張 昊,鄧小剛,2*

(1. 國(guó)防科技大學(xué) 空天科學(xué)學(xué)院, 湖南 長(zhǎng)沙 410073; 2. 軍事科學(xué)院 系統(tǒng)工程研究院, 北京 100082)

超聲速無(wú)粘可壓縮流動(dòng)由雙曲守恒律描述,在各種實(shí)際問(wèn)題中得到了廣泛應(yīng)用,相應(yīng)方程也屬于計(jì)算流體力學(xué)(computational fluid dynamics,CFD)重點(diǎn)求解的模型問(wèn)題。它的一個(gè)主要特征是即使初始條件光滑,解也可能發(fā)展出間斷[1]。具體來(lái)說(shuō),當(dāng)超聲速來(lái)流流過(guò)飛行器外形或受到各種擾動(dòng)影響后,多樣化的流場(chǎng)結(jié)構(gòu)隨之產(chǎn)生,例如激波、接觸間斷、渦與湍流,以及它們的相互作用等。激波等間斷會(huì)使得流動(dòng)變量值發(fā)生突變,能否對(duì)其進(jìn)行精確還原關(guān)系著數(shù)值模擬方法是否可靠。在求解過(guò)程中,格式不僅需要最小化色散耗散誤差達(dá)到高分辨率,來(lái)精細(xì)還原流場(chǎng)中的小尺度渦,還需要在間斷附近保持足夠的數(shù)值耗散,從而抑制非物理振蕩,確保計(jì)算的穩(wěn)定性[2]。在這些近乎矛盾的要求之下,如何構(gòu)造高保真的高階精度數(shù)值格式,同時(shí)具備良好的激波捕捉能力,來(lái)準(zhǔn)確精細(xì)地模擬復(fù)雜流動(dòng)特征,成為CFD領(lǐng)域長(zhǎng)期的重大挑戰(zhàn)。

為了能實(shí)現(xiàn)以上要求,高精度格式應(yīng)運(yùn)而生。由于內(nèi)含的數(shù)值耗散更低,在同樣的網(wǎng)格規(guī)模下,高階格式相比于二階格式在計(jì)算精度上有顯著提升[3]。特別地,高階有限差分方法的數(shù)學(xué)形式直接且構(gòu)造方式簡(jiǎn)單,因而受到了廣泛關(guān)注。此外對(duì)于多維問(wèn)題,有限差分方法由于可以維數(shù)分解,相比于其他方法也更加高效適用[4]。當(dāng)前發(fā)展最多的高階激波捕捉格式之一就是加權(quán)緊致非線性格式(weighted compact nonlinear scheme, WCNS),它由Deng等[5]提出,然后經(jīng)過(guò)一系列改進(jìn),是有效結(jié)合求解流場(chǎng)光滑與間斷區(qū)域的方法。根據(jù)解的局部光滑程度,WCNS格式可以通過(guò)非線性權(quán)動(dòng)態(tài)調(diào)整子模板在插值中的權(quán)重,實(shí)現(xiàn)無(wú)振蕩地捕捉間斷。

然而,這種非線性機(jī)制也降低了WCNS在光滑區(qū)的譜特性。對(duì)于無(wú)粘可壓縮流的小尺度結(jié)構(gòu),格式的數(shù)值耗散可能超過(guò)物理耗散[6],使其在光滑區(qū)的色散耗散誤差經(jīng)常大于其應(yīng)恢復(fù)到的線性格式的水平[7]。而且在計(jì)算含間斷的雙曲守恒律系統(tǒng)時(shí),需要對(duì)全場(chǎng)使用局部特征分解,將問(wèn)題變換到特征空間求解,以解耦非線性系統(tǒng)從而減少擾動(dòng)。這雖然可以避免間斷周?chē)獾恼袷?但也大大增加了計(jì)算時(shí)間,格式的效率和魯棒性都有待進(jìn)一步提高。通常有兩種方法可以改善非線性加權(quán)格式的色散耗散特性:增強(qiáng)非線性機(jī)制、構(gòu)造混合格式[8]。這里僅對(duì)后一類(lèi)進(jìn)行討論。

