王立安 余云燕 孫建忠 陳 輝

* (蘭州交通大學(xué)鐵道技術(shù)學(xué)院,蘭州 730070)

? (蘭州交通大學(xué)土木工程學(xué)院,蘭州 730070)

引言

飽和黏土地基的固結(jié)沉降是影響工程建設(shè)和結(jié)構(gòu)安全服役的重要問題[1-2].傳統(tǒng)理論中,將土體的時(shí)間效應(yīng)和長期變形歸因于滲流固結(jié),即超靜孔隙水壓力消散,外力完全轉(zhuǎn)化為土骨架的有效應(yīng)力[3-4].然而,這一觀點(diǎn)與工程測試和實(shí)驗(yàn)?zāi)M結(jié)果并不完全一致[5-7].尤其對于滲透性很差的飽和黏土,因孔隙水很難滲透,導(dǎo)致孔壓難以消散,所以飽和黏土地基的固結(jié)沉降主要取決于流變.

天然土體具有固-流兩相組成和骨架孔隙結(jié)構(gòu),對于黏性土,其固體骨架不是簡單的彈性材料,而是介于牛頓流體和彈性固體之間的黏彈性材料.在載荷作用下,土顆粒的重新排列和骨架錯位會對應(yīng)力–應(yīng)變關(guān)系產(chǎn)生時(shí)間效應(yīng),稱為流變性[8-12].大量實(shí)驗(yàn)表明,飽和黏土在固結(jié)過程中,主固結(jié)階段和次固結(jié)階段都伴有流變現(xiàn)象,即孔隙壓力消散和流變行為是耦合發(fā)生的.為了描述土骨架的流變效應(yīng),Taylor等[13]最先使用Kelvin 線性流變模型研究了飽和黏土的流變固結(jié).Tan[14]利用Maxwell 模型考慮黏土的二次時(shí)間效應(yīng),并提出黏彈性固結(jié)理論.基于類似研究方法,Abousleiman 等[15]、Xie 等[16]、Liu 等[17]和Ai 等[18]采用整數(shù)階Merchant 模型,研究了不同載荷形式及邊界條件下飽和黏土的固結(jié)特性.然而,近些年學(xué)者們通過對比實(shí)驗(yàn)結(jié)果,逐步發(fā)現(xiàn)傳統(tǒng)整數(shù)階流變模型在模擬黏土固結(jié)時(shí)不能滿足精度要求,需引入更多擬合參數(shù)才能實(shí)現(xiàn)有效模擬[19-20].進(jìn)一步研究成果表明,Blair[21]和Gerasimov[22]提出的分?jǐn)?shù)階流變模型能夠反映土骨架的無流動黏性,對黏性土具有更好的適用性[23-24].最新報(bào)道的文獻(xiàn)中,Ai 等[25]利用分?jǐn)?shù)階Merchant 模型研究了多層各向異性飽和黏土的軸對稱固結(jié).Wang[26]考慮溫度效應(yīng)研究了流變性飽和黏土的固結(jié)特性.此外,Cheng 等[27]提出了超固結(jié)飽和黏土的分?jǐn)?shù)階雙表面塑性模型.能夠看出,上述關(guān)于流變性飽和土固結(jié)特性的研究都只針對于恒定載荷,未考慮載荷隨時(shí)間的變化.實(shí)際工程中,地基土受到的載荷通常是隨時(shí)間變化的,如建筑物從開始建設(shè)到最終建成,作用于地基土的壓力逐漸增大而后保持恒定,該過程中地基土受到的壓力可視為斜坡載荷;再如施工中的臨時(shí)設(shè)施,先被建成而后拆除(三角形載荷);以及地基土的預(yù)壓固結(jié),先逐級加載而后保持恒載,最后卸載,該過程可視為梯形載荷.盡管Cai 等[28]和耿雪玉等[29]利用時(shí)域函數(shù)考慮載荷隨時(shí)間的變化,對飽和土地基的固結(jié)問題做了研究,但采用的土體模型未反映流變效應(yīng).

