江蘇省海安高級(jí)中學(xué) (226600) 陸雨軒

數(shù)學(xué)教學(xué)既要關(guān)注知識(shí)的掌握,又要強(qiáng)調(diào)能力的提升.教學(xué)中,教師應(yīng)結(jié)合教學(xué)實(shí)際設(shè)計(jì)一些探究性活動(dòng),讓學(xué)生在活動(dòng)中思考,在思考中深化,切實(shí)提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力.不過(guò),在實(shí)際教學(xué)中,為了趕進(jìn)度,很多教師很少提供時(shí)間和空間讓學(xué)生自主探究,大多延續(xù)著“講授+練習(xí)”的傳統(tǒng)模式,限制了學(xué)生發(fā)展.在教學(xué)“三角函數(shù)誘導(dǎo)公式”時(shí),筆者以學(xué)生已有認(rèn)知為起點(diǎn),結(jié)合教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)探究活動(dòng),讓學(xué)生在探究中理解知識(shí),發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng).

一、教學(xué)過(guò)程

1.回顧舊知,引入新課

情境與問(wèn)題:對(duì)稱是圓的重要性質(zhì)之一,這一性質(zhì)在三角函數(shù)中有著重要的應(yīng)用.根據(jù)三角函數(shù)的定義,我們得到了公式一:sin(α+2kπ)=sinα,cos(α+2kπ)=cosα,tan(α+2kπ)=tanα,(其中k∈Z).也就是說(shuō),若角的終邊重合,則其三角函數(shù)值相等.那么除了角的終邊重合外,是否還存在著其他比較特殊的關(guān)系呢?

師生活動(dòng):教師讓學(xué)生獨(dú)立思考,有了前面的鋪墊,學(xué)生很快想到了“對(duì)稱”,于是教師順勢(shì)給出今天研究的主題:若角的終邊關(guān)于原點(diǎn)或坐標(biāo)軸對(duì)稱,它們的三角函數(shù)值存在怎樣的特殊關(guān)系.

設(shè)計(jì)意圖:通過(guò)創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境引導(dǎo)學(xué)生將新知與舊知建立聯(lián)系,為新知探究指引方向,增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)信心.在此過(guò)程中,教師引導(dǎo)學(xué)生從整體視角思考問(wèn)題,從而使學(xué)生的思維變得有序化,有利于提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng).

2.自主探究,發(fā)現(xiàn)新知

圖1

探究1 如圖1,任意角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P1,角β的終邊與單位圓交于點(diǎn)P2,其中P2與P1關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn).

(1)角α和角β有什么關(guān)系?

(2)角α和角β的三角函數(shù)值有什么關(guān)系?

教師先讓學(xué)生獨(dú)立思考,然后進(jìn)行適度的引導(dǎo),接下來(lái)呈現(xiàn)學(xué)生的思考過(guò)程:

(1)如圖1,根據(jù)圖形對(duì)稱性可知β=α+π→β=2kπ+(π+α),k∈Z.結(jié)合三角函數(shù)的定義最終確定,該問(wèn)題只要研究π+α和α的關(guān)系即可.

這樣通過(guò)經(jīng)歷觀察、思考、交流、推導(dǎo)等過(guò)程,學(xué)生得到了角α和角β之間的關(guān)系及其所對(duì)應(yīng)三角函數(shù)值之間的關(guān)系.在此基礎(chǔ)上,教師可以進(jìn)一步讓學(xué)生思考:公式二中的角α是否對(duì)任意角都成立?由此運(yùn)用一般化思想加強(qiáng)公式的理解.

圖2

探究2 如圖2、圖3, 任意角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P1,P3與P1關(guān)于x軸對(duì)稱,P4與P1關(guān)于y軸對(duì)稱,試分析三角函數(shù)之間存在怎樣的關(guān)系?

