朱 冉 徐禮文 孟慶海

基于函數(shù)型數(shù)據(jù)分析算法的電阻性本質(zhì)安全電路電弧放電模型

朱 冉1徐禮文2孟慶海1

（1. 北方工業(yè)大學(xué)電氣與控制工程學(xué)院 北京 100144 2. 北方工業(yè)大學(xué)理學(xué)院 北京 100144）

區(qū)別于電感性和電容性本質(zhì)安全電路，電阻性本質(zhì)安全電路的電弧放電波形因具有三種類型一直無法被準(zhǔn)確描述，且電阻性電路本質(zhì)安全判據(jù)的不完善描述會(huì)導(dǎo)致實(shí)際運(yùn)行條件下爆炸事故的多發(fā)性。對(duì)此，該文首先考慮電阻性本質(zhì)安全電路的放電過程及波形特征，基于函數(shù)型數(shù)據(jù)分析回歸算法，建立了高維、參數(shù)強(qiáng)相關(guān)、適用范圍廣的電阻性電路電弧放電數(shù)學(xué)模型，并基于模型建立了相應(yīng)的本質(zhì)安全能量判據(jù)；然后采用該模型模擬電阻性電路放電過程并提出了一種電弧放電波形分類方法，發(fā)現(xiàn)在特定電路參數(shù)條件下，當(dāng)電路正常工作電流≤0.15 A或≥0.6 A時(shí)，電弧放電基本呈現(xiàn)典型放電形式；最后搭建火花放電試驗(yàn)平臺(tái)，驗(yàn)證了所建電弧模型的可行性與預(yù)測(cè)效果的準(zhǔn)確性。

電弧放電數(shù)學(xué)模型 本質(zhì)安全 函數(shù)型數(shù)據(jù) 能量判據(jù)

0 引言

應(yīng)用于煤炭、石油、化工等爆炸性氣體環(huán)境的電氣設(shè)備必須滿足電氣防爆要求，且須對(duì)弱電設(shè)備優(yōu)先設(shè)計(jì)成為本質(zhì)安全型。研究本質(zhì)安全（以下簡(jiǎn)稱本安）電路的理論基礎(chǔ)是電弧放電引燃機(jī)理、電弧放電數(shù)學(xué)模型和本質(zhì)安全判據(jù)。本安電路電弧放電屬于低能（mJ級(jí)）電弧放電，其過程復(fù)雜，同時(shí)受到電氣參數(shù)、環(huán)境參數(shù)和檢測(cè)裝置等因素的影響[1-2]。目前，對(duì)電路安全性能的評(píng)估和研究的常用方法主要包括：使用IEC火花試驗(yàn)裝置進(jìn)行放電試驗(yàn)，根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果直接判斷，以及通過建立電弧放電數(shù)學(xué)模型來設(shè)定能量判據(jù)和功率判據(jù)。這些方法在評(píng)估電路安全性能中起著關(guān)鍵作用，有助于確保電路在各種條件下的穩(wěn)定性和可靠性。

最基本的本安電路按性質(zhì)可分為電感性電路、電容性電路與電阻性電路。其中，電感性電路電弧放電的數(shù)學(xué)模型研究居多，包括放電電流線性衰減模型[3]、放電電流拋物線模型、放電電流冪函數(shù)模型、靜態(tài)伏安特性模型[4]和動(dòng)態(tài)伏安特性模型[5]等。文獻(xiàn)[6]根據(jù)電弧能量平衡理論結(jié)合最小二乘法，建立Mayr動(dòng)態(tài)電弧電阻模型。文獻(xiàn)[7]將電感性電路電弧放電與統(tǒng)計(jì)學(xué)相結(jié)合，發(fā)現(xiàn)放電時(shí)間的雙正態(tài)分布規(guī)律。文獻(xiàn)[8]基于橢圓積分法，推導(dǎo)電感性電路試驗(yàn)電極的微觀表面形貌、發(fā)射電流密度、焦耳熱和熱傳導(dǎo)效應(yīng)等因素與電弧特性的關(guān)系并建立模型。文獻(xiàn)[9]考慮極間場(chǎng)增強(qiáng)因子作用，建立甲烷-空氣混合氣體電感分?jǐn)嘟ɑ∵^程的電子漂移擴(kuò)散模型和非電子組分重物質(zhì)輸運(yùn)模型。

