徐文光，麥 鴚，楊開明，幸響云，譚建所，王洪亮

（1.云南錫業(yè)錫化工材料有限責(zé)任公司，云南蒙自 661019；2.昆明理工大學(xué)民航與航空學(xué)院，云南昆明 650504）

0 引 言

在工業(yè)溫度控制中，PID（比例-積分-微分）控制器是一種廣泛應(yīng)用的控制策略，它在調(diào)節(jié)系統(tǒng)中具有重要的地位。然而，PID 參數(shù)的選擇通常需要經(jīng)驗(yàn)和實(shí)驗(yàn)，因?yàn)樗鼈兪艿较到y(tǒng)的復(fù)雜性、動(dòng)態(tài)性質(zhì)以及外部干擾的影響，然而在使用經(jīng)典的Z-N 法進(jìn)行PID 參數(shù)整定時(shí)很難得出最優(yōu)的PID 參數(shù)。近年來新型智能算法層出不窮，如粒子群優(yōu)化算法[1]、鯨魚優(yōu)化算法[2]、灰狼算法[3]、海鷗優(yōu)化算法[4]等，因其各自的特性運(yùn)用于各類優(yōu)化問題中。眾多學(xué)者針對這項(xiàng)問題，提出使用優(yōu)化算法對PID 參數(shù)進(jìn)行整定，例如，文獻(xiàn)[5]提出基于改進(jìn)SOA 算法對PID 參數(shù)進(jìn)行自整定，其改進(jìn)的控制系統(tǒng)相較于傳統(tǒng)控制算法有更加良好的控制性能；文獻(xiàn)[6]提出基于PPO 的自適應(yīng)PID 控制算法，并通過驗(yàn)證表明，在遇到擾動(dòng)已經(jīng)震蕩的情況下相較于傳統(tǒng)的PID 算法有著更加平緩的控制過程；文獻(xiàn)[7]將深度強(qiáng)化學(xué)習(xí)TD3 引入到PID 參數(shù)整定中，該算法通過神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能夠取得更優(yōu)的控制策略，有效提升了控制器的動(dòng)態(tài)響應(yīng)性能和魯棒性；文獻(xiàn)[8]設(shè)計(jì)了基于Markov 參數(shù)自整定的單神經(jīng)元自適應(yīng)PID 迭代學(xué)習(xí)控制策略，有效提高了控制器對溫度的精確跟蹤。

鯨魚優(yōu)化算法（Whale Optimization Algorithm, WOA）是2016 年由澳大利亞學(xué)者M(jìn)irjalili 和Lewis 提出的新型群智能優(yōu)化算法[9]。WOA 與其他算法對比具有參數(shù)少、易實(shí)現(xiàn)、穩(wěn)定性高等優(yōu)點(diǎn)，目前已有眾多學(xué)者對該算法做出了改進(jìn)，例如文獻(xiàn)[10]引入反向震蕩變異策略改進(jìn)WOA 算法的位置更新策略，增加了算法的全局搜索能力；文獻(xiàn)[11]將PSO 算法引入到WOA 算法，減小了算法陷入局部最優(yōu)的情況；文獻(xiàn)[12]提出將多維度變異學(xué)習(xí)機(jī)制引入對種群進(jìn)行變異操作，擴(kuò)大了算法的搜索范圍；文獻(xiàn)[13]將黃金正弦算法引用到WOA 的位置更新策略中，加快了算法的收斂速度以及求解精度。

盡管WOA 在優(yōu)化問題上表現(xiàn)出色，其性能在PID控制器整定中的應(yīng)用仍然需要進(jìn)一步改進(jìn)。本文針對這一問題提出了一種改進(jìn)的WOA 算法，通過引入非線性收斂因子和正余弦擾動(dòng)因子以提高算法在PID 控制器參數(shù)整定中的性能表現(xiàn)。通過化工反應(yīng)中常見的溫度PID 控制器優(yōu)化問題的仿真實(shí)驗(yàn)對比結(jié)果表明，IWOA 算法的優(yōu)勢明顯。