混合格式由于其易實(shí)現(xiàn)性,正成為越來(lái)越多學(xué)者的研究對(duì)象。通過(guò)將間斷與光滑區(qū)二分,它可以更好地利用激波捕捉格式及低耗散高保真算法各自的優(yōu)勢(shì)特性,從而相比于完全采用特征分解的單一方法具有更高的分辨率、更優(yōu)的計(jì)算效率[9]。Deng等[10]通過(guò)邊界變差遞減方法將可調(diào)節(jié)耗散算法用于尺度分辨模擬,構(gòu)造了激波捕捉的迎風(fēng)-中心型混合格式。Shen等[11]提出了一類(lèi)求解雙曲守恒律的加權(quán)緊致中心格式,能實(shí)現(xiàn)任意一致的時(shí)空高階,并借由限制器完成間斷捕捉。Wan等[12]提出了一種新的混合策略,將模板分為光滑、不光滑或過(guò)渡區(qū)域,各自應(yīng)用相適應(yīng)的格式來(lái)模擬Euler方程的定常解。

不過(guò),在分別處理光滑區(qū)和間斷之前,必須能夠正確分辨它們。間斷探測(cè)器正是實(shí)現(xiàn)此類(lèi)識(shí)別的一種有效手段。目前已經(jīng)發(fā)展出許多種類(lèi)的問(wèn)題單元探測(cè)器,其性質(zhì)對(duì)整個(gè)格式的分辨率和魯棒性都會(huì)產(chǎn)生很大影響,成為發(fā)展混合格式的重要挑戰(zhàn)[8]。Jiang等[13]以模板上非線性權(quán)的最小值與最大值之比作為探測(cè)器構(gòu)造依據(jù),實(shí)現(xiàn)了較好的間斷捕捉能力。類(lèi)似地,Tang[14]提出了使用子模板光滑度量的最小值與最大值之比的探測(cè)器,進(jìn)而自適應(yīng)地調(diào)節(jié)非線性權(quán)中的指數(shù)。Ruan等[15]設(shè)計(jì)了單調(diào)保持-加權(quán)群速度控制間斷傳感器,分別使用光滑和間斷探測(cè)器,將流場(chǎng)分為光滑、大間斷、小間斷三類(lèi)區(qū)域分別求解。Takagi等[16]基于無(wú)參數(shù)間斷探測(cè)標(biāo)準(zhǔn),將目標(biāo)本質(zhì)無(wú)振蕩格式的非線性權(quán)值組合作為探測(cè)器,發(fā)展了新的激波捕捉框架。Xue等[17]為混合格式發(fā)展了一種簡(jiǎn)化的多層感知光滑探測(cè)器,并在光滑與不光滑之外引入高頻區(qū),提高了格式的譜分辨率。

本文基于結(jié)構(gòu)網(wǎng)格的高精度有限差分方法,總結(jié)在間斷無(wú)粘可壓縮流動(dòng)計(jì)算中的間斷探測(cè)與混合格式應(yīng)用問(wèn)題;給出混合格式的通用兩步構(gòu)造框架,并歸納基于導(dǎo)數(shù)組合、光滑度量方法這兩種常見(jiàn)構(gòu)造類(lèi)型的間斷探測(cè)器,進(jìn)而設(shè)計(jì)出一種新的問(wèn)題單元探測(cè)器,實(shí)現(xiàn)對(duì)光滑與間斷波形的識(shí)別,并將其用于發(fā)展混合WCNS格式以完成對(duì)間斷單元的非線性處理;針對(duì)波形識(shí)別和一維、二維Euler方程算例,從多個(gè)角度展示計(jì)算結(jié)果,并與其他探測(cè)器進(jìn)行對(duì)比,對(duì)各自的優(yōu)勢(shì)與不足進(jìn)行更深入的分析。

1 控制方程與WCNS離散

將研究限制在五階WCNS格式,對(duì)于其他階精度可以用同樣的方法實(shí)現(xiàn)。為了描述算法,簡(jiǎn)化無(wú)粘流動(dòng)模擬,考慮一維標(biāo)量雙曲守恒律

ut+f(u)x=0

(1)

