周建新，侯宏瑤，鄭日成

（華北理工大學(xué)電氣工程學(xué)院，河北 唐山 063000）

0 引言

近幾年，參數(shù)優(yōu)化問(wèn)題受到了廣泛的關(guān)注，而傳統(tǒng)的優(yōu)化方法（枚舉法、牛頓法、單純形法等）無(wú)法在短時(shí)間內(nèi)求得最優(yōu)解或近優(yōu)解［1］。群智能算法（swa rm intelligence algorithm，SIA）的提出為傳統(tǒng)的控制方法提供了全新的思路，其在各學(xué)科中都逐漸展示出了強(qiáng)大的效果。尤其在控制工程領(lǐng)域，成為了一種對(duì)非線(xiàn)性、高緯度系統(tǒng)尋找最優(yōu)值的強(qiáng)有力手段。

SIA 是一種根據(jù)人為經(jīng)驗(yàn)或者自然規(guī)律所構(gòu)造的數(shù)值尋優(yōu)方法，具有自組織、自學(xué)習(xí)、自適應(yīng)能力，且能夠在可接受的計(jì)算花費(fèi)下給出一個(gè)較優(yōu)的可行解［2］，對(duì)于求解不同類(lèi)型的系統(tǒng)具有通用性。其主要原理是根據(jù)生物捕食、游走、遷徙等行為特征和自然法則，并依托計(jì)算機(jī)強(qiáng)大的數(shù)據(jù)處理能力來(lái)解決問(wèn)題。基于其突出的優(yōu)點(diǎn)，SIA 得到了迅速發(fā)展，近期提出烏鴉搜索算法（CSA）、海鷗優(yōu)化算法（SOA）、灰狼算法（GWO）、鯨魚(yú)優(yōu)化算法（WOA）、蜻蜓算法（DA）等［3-7］。

麻雀搜索算法（SSA）由薛建凱于2020 年提出［8］，該算法較其他群智能優(yōu)化算法，優(yōu)點(diǎn)是原理比較簡(jiǎn)單、易于實(shí)現(xiàn)、速度快、收斂精度高。但同其他SIA一樣都存在一些固有的問(wèn)題，面對(duì)高緯度復(fù)雜函數(shù)模型尋優(yōu)時(shí)，種群初始化時(shí)位置隨機(jī)產(chǎn)生，所以迭代后期易出現(xiàn)多樣性不足，導(dǎo)致全局搜索能力有所下降；由于其機(jī)制問(wèn)題，當(dāng)緯度增加時(shí)無(wú)法更好地平衡局部與全局搜索能力。雖相比于其他基礎(chǔ)群智能算法，SSA 保持有較高的收斂速度，但仍有很大的改進(jìn)空間。

針對(duì)這些在尋優(yōu)效果上出現(xiàn)的問(wèn)題，相關(guān)學(xué)者和工程人員對(duì)SSA 進(jìn)行了一些改進(jìn)，改進(jìn)側(cè)重點(diǎn)主要分為兩部分：一是在初始化種群參數(shù)方面，二是在種群搜索與收斂機(jī)制方面。例如，高晨峰等提出了一種黃金正余弦和曲線(xiàn)自適應(yīng)的多策略麻雀搜索算法［9］，采用Chebyshev 混沌映射，改善了種群多樣性，并融合黃金正余弦算法，增加了發(fā)現(xiàn)者之間的信息交流，在更新公式中添加自適應(yīng)權(quán)重改善了易陷入局部最優(yōu)的問(wèn)題。李?lèi)?ài)蓮等提出一種融合正余弦和柯西變異的麻雀搜索算法［10］，借助折射反向?qū)W習(xí)機(jī)制初始化種群，且在發(fā)現(xiàn)者、跟隨者位置更新公式上加入了正余弦算法和柯西變異擾動(dòng)策略，提高了算法尋找全局最優(yōu)解的能力。尹德鑫等提出了一種多策略改進(jìn)的麻雀搜索算法［11］，對(duì)步長(zhǎng)因子動(dòng)態(tài)調(diào)整，并在偵察預(yù)警麻雀的位置上引入了Levy 飛行，提高了算法整體的尋優(yōu)效果。

