林雪竹，王海，郭麗麗，閆東明，李麗娟，劉悅，孫靜

（1 長(zhǎng)春理工大學(xué) 光電工程學(xué)院 光電測(cè)控與光信息傳輸技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長(zhǎng)春 130022） （2 長(zhǎng)春理工大學(xué)中山研究院，中山 528437）

0 引言

激光3D 投影技術(shù)是一種高精度的投影技術(shù)，其原理是利用激光光束照射到工件上，并通過(guò)激光光束的三維掃描來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)工件表面圖案的投影，該技術(shù)的核心功能為雙軸掃描振鏡系統(tǒng)。這種技術(shù)具有高精度、高效率和高穩(wěn)定性等優(yōu)點(diǎn)，在復(fù)合材料鋪貼、零部件輔助裝配、汽車裝配和航空航天等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用［1-2］。

激光3D 投影系統(tǒng)的振鏡偏轉(zhuǎn)電壓預(yù)測(cè)精度對(duì)投影精度直接影響，激光3D 投影系統(tǒng)的振鏡偏轉(zhuǎn)電壓預(yù)測(cè)精度主要取決于外部參數(shù)（投影系統(tǒng)與被投影工件相對(duì)位置）以及雙軸掃描振鏡系統(tǒng)內(nèi)部參數(shù)的標(biāo)定精度［3］，該系統(tǒng)內(nèi)部參數(shù)與外部參數(shù)高精度標(biāo)定才能實(shí)現(xiàn)高精度投影。激光3D 投影系統(tǒng)外部參數(shù)標(biāo)定通常采用牛頓迭代法［4］、最小二乘法［5］、粒子群優(yōu)化算法［6］等解算投影機(jī)與工件相對(duì)位置關(guān)系，但算法解算精度易受雙軸掃描振鏡系統(tǒng)內(nèi)部參數(shù)振鏡偏轉(zhuǎn)角與兩轉(zhuǎn)軸公垂線e誤差影響，容易陷入局部最優(yōu)解。激光3D 投影系統(tǒng)的雙軸掃描振鏡系統(tǒng)的內(nèi)部參數(shù)標(biāo)定主要是對(duì)振鏡偏轉(zhuǎn)電壓(u，v)與轉(zhuǎn)軸實(shí)際偏轉(zhuǎn)角(H，V)之間的比例系數(shù)(k1，k2)和兩轉(zhuǎn)軸公垂線長(zhǎng)度e標(biāo)定［7］。近年來(lái)，激光投影系統(tǒng)的振鏡偏轉(zhuǎn)電壓預(yù)測(cè)不僅僅局限于原理性誤差和外部誤差的補(bǔ)償，還對(duì)激光3D 投影模型進(jìn)行優(yōu)化與研究來(lái)提高預(yù)測(cè)精度。MANAKOV A 等［8］在理想模型的基礎(chǔ)上考慮入射光方向以及激光器位置兩個(gè)因素，建立了一個(gè)更符合實(shí)際情況的復(fù)雜模型，引入更多振鏡系統(tǒng)內(nèi)部參數(shù)，采用全局優(yōu)化的方法求解內(nèi)外共12 個(gè)參數(shù)，大大提高了振鏡偏轉(zhuǎn)電壓的預(yù)測(cè)精度，但此模型標(biāo)定過(guò)程繁瑣且求解時(shí)間長(zhǎng)，優(yōu)化結(jié)果容易陷入局部最優(yōu)解。劉邈等［9］提出用雙目視覺(jué)測(cè)量系統(tǒng)輔助標(biāo)定振鏡偏轉(zhuǎn)電壓(u，v)與兩軸實(shí)際轉(zhuǎn)角之間的比例系數(shù)(k1，k2)和兩轉(zhuǎn)軸公垂線長(zhǎng)度e，采用近似模型法和查表法構(gòu)建激光3D 投影傳統(tǒng)模型與矢量模型，提高激光3D 投影系統(tǒng)內(nèi)參標(biāo)定精度，預(yù)測(cè)振鏡偏轉(zhuǎn)電壓更加準(zhǔn)確。但由于比例系數(shù)(k1，k2)采用線性擬合獲得，擬合精度易受投影系統(tǒng)綜合非線性誤差影響，導(dǎo)致投影定位精度損失。