為探索載荷變化和土骨架流變耦合作用下飽和黏土地基的固結(jié)特性,本文基于Biot 固結(jié)理論,利用分?jǐn)?shù)階Kelvin 流變模型描述土骨架應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系,引入斜坡、三角形和梯形3 種時(shí)變載荷的時(shí)空域解析函數(shù),構(gòu)建飽和黏土地基的三維軸對稱固結(jié)模型.采用Hankel–Laplace 聯(lián)合變換推導(dǎo)控制方程的變換域解析解,然后通過數(shù)值反演獲得時(shí)空域解.最后,通過算例分析,討論了飽和黏土地基的固結(jié)特性及其物理參數(shù)的影響.

1 力學(xué)模型

1.1 分?jǐn)?shù)階Kelvin 模型

經(jīng)典Kelvin 模型是由一個彈簧元件K和一個Newton 黏壺N并聯(lián)而成,如圖1.將經(jīng)典Kelvin 模型中的Newton 黏壺替換為Abel 黏壺[30],則得到分?jǐn)?shù)階Kelvin 流變模型,其本構(gòu)關(guān)系描述為

式中,σ和ε分別為應(yīng)力和應(yīng)變;Es為彈簧元件K的彈性模量;η,a分別為黏壺N的黏滯系數(shù)和黏性階數(shù);t為時(shí)間變量.從式(1)能夠看出,當(dāng)a=0 時(shí)黏壺N退化為線彈性固體,a=1 時(shí)黏壺N退化為理想Newton 流體,0

對任意時(shí)域函數(shù)f(t)引入如下Lapace 變換

利用式(2)對式(1)做Laplace 變換,得到

式(3)反映了分?jǐn)?shù)階Kelvin 模型在Laplace 變換域的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系,其中復(fù)模量.

將式(3)拓展到三維應(yīng)力狀態(tài),并寫為張量形式為

式中v為泊松比.

1.2 飽和黏土地基固結(jié)模型

如圖2 所示,半空間飽和黏土地基表面作用半徑為r0的圓形分布載荷q,根據(jù)力學(xué)模型的軸對稱性,建立柱坐標(biāo)系r-φ-z.基于Biot 多孔介質(zhì)理論,并考慮土骨架和孔隙水的慣性耦合,飽和黏土的固結(jié)平衡方程為

圖2 飽和黏土地基固結(jié)模型Fig.2 Consolidation model of saturated clay ground

式中,u和w分別為土骨架和孔隙水的位移張量;p為孔隙水壓力;ρ=(1-n)ρs+nρf為土體總密度,其中ρs和ρf分別為固體顆粒和孔隙水的密度;γw=ρfg為水的重度,g為重力加速度;kf為滲透系數(shù).?表示Hamilton 算子,在柱坐標(biāo)下,;上標(biāo)“·”和“··”表示對時(shí)間t的一階和二階導(dǎo)數(shù).σa為作用在多孔介質(zhì)微元上的總應(yīng)力,p為孔隙壓力.規(guī)定壓應(yīng)力為正方向,則根據(jù)有效應(yīng)力原理有

式中,σ'為土骨架有效應(yīng)力張量,αs為反映土顆粒壓縮性的Biot 系數(shù).

滲流連續(xù)性方程為

式中,M為Biot 系數(shù),表征孔隙水的壓縮性.

將分?jǐn)?shù)階Kelvin 模型應(yīng)用于土骨架,即有效應(yīng)力σ'滿足式(4).將式(4)和式(8)代入式(6),并考慮幾何關(guān)系(ε=(?u+u?)/2),整理后得到位移形式的固結(jié)平衡方程為

式中Kd=ρf s2/n+γws/kf.

1.3 時(shí)變載荷的數(shù)學(xué)描述

本文根據(jù)加載、卸載特征,考慮3 種時(shí)變載荷.