上述針對(duì)SSA 的改進(jìn)策略通過(guò)加入初始化方法，提高了全局搜索能力；對(duì)收斂機(jī)制的改善，解決了傳統(tǒng)SSA 對(duì)于平衡全局搜索和局部收斂方面的缺點(diǎn)。但經(jīng)實(shí)驗(yàn)，其在面對(duì)高緯度復(fù)雜系統(tǒng)尋優(yōu)時(shí)，效果并不能完全滿(mǎn)足要求，在性能方面仍具有很大的改進(jìn)裕度。針對(duì)此問(wèn)題，本文提出了一種加入2N分段Tent 混沌映射和末位淘汰機(jī)制的改進(jìn)麻雀搜索算法（TESSA）。

首先，在種群位置初始化時(shí)采用2N分段Tent混沌映射，使其初始位置更加具有均勻性和遍歷性，增加種群多樣性，提高算法收斂速度與全局搜索能力。其次，在種群位置更新后期加入淘汰機(jī)制，加快局部收斂速度與精度，同時(shí)改進(jìn)跟隨者位置更新公式為一種非線(xiàn)性自適應(yīng)擾動(dòng)，更好地平衡了全局尋優(yōu)與局部挖掘能力，整體上進(jìn)一步提升了SSA在數(shù)值尋優(yōu)方面的效果。

1 基本麻雀搜索算法（SSA）

SSA 是受麻雀種群的覓食與生存行為啟發(fā)而產(chǎn)生的一種數(shù)值尋優(yōu)算法。其種群中包含3 類(lèi)個(gè)體，第1 類(lèi)是適應(yīng)度值較高的發(fā)現(xiàn)者，這些麻雀總會(huì)找到食物最為豐富的地點(diǎn)，并且會(huì)帶領(lǐng)整個(gè)種群進(jìn)行覓食行為。第2 類(lèi)為跟隨者，它們會(huì)監(jiān)視發(fā)現(xiàn)者的覓食行為并與之爭(zhēng)奪食物來(lái)提高自己的捕食率。第3 類(lèi)為偵察者，當(dāng)偵察者發(fā)現(xiàn)捕食者后立即發(fā)出報(bào)警信號(hào)，全體麻雀做出反捕食行為［12］。種群中每只麻雀的當(dāng)前所在位置表示其對(duì)應(yīng)解空間中的一個(gè)可行解。對(duì)于單只麻雀，有，其中，i表示當(dāng)前麻雀編號(hào)。則種群中所有麻雀的位置可表示為：

其中，P 表示麻雀種群數(shù)量，d 為待求解問(wèn)題維度；f（xP）表示每只麻雀所對(duì)應(yīng)的適應(yīng)度值，則麻雀種群所對(duì)應(yīng)的適應(yīng)度值為：

發(fā)現(xiàn)者的位置更新有兩種方式，其分別如式（3）所示：

跟隨者則會(huì)不斷監(jiān)視發(fā)現(xiàn)者的行為，一旦其發(fā)現(xiàn)了食物，跟隨者會(huì)立馬進(jìn)行食物資源的爭(zhēng)搶?zhuān)湮恢酶鹿饺缡剑?）所示：

另外，種群中還存在10%～20%的警覺(jué)者，當(dāng)其意識(shí)到危險(xiǎn)時(shí)，會(huì)靠近其他麻雀來(lái)降低自己被捕食的幾率，其位置更新如式（5）所示：

其中，Xbest為全局最佳位置；β 為服從均值為0，方差為1 的正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)；K∈［-1，1］為一個(gè)隨機(jī)數(shù)；ε 為極小常數(shù)，避免分母為0；fi為當(dāng)前麻雀?jìng)€(gè)體適應(yīng)度值；fg與fw分別為當(dāng)前全局最優(yōu)和最差適應(yīng)度值；當(dāng)fi＞fg時(shí)，表示當(dāng)前個(gè)體處于種群邊緣，可能會(huì)受到捕食者的攻擊；fi= fg時(shí)，表明此時(shí)位于中心的麻雀感知到了危險(xiǎn)，它們需要不斷靠近附近同伴，來(lái)減少自己被捕食的幾率。