問(wèn)題給出后,教師讓學(xué)生獨(dú)立探究,有了前面的探究經(jīng)驗(yàn),學(xué)生很快得到了答案,由此自主推導(dǎo)出公式三和公式四,即sin(-α)=-sinα,cos(-α)=sinα,tan(-α)=-tanα;sin(π-α)=sinα,cos(π-α)=-cosα,tan(π-α)=-tanα.

探究3 在推導(dǎo)以上公式時(shí)都是運(yùn)用的三角函數(shù)的定義,如果換一個(gè)角度,能否由公式二和公式三推導(dǎo)出公式四呢?

設(shè)計(jì)意圖:教師預(yù)留時(shí)間讓學(xué)生推導(dǎo)驗(yàn)證,探尋公式間的聯(lián)系,為公式的理解與記憶提供幫助.

探究4 以上公式有何共同特征嗎?

設(shè)計(jì)意圖:通過(guò)經(jīng)歷觀察、討論、歸納等活動(dòng),讓學(xué)生得到“函數(shù)名不變,符號(hào)看象限”這一共同特征,為公式的理解與應(yīng)用提供便利.

3.運(yùn)用新知,提升素養(yǎng)

例1 求下列三角函數(shù)值.

從教師呈現(xiàn)解題過(guò)程后,指導(dǎo)學(xué)生歸納求三角函數(shù)值的一般步驟.(如圖4)

圖4

變式求下列三角函數(shù)值.

設(shè)計(jì)意圖:通過(guò)對(duì)例1的探究,求三角函數(shù)值的一般步驟已經(jīng)形成,在此基礎(chǔ)上,通過(guò)變式練習(xí)加強(qiáng)對(duì)求三角函數(shù)值的一般步驟的理解,提升學(xué)生解題技能.同時(shí),通過(guò)應(yīng)用讓學(xué)生發(fā)現(xiàn),求未知角的三角函數(shù)值其實(shí)質(zhì)就是通過(guò)誘導(dǎo)公式將其等價(jià)轉(zhuǎn)化為熟悉的銳角,這樣認(rèn)清問(wèn)題本質(zhì),即可迎刃而解.

師生活動(dòng):學(xué)生思考可發(fā)現(xiàn),對(duì)于cos(180°+α)和sin(α+360°),可直接應(yīng)用公式化簡(jiǎn),即cos(180°+α)=-cosα,sin(α+360°)=sinα,而tan(-α-180°)和cos(-180°+α)不能直接用公式化簡(jiǎn),需進(jìn)一步轉(zhuǎn)化,如tan(-α-180°)=tan[-(180°+α)]=-tan(180°+α)=-tanα,cos(-180°+α)=cos[-(180°-α)]=cos(180°-α)=-cosα,這樣通過(guò)變形逐漸向公式轉(zhuǎn)化,問(wèn)題迎刃而解.問(wèn)題獲解后,教師啟發(fā)學(xué)生對(duì)解題過(guò)程進(jìn)行歸納總結(jié),形成解題的一般思路,體會(huì)整體思想的應(yīng)用,提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).

變式化簡(jiǎn):(1)sin(-α-180°)cos(-α)

sin(-α+180°);

(2)cos3(-α)sin(2π+α)tan3(-α-π).

設(shè)計(jì)意圖:通過(guò)適度練習(xí)進(jìn)一步鞏固誘導(dǎo)公式,幫助學(xué)生積累豐富的解題經(jīng)驗(yàn),提升學(xué)生解題技能.

4.課堂小結(jié),提煉方法

課堂小結(jié)是課堂教學(xué)的重要組成部分,該環(huán)節(jié)教師應(yīng)將主動(dòng)權(quán)交給學(xué)生,先讓學(xué)生獨(dú)立歸納,然后進(jìn)行組內(nèi)交流,接下來(lái)呈現(xiàn)各組交流成果,最后對(duì)學(xué)生交流結(jié)果進(jìn)行歸納總結(jié),形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖.