(1)斜坡載荷

如圖3(a)所示,載荷由t1時(shí)段線性增大至q0后保持恒載,不卸載,加載時(shí)長te=t1.載荷的時(shí)域變化函數(shù)描述為

圖3 時(shí)變載荷示意圖Fig.3 Diagram of time dependent load

式中,H()為Heaviside 階躍函數(shù),其定義為

(2)三角形載荷

如圖3(b)所示,載荷由t1時(shí)段線性增大至q0后隨即線性卸載,卸載時(shí)長tu=t2-t1.載荷的時(shí)域函數(shù)描述為

(3)梯形載荷

如圖3(c)所示,載荷由t1時(shí)段線性增大至q0后保持恒載,在t2時(shí)刻開始線性卸載,恒載時(shí)長td=t2-t1,卸載時(shí)長tu=t3-t2.載荷的時(shí)域函數(shù)描述為

載荷在地表的作用區(qū)域?yàn)?≤r≤r0,則時(shí)變載荷q在空間、時(shí)間域的解析函數(shù)描述為

對徑向坐標(biāo)r引入如下Hankel 變換

將式(11)～式(13) 代入式(14),而后利用式(2)和式(15)進(jìn)行Hankel–Laplace 聯(lián)合變換,則分別得到斜坡、三角形和梯形載荷的變換域函數(shù).

斜坡載荷

三角形載荷

梯形載荷

2 控制方程求解

本文考慮初始條件下位移、應(yīng)力及孔隙壓力均為0,對式(9)做Lpalace 變換,并整理為

對式(7)和式(10)兩邊取散度,再將式(19)代入后得到

對式(20)做0 階Hankel 變換,而后整理為常微分方程組

式中

利用常指數(shù)基礎(chǔ)解系,將方程組(21)的通解設(shè)為

式中,γ為方程組(22)的特征根,Pf,Pθ為對應(yīng)的函數(shù)幅值.

將式(22)代入式(21),得到線性方程組

由式(23)解得

利用式(23)的非0 解條件,得到

式中,β=γ2,B1=a11+a21,B2=a11a21-a12a22.

求解式(25) 得出βm(m=1,2),并進(jìn)一步得出4 個特征根

式中,Cm,Dm(m=1,2)為待定系數(shù).本文中地基模型為無限半空間,在無窮深度處(z→∞),所有場量需衰減為0,從而得出Cm=0.

將式(27)代入式(10),并利用體應(yīng)變與位移的關(guān)系(θ=?·u),進(jìn)一步得出土骨架的位移通解為

考慮地表(z=0)為自由邊界,且完全透水,則地表邊界條件描述為

對式(30)運(yùn)用Hankel-Laplace 變換,則得到

將孔壓和應(yīng)力通解代入式(31),則得到關(guān)于D0,D1和D2的線性方程組

式中,M為3×3 系數(shù)矩陣,其矩陣元素為

通過矩陣運(yùn)算得出待定系數(shù)D0,D1和D2為

式中,[ ]T表示矩陣的轉(zhuǎn)置,[ ]-1表示逆矩陣.將已計(jì)算出的D0,D1和D2回代到位移和應(yīng)力通解中,則得到變換域中位移、應(yīng)力及孔隙壓力解.利用Parseval法[32]和Crump 法[33]進(jìn)行Hankel-Laplace 數(shù)值反演得出時(shí)空域解,數(shù)值反演公式為

Hankel 反演

Laplace 反演

式中,Re,Im 分別表示取實(shí)部和虛部;?,T為自由參數(shù),計(jì)算中取T=2t,?=5/T;N為級數(shù)截取項(xiàng)數(shù),取N=256 時(shí)能很好地滿足精度[32].

3 算例分析

3.1 斜坡載荷

將式(16)代入系統(tǒng)控制方程,并利用表1 中的參數(shù)值,計(jì)算斜坡載荷作用下飽和黏土地基的固結(jié)響應(yīng).文獻(xiàn)[29]將土骨架考慮為線彈性本構(gòu),計(jì)算了飽和土地基在斜坡變載荷作用下的固結(jié)問題.圖4和圖5 首先取黏性階數(shù)a=0,將土骨架退化為彈性本構(gòu)模型與文獻(xiàn)解進(jìn)行對比.結(jié)果顯示,無論位移還是孔隙壓力,本文退化解與文獻(xiàn)解都能較好吻合.由圖4可知,當(dāng)考慮土骨架的黏性流變后(a=0.5),飽和黏土在主固結(jié)階段的沉降速率較慢,而次固結(jié)階段的沉降速率加快,而且長期沉降量增大.圖5 顯示,土骨架黏性流變使孔隙壓力峰值減小,而且孔壓消散速率略小于彈性骨架.