對(duì)于電容性本質(zhì)安全電路，現(xiàn)階段放電模型包括文獻(xiàn)[10]提出的電勢(shì)電容等效模型，以及文獻(xiàn)[11]應(yīng)用Matlab中Cftool工具箱，提出的最小點(diǎn)燃曲線數(shù)值化電容性電路放電模型等。文獻(xiàn)[12]利用最小二乘法得到了放電持續(xù)時(shí)間與電容之間的數(shù)學(xué)表達(dá)式，建立了電容性電路短路放電電流和電壓模型。文獻(xiàn)[13]通過分析IEC火花試驗(yàn)波形提出了電容性電路放電指數(shù)模型，得到了電容性電路放電電流、放電電壓的數(shù)學(xué)表達(dá)式。文獻(xiàn)[14]綜合考慮了電路中線路的電感、電容、電阻參數(shù)，建立了與實(shí)際電路一致的電容等效電路模型。文獻(xiàn)[15]利用Fluent軟件建立電容性電路放電間隙電壓、電流數(shù)學(xué)模型，擬合出最小點(diǎn)火半徑與有效點(diǎn)燃能量之間的函數(shù)關(guān)系式。文獻(xiàn)[16]基于Fowler-Nordheim理論分析一次放電火花電壓變化特性，建立放電電壓指數(shù)模型，推導(dǎo)了火花功率與初始電壓、放電電阻、放電時(shí)間的函數(shù)關(guān)系。文獻(xiàn)[17]采用等效電荷法，建立了電容短路后火花放電的二維PIC/MCC（particle in cell with Monte Carlo collision）模型。

區(qū)別于電感性和電容性本質(zhì)安全電路，電阻性本質(zhì)安全電路的電弧放電波形因具有三種類型一直無法被準(zhǔn)確描述。文獻(xiàn)[18]僅模仿電感性電路的放電電流拋物線模型對(duì)電阻性電路電弧放電的三種形式進(jìn)行了簡(jiǎn)單描述。

上述研究表明，目前對(duì)于電阻性本質(zhì)安全電路的電弧放電模型的研究還不完善，試驗(yàn)波形和理論分析表明，電阻性電路電弧放電的數(shù)據(jù)特征是高維度的，且電路參數(shù)的影響及環(huán)境的影響呈現(xiàn)出高度相關(guān)性，以往的建模手段無法直接探究模型數(shù)值解。此外，通過建立的單一電壓或電流模型而推導(dǎo)出的相關(guān)表達(dá)式可能因簡(jiǎn)化而存在誤差，并且本安非爆炸性評(píng)價(jià)方法理論缺少對(duì)電阻性電路本安判據(jù)的描述，致使其在實(shí)際工作中因參數(shù)不合理而引起的爆炸事故的可能性大大增加。

1 電阻性本質(zhì)安全電路電弧放電原理及特征

電弧放電是本質(zhì)安全理論中最常見的放電形式，其主要出現(xiàn)在小電流、低電壓的本質(zhì)安全電路中。電路觸電斷開瞬間，接觸壓力降低且電極接觸面減小。當(dāng)電極上的電流電壓與接觸點(diǎn)熔點(diǎn)相當(dāng)時(shí)，電極間形成液態(tài)金屬滴。隨著電極繼續(xù)拉開，液態(tài)金屬滴在兩極間形成金屬橋，引發(fā)電弧[19]。電阻性火花試驗(yàn)等效電路如圖1所示，圖中為電源電壓，為電路電阻，A表示放電電弧。

電阻性電路的電弧發(fā)生形式主要分為以下兩種：

1）電阻性電路的斷路火花。電阻為線性元件無法儲(chǔ)能，電源能量即為火花能量的來源。電路斷開時(shí)，電極接觸面迅速減小，導(dǎo)致電流密度增大，電極間的電壓隨電阻增大，電極熔化形成液態(tài)金屬橋。

2）電阻性電路的閉合火花。當(dāng)電源電壓較高時(shí)，電極因電路的閉合接近，接觸瞬間空氣擊穿電離；當(dāng)電源電壓較低時(shí)，則不會(huì)產(chǎn)生電流。這就導(dǎo)致即使運(yùn)行電壓低于最小建弧電壓，電路仍會(huì)產(chǎn)生電弧。

以往研究認(rèn)為，電阻性電路的放電模型可由電感性電路放電模型簡(jiǎn)化得到[20]。但由于電路性質(zhì)發(fā)生變化，模型的簡(jiǎn)化并不適用。IEC火花試驗(yàn)裝置的電極斷開時(shí)，低能電弧放電存在三種具有本質(zhì)性區(qū)別的放電形式[18]，目前尚未有文獻(xiàn)對(duì)其機(jī)理進(jìn)行合理解釋，本文分別對(duì)三種形式電弧的形成與熄滅過程進(jìn)行描述。電阻性電路放電實(shí)驗(yàn)波形的三種形式分別如圖2～圖4所示。

圖2 電阻性電路放電實(shí)驗(yàn)波形第一種形式

圖3 電阻性電路放電實(shí)驗(yàn)波形第二種形式

圖4 電阻性電路放電實(shí)驗(yàn)波形第三種形式

第一種放電形式是電極間電壓首先突變?yōu)樽钚〗ɑ‰妷?，電流服從歐姆定律重新分配；之后電弧電壓持續(xù)上升而電流持續(xù)下降；末期電弧電壓快速升到電源電壓，而電流快速下降為零。這種放電形式出現(xiàn)的概率為70%，且最容易引起爆炸，屬于該類型電路低能電弧放電的典型形式。其放電電壓、電流與功率隨時(shí)間變化的波形如圖2所示。