2 加入淘汰機(jī)制的麻雀搜索算法

2.1 2N 分段Tent 混沌映射

傳統(tǒng)的SSA 隨機(jī)產(chǎn)生初始種群位置，容易導(dǎo)致后期種群多樣性降低，收斂速度變緩。而混沌映射有較好的均勻性與遍歷性，其被廣泛應(yīng)用于各種算法當(dāng)中。常見(jiàn)的有Sine 映射、Logistic 混沌映射、Circle 混沌映射等。

Tent 混沌映射具有對(duì)初值不敏感，分布均勻等特點(diǎn)。故本文采用以一種對(duì)其改進(jìn)后的2N分段Tent混沌映射來(lái)對(duì)SSA 種群位置進(jìn)行初始化［13］，提高種群多樣性。其表達(dá)式如式（6）所示：

其中，2N為分段數(shù)；Xn+1為經(jīng)過(guò)映射后的數(shù)值；h 為設(shè)定的（0，1）之間常數(shù)；當(dāng)2N=1，即N=0 時(shí)，式（6）即為普通的Tent 混沌映射。Lyaponuv 指數(shù)常常用來(lái)判斷系統(tǒng)的混沌性，其定義式為式（7）：

由式（7）計(jì)算出2NTent 混沌映射的Lyaponuv指數(shù)大于普通Tent 混沌映射。所以，2N越大，其對(duì)于SSA 種群位置的初始化則更具有隨機(jī)性和遍歷性。但同時(shí)隨著指數(shù)N 不斷增大，計(jì)算時(shí)間也會(huì)成倍增加，為了平衡種群多樣性與搜索時(shí)間，選取2N=16。

2.2 加入淘汰機(jī)制

傳統(tǒng)麻雀搜索算法中，種群會(huì)根據(jù)式（3）～式（5）不斷更新自己的位置，以達(dá)到逐步尋優(yōu)，但這種方式比較依賴(lài)與公式所定義的搜索范圍和步長(zhǎng)，導(dǎo)致算法迭代速度不太穩(wěn)定。針對(duì)此問(wèn)題，本文提出了一種在經(jīng)過(guò)3 個(gè)公式的位置更新后，對(duì)此次迭代中所有個(gè)體加入淘汰機(jī)制來(lái)加強(qiáng)算法的收斂速度。

圖1 2N=16 時(shí)Tent 映射分布Fig.1 Distribution of Tent mapping when 2N=16

2.2.1 淘汰個(gè)體位置更新策略

淘汰機(jī)制即通過(guò)計(jì)算此次迭代中所有麻雀?jìng)€(gè)體所對(duì)應(yīng)的適應(yīng)度值，淘汰掉適應(yīng)度值排在末位的M 只個(gè)體，由于其被淘汰，所以下一代個(gè)體位置會(huì)更加傾向于在上代最優(yōu)值附近產(chǎn)生。新生成的個(gè)體位置按照式（8）進(jìn)行更新：

2.2.2 自適應(yīng)淘汰個(gè)體數(shù)量

由上述可知M 作為被淘汰個(gè)體的數(shù)量，其所設(shè)定的數(shù)值對(duì)平衡收斂速度與尋優(yōu)精度具有重要意義。分別取M=0.2，M=0.4，測(cè)試函數(shù)如表1 所示，取最大迭代次數(shù)為100，種群數(shù)量為50，發(fā)現(xiàn)者所占比例為20%，警覺(jué)者比例為10%，其尋優(yōu)效果如圖2所示。

表1 F1 測(cè)試函數(shù)Table 1 F1 test function

圖2 不同淘汰比例下的收斂曲線(xiàn)Fig.2 Convergence curves under different elimination ratios

由圖2 可知，雖然較大的M 會(huì)使算法收斂速度加快，但由于其不斷在最優(yōu)值附近產(chǎn)生固定的M 只新個(gè)體，容易導(dǎo)致全局搜索能力不足，迭代后期出現(xiàn)速度下降、無(wú)法收斂至極小值等問(wèn)題，故并非M越大越好。