針對(duì)激光3D 投影系統(tǒng)的綜合非線性誤差帶來(lái)的投影定位精度損失問(wèn)題，本文提出一種基于改進(jìn)的魚(yú)優(yōu)化算法-BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（Poisson Remora Optimization Algorithm- Back Propagation， PROA-BP）的激光3D 投影振鏡偏轉(zhuǎn)電壓預(yù)測(cè)模型，實(shí)現(xiàn)對(duì)所需投影位置振鏡偏轉(zhuǎn)電壓精準(zhǔn)預(yù)測(cè)。PROA 用于解決神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)易陷入過(guò)擬合問(wèn)題，BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)通過(guò)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)多層結(jié)構(gòu)和非線性激活函數(shù)，在大量實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，建立激光出射方向單位矢量與振鏡偏轉(zhuǎn)電壓(u，v)非線性映射關(guān)系的預(yù)測(cè)模型，耦合與補(bǔ)償激光3D 投影系統(tǒng)非線性誤差，實(shí)現(xiàn)激光3D 投影系統(tǒng)的高精度投影。最后，將此模型與傳統(tǒng)模型進(jìn)行投影仿真對(duì)比，分析投影定位精度，并通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證模型可行性。

1 激光3D 投影系統(tǒng)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)模型

現(xiàn)有的激光3D 投影系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，主要是針對(duì)二維振鏡偏轉(zhuǎn)水平角V和俯仰角H與投影目標(biāo)點(diǎn)坐標(biāo)建立的數(shù)學(xué)模型。為實(shí)現(xiàn)投影圖形精確投影需獲得投影圖形在投影系統(tǒng)坐標(biāo)系下的空間位置信息，因此需先建立激光投影坐標(biāo)系，確定所需投影圖形在投影坐標(biāo)系下的空間位置，通過(guò)二維振鏡快速掃描技術(shù)實(shí)現(xiàn)投影圖形投影。投影坐標(biāo)系定義為：X軸振鏡中心為激光投影坐標(biāo)系原點(diǎn)O；以X軸振鏡的轉(zhuǎn)軸方向作為激光投影坐標(biāo)系正X軸方向；以Y軸振鏡中心與X軸振鏡中心的連線方向?yàn)榧す馔队白鴺?biāo)系的正Y軸；根據(jù)右手定則確定激光投影坐標(biāo)系Z軸正方向。

激光投影系統(tǒng)的內(nèi)部幾何關(guān)系結(jié)構(gòu)如圖1 所示。在理論的狀態(tài)下，激光器發(fā)出激光束出射到Y(jié)軸振鏡上發(fā)生偏轉(zhuǎn)反射，反射的激光束再入射到X軸振鏡上發(fā)生偏轉(zhuǎn)反射射出，最終激光束投影到目標(biāo)工件上。如圖1所示，e為X軸振鏡中心與Y軸振鏡中心間距，激光束偏轉(zhuǎn)角分別為水平角H和俯仰角V。設(shè)CD=d，則投影目標(biāo)點(diǎn)P在投影坐標(biāo)系的坐標(biāo)可由d、e、V、H表示，根據(jù)幾何關(guān)系可得到P在投影坐標(biāo)系的坐標(biāo)表示

圖1 激光投影系統(tǒng)內(nèi)部幾何關(guān)系Fig.1 Laser projection system internal geometric relationship structure diagram

振鏡偏轉(zhuǎn)角H、V和P點(diǎn)坐標(biāo)值關(guān)系為

傳統(tǒng)模型通過(guò)線性擬合標(biāo)定振鏡偏轉(zhuǎn)電壓(u，v)與兩轉(zhuǎn)軸實(shí)際轉(zhuǎn)角之間的比例系數(shù)(k1，k2)，振鏡偏轉(zhuǎn)電壓為

此模型精度易受振鏡偏轉(zhuǎn)角偏差和內(nèi)參e標(biāo)定精度影響，其投影過(guò)程中存在大量非線性誤差。

2 基于PROA 算法優(yōu)化的BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

2.1 BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種常見(jiàn)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，也稱為多層感知器（Multilayer Perceptron， MLP），具有強(qiáng)大的非線性建模能力，對(duì)未知的輸入數(shù)據(jù)具有很好的推廣能力，能夠較好的預(yù)測(cè)。BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)與神經(jīng)元結(jié)構(gòu)如圖2 所示，輸入層接收需要處理的數(shù)據(jù)并導(dǎo)入，隱含層對(duì)導(dǎo)入數(shù)據(jù)運(yùn)算處理，輸出層輸出結(jié)果。BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)通過(guò)反向傳播不斷迭代每個(gè)神經(jīng)元的權(quán)重與偏置，提高網(wǎng)絡(luò)準(zhǔn)確率。但其運(yùn)用在較復(fù)雜問(wèn)題時(shí)，需要大量的計(jì)算資源和數(shù)據(jù)來(lái)訓(xùn)練模型，容易陷入局部最優(yōu)解或產(chǎn)生過(guò)擬合現(xiàn)象，效率低下［10］。

圖2 BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)與神經(jīng)元結(jié)構(gòu)Fig.2 BP neural network structure and neuron structure