第二種放電形式是瞬間成弧后，電弧電壓上升，電流下降，在整個(gè)放電時(shí)間內(nèi)電弧功率逐漸降低，初期幾乎沒有變化，后期迅速降低到零值。在此情形下，放電時(shí)間相對(duì)較長，并且發(fā)生概率約為25%，其放電電流、電壓與功率如圖3所示。

第三種放電形式是瞬間成弧后，在放電過程中，電弧電壓、電流基本恒定，直至放電完畢，此時(shí)電弧電壓突然升到電源電壓，電弧電流突然降為零，放電時(shí)間小，功率基本不變，其發(fā)生概率僅為5%，且不會(huì)引起爆炸。其放電電流、電壓與功率如圖4所示。

2 基于函數(shù)型數(shù)據(jù)分析回歸算法的電弧模型

2.1 函數(shù)型數(shù)據(jù)分析回歸算法

函數(shù)型數(shù)據(jù)分析（Functional Data Analysis, FDA）[21]回歸算法無需對(duì)數(shù)據(jù)采集頻率做任何限制，即可將動(dòng)態(tài)函數(shù)曲線轉(zhuǎn)換為“原始數(shù)據(jù)”，具備無限維的空間特征，其描述了如何使用數(shù)據(jù)光滑后的函數(shù)型數(shù)據(jù)進(jìn)行建模，并提供其回歸系數(shù)函數(shù)的估計(jì)算法和解的表示，具有更強(qiáng)的普適性。其算法流程如圖5所示。

圖5 函數(shù)數(shù)據(jù)分析回歸算法流程

FDA算法具體計(jì)算步驟如下：

1）假定初始函數(shù)型數(shù)據(jù)回歸模型為式（1），設(shè)定模型優(yōu)化次數(shù)為，此時(shí)的迭代次數(shù)=1。

式中，()為響應(yīng)變量；()為維未知的函數(shù)形系數(shù)；X為第個(gè)特征量（協(xié)變量）；X()為效應(yīng)函數(shù)，代表不同協(xié)變量所占響應(yīng)變量的權(quán)重；()為誤差函數(shù)，通常假設(shè)()的均值為0。

2）求解系數(shù)函數(shù)與響應(yīng)變量在Hilbert空間存在的最優(yōu)傅里葉基函數(shù)（Fourier basis function）展開式[22]。對(duì)于給定的函數(shù)()，其傅里葉基函數(shù)展開式為

式中，φ()為關(guān)于的基函數(shù)，=1, 2,…,，2r-1()= sin()，2r()=cos()；c為傅里葉基函數(shù)的展開系數(shù)；為基函數(shù)個(gè)數(shù)。的選取決定了模型的擬合是否平滑，較大的值可以顯著地提高離散數(shù)據(jù)的平滑度，但存在丟失有用噪聲的風(fēng)險(xiǎn)；過小的值會(huì)使被展開函數(shù)的一些重要擬合信息被錯(cuò)過。

3）采用最小二乘準(zhǔn)則定義損失函數(shù)，確定系數(shù)函數(shù)組成的系數(shù)矩陣。

4）計(jì)算損失函數(shù)導(dǎo)數(shù)f=0時(shí)的模型系數(shù)函數(shù)。

5）判斷此時(shí)的優(yōu)化次數(shù)與設(shè)置優(yōu)化次數(shù)是否相等。

6）若=，則輸出模型，算法結(jié)束；若1，則令=+1，將此時(shí)的系數(shù)函數(shù)作為模型的新參數(shù)，返回步驟2）計(jì)算，直至=。

通過以上算法，可以揭示電弧放電更深層級(jí)的動(dòng)態(tài)演化規(guī)律，剖析高維復(fù)雜數(shù)據(jù)下電阻性電路放電的本質(zhì)特征，建立更合理、更直觀的放電模型。

2.2 放電電弧電壓數(shù)學(xué)模型

本節(jié)基于上述函數(shù)型數(shù)據(jù)分析回歸算法，結(jié)合電阻性電路電弧放電特性，詳細(xì)闡述放電電弧電壓的數(shù)學(xué)模型建模過程。

影響電阻性電路放電電弧特性的主要可控因素即電路的電參數(shù)（電源電壓、電阻）。給定參數(shù)和，組成個(gè)試驗(yàn)取值數(shù)對(duì)(E,R)，=1, 2,…,；對(duì)應(yīng)每一個(gè)(E,R)，測(cè)得其開路電弧電壓試驗(yàn)波形，在每一條波形特定節(jié)點(diǎn)上有限維取值，由離散數(shù)據(jù)重構(gòu)隱含在其中的連續(xù)本征函數(shù)u()，由此共得到組電壓樣本數(shù)據(jù)(E,R;u())。取一組樣本，以理想直流電壓源與電路電阻的非時(shí)變性和插值法重構(gòu)后電弧電壓函數(shù)的非線性特征為基礎(chǔ)，假定初始模型類型為標(biāo)量協(xié)變量，響應(yīng)變量為函數(shù)的函數(shù)型數(shù)據(jù)模型進(jìn)行優(yōu)化，優(yōu)化次數(shù)=100，初始模型公式為

