毛廷鎏 趙建印 耿 東 吳一喬 雷 瑤

（海軍航空大學(xué) 煙臺(tái) 264001）

1 引言

在產(chǎn)品的測(cè)試過程中，有靜態(tài)測(cè)試和動(dòng)態(tài)測(cè)試兩種方式，由于兩種測(cè)試方式側(cè)重的測(cè)試數(shù)據(jù)不同，導(dǎo)致產(chǎn)生的誤差也具備不同的特點(diǎn)，因此在測(cè)量誤差分析上所釆用的方法也有很大區(qū)別。從目前我國(guó)誤差修正方法的研究來看，普遍適用于靜態(tài)測(cè)量誤差分析，比如最小二乘法［1～2］、分段直線擬合法［3～4］等等，這些方法理論已經(jīng)非常成熟，應(yīng)用也比較廣泛，在處理靜態(tài)測(cè)量誤差上，具有較好的效果，但對(duì)于具有動(dòng)態(tài)特點(diǎn)的測(cè)量誤差，其效果往往不夠理想。因此對(duì)于動(dòng)態(tài)測(cè)量誤差的分析，需要進(jìn)一步改進(jìn)誤差修正方法。針對(duì)這一問題，當(dāng)前已經(jīng)有了一些研究成果［5～7］，但還有許多的研究空間。例如將貝葉斯［8～9］、灰色模型［10～11］以及卡爾曼濾波方法［12～13］等具有預(yù)測(cè)和學(xué)習(xí)的方法運(yùn)用到誤差修正上，彌補(bǔ)傳統(tǒng)誤差修正方法不適用于動(dòng)態(tài)誤差修正的缺點(diǎn)，結(jié)合某型航空發(fā)動(dòng)機(jī)的動(dòng)態(tài)測(cè)試數(shù)據(jù)誤差修正，分析幾種方法的優(yōu)缺點(diǎn)，為選擇合理的動(dòng)態(tài)測(cè)量數(shù)據(jù)誤差修正模型提供思路。

在某型航空發(fā)動(dòng)機(jī)的性能參數(shù)測(cè)試中，很大一部分參數(shù)都具有隨時(shí)間動(dòng)態(tài)變化的特點(diǎn)，從中選取兩個(gè)參數(shù)，一個(gè)是具有線性變化特點(diǎn)的參數(shù)，一個(gè)是具有非穩(wěn)定性變化特點(diǎn)的參數(shù)。同時(shí)從測(cè)試數(shù)據(jù)中分別截取兩個(gè)參數(shù)的10 組時(shí)間序列數(shù)據(jù)，并與標(biāo)準(zhǔn)值進(jìn)行比較，得到誤差數(shù)據(jù)如表1、表2 所示。

表1 參數(shù)1測(cè)試誤差數(shù)據(jù)

表2 參數(shù)2測(cè)試誤差數(shù)據(jù)

2 基于貝葉斯模型的動(dòng)態(tài)誤差修正方法

貝葉斯預(yù)測(cè)修正模型的建立是利用客觀信息和主觀信息相結(jié)合的方法，具有較好的適用性，可以對(duì)復(fù)雜的變化規(guī)律進(jìn)行描述，也可以對(duì)發(fā)生的異常情況進(jìn)行處理［9，14］。

針對(duì)某型航空發(fā)動(dòng)機(jī)動(dòng)態(tài)測(cè)試誤差數(shù)據(jù)，設(shè)yt為參數(shù)的測(cè)試值，θt為模型的隨機(jī)狀態(tài)變量，反映參數(shù)的誤差趨勢(shì)，F(xiàn)′t、Gt為模型函數(shù)，建立觀測(cè)方程（反映測(cè)試值在隨機(jī)狀態(tài)變量下的趨勢(shì)）和狀態(tài)方程（反映所取狀態(tài)變量的隨機(jī)變動(dòng)）如下：

為了更好描述發(fā)動(dòng)機(jī)動(dòng)態(tài)測(cè)量中數(shù)據(jù)誤差的多種規(guī)律，利用線性疊加方法將貝葉斯三種基本模型（趨勢(shì)模型、季節(jié)模型、回歸模型）融合建立貝葉斯混合模型［15］，基本形式如下：