2.2 PROA 算法

為解決BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)容易陷入局部最優(yōu)解問(wèn)題，將改進(jìn)的ROA 算法（PROA）與BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相結(jié)合，優(yōu)化神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)初始權(quán)重與偏置。原始鮣魚(yú)優(yōu)化算法（Remora Optimization Algorithm，ROA）主要模擬了鮣魚(yú)的寄生特性完成優(yōu)化過(guò)程的［11］，先根據(jù)初始化種群位置計(jì)算個(gè)體適應(yīng)度，得到當(dāng)前最優(yōu)位置和最優(yōu)適應(yīng)度。通過(guò)寄生鯨魚(yú)與旗魚(yú)，使用鯨魚(yú)優(yōu)化算法（Whale Optimization Algorithm， WOA）策略或旗魚(yú)優(yōu)化算法（Sailed Fish Optimizer， SFO）策略更新位置尋找最優(yōu)解。WOA 策略公式為

SFO 策略為

當(dāng)吸附于宿主身上時(shí)，在宿主周圍進(jìn)行小范圍移動(dòng)進(jìn)行局部搜索，會(huì)根據(jù)上一代魚(yú)的位置與當(dāng)前宿主的位置，判斷是否需要更換宿主，其公式為

式中，Ratt為嘗試的新位置，為第t次迭代過(guò)程中的第i個(gè)個(gè)體，Rpre為上一個(gè)歷史位置，當(dāng)更新位置的適應(yīng)度小于原始位置適應(yīng)度時(shí)，更換寄主。

改進(jìn)的鮣魚(yú)優(yōu)化算法中對(duì)局部搜索引入了類泊松隨機(jī)策略得到式（10）。

改進(jìn)的鮣魚(yú)優(yōu)化算法使用3 種增強(qiáng)隨機(jī)策略代替原有的SFO 策略，表示為

2.3 PROA-BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

PROA-BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法流程如圖3 所示，具體步驟為：1）根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)需要構(gòu)建激光出射方向單位矢量和振鏡偏轉(zhuǎn)電壓的數(shù)據(jù)集，并對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行歸一化處理；2）將數(shù)據(jù)導(dǎo)入搭建的PROA-BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，對(duì)BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)初始化和PROA 種群初始化；3）PROA 根據(jù)BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建立對(duì)應(yīng)適應(yīng)度函數(shù)，計(jì)算當(dāng)前適應(yīng)度來(lái)尋找個(gè)體以及全局的最優(yōu)解；4）通過(guò)全局勘探和局部搜索實(shí)現(xiàn)位置更新，找到滿足最大迭代次數(shù)或預(yù)設(shè)誤差精度的最優(yōu)權(quán)值與偏置；5）將PROA 得到的最優(yōu)權(quán)值與偏置賦予BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，進(jìn)行迭代訓(xùn)練，直至網(wǎng)絡(luò)損失穩(wěn)定，將模型保存；6）調(diào)用模型，輸入投影點(diǎn)坐標(biāo)相對(duì)于原點(diǎn)單位方向矢量，預(yù)測(cè)振鏡偏轉(zhuǎn)電壓值，并輸入至激光3D 投影系統(tǒng)進(jìn)行投影定位。

圖3 利用PROA-BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)振鏡偏轉(zhuǎn)電壓流程Fig.3 Use PROA-BP neural network predictive galvanometer deflection voltage process

3 基于PROA-BP 的預(yù)測(cè)模型構(gòu)建

3.1 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)獲取與處理

由模型構(gòu)造要求所知，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)需要投影機(jī)激光出射方向單位矢量與振鏡偏轉(zhuǎn)電壓(u，v)的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)。為獲取實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，需先借助雙目相機(jī)測(cè)量系統(tǒng)建立投影坐標(biāo)系，其建立過(guò)程如圖4 所示。令出射激光束固定，多次移動(dòng)標(biāo)定板位置，通過(guò)相機(jī)測(cè)得激光束在不同空間位置標(biāo)定板上的坐標(biāo)，將這些點(diǎn)以最小二乘法擬合直線可得到激光束在相機(jī)坐標(biāo)系下的直線方程。

圖4 投影坐標(biāo)系建立Fig.4 Projection coordinate system

當(dāng)兩轉(zhuǎn)軸均設(shè)置為0 度時(shí)，令激光出射直線方向?yàn)檎齔方向。保持轉(zhuǎn)軸2 為0 度，控制振鏡偏轉(zhuǎn)電壓轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)軸1，多次移動(dòng)標(biāo)定板位置，相機(jī)測(cè)量轉(zhuǎn)軸1 不同角度時(shí)激光束在標(biāo)定板上的點(diǎn)，將測(cè)得所有點(diǎn)擬合平面，該平面的法向方向定義為Y軸，X軸方向依據(jù)右手定則定義?？刂妻D(zhuǎn)軸1 為零度，控制振鏡偏轉(zhuǎn)電壓轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)軸2，相機(jī)測(cè)量轉(zhuǎn)軸2 不同角度時(shí)激光束在標(biāo)定板上的點(diǎn)，每個(gè)激光束擬合出直線方程。這些直線與前一步擬合平面相交，得到轉(zhuǎn)軸2 不同角度的激光直線與擬合平面的交點(diǎn)，交點(diǎn)的平均值定義為原點(diǎn)，至此投影坐標(biāo)系建立完成。