1 基本鯨魚優(yōu)化算法原理

鯨魚優(yōu)化算法是模仿座頭鯨的狩獵行為進(jìn)而提出的一種新型啟發(fā)式優(yōu)化算法。在WOA 算法中，每一只座頭鯨在空間中的位置都代表一個(gè)算法的解，根據(jù)座頭鯨的狩獵策略，其狩獵行為主要分為包圍、狩獵、搜索獵物三個(gè)步驟。其在包圍時(shí)的數(shù)學(xué)模型如公式（1）、公式（2）所示：

式中：D為獵物與黑猩猩之間的距離；t為當(dāng)前迭代次數(shù)；A、C為系數(shù)向量；XP為獵物的位置向量；XC為黑猩猩的位置向量。A和C向量分別由式（3）和式（4）表示為：

式中：r1和r2是取值為[0,1]的隨機(jī)數(shù)；參數(shù)A為[-2a,2a]之間的隨機(jī)變量，a為線性衰減因子，數(shù)值大小隨迭代次數(shù)的增加由2 線性衰減到0，如式（5）所示：

式中：t為當(dāng)前迭代次數(shù)；T為最大迭代次數(shù)。

座頭鯨種群在進(jìn)行狩獵行為時(shí)，是以螺旋式運(yùn)動(dòng)方式朝獵物接近，其進(jìn)行狩獵時(shí)的數(shù)學(xué)模型公式如式（6）所示：

式中：XP(t)為當(dāng)前位置的種群最優(yōu)位置；b為螺旋線形狀調(diào)節(jié)參數(shù)；l為[-1,1]間的隨機(jī)數(shù)；DP為座頭鯨與獵物之間的距離，即：

在原始鯨魚優(yōu)化算法中，為了解決在求解高維問題時(shí)容易陷入局部最優(yōu)以及收斂過慢的問題，采用隨機(jī)收縮包圍機(jī)制和更新種群位置的機(jī)制，其數(shù)學(xué)模型如公式（7）所示：

式中μ為[0,1]之間的隨機(jī)數(shù)，該數(shù)學(xué)模型表示有β的概率選擇使用收縮包圍機(jī)制更新位置，有1 -β的概率選擇使用螺旋模型更新種群的位置。

在座頭鯨搜索獵物時(shí)，所采用的數(shù)學(xué)模型如下所示：

在此數(shù)學(xué)模型中，Xrand(t)表示隨機(jī)確定的座頭鯨位置向量，為了加強(qiáng)算法的偵察能力，在該算法中規(guī)定，當(dāng)A＞1 時(shí)隨機(jī)選擇一個(gè)座頭鯨的位置作為引導(dǎo)來更新種群位置，以此使得整個(gè)種群偏離當(dāng)前獵物位置，以便找到更加合適的獵物。

2 改進(jìn)鯨魚優(yōu)化算法

2.1 改進(jìn)收斂因子

在WOA 算法中其全局偵察以及局部開發(fā)能力由A決定，而A數(shù)值的大小由收斂因子a決定，而在原算法中收斂因子a是由最大值到最小值線性減小的，該變化方式不利于對算法的全局偵察以及局部開發(fā)能力的權(quán)衡。因此，本文根據(jù)WOA 算法中各個(gè)鯨魚種群的特點(diǎn)，為保證算法前期迭代過程中對于種群的大范圍搜索能力以及在迭代后期對于全局最優(yōu)解求解效果的均衡性，提出非線性收斂因子的改進(jìn)方案。WOA 算法中收斂因子公式如式（10）所示：

非線性收斂因子與原算法中線性收斂因子的比較如圖1 所示。

圖1 線性收斂因子與非線性收斂因子曲線圖

2.2 引入正余弦擾動(dòng)因子改進(jìn)位置更新策略

在標(biāo)準(zhǔn)的鯨魚優(yōu)化算法中，每個(gè)座頭鯨的位置主要根據(jù)每次迭代進(jìn)行更新，但當(dāng)陷入局部最優(yōu)時(shí)，會(huì)導(dǎo)致大量的種群聚集在這片區(qū)域中，使得算法無法搜索更多區(qū)域外的空間。為了避免這種現(xiàn)象的發(fā)生，本文提出將正余弦擾動(dòng)因子引入到位置更新策略中，通過加入擾動(dòng)的情況，加強(qiáng)算法跳出局部空間的能力，提高了算法的勘察能力，避免陷入局部最優(yōu)的情況。其正余弦擾動(dòng)因子的迭代曲線如圖2 所示。