設(shè)混合模型的狀態(tài)向量為θit,i=1,2,3，代入式（1）、式（2），則有：

設(shè)D0為包含過去時(shí)間序列信息的原始數(shù)據(jù)樣本，則各模型的先驗(yàn)信息分布如式（7）所示，總模型的先驗(yàn)分布表示為式（8）和（9）。

取t時(shí)刻的狀態(tài)向量為θt，設(shè)p=(θt|Dt-1) 為參數(shù)的先驗(yàn)分布模型，p=(θt|Dt)為后驗(yàn)分布模型，t時(shí)刻之前所有的有效信息為Dt，記為

針對(duì)發(fā)動(dòng)機(jī)參數(shù)動(dòng)態(tài)測(cè)試得到的原始信號(hào)進(jìn)行誤差分離，得到n個(gè)動(dòng)態(tài)誤差序列：

根據(jù)動(dòng)態(tài)誤差序列和發(fā)動(dòng)機(jī)參數(shù)的動(dòng)態(tài)特點(diǎn)，建立發(fā)動(dòng)機(jī)測(cè)試數(shù)據(jù)誤差的貝葉斯動(dòng)態(tài)模型，其分布如下：

得到其第t+r項(xiàng)前的分布為

當(dāng)t=n時(shí)，通過r步向前預(yù)測(cè)，就可以得到t+r時(shí)刻的參數(shù)動(dòng)態(tài)預(yù)報(bào)值yt+r，由此可以實(shí)現(xiàn)發(fā)動(dòng)機(jī)參數(shù)動(dòng)態(tài)測(cè)量誤差的實(shí)時(shí)修正。

3 基于灰色模型的動(dòng)態(tài)誤差修正方法

灰色模型本身就包含了一般線性回歸和幕函數(shù)的相關(guān)內(nèi)容，使得模型的趨勢(shì)性比較強(qiáng)，且具有較快的建模速度和計(jì)算速度［16～17］。

基于灰色模型解決某型航空發(fā)動(dòng)機(jī)動(dòng)態(tài)測(cè)量中的誤差問題時(shí)，可以采用GM(1 ,1) 模型。其中G表示Grey（灰色），M表示Mode（模型），GM(1 ,1)表示1階的、1個(gè)變量的灰色模型［18］。

設(shè)測(cè)得發(fā)動(dòng)機(jī)參數(shù)的原始序列為

設(shè)X(1)為X(0)的一次累加序列：

即：

利用X()1計(jì)算GM( )1,1 模型中的參數(shù)a、u。令：。

式中：，則有：

由此獲得GM(1 ,1) 模型如下：

采用相對(duì)誤差檢驗(yàn)法和后驗(yàn)差檢驗(yàn)法這兩種方法對(duì)模型的精度進(jìn)行檢驗(yàn)［19］。

1）相對(duì)誤差檢驗(yàn)方法

設(shè)殘差序列為

相對(duì)誤差序列為

通過殘差的大小來判斷模型的好壞。殘差大，說明精度低；殘差小，說明精度高。對(duì)于k≤n，稱為k點(diǎn)模擬相對(duì)誤差，稱為平均相對(duì)誤差。給定α，當(dāng)<α且Δk<α成立時(shí)，稱模型為殘差合格模型。精度等級(jí)參照表3。

表3 相對(duì)誤差精度檢驗(yàn)對(duì)照表

2）后驗(yàn)差檢驗(yàn)方法

要確定所建立的模型是否合格，必須用后驗(yàn)差檢驗(yàn)［20］。設(shè)X(0)為原始序列，(0)為相應(yīng)的模擬序列，ε(0)為X(0)與(0)的殘差序列，則求得X(0)的均值和方差如式（24）所示。殘差的均值和方差如式（25）所示。