如圖5 所示，通過(guò)輸入不同的(u，v)，使得兩轉(zhuǎn)軸偏轉(zhuǎn)，激光束投射在標(biāo)定板上，雙目相機(jī)測(cè)得不同(u，v)對(duì)應(yīng)的投影點(diǎn)坐標(biāo)。因投影坐標(biāo)系是在相機(jī)坐標(biāo)系下建立的，兩坐標(biāo)系下相對(duì)位置關(guān)系已知，可將雙目相機(jī)坐標(biāo)系下的激光點(diǎn)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到投影坐標(biāo)系下的投影點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出投影點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的激光出射方向單位矢量，最終得到激光出射方向單位矢量與振鏡偏轉(zhuǎn)電壓(u，v)對(duì)應(yīng)的1 681 條實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，將這些數(shù)據(jù)根據(jù)8∶2 分為訓(xùn)練集與驗(yàn)證集。

圖5 數(shù)據(jù)集獲取Fig.5 Dataset acquisition

3.2 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)確定

3.2.1 模型評(píng)價(jià)指標(biāo)

為評(píng)價(jià)模型的預(yù)測(cè)效果，使用均方根誤差（Mean Square Error， MSE）和平均絕對(duì)誤差（Mean Absolute Error， MAE）來(lái)評(píng)價(jià)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)模型的性能［12-13］。計(jì)算公式分別為

3.2.2 BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。

BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的關(guān)鍵在于網(wǎng)絡(luò)構(gòu)造，包含網(wǎng)絡(luò)層數(shù)和結(jié)點(diǎn)數(shù)量的選定。網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)包含輸入層、隱含層和輸出層3 層。輸入層與隱含層間選用雙曲正切函數(shù)Tanh 作為傳遞函數(shù)，隱含層與輸出層間的選取線性函數(shù)Purelin 作為傳遞函數(shù)。由于Hecht-Nielson 在理論上已經(jīng)證明一個(gè)隱含層的BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能夠逼近任何區(qū)間內(nèi)的連續(xù)函數(shù)［14］，因此選用一個(gè)隱含層的結(jié)構(gòu)。BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)隱含層的神經(jīng)元個(gè)數(shù)取值依據(jù)式（18）初步確定為3～13 個(gè)，不同神經(jīng)元個(gè)數(shù)的MSE 與MAE 如圖6 所示，根據(jù)MSE 與MAE 的誤差大小，最終確定神經(jīng)元數(shù)為：輸入層3 個(gè)、隱含層12 個(gè)、輸出層2 個(gè)，學(xué)習(xí)率為0.000 1。

圖6 不同神經(jīng)元個(gè)數(shù)下的MSE 和MAEFig.6 MSE and MAE under the number of different neurons

式中，p為隱含層神經(jīng)元數(shù)量；m為輸入?yún)?shù)數(shù)量；n為輸出參數(shù)數(shù)量；A為［1，10］之間的常數(shù)。

3.3 PROA 參數(shù)確定

PROA 優(yōu)化算法中的初始化種群規(guī)模對(duì)系統(tǒng)的收斂速度、準(zhǔn)確性和穩(wěn)定性都有影響。增加種群規(guī)?？梢蕴岣咚惴ǖ乃阉骶龋珪?huì)減慢算法的收斂時(shí)間。PROA 種群規(guī)模個(gè)數(shù)為BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)連接權(quán)重與偏置之和，本文為87。根據(jù)仿真實(shí)驗(yàn)，MSE 值在超10 000 后趨于穩(wěn)定，所以本文選取PROA 算法參數(shù)為種群規(guī)模個(gè)數(shù)87、迭代次數(shù)10 000 次。

3.4 PROA-BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練與預(yù)測(cè)結(jié)果

分別對(duì)BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、粒子群算法-BP（Particle Swarm Optimization Algorithm-Back Propagation， PSO-BP）神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和PROA-BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)通過(guò)數(shù)據(jù)集的訓(xùn)練集進(jìn)行訓(xùn)練，三種網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練的MSE 和MAE 如圖7所示。

圖7 訓(xùn)練集下不同網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的MSE 和MAEFig.7 MSE and MAE of different network structures under training dataset