式中,u=u(x,t)表示流動(dòng)變量,f(u)是u的通量,x∈[a,b]和t∈[0,∞)分別是空間與時(shí)間坐標(biāo)。在均勻網(wǎng)格單元上,使用有限差分方法進(jìn)行空間離散。xj=jh表示點(diǎn)j的坐標(biāo),其中j=0,1,…,N,網(wǎng)格間距h=(b-a)/N。然后可以得到守恒律方程的半離散形式

(2)

式中,uj(t)和F′j分別代表變量u(xj,t)和通量導(dǎo)數(shù)f′j=?f/?x|x=xj的數(shù)值近似。F′j使用六階顯式差分計(jì)算。

(3)

式中,dm(m=0,1,2)被稱(chēng)為最優(yōu)權(quán)或線性權(quán),d0=1/16,d1=5/8,d2=5/16。式(3)的展開(kāi)式也對(duì)應(yīng)著五階顯式迎風(fēng)線性插值

(4)

用非線性權(quán)ωm代替最優(yōu)權(quán)dm,就得到了非線性插值格式

(5)

通過(guò)設(shè)計(jì)非線性權(quán),在光滑區(qū)令ωm接近dm,使目標(biāo)格式的精度接近線性格式;而在間斷區(qū)則令ωm趨于0,從而避免跨間斷插值,抑制數(shù)值振蕩。在ωm的選擇上,使用耗散較低的Z型權(quán)[18]進(jìn)行計(jì)算,從而更加凸顯探測(cè)器對(duì)格式分辨率的提高作用,其形式為

(6)

其中:下標(biāo)m=0,1,2;q=1為耗散控制參數(shù);全局光滑度量τ=|β0-β2|;小量ε=10-40用來(lái)避免分母為零;子模板光滑度量βm的具體形式亦可參考文獻(xiàn)[18]。

矢量擴(kuò)展式(1),有模擬無(wú)粘流的Euler方程

(7)

式中,守恒變量U的表達(dá)式為

U=(ρ,ρu,E)T

(8)

通量F的表達(dá)式為

F=(ρu,ρu2+p,(E+p)u)T

(9)

ρ、u、p分別代表密度、速度、壓力;總能E=e+ρu2/2,其中e為內(nèi)能。為了使方程封閉,再引入理想氣體狀態(tài)方程

p=(γ-1)ρE

(10)

式中,γ為比熱比,對(duì)于非高溫空氣一般取γ=1.4。

當(dāng)使用非均勻網(wǎng)格時(shí),需要從物理坐標(biāo)系x向計(jì)算坐標(biāo)系ξ做網(wǎng)格變換,該變換關(guān)系為

ξ=ξ(x)

(11)

坐標(biāo)變換后的Euler方程為

(12)

(13)

式(13)中所用到網(wǎng)格導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式為

(14)

其中,1/J為Jacobian矩陣的行列式,即網(wǎng)格導(dǎo)數(shù)雅可比

(15)

2 混合WCNS算法與間斷探測(cè)器

2.1 混合WCNS算法

步驟1：在每個(gè)時(shí)間步開(kāi)始時(shí),在整個(gè)計(jì)算域應(yīng)用間斷探測(cè)器來(lái)識(shí)別不光滑單元。將在半節(jié)點(diǎn)xj+1/2處的探測(cè)結(jié)果記為σj+1/2,對(duì)于光滑流動(dòng)其值為1,而在間斷處則等于0。顯然,該指標(biāo)對(duì)混合格式的效率和準(zhǔn)確性起著重要作用,這將在后文進(jìn)一步研究。

步驟2：要構(gòu)造混合WCNS格式,單元j邊界上的插值公式需變?yōu)?/p>

(16)