式中，a()、b()分別為協(xié)變量和關(guān)于的未知系數(shù)函數(shù)；()為關(guān)于的誤差函數(shù)。式（3）中，理想電源電壓與電阻不受時(shí)間變化影響，即設(shè)、為標(biāo)量協(xié)變量，電弧電壓()為函數(shù)型響應(yīng)變量。

將系數(shù)函數(shù)與響應(yīng)變量函數(shù)展開成最優(yōu)傅里葉基函數(shù)形式分別為

式中，()=[1()2() …θ()]為()、()的最優(yōu)傅里葉基函數(shù)展開式；T、TT分別為展開系數(shù)a、b、c組成的系數(shù)矩陣的轉(zhuǎn)置；()=[1()2() …φ()]為()的最優(yōu)傅里葉基函數(shù)展開式；代表展開的第個(gè)基函數(shù)，=1, 2,…,。

為方便記錄，記

即、分別為T與T、T組成的系數(shù)矩陣；為誤差函數(shù)組成的矩陣。

利用最小二乘準(zhǔn)則定義的損失函數(shù)LMSSE確定系數(shù)函數(shù)的系數(shù)矩陣，可得到一個(gè)簡(jiǎn)單的線性光滑器為

式中，為第組樣本組數(shù)。

定義三個(gè)矩陣表示基函數(shù)矩陣，分別為

為了可讀性，省略時(shí)間變量和微分記號(hào)d（后文中也有相應(yīng)的省略），則式（8）簡(jiǎn)化表示為

根據(jù)矩陣的跡的性質(zhì)以及Kronecker乘積性質(zhì)，使用矩陣按行拉直運(yùn)算vec(·)可得

解得系數(shù)矩陣為

此時(shí)，令優(yōu)化次數(shù)=+1，更新模型系數(shù)函數(shù)，直至=100。

遍歷其余樣本數(shù)據(jù)，得到組電壓模型為

輸出以和為變量的電弧電壓函數(shù)型數(shù)據(jù)分析回歸模型為

2.3 放電電弧電流數(shù)學(xué)模型

放電電流數(shù)據(jù)與放電電壓數(shù)據(jù)特征相近，電弧電流模型的建模過程與電弧電壓相同，本文對(duì)其進(jìn)行簡(jiǎn)要描述。測(cè)得組電流樣本數(shù)據(jù)(E,R;i())，=1, 2,…,。

輸入初始參數(shù)與模型得到

式中，()為電源電壓變量的系數(shù)函數(shù)；()為電阻變量的系數(shù)函數(shù)；()為隨機(jī)誤差函數(shù)。

模型式（15）中函數(shù)的最優(yōu)傅里葉基函數(shù)展開式為

式中，T、TT分別為展開系數(shù)v、w、d組成的系數(shù)矩陣的轉(zhuǎn)置。

定義系數(shù)矩陣的最小二乘損失函數(shù)為

同理，遍歷組樣本則可建立以和為變量的放電電弧電流()模型為

3 電阻性電路本安判據(jù)的建立

通過IEC火花試驗(yàn)裝置進(jìn)行爆炸性檢測(cè)試驗(yàn)，對(duì)檢測(cè)條件要求較高，且成本較高、周期長、不確定因素多，這些局限最終會(huì)大幅降低本安產(chǎn)品的生產(chǎn)效率。本安非爆炸評(píng)價(jià)方法雖然不能完全替代爆炸性評(píng)價(jià)的方法，但利用計(jì)算機(jī)輔助[23-24]研究電路的本質(zhì)安全性能判別，對(duì)設(shè)計(jì)與檢測(cè)本質(zhì)安全電路具有重要的指導(dǎo)意義。相關(guān)文獻(xiàn)提出基于電感性電路放電電流衰減模型的功率判據(jù)，對(duì)常用的能量判別式做了補(bǔ)充。然而，目前尚缺乏一個(gè)獨(dú)立的、完備的電阻電路模型和基于該模型的判據(jù)。

3.1 功率模型

為了深入研究電弧的能量變化規(guī)律，對(duì)電阻性電路進(jìn)行準(zhǔn)確的本安性能評(píng)價(jià)，本文利用函數(shù)型數(shù)據(jù)分析回歸算法將不同特征的動(dòng)態(tài)函數(shù)曲線轉(zhuǎn)換為“原始數(shù)據(jù)”進(jìn)行分析，從理論上提出一種獨(dú)立于電壓和電流模型的功率模型，以降低由于電壓和電流模型約束而導(dǎo)致的本安性能評(píng)估的誤差。

基于試驗(yàn)所測(cè)得的組電弧電壓g與組電流g波形數(shù)據(jù)，以純電阻電路功率定義式為依據(jù)，計(jì)算每一組樣本功率與時(shí)間變量的函數(shù)關(guān)系，并繪制波形曲線，在每一條波形特定節(jié)點(diǎn)上有限維取值，得到組功率樣本數(shù)據(jù)(E,R;p())，=1, 2,…,。