針對(duì)此問(wèn)題，引入一種非線(xiàn)性自適應(yīng)淘汰個(gè)體比例，即在初始迭代時(shí)對(duì)種群邊緣的麻雀加大淘汰比例，節(jié)省搜索時(shí)間，在迭代后期逐漸減小，保持種群的多樣性，其更新方式如式（10）所示：

其中，M 為淘汰個(gè)數(shù)；t 為當(dāng)前迭代次數(shù)；Tmax為最大迭代次數(shù)；ω 為下降速率；Eli∈（0，0.5）為依據(jù)具體要求設(shè)定的初始淘汰比例；P 為種群總數(shù)；

取Tmax=500，ω 為1.5，Eli 分別為0.2 與0.4，P 為100，其自適應(yīng)淘汰曲線(xiàn)如圖3 所示。

圖3 不同初始淘汰比例下的淘汰曲線(xiàn)Fig.3 Elimination curves under different initial elimination ratios

2.3 基于柯西變異的跟隨者位置更新

經(jīng)過(guò)加入淘汰機(jī)制，每次迭代適應(yīng)度最差的一部分麻雀?jìng)€(gè)體會(huì)被直接淘汰，在最優(yōu)值附近產(chǎn)生，所以其在下一代位置更新時(shí)，大概率會(huì)進(jìn)入發(fā)現(xiàn)者群體中，并執(zhí)行式（3），由于麻雀種群中發(fā)現(xiàn)者與跟隨者的比例是不變的，故相應(yīng)的一部分發(fā)現(xiàn)者會(huì)變?yōu)楦S者并執(zhí)行式（4），并且跟隨者會(huì)在發(fā)現(xiàn)者附近覓食。為了平衡算法前期淘汰機(jī)制不斷在最優(yōu)值附近產(chǎn)生的缺陷、防止算法陷入局部最優(yōu)值，受文獻(xiàn)［10］啟發(fā)改進(jìn)跟隨者位置更新公式，用來(lái)提高全局搜索能力，其更新方式如式（11）。

當(dāng)i＞n/2 時(shí)，表明當(dāng)前個(gè)體處于種群邊緣，其適應(yīng)度值排在末位，所以要加大其搜索范圍，使其向更廣闊的區(qū)域進(jìn)行覓食。

而對(duì)于適應(yīng)度值排在靠前位置的跟隨者，引入柯西變異。Cauchy（0，1）為標(biāo)準(zhǔn)的柯西分布函數(shù)，比標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布能產(chǎn)生更大的擾動(dòng)，使其在最優(yōu)值附近進(jìn)行相對(duì)廣泛的搜索。TESSA 算法流程如下頁(yè)圖4 所示。

圖4 TESSA 算法流程圖Fig.4 TESSA algorithm flowchart

3 TESSA 算法性能測(cè)試

為驗(yàn)證TESSA 對(duì)于提高函數(shù)尋優(yōu)速度、尋優(yōu)精度和穩(wěn)定性的效果，選取灰狼優(yōu)化算法（GWO）、粒子群優(yōu)化算法（PSO）、麻雀搜索算法（SSA）、融合正余弦和柯西變異的麻雀搜索算法（SCSSA）、與本文加入淘汰機(jī)制的麻雀搜索算法（TESSA）在6 個(gè)測(cè)試函數(shù)上進(jìn)行仿真比較［10］。

3.1 測(cè)試函數(shù)選取

選取6 個(gè)測(cè)試函數(shù)進(jìn)行仿真，為了確保算法性能的穩(wěn)定性，其中f1～f4為單峰測(cè)試函數(shù)，其搜索范圍分別為［-100，100］、［-10，10］、［-100，100］、［-100，100］，f5、f6為多峰測(cè)試函數(shù)，其搜索范圍為［-5.12，5.12］、［-32，32］。在單峰函數(shù)上的測(cè)試可以用來(lái)檢測(cè)算法的尋優(yōu)速度與精度。在多峰函數(shù)上，則用來(lái)驗(yàn)證其跳出局部最優(yōu)的能力。測(cè)試函數(shù)表達(dá)式如表2 所示。