圖2 正余弦擾動(dòng)因子分布圖

利用正余弦因子隨著迭代動(dòng)態(tài)變化的不確定性，對座頭鯨種群在進(jìn)行位置更新時(shí)產(chǎn)生不同程度的擾動(dòng)，使得座頭鯨種群在進(jìn)行位置更新時(shí)能夠在更加寬闊的空間內(nèi)進(jìn)行搜索，擴(kuò)大了種群的搜索范圍，也避免了過多座頭鯨種群集中搜索導(dǎo)致局部最優(yōu)的情況。其中正余弦擾動(dòng)因子的數(shù)學(xué)模型如公式（11）所示：

式中：r3、r4為[0,1]之間的隨機(jī)數(shù)；λ為擾動(dòng)因子控制參數(shù)。

引入正余弦擾動(dòng)因子后，鯨魚優(yōu)化算法的位置更新公式如式（12）～式（14）所示：

2.3 IWOA 算法

改進(jìn)引入非線性收斂因子和正余弦擾動(dòng)因子的WOA 算法的具體執(zhí)行步驟如圖3 所示。

圖3 IWOA 算法流程圖

3 反應(yīng)釜溫度系統(tǒng)控制模型

本文利用WOA 算法優(yōu)化PID 控制器中的比例系數(shù)Kp、積分系數(shù)Ki、微分系數(shù)Kd，3 個(gè)參數(shù)使系統(tǒng)達(dá)到最佳的控制效果，基本框圖如圖4 所示。

圖4 IWOA 自整定PID 參數(shù)原理圖

本文為將控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)調(diào)節(jié)至滿意值，通過對控制系統(tǒng)階躍響應(yīng)的反饋信號采集得出偏差信號，取其絕對值與時(shí)間乘積的積分（ITAE）作為算法的適應(yīng)度函數(shù)，數(shù)學(xué)模型為其中，e(t)為反饋誤差信號。

4 控制系統(tǒng)仿真與分析

由于大部分工業(yè)溫度控制系統(tǒng)是復(fù)雜的高階且?guī)в醒舆t的系統(tǒng)，許多系統(tǒng)常常被近似為一階慣性和二階振蕩的典型疊加系統(tǒng)。在本文中為測試改進(jìn)算法的性能，選擇文獻(xiàn)中二階慣性帶有純延遲的系統(tǒng)作為被控對象，通過Matlab 模擬進(jìn)行PID 整定仿真。該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：

設(shè)改進(jìn)WOA 算法的種群規(guī)模為50，迭代次數(shù)為30，Kp、Ki、Kd參數(shù)的搜索值域?yàn)閇0，10]，設(shè)置單位階躍輸入作為信號輸入，采樣間隔為5×10-2，仿真時(shí)間為10 s。其仿真結(jié)果與Z-N 整定算法、PSO 算法、WOA 算法的對比圖如圖5 所示，性能參數(shù)如表1 所示。

表1 算法性能參數(shù)對比

圖5 算法對比圖

對圖5 和表1 分析得知：在使用Z-N 整定算法時(shí)，超調(diào)量最大，且為5.15%，調(diào)節(jié)時(shí)間為2 s；使用PSO 算法時(shí)，超調(diào)量為2.84%，調(diào)節(jié)時(shí)間最短，為1.69 s；使用WOA 算法進(jìn)行PID 整定時(shí)，其響應(yīng)曲線的超調(diào)量為2.13%，調(diào)節(jié)時(shí)間為1.76 s；在使用IWOA 算法進(jìn)行PID整定時(shí)，其響應(yīng)曲線超調(diào)量最小且僅為0.15%，調(diào)節(jié)時(shí)間為1.86 s。

5 結(jié) 語

通過仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果得知，本文提出的IWOA 算法相比其他算法進(jìn)行PID 整定時(shí)，能夠以更小的超調(diào)量以及犧牲較少的調(diào)節(jié)時(shí)間達(dá)到預(yù)期的控制效果，說明在IWOA 算法下的快速性以及穩(wěn)定性相對更好，對于控制工程中高階且?guī)в蟹蔷€性延遲環(huán)節(jié)的系統(tǒng)相比其余算法有著更好的性能效果。

注：本文通訊作者為王洪亮。