表1 計(jì)算參數(shù)表[29]Table 1 Table of calculation parameters[29]

圖4 位移結(jié)果對比Fig.4 Comparison of displacement results

圖5 孔隙壓力結(jié)果對比Fig.5 Comparison of pore pressure results

圖6 和圖7 考察了不同加載時(shí)長下位移和孔隙壓力隨時(shí)間的變化.圖6 顯示,加載時(shí)長te越大(加載速率越小),主固結(jié)階段的沉降速率越慢,但長期沉降量相同.由圖7 可知,加載速率越小,孔隙壓力峰值越小.這是由于加載時(shí)長較大時(shí),在加載過程中孔壓能夠及時(shí)消散,孔壓累積效應(yīng)減小.

圖6 不同加載時(shí)長下的位移結(jié)果(a=0)Fig.6 Displacement under different loading durations (a=0)

圖7 不同加載時(shí)長下的孔隙壓力結(jié)果(a=0)Fig.7 Pore pressure under different loading durations (a=0)

圖8 和圖9 給出了不同黏性階數(shù)下位移和孔隙壓力隨時(shí)間的變化.由圖8 可知,土骨架黏性流變對主固結(jié)階段的沉降速率和長期沉降均產(chǎn)生影響.土骨架黏性階數(shù)越大(流變性越強(qiáng)),主固結(jié)階段的沉降速率越小,而長期沉降量越大,說明土骨架流變性顯著增大了次固結(jié)階段的沉降速率.圖9 顯示,土骨架流變性使孔隙壓力的峰值減小,孔壓消散速率減緩,說明土骨架流變性對孔隙水滲透具有抑制作用.

圖8 不同黏性階數(shù)下的位移結(jié)果(te=0.5 s)Fig.8 Displacement under different viscous orders (te=0.5 s)

圖9 不同加載時(shí)長下的孔隙壓力結(jié)果(te=0.5 s)Fig.9 Pore pressure under different viscous orders (te=0.5 s)

3.2 三角形載荷

將式(17)代入系統(tǒng)控制方程,計(jì)算飽和黏土地基在三角形載荷作用下的固結(jié)響應(yīng).圖10 和圖11在保持加載時(shí)長相同的情況下(te=0.5 s),考察了卸載速率對固結(jié)過程中位移和孔隙壓力的影響.圖10顯示,卸載時(shí)地基土發(fā)生變形恢復(fù),卸載結(jié)束后位移收斂于恒定值.卸載時(shí)長tu越短(卸載速率越大),位移峰值略有減小,但發(fā)生的變形恢復(fù)量較大,造成地基長期沉降量減小.由圖11 可知,卸載時(shí)地基土中出現(xiàn)負(fù)孔壓,卸載速率越大,負(fù)孔壓越大.這是由于變形恢復(fù)時(shí),土骨架彈性擴(kuò)張產(chǎn)生負(fù)向孔壓;卸載速率越快,孔隙水滲透不及時(shí),將產(chǎn)生更大的負(fù)向孔壓.

圖10 不同卸載時(shí)長下的位移結(jié)果(te=0.5 s,a=0)Fig.10 Displacement under different unloading durations(te=0.5 s,a=0)

圖11 不同卸載時(shí)長下的孔壓結(jié)果(te=0.5 s,a=0)Fig.11 Pore pressure under different unloading durations(te=0.5 s,a=0)

圖12 和圖13 反映了三角形載荷作用下土骨架黏性階數(shù)對位移和孔隙壓力的影響.由圖可知,土骨架流變性使地基土在卸載時(shí)發(fā)生的變形恢復(fù)量減小,因而產(chǎn)生的負(fù)孔壓相應(yīng)減小.通過對比加載階段和卸載階段的曲線形態(tài),能夠發(fā)現(xiàn),在加載階段流變對位移和孔壓的影響大于卸載階段.