C=S2/S1稱為均方差的比值，假如給定的C0>0 并且當(dāng)C

式（26）為模型的小誤差概率精度，假如給定的p0>0，并且當(dāng)p>p0時(shí)，認(rèn)為模型誤差較小。具體分級(jí)見表4。

表4 小誤差概率和方差比精度檢驗(yàn)對(duì)照表

經(jīng)過檢驗(yàn)后，獲得預(yù)測(cè)值如下：

以上得到的預(yù)測(cè)值即為經(jīng)過誤差修正的各時(shí)間序列點(diǎn)的發(fā)動(dòng)機(jī)參數(shù)預(yù)測(cè)值。

4 基于卡爾曼濾波的動(dòng)態(tài)測(cè)試誤差修正方法

卡爾曼濾波通過對(duì)先驗(yàn)估計(jì)以及新的變量輸入進(jìn)行不斷的迭代和遞歸，從而更新狀態(tài)變量的估計(jì)，下步計(jì)算中將其作為先驗(yàn)估計(jì)，所以僅需存儲(chǔ)前一步的先驗(yàn)狀態(tài)估計(jì)數(shù)據(jù)［21～22］，這種特性使卡爾曼濾波在非線性系統(tǒng)隨機(jī)誤差的預(yù)估修正中具有很好的效果。

針對(duì)發(fā)動(dòng)機(jī)動(dòng)態(tài)測(cè)量數(shù)據(jù)誤差，設(shè)狀態(tài)變量xt是一組可以描述所測(cè)參數(shù)動(dòng)態(tài)變化的最小數(shù)組，ut為測(cè)量系統(tǒng)的實(shí)際輸入值，wt為預(yù)估噪聲模型參數(shù)，一般為常量，yt為量測(cè)值；′t為狀態(tài)先驗(yàn)估計(jì)值，′t為觀測(cè)先驗(yàn)估計(jì)值，t為狀態(tài)后驗(yàn)估計(jì)值。

確定系統(tǒng)的初始狀態(tài)后，參數(shù)下一時(shí)刻的狀態(tài)預(yù)測(cè)值可根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程得到，yt預(yù)估值由狀態(tài)預(yù)測(cè)值經(jīng)過觀測(cè)方程處理后得到；式（28）（狀態(tài)時(shí)間更新方程）與式（29）（輸出測(cè)量更新方程）構(gòu)成了線性卡爾曼濾波基本模型。

其中mt為測(cè)試系統(tǒng)的輸入過程噪聲，et為系統(tǒng)的觀察噪聲，假設(shè)它們是正態(tài)分布的白噪聲且相互獨(dú)立，即p(ε)～N(0,Qt)，p(μ)～N(0,Rt)；Qt為觀測(cè)噪聲協(xié)方差矩陣，Rt為輸入噪聲協(xié)方差矩陣。

假設(shè)給定參數(shù)的觀測(cè)值yt并知道t 時(shí)刻之前的過程，設(shè)t 時(shí)刻先驗(yàn)狀態(tài)估計(jì)為′t、后驗(yàn)狀態(tài)估計(jì)為t，先驗(yàn)估計(jì)誤差可以定義為，后驗(yàn)估計(jì)誤差可以定義為，則為先驗(yàn)誤差協(xié)方差，為后驗(yàn)估計(jì)協(xié)方差。

式中Kt(yt-′t)為誤差值，反應(yīng)的是實(shí)際觀測(cè)值yt和觀測(cè)估計(jì)Ht′t之間的誤差關(guān)系；矩陣Kt代表的是卡爾曼增益，式（32）～（34）為計(jì)算該增益的方程。

經(jīng)過以上分析，可以推導(dǎo)出發(fā)動(dòng)機(jī)測(cè)試參數(shù)誤差修正卡爾曼濾波器的基本算法如下：

其狀態(tài)預(yù)測(cè)方程如式（35）：

協(xié)方差預(yù)測(cè)方程如式（36）：

利用式（32）～（34）可以計(jì)算參數(shù)預(yù)估的卡爾曼增益，式（30）可計(jì)算觀測(cè)估計(jì)值，式（31）可進(jìn)行狀態(tài)更新。