由圖7 可知，三個(gè)網(wǎng)絡(luò)各訓(xùn)練10 000 次后，趨于平穩(wěn)。PROA-BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的MSE 和MAE 均值分別是PSO-BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的41.2%、62.4%，為BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的22.2%、50.7%。PROA-BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)損失相較于BP和PSO-BP 網(wǎng)絡(luò)在訓(xùn)練過(guò)程中下降的更快，MSE 與MAE 更小。

分別對(duì)三種網(wǎng)絡(luò)已訓(xùn)練好的模型進(jìn)行驗(yàn)證集的預(yù)測(cè)，三種網(wǎng)絡(luò)的振鏡偏轉(zhuǎn)電壓預(yù)測(cè)值與實(shí)際值的誤差絕對(duì)值如圖8 所示，由圖8 可知，相對(duì)于BP 網(wǎng)絡(luò)與BPPSO 網(wǎng)絡(luò)，PROA-BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測(cè)值與實(shí)際值誤差更小，振鏡偏轉(zhuǎn)電壓的預(yù)測(cè)值與實(shí)際值基本保持一致，預(yù)測(cè)誤差基本小于0.003。

圖8 不同網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的預(yù)測(cè)誤差Fig.8 Prediction errors of different network structures

綜上所述，相較于BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和PSO-BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，PROA-BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在預(yù)測(cè)精度和泛化能力方面表現(xiàn)更為優(yōu)秀。具體而言，PROA-BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在激光3D投影振鏡偏轉(zhuǎn)電壓預(yù)測(cè)上能夠?qū)崿F(xiàn)更低的預(yù)測(cè)誤差，使得激光3D 投影系統(tǒng)擁有更高的投影定位精度。

4 仿真與對(duì)比分析

4.1 激光3D 投影傳統(tǒng)模型投影仿真

激光3D 投影傳統(tǒng)模型投影仿真分為理論投影點(diǎn)數(shù)據(jù)獲取、標(biāo)定投影點(diǎn)數(shù)據(jù)獲取、激光3D 投影傳統(tǒng)模型內(nèi)參標(biāo)定與激光3D 投影傳統(tǒng)模型投影定位精度分析。

根據(jù)激光3D 投影傳統(tǒng)模型的仿真實(shí)驗(yàn)需要，首先獲取理論投影點(diǎn)數(shù)據(jù)。固定傳統(tǒng)模型內(nèi)參k1=6、k2=6、e=6.8，取振鏡偏轉(zhuǎn)電壓u、v范圍為±5V，即振鏡偏轉(zhuǎn)角±30°。根據(jù)雙目視覺(jué)測(cè)量系統(tǒng)測(cè)量范圍與測(cè)量精度要求，令投影平面z值為1 000 mm，即d=1 000。振鏡偏轉(zhuǎn)電壓u、v每隔0.25 V 將激光束投影到投影平面上，即V、H每隔1.5°將激光束投影到投影平面上，將對(duì)應(yīng)的V、H與d帶入傳統(tǒng)模型中的，最終得到1 681 個(gè)理論投影點(diǎn)數(shù)據(jù)。

因二維振鏡掃描系統(tǒng)存在振鏡偏轉(zhuǎn)角誤差，根據(jù)系統(tǒng)誤差范圍，對(duì)1 681個(gè)理論投影點(diǎn)數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的振鏡偏轉(zhuǎn)角V、H值施加服從正態(tài)分布的均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差σ=8″的隨機(jī)偏轉(zhuǎn)角誤差，并將添加完隨機(jī)誤差的振鏡偏轉(zhuǎn)角V、H帶入傳統(tǒng)模型中的，得到施加振鏡偏轉(zhuǎn)角誤差的1 681個(gè)投影點(diǎn)數(shù)據(jù)。因雙目視覺(jué)測(cè)量系統(tǒng)存在測(cè)量誤差，對(duì)施加振鏡偏轉(zhuǎn)角誤差的1 681個(gè)投影點(diǎn)數(shù)據(jù)坐標(biāo)值x、y施加服從正態(tài)分布的均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差為σ=0.02的隨機(jī)測(cè)量誤差，得到含有振鏡偏轉(zhuǎn)角誤差與雙目視覺(jué)測(cè)量誤差的1 681個(gè)投影點(diǎn)數(shù)據(jù)，并定義其標(biāo)定投影點(diǎn)數(shù)據(jù)。

通過(guò)u=0 時(shí)的標(biāo)定投影點(diǎn)數(shù)據(jù)對(duì)傳統(tǒng)模型內(nèi)參振鏡偏轉(zhuǎn)電壓v與實(shí)際轉(zhuǎn)軸偏轉(zhuǎn)角H的比例系數(shù)k2進(jìn)行標(biāo)定，令u=0，v=0 時(shí)的激光束V、H角度為0°。標(biāo)定如圖9 所示。