圖12 不同黏性階數(shù)下的位移結(jié)果(te=tu=0.5 s)Fig.12 Displacement under different viscous orders (te=tu=0.5 s)

圖13 不同黏性階數(shù)下的孔壓結(jié)果(te=tu=0.5 s)Fig.13 Pore pressure under different viscous orders (te=tu=0.5 s)

3.3 梯形載荷

將式(18)代入系統(tǒng)控制方程,計(jì)算梯形載荷作用下位移和孔隙壓力響應(yīng).圖14 和圖15 在保持加載時(shí)長和卸載時(shí)長相同的情況下(te=tu=0.5 s),考察了梯形加載過程中恒載時(shí)長td對位移和孔隙壓力的影響.圖14 顯示,恒載時(shí)長越大,土體固結(jié)程度越高,位移峰值和長期沉降量都越大,卸載時(shí)的變形恢復(fù)量也較大.由圖15 可知,恒載時(shí)長越大,卸載時(shí)產(chǎn)生的負(fù)孔壓也相應(yīng)增大.

圖14 不同恒載時(shí)長下的位移結(jié)果(te=tu=0.5 s)Fig.14 Displacement under different dead load durations (te=tu=0.5 s)

圖15 不同恒載時(shí)長下的孔壓結(jié)果(te=tu=0.5 s)Fig.15 Pore pressure under different dead load durations (te=tu=0.5 s)

圖16 和圖17 在保持加載時(shí)長和恒載時(shí)長相同的情況下(te=td=0.5 s),考察了卸載時(shí)長tu對固結(jié)響應(yīng)的影響.圖16 顯示,梯形載荷作用下,卸載產(chǎn)生的變形恢復(fù)小于三角形載荷.這是由于梯形載荷通過恒載階段使土體充分固結(jié),因而卸載時(shí)的變形恢復(fù)減小.圖17 則表明,梯形載荷在卸載階段的孔隙壓力變化形態(tài)與三角形載荷相同.圖18 和圖19 給出了梯形載荷作用下,黏性階數(shù)對位移和孔隙壓力的影響.對比三角形載荷發(fā)現(xiàn),當(dāng)黏性階數(shù)較大時(shí),梯形載荷作用下位移在恒載階段大幅增大,導(dǎo)致位移峰值和長期沉降量都明顯增大.這是由于黏性階數(shù)較大時(shí),土體在恒載階段的次固結(jié)沉降增大,造成位移峰值和長期沉降量增大.

圖16 不同卸載時(shí)長下的位移結(jié)果(te=td=0.5 s)Fig.16 Displacement under different unloading durations (te=td=0.5 s)

圖17 不同卸載時(shí)長下的孔壓結(jié)果(te=td=0.5 s)Fig.17 Pore pressure under different unloading durations (te=td=0.5 s)

圖18 不同黏性階數(shù)下的位移結(jié)果(te=td=tu=0.5 s)Fig.18 Displacement under different viscous orders (te=td=tu=0.5 s)

圖19 不同黏性階數(shù)下的孔壓結(jié)果(te=td=tu=0.5 s)Fig.19 Pore pressure under different viscous orders (te=td=tu=0.5 s)

4 結(jié)論

利用分?jǐn)?shù)階Kelvin 模型描述土骨架的黏性流變,結(jié)合Biot 多孔介質(zhì)理論構(gòu)建飽和黏土地基的三維軸對稱固結(jié)模型.考慮斜坡、三角形和梯形3 種載荷工況,研究了飽和黏土地基的固結(jié)特性.通過算例分析,總結(jié)出以下幾點(diǎn)結(jié)論.

(1)土骨架流變性對孔隙水滲透具有抑制作用,使土體在主固結(jié)階段沉降速率減緩,次固結(jié)階段沉降速率加快,而且長期沉降量增大.

(2)卸載階段土體會發(fā)生變形恢復(fù),土骨架彈性擴(kuò)張產(chǎn)生負(fù)孔壓.土骨架黏性流變越強(qiáng),變形恢復(fù)量越小,產(chǎn)生的負(fù)孔壓也越小.

(3)載荷類型和加載路徑主要影響固結(jié)過程中位移和孔壓隨時(shí)間的變化形態(tài),而土骨架黏性流變影響土體的長期沉降量.