設(shè)計(jì)意圖:教學(xué)中,教師提供時(shí)間和空間讓學(xué)生對(duì)本課內(nèi)容進(jìn)行歸納總結(jié),在深化相關(guān)知識(shí)理解的同時(shí),提煉研究問(wèn)題的思想方法,歸納解決問(wèn)題的一般步驟,建構(gòu)個(gè)體完善的知識(shí)體系.

5.分層作業(yè),提升能力

在“雙減”政策的推動(dòng)下,教師基于基本學(xué)情設(shè)計(jì)分層作業(yè),提供時(shí)間讓學(xué)生對(duì)所學(xué)內(nèi)容進(jìn)行反思回顧,以此確保“減負(fù)增效”教學(xué)目標(biāo)的順利落實(shí).課末,教師提出這樣的問(wèn)題:若給定角的終邊關(guān)于直線y=x對(duì)稱,那么它們的三角函數(shù)值有什么關(guān)系?

設(shè)計(jì)意圖:作業(yè)作為課堂教學(xué)的延續(xù),是幫助學(xué)生鞏固本課所學(xué)知識(shí),檢測(cè)教學(xué)效果的重要途徑.教師在設(shè)計(jì)作業(yè)時(shí)要避免簡(jiǎn)單的“一刀切”,切實(shí)從教學(xué)實(shí)際出發(fā),設(shè)計(jì)符合本班實(shí)際學(xué)情的作業(yè).課后思考題的設(shè)計(jì),是本課內(nèi)容的一個(gè)延伸和拓展,啟發(fā)學(xué)生從整體的角度去思考問(wèn)題,建構(gòu)知識(shí)體系,提升數(shù)學(xué)思維能力.

二、教學(xué)思考

1.認(rèn)真研究教材,準(zhǔn)確把握教材設(shè)計(jì)意圖

在本課教學(xué)中,認(rèn)真研究教材不難發(fā)現(xiàn),教材中突出了單位圓的作用,利用圓的對(duì)稱性來(lái)研究三角函數(shù)的對(duì)稱性.基于此,教師以對(duì)稱性為主線,引導(dǎo)學(xué)生分別探究?jī)蓚€(gè)角的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱、關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱會(huì)得到怎樣的關(guān)系,由此自然得到相應(yīng)的誘導(dǎo)公式.這樣利用圓的對(duì)稱性研究三角函數(shù)的對(duì)稱性,使誘導(dǎo)公式變得更加直觀化、形象化,有利于學(xué)生理解和記憶.

2.創(chuàng)設(shè)有效情境,激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)探究積極性

高中數(shù)學(xué)是比較抽象且復(fù)雜的,教師在教學(xué)中應(yīng)重視創(chuàng)設(shè)有效的教學(xué)情境,進(jìn)而將抽象的、復(fù)雜的知識(shí)向直觀化、簡(jiǎn)單化轉(zhuǎn)化,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)積極性.如在推導(dǎo)公式二時(shí),通過(guò)創(chuàng)設(shè)情境引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究性學(xué)習(xí),這樣不僅提高了課堂效率,而且促進(jìn)了學(xué)生自主探究能力的發(fā)展和提升.

3.鼓勵(lì)合作交流,培養(yǎng)學(xué)生自主探究能力

本章涉及的公式眾多,若不能認(rèn)清其本質(zhì),僅靠死記硬背,將很難到達(dá)預(yù)期效果.因此,在實(shí)際教學(xué)中,教師應(yīng)結(jié)合教學(xué)實(shí)際創(chuàng)設(shè)一些探究性活動(dòng),引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)生成過(guò)程,以此促進(jìn)知識(shí)的理解,培養(yǎng)學(xué)生自主探究能力.

4.滲透數(shù)學(xué)思想,提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)教學(xué)是精髓,其貫穿于數(shù)學(xué)教學(xué)的始終.例如在本課教學(xué)中,滲透了數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化化歸、類比歸納、特殊與一般等思想方法.在實(shí)際教學(xué)中,教師要有意識(shí)地進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法的滲透,以此揭示數(shù)學(xué)的本質(zhì),發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).