值得注意的是，功率波形與電壓、電流波形特征顯然不同，但這并不影響函數(shù)型數(shù)據(jù)回歸模型的形式，通過模型系數(shù)函數(shù)()的自適應(yīng)過程，能夠使最終的模型與波形保持一致。因此，本文提出的函數(shù)型數(shù)據(jù)分析回歸算法對(duì)電弧功率模型的建立依舊是可行的。

設(shè)初始模型及系數(shù)函數(shù)為

式中，()為電源電壓變量的系數(shù)函數(shù)；()為電阻變量的系數(shù)函數(shù)；()為隨機(jī)誤差函數(shù)。

利用基函數(shù)展開系數(shù)函數(shù)與響應(yīng)函數(shù)可得

式中，T、TT分別為系數(shù)g、h、m組成的系數(shù)矩陣的轉(zhuǎn)置。

定義功率模型系數(shù)矩陣的損失函數(shù)為

同理，遍歷組樣本則可建立以和為變量的放電電弧功率()模型為

3.2 能量判據(jù)

基于前文所建立的功率模型，設(shè)電弧放電時(shí)間為，則電弧放電能量g表達(dá)式為

將式（27）展開得到

根據(jù)式（28），結(jié)合最小點(diǎn)燃能量，可以建立簡(jiǎn)單電阻性電路本安性能判據(jù)為

故能量判據(jù)為

4 仿真驗(yàn)證及分析

4.1 試驗(yàn)平臺(tái)

為驗(yàn)證所得數(shù)學(xué)模型，本文基于IEC標(biāo)準(zhǔn)火花試驗(yàn)裝置對(duì)不同電源電壓與電阻進(jìn)行電弧放電試驗(yàn)，對(duì)比實(shí)測(cè)值與仿真模型之間的差異。按照標(biāo)準(zhǔn)直流電阻性電路拓?fù)溥B接電路。被試電路接入火花試驗(yàn)裝置電極，將電路參數(shù)調(diào)整到規(guī)定的安全系數(shù)后，判定在電極系統(tǒng)的規(guī)定轉(zhuǎn)數(shù)內(nèi)是否打出火花。兩接觸電極之一是由帶有兩道槽的旋轉(zhuǎn)鎘電極盤組成；另一個(gè)接觸電極由四根鎢絲組成，鎢絲直徑為0.2 mm，并固定在圓周直徑為50 mm的極握上（極握用黃銅材料制造）。旋轉(zhuǎn)極握使鎢絲電極在開槽的鎘盤上滑動(dòng)，極握與鎘盤之間的距離為10 mm。鎢絲的自由長度為11 mm，其不與鎘盤接觸時(shí)，垂直于鎘盤表面。驅(qū)動(dòng)鎘盤和極握的兩軸相隔31 mm，并且兩軸之間和試驗(yàn)裝置底盤之間相互絕緣。電流通過軸系上的滑動(dòng)電極流進(jìn)和流出，兩軸由不導(dǎo)電的齒輪嚙合起來，齒輪傳動(dòng)比為50:12。用電機(jī)帶動(dòng)的極握轉(zhuǎn)速為80 r/min。開通電源后鎘盤與鎢絲裝置以相同且均勻的轉(zhuǎn)速接觸、斷開打火放電。

試驗(yàn)電路系統(tǒng)選用UT37014型直流穩(wěn)壓電源，DLM3034型示波器用于電弧波形的采集。將所述火花裝置的正、負(fù)極連接到示波器的第一通道測(cè)定電弧電壓；示波器第二通道連接電阻兩端的正負(fù)極測(cè)量電弧電流。試驗(yàn)采樣頻率設(shè)定為12.5 kHz。試驗(yàn)數(shù)據(jù)列于表1中。

表1 電阻電路電弧放電試驗(yàn)數(shù)據(jù)

Tab.1 Resistance circuit arc discharge test data sheet

試驗(yàn)共記錄36組不同電路條件樣本類型。其中，訓(xùn)練集共28組樣本類型，用于算法程序以訓(xùn)練最優(yōu)模型；檢驗(yàn)集共8組樣本類型，用于檢驗(yàn)?zāi)Ｐ褪欠駵?zhǔn)確。每組樣本類型的電弧電壓、電流波形重復(fù)測(cè)量五次，試驗(yàn)共記錄360組波形。根據(jù)示波器信號(hào)合成取得36組對(duì)應(yīng)的功率波形共計(jì)180組。

4.2 模型訓(xùn)練與放電分類判斷

將試驗(yàn)收集的訓(xùn)練集數(shù)據(jù)導(dǎo)入Matlab進(jìn)行仿真分析，根據(jù)2.1節(jié)所提出的函數(shù)型數(shù)據(jù)分析回歸算法編寫程序，訓(xùn)練三種（電壓、電流、功率）模型。