圖9 k2 標(biāo)定Fig.9 k2 calibration

擬合直線得到系數(shù)k2=6.004 10。通過(guò)v=0 時(shí)的標(biāo)定投影點(diǎn)數(shù)據(jù)對(duì)傳統(tǒng)模型內(nèi)參振鏡偏轉(zhuǎn)電壓u與實(shí)際轉(zhuǎn)軸偏轉(zhuǎn)角V的比例系數(shù)k1進(jìn)行標(biāo)定，k1標(biāo)定如圖10 所示。

圖10 k1 標(biāo)定Fig.10 k1 calibration

擬合直線得到系數(shù)k1=5.999 99。根據(jù)式（19），通過(guò)帶入1 681 個(gè)標(biāo)定投影點(diǎn)數(shù)據(jù)，得到不同u、v下的e值，通過(guò)取均值方式得到e=6.798 37。

激光3D 投影系統(tǒng)傳統(tǒng)模型內(nèi)參已經(jīng)標(biāo)定完成，根據(jù)已標(biāo)定完的內(nèi)參k1=5.999 99、k2=6.004 10、e=6.798 37 進(jìn)行投影定位實(shí)驗(yàn)。令振鏡偏轉(zhuǎn)電壓u、v每隔0.25 V 將激光束投影到投影平面上，即根據(jù)k1=5.999 99 和k2=6.004 10 求出對(duì)應(yīng)電壓的振鏡偏轉(zhuǎn)角H、V，并將其對(duì)應(yīng)H、V和d帶入e=6.798 37 的激光3D 投影傳統(tǒng)模型中，獲得標(biāo)定后的激光3D 投影傳統(tǒng)模型投影1 681 個(gè)實(shí)際投影點(diǎn)數(shù)據(jù)。激光3D 投影傳統(tǒng)模型投影仿真部分?jǐn)?shù)據(jù)如表1 所示。

表1 激光3D 投影傳統(tǒng)模型投影仿真部分?jǐn)?shù)據(jù)Table 1 Laser 3D projection traditional model projection simulation part of the data

對(duì)比理論投影點(diǎn)數(shù)據(jù)與實(shí)際投影點(diǎn)數(shù)據(jù)可知，由于振鏡偏轉(zhuǎn)角誤差和轉(zhuǎn)軸公垂線長(zhǎng)度e影響，相同電壓下，振鏡偏轉(zhuǎn)角誤差與公垂線e誤差導(dǎo)致投影定位誤差，反推可得，振鏡偏轉(zhuǎn)角相同，激光3D 投影系統(tǒng)傳統(tǒng)模型根據(jù)振鏡偏轉(zhuǎn)角反推出的振鏡偏轉(zhuǎn)電壓存在誤差，最終導(dǎo)致投影定位誤差。令對(duì)應(yīng)投影點(diǎn)坐標(biāo)之間的歐式距離作為投影定位誤差，如圖11 所示，激光3D投影傳統(tǒng)模型投影仿真中的1 681 個(gè)投影點(diǎn)最大投影定位誤差約為0.5 mm。

圖11 激光3D 投影傳統(tǒng)模型投影仿真的投影定位誤差Fig.11 Projection positioning error of laser 3D projection traditional model projection simulation

4.2 基于PROA-BP 的激光3D 投影振鏡偏轉(zhuǎn)電壓預(yù)測(cè)模型投影仿真

由第3 節(jié)可得已訓(xùn)練好PROA-BP 的激光3D 投影振鏡偏轉(zhuǎn)電壓預(yù)測(cè)模型。根據(jù)雙目相機(jī)測(cè)量精度與范圍要求，投影點(diǎn)位置設(shè)置于投影坐標(biāo)系Z軸正前方1 000 mm 處，即令投影平面z值為1 000 mm，d=1 000。

在激光3D 投影系統(tǒng)可投影范圍內(nèi)，在投影平面（d=1 000）上隨機(jī)選取1 200 個(gè)投影點(diǎn)，并與投影坐標(biāo)系原點(diǎn)解算投影點(diǎn)的對(duì)應(yīng)激光出射方向單位矢量，將其輸入到基于PROA-BP 的激光3D 投影振鏡偏轉(zhuǎn)電壓預(yù)測(cè)模型中預(yù)測(cè)出對(duì)應(yīng)的振鏡偏轉(zhuǎn)電壓，將對(duì)應(yīng)的振鏡偏轉(zhuǎn)電壓輸入到內(nèi)參k1=6、k2=6、e=6.8 激光3D 投影傳統(tǒng)模型中，進(jìn)行投影驗(yàn)證?；赑ROA-BP 的激光3D 投影振鏡偏轉(zhuǎn)電壓預(yù)測(cè)模型投影仿真部分?jǐn)?shù)據(jù)如表2 所示。

