相似是幾何中轉(zhuǎn)化線段與角的重要工具。將相似與函數(shù)、圓相結(jié)合，通過添加適當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造相似圖形基本模型，可以解決線段的最值問題。

例1 如圖1，在正方形ABCD中，AB=6，AE=[13]AB，點(diǎn)F在AD上運(yùn)動(dòng)（不與A、D重合），過點(diǎn)F作FG⊥EF交CD于點(diǎn)G，則DG的最大值為 。

【解析】由“一線三等角”模型易證△AEF∽△DFG。設(shè)AF=x，則DF=6-x。通過[AEDF]=[AFDG]，可得DG=[12]x（6-x）=[-12]（x-3）2

[+92]?！?＜x＜6，∴當(dāng)x=3時(shí)，DG取最大值[92]。

例2 如圖2，線段AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C在AB的延長線上，AB=4，BC=2，點(diǎn)P是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，連接CP，以CP為斜邊在PC的上方作Rt△PCD，且使∠DCP=60°，連接OD，則OD長的最大值為 。

【解析】本題O為定點(diǎn)，所以需要尋求點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡。D、P兩點(diǎn)通過Rt△PCD、∠DCP=60°這兩個(gè)條件建立關(guān)系，屬于“主從聯(lián)動(dòng)”問題，因此可以通過構(gòu)造“手拉手”相似，確定點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡。而在Rt△PCD的三個(gè)頂點(diǎn)中，D、P都是動(dòng)點(diǎn)，只有C為定點(diǎn)，因此確定公共頂點(diǎn)為C，再依據(jù)Rt△PCD、∠DCP=60°這兩個(gè)條件，作△COE（如圖3），使得∠CEO=90°，∠ECO=60°，又OC=4，則CO=2CE，OE=[23]，∠OCP=∠DCE。由△COP∽△CED推出[OPED]=[CPCD]=2，即ED=[12]OP=1。由點(diǎn)E是定點(diǎn)，DE是定長，可得點(diǎn)D在半徑為1的⊙E上?！逴D≤OE+DE，∴OD的最大值為[23]+1。

例3 如圖4，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，D、E分別是邊BC、AC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且DE=4，P是DE的中點(diǎn)，連接PA、PB，則PA+[14]PB的最小值為 。

【解析】本題要求解兩條變化的線段之和的最小值，可能會(huì)想到“將軍飲馬”基本模型，但與“將軍飲馬”模型不同的是：DE雖然是定長，但是兩個(gè)端點(diǎn)D、E在變化，因此無法作定點(diǎn)A、B關(guān)于DE的對(duì)稱點(diǎn)。其次，[14]PB如何構(gòu)造？如果僅是將PB四等分，那么依舊是“將軍飲馬”模型。因此，我們可以思考借助“相似”構(gòu)造[14]PB。連接PC，可得PC=2。將PB放到△PCB中，其中BC、PC都為定值，在BC上取點(diǎn)F，使得CF=[12]，連接PF，如圖5。

∵[CPBC]=[14]，[CFCP]=[14]，∴[CPBC]=[CFCP]。又∵∠FCP=∠BCP，∴△BCP∽△PCF。此時(shí)△BCP與△PCF呈現(xiàn)出“反A型”相似模型，則[PFBP]=[14]，那么PF=[14]BP，即PA+[14]BP=PA+PF。當(dāng)點(diǎn)A、P、F三點(diǎn)共線時(shí)，PA+[14]BP的最小值為AF。在Rt△ACF中，根據(jù)勾股定理可得AF=[1452]。

（作者單位：江蘇省南京市第二十九中學(xué)初中部）