至此闡明了混合WCNS格式模擬無(wú)粘流動(dòng)的一般框架,可以發(fā)現(xiàn)其重點(diǎn)在于能夠自動(dòng)準(zhǔn)確分辨間斷,從而自適應(yīng)地采用非線性插值求解,并在光滑節(jié)點(diǎn)使用更高效、更高分辨率的線性格式。此外將引入一些經(jīng)典的間斷探測(cè)器作為對(duì)比,各探測(cè)器的表達(dá)式將在2.2節(jié)一并給出。

需要注意,插值過(guò)程在求解方程組時(shí)按變量分量逐個(gè)進(jìn)行,而在多維問(wèn)題中是逐維展開(kāi)[8-9]。但將探測(cè)器應(yīng)用到多維時(shí),會(huì)存在多維耦合效應(yīng),給出以下幾點(diǎn)原因做定性分析:第一,混合格式所用到的WCNS本身在推廣到多維時(shí)就考慮了幾何守恒律,需要探測(cè)器及混合格式與其相匹配;第二,實(shí)際流動(dòng)結(jié)構(gòu)是多維的,流動(dòng)變量在各方向同時(shí)變化,只在一維層面上識(shí)別間斷可能忽略這種耦合效應(yīng),影響結(jié)果的準(zhǔn)確性;第三,根據(jù)文獻(xiàn)[19]對(duì)依賴(lài)域的論述,多維情況下所用到的其他方向節(jié)點(diǎn),雖然處于上游節(jié)點(diǎn)的影響域內(nèi),但實(shí)際上超出了目標(biāo)點(diǎn)按流動(dòng)特征所形成的依賴(lài)域。此外,在每個(gè)空間節(jié)點(diǎn)上做多維耦合探測(cè),相比于解耦探測(cè)并不會(huì)顯著增加間斷單元識(shí)別的計(jì)算量,具體細(xì)節(jié)這里不做討論。

邊界條件方面,由于主要關(guān)注內(nèi)點(diǎn)空間格式構(gòu)造,且采用笛卡爾網(wǎng)格計(jì)算,所以在邊界使用虛擬點(diǎn)方法。在超聲速入口、出口邊界,分別使用自由流條件和內(nèi)點(diǎn)外推。對(duì)于無(wú)粘固壁邊界,虛擬點(diǎn)的密度、壓力等標(biāo)量與對(duì)應(yīng)內(nèi)點(diǎn)相同,速度矢量的切向、法向分量則都與對(duì)應(yīng)內(nèi)點(diǎn)大小相等、方向相反,以保證壁面處速度為0。至于對(duì)稱(chēng)邊界,將固壁邊界中的速度切向分量改為與對(duì)應(yīng)內(nèi)點(diǎn)方向相同即可。

2.2 新型間斷探測(cè)器

在介紹新型間斷探測(cè)器之前,先回顧幾種常用的探測(cè)器,新方法的提出與它們內(nèi)含的思想一脈相承。此外每種情況下,在探測(cè)前都先對(duì)變量做歸一化處理,這有助于在光滑區(qū)中當(dāng)解的絕對(duì)值很大但相對(duì)變化小時(shí)消除誤判[8]。

Harten[20]基于流場(chǎng)梯度的變化,考慮三點(diǎn)模板上一二階導(dǎo)數(shù)的比值,提出

(17)

(18)

其中:φj+1/2用于反映界面xj+1/2附近的流場(chǎng)光滑程度;閾值φc=0.3;ε為防止分母為0的小量,這里取ε=10-3。

Li等[8]改進(jìn)了Harten指示器,通過(guò)將模板擴(kuò)展到五點(diǎn),并重新組合導(dǎo)數(shù),改善了探測(cè)器比值項(xiàng)對(duì)間斷特異性捕捉的能力,大大降低了在極值點(diǎn)附近的誤判。具體公式如下:

ψj+1/2=min(ψj,ψj+1)

(19)

(20)

(21)

其中,

(22)

ξ=10-2。從而有間斷探測(cè)器

(23)

式中,ψc為閾值常數(shù),若ψj+1/2≥ψc則認(rèn)為流場(chǎng)光滑,否則包含間斷。通常ψc越大,混合格式的魯棒性越好;ψc越小,混合格式的分辨率越高。這里取ψc=0.4。