表2 基于PROA-BP 的激光3D 投影振鏡偏轉(zhuǎn)電壓預(yù)測(cè)模型投影仿真部分?jǐn)?shù)據(jù)Table 2 Projection simulation part of the data of galvanometer deflection voltage prediction model of laser 3D projection based on PROA-BP

計(jì)算理論振鏡偏轉(zhuǎn)電壓與預(yù)測(cè)振鏡偏轉(zhuǎn)電壓的激光束投射在投影平面上的投影點(diǎn)坐標(biāo)之間歐式距離，并令其作為投影定位誤差。由圖12 可知其投影定位誤差最大約為0.35 mm。

圖12 基于PROA-BP 的激光3D 投影振鏡偏轉(zhuǎn)電壓預(yù)測(cè)模型投影仿真的投影定位誤差Fig.12 Projection positioning error of projection simulation based on galvanometer deflection voltage prediction model of laser 3D projection based on PROA-BP

4.3 對(duì)比與分析

由兩種模型仿真結(jié)果可得，激光3D 投影傳統(tǒng)模型投影定位誤差最大約為0.5 mm，基于PROA-BP 的激光3D 投影振鏡偏轉(zhuǎn)電壓預(yù)測(cè)模型投影定位誤差最大約為0.35 mm。對(duì)比兩種模型投影定位誤差，結(jié)果表明，相較于激光3D 投影傳統(tǒng)模型，基于PROA-BP 的激光3D 投影振鏡偏轉(zhuǎn)電壓預(yù)測(cè)模型預(yù)測(cè)能夠更好耦合與補(bǔ)償激光3D 投影系統(tǒng)振鏡偏轉(zhuǎn)角偏差與根據(jù)振鏡偏轉(zhuǎn)角標(biāo)定的轉(zhuǎn)軸公垂線長(zhǎng)度e誤差引起的投影系統(tǒng)綜合非線性誤差，且預(yù)測(cè)的振鏡偏轉(zhuǎn)電壓更加精準(zhǔn)，投影定位精度更高。

5 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為驗(yàn)證基于PROA-BP 的激光3D 投影振鏡偏轉(zhuǎn)電壓預(yù)測(cè)模型的投影定位精度，搭建由激光3D 投影機(jī)、雙目相機(jī)測(cè)量系統(tǒng)、雙經(jīng)緯儀測(cè)量系統(tǒng)［15］與標(biāo)定板等儀器組成的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證平臺(tái)，實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證平臺(tái)示意圖如圖13 所示。在投影機(jī)正前方1 000 mm 距離處放置標(biāo)定板，由3.1 節(jié)可知，基于雙目相機(jī)測(cè)量系統(tǒng)構(gòu)建激光3D 投影機(jī)投影坐標(biāo)系與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)集，并通過(guò)此數(shù)據(jù)集對(duì)PROA-BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行訓(xùn)練，待神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)損失趨于平穩(wěn)后保存模型。

圖13 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證平臺(tái)Fig.13 Experimental verification platform

標(biāo)定板上有6 個(gè)固定靶座，將反光半球放置固定靶座，并在標(biāo)定板上均勻的貼500 個(gè)反光點(diǎn)，使用雙目相機(jī)測(cè)量標(biāo)定板上反光點(diǎn)與反光半球，獲得反光點(diǎn)圓心與反光半球圓心在雙目相機(jī)坐標(biāo)系下三坐標(biāo)數(shù)據(jù)。將固定靶座上反光半球換成十字叉絲半球，通過(guò)雙經(jīng)緯儀測(cè)量系統(tǒng)測(cè)量6 個(gè)十字叉絲半球十字叉絲交點(diǎn)坐標(biāo)，用于雙經(jīng)緯儀測(cè)量系統(tǒng)坐標(biāo)系與雙目相機(jī)坐標(biāo)系轉(zhuǎn)站。因投影坐標(biāo)系在雙目相機(jī)坐標(biāo)系下建立，其相對(duì)位置關(guān)系已知。通過(guò)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換將雙目坐標(biāo)系反光點(diǎn)圓心坐標(biāo)轉(zhuǎn)到投影坐標(biāo)系下，并計(jì)算反光點(diǎn)圓心在投影坐標(biāo)系下激光出射方向單位矢量，輸入到基于PROA-BP 的激光3D 投影振鏡偏轉(zhuǎn)電壓預(yù)測(cè)模型中預(yù)測(cè)振鏡偏轉(zhuǎn)電壓數(shù)值，將預(yù)測(cè)振鏡偏轉(zhuǎn)電壓輸入激光3D 投影機(jī)，投影機(jī)在標(biāo)定板上投影出十字叉線。