利用式（37）進(jìn)行協(xié)方差更新：

利用上述卡爾曼濾波算法進(jìn)行遞歸計(jì)算，可以實(shí)現(xiàn)發(fā)動(dòng)機(jī)參數(shù)測(cè)試誤差的修正。

5 幾種動(dòng)態(tài)誤差修正方法的比較

針對(duì)引言中某型航空發(fā)動(dòng)機(jī)性能測(cè)試中的兩個(gè)動(dòng)態(tài)變化類參數(shù)的測(cè)試數(shù)據(jù)。本節(jié)利用上述方法分別對(duì)其誤差進(jìn)行了修正，圖1、圖2分別給出了兩個(gè)參數(shù)的動(dòng)態(tài)預(yù)估修正結(jié)果，表5、表6為針對(duì)兩個(gè)參數(shù)分別截取的10 個(gè)序列數(shù)據(jù)以及各修正方法的修正結(jié)果數(shù)據(jù)對(duì)比。

圖1 參數(shù)1動(dòng)態(tài)誤差預(yù)估修正對(duì)比圖

圖2 參數(shù)2動(dòng)態(tài)誤差預(yù)估修正對(duì)比圖

表5 參數(shù)1誤差修正數(shù)據(jù)對(duì)比

表6 參數(shù)2誤差修正數(shù)據(jù)對(duì)比

從圖3 和表5 可以看出，在參數(shù)1 動(dòng)態(tài)測(cè)試的中段，幾種方法的誤差修正效果都比較理想，但在開始階段和結(jié)尾階段，貝葉斯方法、灰色模型方法和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法波動(dòng)較大，而基于卡爾曼濾波的修正方法在參數(shù)1 的修正上表現(xiàn)出了更好的性能，尤其是第7 組數(shù)據(jù)可以看出，在測(cè)試誤差較大時(shí)，前三種方法的修正效果明顯不如第四種方法好。

從圖4 以及表6 可以看出，貝葉斯方法和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法在針對(duì)參數(shù)2 進(jìn)行誤差修正時(shí)，達(dá)不到誤差實(shí)吋修正的效果；灰色模型的修正效果較前兩種方法要好，但其波動(dòng)性仍然較大；卡爾曼濾波方法依然比其他幾種方法的修正效果更好，說明卡爾曼濾波方法也適用于類似參數(shù)2 的動(dòng)態(tài)誤差數(shù)據(jù)修正［23］。

6 結(jié)語

本文研究了四種常用的動(dòng)態(tài)誤差修正方法，選取某型航空發(fā)動(dòng)機(jī)動(dòng)態(tài)測(cè)試中兩個(gè)參數(shù)的誤差數(shù)據(jù)進(jìn)行修正對(duì)比，第一個(gè)參數(shù)具有線性變化特點(diǎn)，第二個(gè)參數(shù)具有周期性和非穩(wěn)定性特點(diǎn)。在針對(duì)第一個(gè)參數(shù)誤差數(shù)據(jù)的修正中，四種動(dòng)態(tài)誤差修正方法在時(shí)間序列的中段均表現(xiàn)出了較好的修正效果；但在時(shí)間序列的兩端，貝葉斯、灰色模型和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)三種方法的修正結(jié)果波動(dòng)較大，說明前三種方法在處理開始階段參數(shù)誤差的滯后性和結(jié)尾階段系統(tǒng)的不穩(wěn)定性方面不如卡爾曼濾波。在針對(duì)第二個(gè)參數(shù)誤差數(shù)據(jù)的修正中，貝葉斯和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)兩種方法產(chǎn)生了局部誤差修正的問題，沒有實(shí)現(xiàn)誤差的實(shí)時(shí)修正，有待進(jìn)一步改進(jìn)；而灰色模型和卡爾曼濾波兩種方法，均展現(xiàn)出了較好的修正效果，但前者誤差實(shí)時(shí)修正效果不如后者理想。綜上可知，基于卡爾曼濾波的動(dòng)態(tài)誤差修正方法在針對(duì)兩個(gè)參數(shù)的誤差修正中，修正效果沒有因?yàn)閰?shù)特點(diǎn)的不同而受到太大的影響，說明該方法適應(yīng)性強(qiáng)，可以做進(jìn)一步研究。