插值法處理后的訓(xùn)練集電弧電壓、電弧電流及功率平滑曲線分別如圖6～圖8所示。

圖6 電阻性電路電弧電壓樣本擬合曲線

圖7 電阻性電路電弧電流樣本擬合曲線

以文獻(xiàn)[18]提出的放電形式一在放電試驗(yàn)中出現(xiàn)的次數(shù)最多、形式二次之、形式三出現(xiàn)的次數(shù)最少的結(jié)論為依據(jù)。本文在此基礎(chǔ)上整合出電壓、電流與功率波形與放電形式類型一致的樣本組，對(duì)其電弧放電不同形式可能出現(xiàn)的先決條件進(jìn)行初步研究。分類形式見表2。其中g(shù)/S1、g/S2、g/S3分

圖8 電阻性電路電弧功率樣本擬合曲線

別表示在此電路參數(shù)條件下電弧電壓波形屬于放電的第一、二、三種形式；g與g分類形式與g同理。

從表2可看出，放電形式一在放電試驗(yàn)中出現(xiàn)的次數(shù)最多、形式二次之、形式三出現(xiàn)次數(shù)最少，結(jié)果與文獻(xiàn)[18]結(jié)論相符。結(jié)合表2，交叉對(duì)比電壓、電流及功率波形，整合三種電參數(shù)波形均符合同一種放電特征的樣本組，繪制不同放電形式出現(xiàn)概率與電路正常工作電流的關(guān)系如圖9所示。

圖9 電阻性電路電弧放電形式分類

表2 不同電路參數(shù)下的電壓、電流、功率分類形式

Tab.2 Voltage, current and power classification table under different circuit parameters

由上述圖表分析可知，當(dāng)電源電壓參數(shù)范圍為24 V≤≤48 V且電阻范圍為20W≤≤360W時(shí)，電弧第一種放電形式在放電試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率最大，第三種形式出現(xiàn)概率最小，這與前人結(jié)論相符。相同參數(shù)范圍內(nèi)，圖9中陰影區(qū)域表示電弧放電第二種形式可能出現(xiàn)的范圍，放電第一種形式出現(xiàn)在空白區(qū)域的概率較大。從電路正常工作電流角度分析可知，當(dāng)電流值≤0.15 A或≥0.6 A時(shí)，電弧放電表征為第一種放電形式，這時(shí)電路電弧的放電時(shí)間長，功率前期上升，能量也隨之增大，容易引起爆炸；當(dāng)正常工作電流值0.15 A＜＜0.6 A時(shí)，電弧放電表征趨向于第二種放電形式，這時(shí)電弧的放電時(shí)間雖長，但前期功率基本不變，后期迅速下降。

需要特別說明的是，第三種形式出現(xiàn)的概率未能與電路電流表現(xiàn)出直接關(guān)系，其他試驗(yàn)條件下的放電形式分類與正常工作電流關(guān)系也仍需進(jìn)一步探究。

為判斷所提出的基于函數(shù)型數(shù)據(jù)分析回歸算法建立的模型是否適用于電弧放電的所有形式，執(zhí)行仿真程序進(jìn)行模型訓(xùn)練。由于樣本數(shù)據(jù)數(shù)量龐大無法呈現(xiàn)全部仿真結(jié)果，本文選取部分結(jié)果進(jìn)行討論。部分模型訓(xùn)練結(jié)果與分類形式如圖10所示。

觀察試驗(yàn)數(shù)據(jù)與仿真數(shù)據(jù)對(duì)比曲線不難發(fā)現(xiàn)，在不同電路參數(shù)條件下，對(duì)于趨勢(shì)有所差異的放電電弧電壓、電流及功率波形，仿真值與實(shí)測(cè)值基本吻合。通過訓(xùn)練的模型可以清晰地區(qū)分電阻性電路電弧放電的三種形式，說明函數(shù)數(shù)據(jù)分析回歸算法所建立的數(shù)學(xué)模型具有較好的普適性。

4.3 誤差分析

函數(shù)型數(shù)據(jù)分析回歸算法建立數(shù)學(xué)模型的自適應(yīng)過程的復(fù)雜程度決定了模型與實(shí)測(cè)值的誤差大小，本文采取最小二乘優(yōu)化準(zhǔn)則求解出的電壓模型系數(shù)函數(shù)()()以及電流模型系數(shù)函數(shù)()()的95%置信區(qū)間范圍如圖11所示。

圖11 電壓與電流模型系數(shù)函數(shù)95%置信區(qū)間

由圖11可以看出，電壓與電流模型的系數(shù)函數(shù)根據(jù)各自協(xié)變量初始值的不同，其置信區(qū)間范圍有所差別。

為深入探究所提模型描述實(shí)際波形的準(zhǔn)確程度，本文利用回歸評(píng)價(jià)指標(biāo)均方誤差（Mean Square Error, MSE）、方均根誤差（Root Mean Square Error, RMSE）、平均絕對(duì)誤差（Mean Absolute Error, MAE）、決定系數(shù)（2）表征模型式（14）、式（20）、式（26）訓(xùn)練過程存在的誤差。將訓(xùn)練樣本組按分類代入電壓、電流、功率模型進(jìn)行回歸計(jì)算，并繪制折線圖如圖12所示。