除了使用相鄰點(diǎn)導(dǎo)數(shù)組合,還發(fā)展出了基于非線性加權(quán)格式光滑因子的間斷探測(cè)器。Fu[9]發(fā)現(xiàn)TENO格式通過(guò)改進(jìn)非線性機(jī)制,能夠在譜空間中有效區(qū)分光滑區(qū)和間斷,并由此提出一種新的基于六點(diǎn)模板S6={xj-2,xj-1,xj,xj+1,xj+2,xj+3}的問(wèn)題單元探測(cè)器。具體形式如下:

(24)

式中,q=6,ε=10-4,βk按照光滑度量公式在四個(gè)三點(diǎn)子模板上計(jì)算得到。之后對(duì)γk進(jìn)行歸一化

(25)

得到探測(cè)結(jié)果

(26)

(27)

及全場(chǎng)一階導(dǎo)平均值

(28)

構(gòu)造組合參數(shù),來(lái)反映解的變化情況。

(29)

其中小量ε=10-4用來(lái)避免分母為0。進(jìn)而得到探測(cè)結(jié)果

(30)

閾值C=3.0。

不難看出,這里新構(gòu)造的探測(cè)器相比Li、Fu探測(cè)器,最核心的不同是重點(diǎn)關(guān)注子模板一階導(dǎo)數(shù),并引入一階導(dǎo)全場(chǎng)平均值作為比較基準(zhǔn),從而敏銳地捕捉間斷信息,其效果將在下一節(jié)給出。而且在確定閾值C的過(guò)程中發(fā)現(xiàn),這種ηk形式對(duì)不同流場(chǎng)結(jié)構(gòu)的識(shí)別結(jié)果差異明顯,容易通過(guò)設(shè)定閾值進(jìn)行區(qū)分,實(shí)現(xiàn)對(duì)間斷的準(zhǔn)確識(shí)別。

3 數(shù)值結(jié)果

對(duì)上一節(jié)提到的間斷探測(cè)器進(jìn)行測(cè)試,算例使用的所有物理量均為無(wú)量綱量。首先用波形來(lái)檢驗(yàn)探測(cè)器的識(shí)別能力和適用性,然后將其用于混合格式,求解模擬無(wú)粘流的Euler方程對(duì)比結(jié)果。關(guān)于識(shí)別變量的選擇,波形測(cè)試中直接使用波形函數(shù)f,Euler方程中使用密度ρ。在所有Euler方程算例中,應(yīng)用混合Roe-Rusanov通量格式,并采用三階強(qiáng)穩(wěn)定性保持Runge-Kutta方法[21]進(jìn)行時(shí)間推進(jìn),CFL數(shù)均取0.6。

3.1 一維波形測(cè)試

首先通過(guò)不同波數(shù)和幅值的正弦波形來(lái)檢驗(yàn)各探測(cè)器的分辨能力。將計(jì)算域x∈[-1,1]用400個(gè)均勻網(wǎng)格離散,波形函數(shù)如下:

(31)

不同探測(cè)器的正弦波形測(cè)試結(jié)果如圖1所示。其中正弦波形用紅色實(shí)線標(biāo)出,藍(lán)色點(diǎn)(坐標(biāo)在右軸)表示探測(cè)結(jié)果,且調(diào)換了σj+1/2的0、1值位置,此時(shí)被灰色陰影所覆蓋的區(qū)域即為識(shí)別到的間斷,下同。從圖中可以看出,四種探測(cè)器都識(shí)別出了x=0附近的間斷,其中新型探測(cè)器與Li、Fu探測(cè)器的結(jié)果相似,除了較高波數(shù)時(shí),沒(méi)有像Harten探測(cè)器在變化的幅值和頻率下產(chǎn)生誤判。