表2 測(cè)試函數(shù)表達(dá)式Table 2 Test function expression

3.2 TESSA 性能對(duì)比分析

將加入淘汰機(jī)制的麻雀搜索算法（TESSA）與融合正余弦和柯西變異的麻雀算法（SCSSA）［10］、基本麻雀算法（SSA）［8］、粒子群算法（PSO）［14］、灰狼算法（GWO）［5］在6 個(gè)基準(zhǔn)函數(shù)上進(jìn)行尋優(yōu)測(cè)試，各個(gè)算法公共參數(shù)即種群數(shù)量均設(shè)置為50，最大迭代次數(shù)Tmax為200，搜索范圍依據(jù)測(cè)試函數(shù)上下界。5 種算法參數(shù)選取如表3 所示時(shí)，經(jīng)實(shí)驗(yàn)，各個(gè)算法參數(shù)選取在6 個(gè)測(cè)試函數(shù)上均能達(dá)到其自身尋優(yōu)仿真的最佳效果。

表3 算法參數(shù)設(shè)置Table 3 Algorithm parameter settings

取最優(yōu)值、平均值、標(biāo)準(zhǔn)差作為實(shí)驗(yàn)結(jié)果數(shù)據(jù)，最優(yōu)值反映了算法跳出局部最優(yōu)解的能力，平均值體現(xiàn)了尋優(yōu)精度，標(biāo)準(zhǔn)差則代表了算法的穩(wěn)定性。

由于函數(shù)維度變化時(shí)，對(duì)于算法尋優(yōu)能力的要求會(huì)增大，每個(gè)維度之間也會(huì)有一定的相互干擾，為了證明不同維度下TESSA 的優(yōu)越性，函數(shù)求解維度分別設(shè)置為30 和80。各個(gè)算法獨(dú)立運(yùn)行50 次，以降低實(shí)驗(yàn)的偶然性。仿真采用環(huán)境為intel-i5 處理器，2.30 GHz，16 GB 內(nèi)存，MATLAB R2018b。

5 種算法在6 個(gè)測(cè)試函數(shù)下獨(dú)立運(yùn)行50 次的實(shí)驗(yàn)結(jié)果如下頁(yè)表4 所示。由表4 中的仿真數(shù)據(jù)可以看出：對(duì)于單峰測(cè)試函數(shù)f1～f3，TESSA 都能收斂至最優(yōu)值，且平均值與標(biāo)準(zhǔn)差均為0，而SCSSA 在f2中未能達(dá)到最佳效果，這展示出了TESSA 良好的尋優(yōu)精度。對(duì)于f4中的高維空間，TESSA 最優(yōu)值雖與SCSSA 相差一個(gè)數(shù)量級(jí)，但其平均值與標(biāo)準(zhǔn)差效果較好，這體現(xiàn)出TESSA 在穩(wěn)定性方面的優(yōu)勢(shì)。在f5、f6多峰測(cè)試函數(shù)中，TESSA、SCSSA、SSA 的尋優(yōu)精度都達(dá)到了最優(yōu)，且標(biāo)準(zhǔn)差都為0，故麻雀搜索算法相較于灰狼算法和粒子群算法具有更佳的函數(shù)尋優(yōu)能力。

表4 算法性能比較Table 4 Comparison of algorithm performance

為體現(xiàn)TESSA 較其他兩種麻雀搜索算法在收斂速度方面的優(yōu)勢(shì)，畫(huà)出了各算法在6 個(gè)測(cè)試函數(shù)維度均為30 時(shí)的迭代收斂曲線(xiàn)，如第71 頁(yè)圖5 所示。

圖5 5 種算法在函數(shù)上的收斂曲線(xiàn)Fig.5 Convergence curve of five kinds of algorithms on functions