對(duì)比電壓、電流及功率模型的各類指標(biāo)分析得出，電壓與功率模型的MSE、MAE計(jì)算值較大，則實(shí)際值與理論值之間的誤差較大；電流模型的MSE、MAE計(jì)算值較小，其系數(shù)函數(shù)的自適應(yīng)過程好。電流模型的馴化程度優(yōu)于電壓與功率模型。

圖12 模型回歸指標(biāo)對(duì)比

表3分別列出了少數(shù)樣本組三種模型的決定系數(shù)。其中，決定系數(shù)最小為0.790 1，最大為1，其余均在0.8～0.99范圍內(nèi)浮動(dòng)，說明在本文的試驗(yàn)條件下，至少有80%的實(shí)際數(shù)據(jù)可以被所建模型所描述，證明了函數(shù)型數(shù)據(jù)分析回歸模型的可行性。但考慮到工程環(huán)境的復(fù)雜性與多變性，模型實(shí)際應(yīng)用的誤差范圍有待進(jìn)一步精確。

表3 三種模型決定系數(shù)計(jì)算結(jié)果對(duì)比表

Tab.3 Comparison table of determination coefficient calculation results of three models

4.4 模型預(yù)測(cè)效果評(píng)估

與傳統(tǒng)電弧解析模型不同的是，本文采用的函數(shù)型數(shù)據(jù)分析回歸算法所建立的放電模型不僅反映了變量、與()、()、()的高維函數(shù)關(guān)系，同時(shí)能對(duì)電弧電壓、電流進(jìn)行數(shù)值模擬，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)本安和非本安狀態(tài)的判定和預(yù)報(bào)。以電阻性電路火花放電試驗(yàn)檢驗(yàn)集樣本作為實(shí)際值，對(duì)模型預(yù)測(cè)值與其之間的誤差進(jìn)行檢測(cè)，根據(jù)回歸指標(biāo)表征模型預(yù)測(cè)效果。電弧模型預(yù)測(cè)值與實(shí)際值對(duì)比如圖13所示。

圖13 檢驗(yàn)樣本電弧模型預(yù)測(cè)值與實(shí)際值對(duì)比

由圖13可看出，模型預(yù)測(cè)值與實(shí)際值存在偏差，但趨勢(shì)相同且偏差不大。檢驗(yàn)樣本組模型的回歸指標(biāo)計(jì)算值見表4～表6。

表4 檢驗(yàn)樣本組電弧電壓模型回歸指標(biāo)計(jì)算值

Tab.4 The model regression indicators of the arc voltage model of the sample group were tested

表5 檢驗(yàn)樣本組電弧電流模型回歸指標(biāo)計(jì)算值

Tab.5 The model regression indicators of the arc current model of the sample group were tested

表6 檢驗(yàn)樣本組電弧功率模型回歸指標(biāo)計(jì)算值

Tab.6 The model regression indicators of the arc power model of the sample group were tested

檢驗(yàn)集六組樣本類別中，電流模型的MSE與MAE值小于其他模型，這說明電流模型仿真出的預(yù)測(cè)值與實(shí)際值之間的誤差較小。除電壓模型第三組（=48 V,=90W）樣本類型和電流、功率模型第四組（=48 V,=120W）樣本類型外，其余組的2均在0.84～0.96之間，表明在本文所進(jìn)行試驗(yàn)的試驗(yàn)條件下，至少有84%的實(shí)際數(shù)據(jù)可以被電弧電壓、電流及功率模型預(yù)測(cè)。

5 結(jié)論

本文對(duì)電阻性電路電弧放電特性曲線進(jìn)行深入分析，推斷放電階段電弧各波形出現(xiàn)的電路參數(shù)條件，綜合考慮電阻電路電源電壓和電阻對(duì)時(shí)間變量的影響，提出了一種將不同特征動(dòng)態(tài)函數(shù)曲線轉(zhuǎn)換為“原始數(shù)據(jù)”進(jìn)行分析的函數(shù)型數(shù)據(jù)分析思想。通過函數(shù)型數(shù)據(jù)分析回歸算法建立了高維且參數(shù)強(qiáng)相關(guān)、適用范圍廣的電阻性電路電弧放電數(shù)學(xué)模型，具體結(jié)論如下：

1）對(duì)提出的放電模型進(jìn)行不同電路參數(shù)下的仿真分析，搭建試驗(yàn)平臺(tái)將試驗(yàn)結(jié)果與之進(jìn)行對(duì)比。結(jié)果證明了所提出的函數(shù)型數(shù)據(jù)分析電弧模型的準(zhǔn)確性和可行性，并基于功率模型與最小點(diǎn)燃曲線建立了電阻性電路本安能量判據(jù)。

2）當(dāng)電源電壓參數(shù)為24 V≤≤48 V且電阻范圍為20W≤≤360W時(shí)，根據(jù)電阻性電路電弧放電三種形式將試驗(yàn)數(shù)據(jù)分類，探究不同形式出現(xiàn)可能的電路參數(shù)條件。從電路正常工作電流角度分析可知，當(dāng)電流值≤0.15 A或≥0.6 A時(shí)，電弧放電表征為功率前期上升；當(dāng)正常工作電流值0.15 A＜＜0.6 A時(shí)，電弧放電表征為前期功率基本不變，后期迅速下降。但其他電路參數(shù)形式下的放電形式分類與正常工作電流關(guān)系仍需進(jìn)一步探究。

