通過對(duì)本章的學(xué)習(xí)，同學(xué)們對(duì)相似的判定和性質(zhì)、位似等知識(shí)有了比較系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)。同時(shí)，我們知道，幾何學(xué)習(xí)離不開作圖，而作圖方法貫穿初中幾何學(xué)習(xí)的全過程。那么相似和作圖又有什么樣的關(guān)聯(lián)呢？它們?cè)谥锌贾杏惺裁淳唧w的體現(xiàn)呢？

一、由作圖得相似

所謂“由作圖得相似”，指的是通過作圖，兩個(gè)三角形滿足某一相似的判定定理，進(jìn)而得到相似。接下來分“無網(wǎng)格作圖”和“有網(wǎng)格作圖”兩種情況來敘述。

1.無網(wǎng)格作圖

例1 （2016·江蘇南京）如圖1，在?ABCD中，E是AD上一點(diǎn)，延長(zhǎng)CE到F，使∠FBC=∠DCE。

（1）求證：∠D=∠F；

（2）用直尺和圓規(guī)在AD上作出點(diǎn)P，使△BPC∽△CDP。

【分析】本題我們主要解決第（2）問。如果在AD上任取一點(diǎn)P，連接CP、BP，可以得到∠CPD=∠PCB。要使△BPC∽△CDP，還需要一組角相等（如∠BPC=∠D），而由（1）得∠D=∠F，所以只要∠BPC=∠F即可，而這可以由“同弧所對(duì)的圓周角相等”得以實(shí)現(xiàn)，進(jìn)而由“兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似”這一相似的判定定理得到結(jié)論。

【作法】如圖2：

①作△BCF的外接圓⊙O；

②⊙O與AD交于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求。

2.有網(wǎng)格作圖

例2 （2022·吉林長(zhǎng)春）如圖3，在5×5的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，其頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，△ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上。只用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中，按下列要求作圖。

（1）在圖3中△ABC的邊BC上確定一點(diǎn)E，連接AE，使△ABE∽△CBA；

（2）在圖4中△ABC的邊AB上確定一點(diǎn)P，在邊BC上確定一點(diǎn)Q，連接PQ，使△PBQ∽△ABC，且相似比為1∶2。

【分析】（1）如果邊BC上的點(diǎn)E可以滿足△ABE∽△CBA，那么∠AEB=∠CAB=90°，所以只要作出AE⊥BC即可。（2）要使得△PBQ∽△ABC，且相似比為1∶2，則問題轉(zhuǎn)化為作出AB邊與BC邊的中點(diǎn)。AB邊的中點(diǎn)容易找出，而BC邊的中點(diǎn)可以利用矩形的性質(zhì)作出。

【作法】（1）如圖5：過點(diǎn)A作AE⊥BC，點(diǎn)E即為所求。

（2）如圖6：選取點(diǎn)M，連接PM，交BC于點(diǎn)Q，點(diǎn)P、Q即為所求。

從上面兩個(gè)例子可以看出，在處理“由作圖得相似”類問題時(shí)，需要認(rèn)真分析題目條件，選擇和題目條件切合度高的相似判定定理，這樣更利于順利解題。

二、用相似來作圖

所謂“用相似來作圖”，指的是用本章中常用的定理或者方法來實(shí)現(xiàn)某種作圖效果。下面從“用常用定理作圖”和“用位似方法作圖”兩方面來敘述。

1.用常用定理作圖

例3 （2021·江蘇南京）如圖7，已知點(diǎn)P是⊙O外一點(diǎn)，用兩種不同方法過點(diǎn)P作⊙O的一條切線。

【分析】例3有很多種作圖方法，但我們?nèi)绻麖南嗨频慕嵌热胧?，能得到一種有趣的作圖方法。在圖8中，若作出PQ與⊙O相切，連接PO，分別交⊙O于點(diǎn)A、B。根據(jù)切割線定理， PQ2=PA·PB，PA與PB長(zhǎng)度確定，進(jìn)而PQ確定。而又可以由PA、PB構(gòu)造直角三角形，通過射影定理來確定PQ的長(zhǎng)度。

【作法】如圖8：

①連接PO，交⊙O于點(diǎn)A、B；

②以PB為直徑作⊙R，過點(diǎn)A作AQ'⊥PB，交⊙R于點(diǎn)Q'；

③以點(diǎn)P為圓心，PQ'長(zhǎng)為半徑作⊙P，交⊙O于點(diǎn)Q；

④連接PQ，PQ即為所求切線。

2.用位似方法作圖

例4 （2023·江蘇淮安）如圖9，在Rt△ABC中，∠C=90°，作⊙O，使得圓心O在邊AB上，⊙O過點(diǎn)B且與邊AC相切于點(diǎn)D。

【分析】需要作出的圓的圓心在AB上，還要同時(shí)過點(diǎn)B，且與邊AC相切，要求較高，較難直接作出，進(jìn)而考慮分解要求。先作一個(gè)⊙O'，使得圓心在AB上，且與AC相切于點(diǎn)D'，隨后從位似的視角出發(fā)，放大⊙O'，直至放大后的圓經(jīng)過點(diǎn)B，實(shí)現(xiàn)以退為進(jìn)的效果。

【作法】如圖10：

①在邊AB上任取一點(diǎn)O'，過點(diǎn)O'作O' D'⊥AC，垂足為點(diǎn)D'，⊙O'與AB的右交點(diǎn)為點(diǎn)B'；

②連接B'D'，過點(diǎn)B作BD∥B'D'，交AC于點(diǎn)D；

③過點(diǎn)D作DO⊥AC，交AB于點(diǎn)O；

④以O(shè)為圓心，OD為半徑作⊙O即為所求。

相似中的常用定理以及位似方法可以應(yīng)用到很多作圖問題中。同學(xué)們只要在日常數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中多加積累，勤于練習(xí)，肯于思考，善于總結(jié)，一定能有很多收獲，最終在中考中取得佳績(jī)。

（作者單位：南京師范大學(xué)附屬中學(xué)樹人學(xué)校）