(a) Harten探測(cè)器(a) Harten detector

(b) Li探測(cè)器(b) Li detector

(c) Fu探測(cè)器(c) Fu detector

(d) 新型探測(cè)器(d) New detector

然后使用Sod問(wèn)題[22]結(jié)果,進(jìn)一步考察探測(cè)器對(duì)不同類(lèi)型流動(dòng)結(jié)構(gòu)的識(shí)別能力,此時(shí)密度波形中從左至右依次分布著膨脹波、接觸間斷、激波。待識(shí)別波形為五階原始WCNS在2 000個(gè)單元上的計(jì)算結(jié)果,也用2 000個(gè)均勻網(wǎng)格離散計(jì)算域x∈[-5,5]。

不同探測(cè)器的Sod波形測(cè)試結(jié)果如圖2所示。四種探測(cè)器都識(shí)別出了x=3.5附近的間斷,其中Harten探測(cè)器的陰影區(qū)相比后三者的更細(xì)。

(a) Harten探測(cè)器(a) Harten detector

(b) Li探測(cè)器(b) Li detector

(c) Fu探測(cè)器(c) Fu detector

(d) 新型探測(cè)器(d) New detector

此外,只有新型探測(cè)器判別出了x=2周?chē)慕佑|間斷,表明其在間斷識(shí)別方面具有更好的魯棒性。同時(shí),新型探測(cè)器也對(duì)少部分膨脹波做了判別。

3.2 一維Euler方程測(cè)試

下面通過(guò)混合WCNS格式計(jì)算進(jìn)一步考察探測(cè)器的性能。首先選取Sod激波管問(wèn)題[22],可以較全面地考察探測(cè)器對(duì)非定常稀疏波、接觸間斷、激波等常見(jiàn)流動(dòng)結(jié)構(gòu)的識(shí)別能力。初始條件為

(32)

用N=200個(gè)均勻網(wǎng)格離散,推進(jìn)到無(wú)量綱時(shí)間t=2.0。圖3給出了密度計(jì)算結(jié)果,其中精確解為五階WCNS在2 000個(gè)單元上的結(jié)果,右上方框內(nèi)為間斷區(qū)域的放大。幾種探測(cè)器都能準(zhǔn)確識(shí)別各種光滑與間斷結(jié)構(gòu),實(shí)現(xiàn)混合格式效果。

圖3 Sod問(wèn)題密度計(jì)算結(jié)果Fig.3 Density results of Sod problem

為了進(jìn)一步測(cè)試混合格式的分辨率與魯棒性,下個(gè)算例使用經(jīng)典的Shu-Osher問(wèn)題[23],即一道馬赫數(shù)為3的激波與帶密度擾動(dòng)的正弦熵波發(fā)生非定常相互作用,其也廣泛應(yīng)用于測(cè)試格式在捕捉激波的同時(shí)對(duì)小尺度結(jié)構(gòu)的分辨能力。初始條件為

(33)

使用N=200個(gè)均勻網(wǎng)格離散,時(shí)間推進(jìn)到t=1.8。圖4給出了流場(chǎng)的密度分布,其中精確解由五階WCNS在2 000個(gè)單元上計(jì)算得到,左下方框內(nèi)為相互作用區(qū)的放大。通過(guò)對(duì)比可知各格式都能實(shí)現(xiàn)較好模擬,在間斷位置均無(wú)過(guò)沖。新型探測(cè)器具有優(yōu)于Harten與Fu探測(cè)器的分辨率,稍弱于Li探測(cè)器的結(jié)果,體現(xiàn)出其分辨率與魯棒性兼顧的識(shí)別狀態(tài),適合嵌入混合格式。

圖4 Shu-Osher問(wèn)題密度計(jì)算結(jié)果Fig.4 Density results of Shu-Osher problem

接下來(lái)由表1給出應(yīng)用各探測(cè)器的混合格式計(jì)算所花費(fèi)的CPU時(shí)間、占原WCNS-Z格式計(jì)算時(shí)間的比例,以及在最后時(shí)刻所判別到的間斷單元在全流場(chǎng)所占的百分比。數(shù)據(jù)結(jié)果體現(xiàn)出新型探測(cè)器的識(shí)別范圍適中,且對(duì)應(yīng)混合格式的計(jì)算效率較高。