圖5（a）～圖5（d）為單峰測(cè)試函數(shù)的算法收斂曲線(xiàn)，圖5（e）和圖5（f）為多峰測(cè)試函數(shù)收斂曲線(xiàn)。由圖5（a）可以看出當(dāng)TESSA 和SCSSA 都能夠收斂至最優(yōu)值時(shí)，TESSA 的收斂速度更快，在79 代便收斂至極小值，而SCSSA 需要迭代126 代。由圖5（b）可知，在5 種算法中，只有TESSA 達(dá)到最優(yōu)值，體現(xiàn)了其尋優(yōu)精度。圖5（d）中，當(dāng)5 種算法都未能尋優(yōu)至最優(yōu)值時(shí)，TESSA 仍然保持著與其他算法相比更快的收斂速度與全局搜索能力。從圖5（e）與圖5（f）中則看出在多峰函數(shù)測(cè)試下，雖然SCSSA 改善了傳統(tǒng)麻雀算法的一些缺陷，性能有大幅提高，但TSEEA 仍在保持精度與穩(wěn)定性的同時(shí)具有更快的尋優(yōu)速度。

3.3 Wilcoxon 秩和檢驗(yàn)

威爾科克森（Wilcoxon）秩和檢驗(yàn)是一種非參數(shù)統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)方法，本文用來(lái)檢測(cè)TESSA 與其他4 種算法是否具有非隨機(jī)性的顯著優(yōu)勢(shì)。Wilcoxon 秩和檢驗(yàn)將在5%的顯著性水平下進(jìn)行檢驗(yàn)，當(dāng)檢驗(yàn)結(jié)果P＜0.05 時(shí)，拒絕H0假說(shuō)，表明對(duì)比的兩種優(yōu)化算法在尋優(yōu)能力上存在著顯著差別；當(dāng)P ＞0.05 時(shí)，接受H0假說(shuō)，表明進(jìn)行對(duì)比的兩種算法在尋優(yōu)效果上沒(méi)有區(qū)別。

在6 個(gè)測(cè)試函數(shù)（30 維）上TESSA 算法與其他4 種算法的Wilcoxon 秩和檢驗(yàn)P 值如表5 所示；由表5 結(jié)果可知，大多數(shù)P 值＜0.05，證明TESSA 與其他算法具有顯著性差異。在f1～f4中P 值均大幅小于5%，故TESSA 尋優(yōu)性能高于SCSSA、SSA、PSO、WOA。在f5、f6中TESSA 較SCSSA 尋優(yōu)效果差異不明顯，但在其他4 種測(cè)試函數(shù)中性能顯著優(yōu)于SCSSA，可以說(shuō)明改進(jìn)的有效性。

表5 Wilcoxon 秩和檢驗(yàn)的P 值Table 5 P-values of Wilcoxon rank sum test

4 結(jié)論

本文對(duì)基本麻雀搜索算法（SSA）在高緯復(fù)雜系統(tǒng)中收斂速度下降，無(wú)法平衡局部收斂與全局搜索等問(wèn)題，提出了一種加入淘汰機(jī)制的麻雀搜索算法（TESSA）。在初始化種群位置時(shí)，引入分段Tent 混沌映射，來(lái)提高種群的多樣性。在跟隨者位置處，加入了一種基于柯西變異的自適應(yīng)位置更新公式。最后在當(dāng)代種群位置更新完后，增加了淘汰機(jī)制，并采用了非線(xiàn)性的淘汰個(gè)體比例。經(jīng)過(guò)與其他4 種算法在6 個(gè)基準(zhǔn)函數(shù)上的測(cè)試仿真后，結(jié)果表明，TESSA 改善了傳統(tǒng)麻雀搜索算法的諸多問(wèn)題，平衡了收斂速度與尋優(yōu)精度，相較于其他改進(jìn)后的麻雀搜索算法有一定性能方面上的提升。

在未來(lái)進(jìn)一步的深入學(xué)習(xí)中，重點(diǎn)研究方向?yàn)閷ESSA 應(yīng)用于實(shí)際，優(yōu)化工程中的控制、解耦等方面，證明其解決具體問(wèn)題的有效性。