使用雙經(jīng)緯儀測(cè)量系統(tǒng)測(cè)量十字叉線交點(diǎn)中心坐標(biāo)，如圖14 所示，將雙經(jīng)緯儀瞄準(zhǔn)十字叉線交點(diǎn)中心后，解算雙經(jīng)緯儀測(cè)量系統(tǒng)坐標(biāo)系下十字叉線交點(diǎn)中心坐標(biāo)，當(dāng)滿足經(jīng)緯儀解算十字叉線交點(diǎn)中心坐標(biāo)RMS 小于0.02 mm 時(shí)，保存十字叉線交點(diǎn)中心坐標(biāo)數(shù)據(jù)。不滿足要求時(shí)，微調(diào)雙經(jīng)緯儀，直至滿足要求。

圖14 測(cè)量十字叉線交點(diǎn)中心坐標(biāo)Fig.14 Measure the center coordinates of the intersection points of the cross lines

已知雙目相機(jī)坐標(biāo)系下與雙經(jīng)緯儀測(cè)量系統(tǒng)坐標(biāo)系下靶座上6 個(gè)半球球心坐標(biāo)，可解算雙經(jīng)緯儀測(cè)量系統(tǒng)坐標(biāo)系與雙目相機(jī)坐標(biāo)系相對(duì)位置，由于雙目相機(jī)坐標(biāo)系與投影坐標(biāo)系相對(duì)位置關(guān)系已知，最終解算雙經(jīng)緯儀測(cè)量系統(tǒng)坐標(biāo)系與投影坐標(biāo)系相對(duì)位置關(guān)系，將雙經(jīng)緯儀測(cè)量系統(tǒng)測(cè)量的十字叉線交點(diǎn)中心坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到投影坐標(biāo)系下，并計(jì)算投影坐標(biāo)系下十字叉線交點(diǎn)中心坐標(biāo)與反光點(diǎn)圓心坐標(biāo)的歐氏距離，并定義其為投影定位誤差。

表3 是基于PROA-BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)投影模型預(yù)測(cè)投影實(shí)驗(yàn)部分?jǐn)?shù)據(jù)?；赑ROA-BP 的激光3D 投影振鏡偏轉(zhuǎn)電壓預(yù)測(cè)模型的投影定位誤差如圖15 所示，投影定位誤差約為0.35 mm，符合大多數(shù)激光投影定位場(chǎng)合，如孔位定位、零部件裝配與定位和葉片鋪貼定位等。

表3 基于PROA-BP 的激光3D 投影振鏡偏轉(zhuǎn)電壓預(yù)測(cè)模型投影實(shí)驗(yàn)部分?jǐn)?shù)據(jù)Table 3 Projection experiment part of the data of galvanometer deflection voltage prediction model of laser 3D projection based on PROA-BP

圖15 基于PROA-BP 的激光3D 投影振鏡偏轉(zhuǎn)電壓預(yù)測(cè)模型投影實(shí)驗(yàn)的投影定位誤差Fig.15 Projection positioning error of projection experiment of galvanometer deflection voltage prediction model of laser 3D projection based on PROA-BP

6 結(jié)論

為提高激光3D 投影系統(tǒng)的投影定位精度，減小激光3D 投影系統(tǒng)振鏡偏轉(zhuǎn)角偏差與根據(jù)振鏡偏轉(zhuǎn)角標(biāo)定的轉(zhuǎn)軸公垂線長(zhǎng)度e誤差引起的投影系統(tǒng)綜合非線性誤差。本文設(shè)計(jì)了一種基于PROA-BP 的激光3D投影振鏡偏轉(zhuǎn)電壓預(yù)測(cè)模型。利用PROA 優(yōu)化BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)初始權(quán)重與偏置，解決神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)容易陷入局部最優(yōu)解問(wèn)題。通過(guò)對(duì)比其他算法分析驗(yàn)證，結(jié)果表明，該算法的MSE 和MAE 均值分別為PSO-BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的41.2%、62.4%，為BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的22.2%、50.7%，證明該模型具有預(yù)測(cè)精度高、泛化能力強(qiáng)等特點(diǎn)。通過(guò)仿真與實(shí)驗(yàn)對(duì)該模型投影定位精度進(jìn)行分析，并將其與激光3D 投影系統(tǒng)傳統(tǒng)模型對(duì)比得到，該模型投影定位精度相較于激光3D 投影系統(tǒng)傳統(tǒng)模型的投影定位精度提高約30%，可實(shí)現(xiàn)更高精度的輔助裝配，并為激光3D 投影模型構(gòu)建提供一種新的思路。