表1 Shu-Osher問(wèn)題計(jì)算時(shí)間及比例

3.3 二維Euler方程測(cè)試

首先計(jì)算雙馬赫反射問(wèn)題[24]。該算例描述了在二維無(wú)粘流動(dòng)中,馬赫數(shù)10的激波以60°角入射到靜止平板并繼續(xù)傳播,能考核格式精確捕捉強(qiáng)激波和回流區(qū)小尺度結(jié)構(gòu)等的能力。初始條件為

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式中,v表示y方向速度。計(jì)算域(x,y)∈[0,4]×[0,1],用400×100個(gè)均勻網(wǎng)格離散,并使用消息傳遞接口(message passing interface,MPI)給定4個(gè)核進(jìn)行并行計(jì)算,推進(jìn)到t=1.8。通過(guò)沿滑移線產(chǎn)生的渦結(jié)構(gòu)的豐富程度,可以判斷格式的耗散大小。圖5給出了四種探測(cè)器在回流區(qū)附近得到的密度等值線。所有結(jié)果都捕捉到了三波點(diǎn)附近的馬赫桿、反射激波等,而且Fu和新型探測(cè)器識(shí)別到了更豐富的滑移線渦結(jié)構(gòu)。

(a) Harten探測(cè)器(a) Harten detector

(b) Li探測(cè)器(b) Li detector

(c) Fu探測(cè)器(c) Fu detector

(d) 新型探測(cè)器(d) New detector

在最后的時(shí)間步中,四種格式識(shí)別到的間斷分布如圖6所示。可以發(fā)現(xiàn),四種探測(cè)器都能識(shí)別到馬赫反射特有的入射激波、反射激波和馬赫桿等結(jié)構(gòu)。其中Li和新型探測(cè)器可以準(zhǔn)確分辨出滑移線,而且特別判斷到了回流區(qū)內(nèi)靠近壁面的卷起渦,Harten的則有較多無(wú)效識(shí)別。

(a) Harten探測(cè)器(a) Harten detector

(b) Li探測(cè)器(b) Li detector

(c) Fu探測(cè)器(c) Fu detector

(d) 新型探測(cè)器(d) New detector

再由表2給出計(jì)算時(shí)間與比例。新型探測(cè)器的間斷單元數(shù)是除Li探測(cè)器之外最少的,與圖6結(jié)果相對(duì)應(yīng),而且其計(jì)算時(shí)間最短,體現(xiàn)出它在識(shí)別與求解兩階段的高效。此外,本算例中幾種混合格式的計(jì)算時(shí)間占比都在60%左右。

表2 雙馬赫反射計(jì)算時(shí)間及比例

另一個(gè)算例是Rayleigh-Taylor(R-T)不穩(wěn)定[25]問(wèn)題。最初通過(guò)上下放置兩種不同密度的流體形成位于y=0.5的接觸間斷,然后撤掉中間隔板,在重力影響下密度更大的流體會(huì)流入另一側(cè),R-T不穩(wěn)定就在交界面處產(chǎn)生,并出現(xiàn)小尺度渦結(jié)構(gòu)。由于算例無(wú)粘,所以流動(dòng)細(xì)節(jié)的多少就可以作為比較格式數(shù)值耗散的依據(jù)。初始條件為

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其中,c表示聲速,計(jì)算域?yàn)閇0,0.25]×[0,1]。在128×512個(gè)網(wǎng)格上使用4核MPI并行計(jì)算到t=1.95。應(yīng)用四種探測(cè)器的混合格式得到的密度等值線見(jiàn)圖7?？梢钥闯?四種混合格式都能得到蘑菇帽狀尖峰、剪切層等主要流場(chǎng)結(jié)構(gòu),且都出現(xiàn)了尖峰兩側(cè)下方及沿剪切層的卷起渦,體現(xiàn)出較低的耗散水平,表明探測(cè)器對(duì)于小尺度結(jié)構(gòu)具有較好的分辨率特性。尤其后三者的結(jié)果更相似,且對(duì)小尺度結(jié)構(gòu)的分辨更精細(xì),具有更高的可信度。