基于函數(shù)型數(shù)據(jù)分析回歸算法建立電阻性電路電弧放電數(shù)學(xué)模型發(fā)現(xiàn)，電弧放電不同形式的放電條件規(guī)律有利于本質(zhì)安全電路的優(yōu)化設(shè)計(jì)。建立電阻電路的本安能量判據(jù)，有利于完善本質(zhì)安全非爆炸性評(píng)價(jià)方法。但這種本質(zhì)安全性能評(píng)估判據(jù)的使用需要大量試驗(yàn)數(shù)據(jù)驗(yàn)證作為支撐，后續(xù)還需要開展更詳細(xì)的試驗(yàn)以驗(yàn)證前述理論分析。

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Arc Discharge Model of Resistive Intrinsically Safe Circuit Based on Functional Data Analysis Algorithm

Zhu Ran1Xu Liwen2Meng Qinghai1

（1. School of Electrical and Control Engineering North China University of Technology Beijing 100144 China 2. College of Science North China University of Technology Beijing 100144 China）

Different from the traditional inductive and capacitive intrinsically safe circuits, the resistive intrinsically safe circuit is difficult to describe accurately due to its three different discharge waveforms. The experimental waveform and theoretical analysis show that the arc of the resistive circuit has multi-dimensional characteristics, and there is a strong correlation between it and environmental factors. It is difficult to solve it directly by traditional modeling methods, which makes the intrinsic safety criterion of the resistive circuit lack a complete theoretical system, resulting in multiple accidents in the actual operating environment. In order to solve such problems, this paper proposes a discharge model based on functional data analysis regression algorithm on the basis of studying the arc discharge characteristic curve of resistive intrinsically safe circuit, and establishes the arc discharge energy criterion of resistive intrinsically safe circuit based on this model.

Firstly, the functional data analysis regression algorithm framework is constructed, and the mathematical models of arc discharge voltage and current are established respectively based on the three essential different discharge waveform characteristics of low energy arc discharge when the electrode of IEC spark test device is disconnected. Secondly, a power model independent of voltage and current model is proposed theoretically. Based on the power model, the energy criterion of resistive intrinsically safe circuit is supplemented. The model is simulated by Matlab software and a classification method of arc discharge waveform is proposed. Finally, a spark discharge test platform is built to verify the feasibility of the arc model and the accuracy of the prediction effect. The model does not require any restrictions on the frequency of data acquisition, and converts the dynamic function curve into 'original data', which has infinite dimensional spatial characteristics and reduces the error caused by the simplification of the formula in the derivation process. The comparison between the experimental data and the simulation results shows that under the experimental conditions carried out in this paper, at least 80% of the actual data of the three different discharge waveforms can be described by the model, which proves the feasibility and universality of the functional data analysis regression model. The evaluation of the prediction effect of the discharge model established by the functional data analysis regression algorithm shows that at least 84% of the actual data can be predicted by the arc voltage, current and power model under the test conditions in this paper. It solves the problem that the arc discharge waveform of resistive intrinsically safe circuit cannot be accurately described because of three types. In addition, the model is used to explore the circuit parameter conditions of three cases of arc discharge in resistive circuits. It is found that under the condition of the power supply voltage parameter of 24 V≤≤48 V and the resistance range of 20W≤≤360W, when the normal working current of the circuit is≤0.15 A or≥0.6 A, the arc discharge is characterized by an early increase in power; when the normal operating current value is 0.15 A＜＜0.6 A, the arc discharge is characterized by the initial power basically unchanged and the later rapid decline.

Through simulation and experimental results, the following conclusions are drawn: (1) The proposed functional data analysis arc model solves the problem that the arc discharge waveform of the resistive intrinsically safe circuit cannot be accurately described due to three types. (2) The proposed model uses the idea of functional data analysis to transform the dynamic function curves of different characteristics into 'original data' for analysis, which reduces the error caused by formula simplification. (3) Compared with the traditional model, the proposed model can predict the discharge arc voltage and current values at different discharge times, which solves the problem that the traditional model cannot explore the numerical solution.

Arc discharge mathematical model, intrinsic safety, functional data, energy criterion

國家社會(huì)科學(xué)基金重點(diǎn)資助項(xiàng)目（20BTJ046）。

2023-02-14

2023-04-22

10.19595/j.cnki.1000-6753.tces.230161

TD685; TM133

朱 冉 女，1999年生，碩士研究生，研究方向?yàn)殡姎獍踩夹g(shù)。E-mail：2602440779@qq.com

孟慶海 男，1986年生，研究員，研究方向?yàn)殡姎獍踩夹g(shù)。E-mail：mengqinghai@ncut.edu.cn（通信作者）

（編輯 李 冰）