函數(shù)。隨著學習的深入，我們一定會類比之前學過的函數(shù)知識理解銳角三角函數(shù)應有的函數(shù)意義。

二、不同視角分析應用知識的一般路徑

作為以幾何為背景的銳角三角函數(shù)，本章在引出概念后，介紹了30°、45°、60°特殊角的三角函數(shù)值，以及借助計算器由已知銳角求得三角函數(shù)值和由已知三角函數(shù)值求對應銳角，其中滲透了銳角三角函數(shù)值的性質(zhì)和判定，進而探尋直角三角形邊、角之間的關系。

我們利用直角三角形中邊、角之間的關系，根據(jù)直角三角形中已知元素，選擇恰當?shù)姆椒ㄇ蟮闷渌粗?，且應用仰角、俯角、坡度、坡比等相關知識解決一些簡單的生活實際問題，這些都體現(xiàn)出研究幾何問題的一般路徑：實際問題→抽象形成概念→圖形的性質(zhì)→圖形的判定→應用。

作為代數(shù)中函數(shù)知識的銳角三角函數(shù)，它與三類常見函數(shù)的不同之處在于函數(shù)的表達式不同。初中階段的函數(shù)定義為：設在一個變化過程中有兩個變量x與y，如果對于x的每一個值，y都有唯一的值與它對應，那么就說x是自變量，y是x的函數(shù)。

我們通過探究，發(fā)現(xiàn)：如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，點B1在邊AB上，B1C1⊥AC，垂足為C1，則有[BCAB]=[B1C1AB1]，即如果直角三角形中一個銳角的大小確定，那么這個銳角的對邊與斜邊的比值也確定，我們把這個確定值確定為這個銳角的正弦。類比正弦，我們也可以給出銳角的余弦、正切的概念。

教材中明確指出：“Rt△ABC中，[ac]、[bc]和[ab]的值都隨∠A的大小變化而變化，都隨∠A的大小確定而唯一確定。”所以sinA是∠A的函數(shù)。同樣，cosA、tanA也是∠A的函數(shù)。顯然，銳角三角函數(shù)符合初中階段的函數(shù)定義，自變量是銳角，函數(shù)是（直角三角形中某兩邊的）比值。因此，在此基礎上，定義：∠A的正弦、余弦、正切都是∠A的三角函數(shù)。

盡管三角函數(shù)與我們前面研究的三類常見函數(shù)的表達式不同，但研究路徑一致，即感受實例中的變量關系→形成概念及其表達形式（表格、圖像、表達式）→研究函數(shù)的圖像與性質(zhì)→運用函數(shù)解決簡單的問題。

三、整體領略本章蘊含的數(shù)學思想方法

在本章知識的探究過程中，我們一起經(jīng)歷了數(shù)形結合的數(shù)學思想，感受到隨著銳角θ的增大或減小，sinθ、cosθ、tanθ的變化情況。我們根據(jù)銳角三角函數(shù)的概念，應用化歸的數(shù)學思想求得非直角三角形中銳角的三角函數(shù)值或邊長。同時，借助直角三角形的邊、角之間的關系，我們應用方程思想解直角三角形以及解決簡單的生活實際問題。

（作者單位：江蘇省建湖縣教育局教研室）