(a) Harten探測(cè)器(a) Harten detector (b) Li探測(cè)器 (b) Li detector (c) Fu探測(cè)器(c) Fu detector (d) 新型探測(cè)器(d) New detector

然后結(jié)合圖8間斷單元分布做進(jìn)一步對(duì)比。Harten探測(cè)器對(duì)剪切層識(shí)別過(guò)少,在尖峰下方又大量判定為間斷,導(dǎo)致其難以做出準(zhǔn)確模擬;后三者在剪切層附近的識(shí)別相似且合理。在兩側(cè)卷起渦處的問(wèn)題單元,Li和新型探測(cè)器的都較少,且能有效區(qū)分渦的邊緣和內(nèi)部,而Fu探測(cè)器則將此區(qū)域全部作為間斷處理,這也再次體現(xiàn)了新型探測(cè)器對(duì)于混合格式分辨率與魯棒性的平衡。

(a) Harten探測(cè)器(a) Harten detector (b) Li探測(cè)器(b) Li detector (c) Fu探測(cè)器(c) Fu detector (d) 新型探測(cè)器(d) New detector

計(jì)算時(shí)間與比例由表3展示。由于Harten探測(cè)器的結(jié)果不夠準(zhǔn)確,暫不將其列入比較。余下探測(cè)器中,Li探測(cè)器的間斷單元比例最低,然后是新型探測(cè)器,Fu探測(cè)器的最多,與圖8結(jié)果相對(duì)應(yīng);而且新型探測(cè)器的計(jì)算時(shí)間也介于Li和Fu之間,占WCNS-Z格式的時(shí)間比例都在60%左右。

表3 R-T不穩(wěn)定計(jì)算時(shí)間及比例

為了更多地考察四種探測(cè)器的特性,使用對(duì)應(yīng)的混合格式計(jì)算二維黎曼問(wèn)題[26]中的構(gòu)型12。給定初值

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計(jì)算終止時(shí)間為t=0.25。這里重點(diǎn)關(guān)注間斷單元,其在最后時(shí)刻的分布見(jiàn)圖9。出于魯棒性的考慮,新型探測(cè)器的間斷單元占比更高,對(duì)剪切層結(jié)構(gòu)的包覆也更完整;與之相對(duì)應(yīng),Li探測(cè)器的間斷單元數(shù)最少,沿剪切層的包絡(luò)線最細(xì),甚至在間斷面上還出現(xiàn)了一些小缺口;Harten探測(cè)器的結(jié)果則跟Fu探測(cè)器的較為相似,單元比例和分布介于前兩者之間。

(a) Harten探測(cè)器(a) Harten detector

(b) Li探測(cè)器(b) Li detector

(c) Fu探測(cè)器(c) Fu detector

(d) 新型探測(cè)器(d) New detector

4 結(jié)論

本文研究了在同時(shí)包含間斷與光滑區(qū)域的超聲速無(wú)粘可壓流情況下,對(duì)激波、接觸間斷等結(jié)構(gòu)的識(shí)別與混合求解問(wèn)題;提出了一種基于模板導(dǎo)數(shù)組合的新型間斷探測(cè)器,能夠自主識(shí)別光滑與間斷區(qū)域,并以此為依據(jù)構(gòu)造了混合WCNS格式,分別采用耗散水平相適應(yīng)的線性與非線性格式求解,可用于模擬雙曲守恒律問(wèn)題,實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)確高效的激波捕捉。

通過(guò)一系列波形識(shí)別與一維、二維Euler方程算例,對(duì)比了不同探測(cè)器的間斷識(shí)別能力,以及它們對(duì)應(yīng)混合格式的特性。結(jié)果表明新型探測(cè)器具有不弱于常用間斷探測(cè)器的識(shí)別能力,能兼顧計(jì)算的分辨率與魯棒性,而且在識(shí)別和求解階段的效率較高,更是優(yōu)于在全場(chǎng)使用特征插值的原始WCNS格式,是混合格式設(shè)計(jì)中值得推廣的方法。后續(xù)研究將針對(duì)間斷探測(cè)器更深層機(jī)理,并采用更全面的算例展開(kāi)。