李默之 朱文峰 王順超

摘要 ： 針對(duì)鋁合金車(chē)身更嚴(yán)格的外觀精度要求，提出一種面向車(chē)身尺寸偏差的滾輪位姿補(bǔ)償方法。首先對(duì)尺寸偏差區(qū)間與胎模邊線進(jìn)行等距離散，得到尺寸偏差矩陣；然后基于Frenet標(biāo)架與齊次坐標(biāo)變換將尺寸偏差映射為滾輪位姿，得到滾輪位姿偏差矩陣；最后將滾輪位姿補(bǔ)償量轉(zhuǎn)化為滾輪位姿偏差矩陣行編號(hào)的調(diào)整量，得到補(bǔ)償后的滾輪位姿。其中，滾輪位姿偏差矩陣由胎模曲面/曲線方程、滾輪傾角，以及FEM-SPH有限元仿真獲得的尺寸偏差與TCP-RTP值的量化模型決定。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，滾輪位姿補(bǔ)償后的車(chē)身尺寸偏差平均值由0.32 mm降至0.14 mm。

關(guān)鍵詞 ：滾壓成形；偏差；工藝補(bǔ)償；折邊膠

中圖分類號(hào) ：U463.82

DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2024.02.021

開(kāi)放科學(xué)（資源服務(wù)）標(biāo)識(shí)碼（OSID）：

Roller Pose Compensation in Automotive Body Roll-hemming Forming

Process with Adhesive for Dimensional Deviation

LI Mozhi ZHU Wenfeng WANG Shunchao

School of Mechanical Engineering，Tongji University，Shanghai，201804

Abstract ： In order to meet the stricter requirements for appearance accuracy of aluminum alloy automotive bodies， a roller pose compensation method was proposed for the dimensional deviation of automotive bodies. The dimensional deviation matrix was obtained by equidistant discretization of the dimensional deviation interval and the die edge. Based on the Frenet scale frame and Cartesian coordinate transformation， the dimensional deviation was mapped to the roller pose， and the deviation matrix of roller pose was obtained. The roller pose compensation amount was converted into the adjustment amount of the row number of the deviation matrix of roller pose， and the compensated roller pose was obtained. Among them， the deviation matrix of roller pose was determined by the surface/curve equation of die， the roller angle and the quantization model of dimensional deviation and the value of tool center point-robot target point（TCP-RTP）. The quantization model of dimensional deviation and the value of TCP-RTP was obtained by finite element simulation of finite element method-smoothed particle hydrodynamics. The results show that the average value of the dimensional deviation is reduced from 0.32mm to 0.14mm after the roller pose compensation.

Key words ： roller forming； deviation； technological compensation； hemming adhesive

0 引言

鋁合金車(chē)身是影響車(chē)輛外觀的重要部件，有著極高的外觀與裝配精度要求，部分整車(chē)廠對(duì)鋁合金車(chē)身的外觀與裝配精度要求達(dá)到0.01mm。機(jī)器人含膠滾邊即在車(chē)身內(nèi)外板間涂覆折邊膠，利用工業(yè)機(jī)器人驅(qū)動(dòng)滾輪，按照預(yù)定的位姿與軌跡實(shí)現(xiàn)車(chē)身內(nèi)外板的連接，是車(chē)身制造的重要工藝 ?［1-3］ 。車(chē)身尺寸偏差不可避免，傳統(tǒng)滾邊工藝中，滾輪位姿與軌跡無(wú)法根據(jù)車(chē)身尺寸偏差調(diào)整。滾邊工藝中，內(nèi)外板的劇烈擠壓會(huì)導(dǎo)致折邊膠（高黏度的非牛頓流體）產(chǎn)生壓黏效應(yīng) ?［4］ 。上述兩個(gè)因素導(dǎo)致現(xiàn)有的滾邊方法難以使車(chē)身外觀與裝配精度進(jìn)一步提高。因此，考慮車(chē)身尺寸偏差的含膠滾邊滾輪的位姿補(bǔ)償研究具有良好的理論意義與工程應(yīng)用背景。

在折邊膠與滾邊工藝參數(shù)對(duì)車(chē)身尺寸偏差影響研究中，LIN等 ?［5］ 研究了鋁合金薄板在包邊成形工藝中的成形性能，分析了包邊工藝參數(shù)對(duì)成形性能的影響。GRGEN ?［6］ 研究了板材厚度、彎曲角度、滾輪直徑等工藝參數(shù)對(duì)曲面零件縮進(jìn)脹出、變形、波浪起皺和滾邊力的影響。李建軍等 ?［7］ 使用FEM-SPH（finite element method-smoothed particle hydrodynamics）方法建立了車(chē)身含膠滾邊工藝仿真模型，研究了折邊膠對(duì)滾邊工藝成形質(zhì)量的影響。滾輪軌跡求解的研究中，文獻(xiàn)［8-10］研究了車(chē)身門(mén)蓋件曲面/曲邊的含膠滾邊工藝，通過(guò)微分幾何計(jì)算出理論滾輪位姿與軌跡，并對(duì)滾邊過(guò)程進(jìn)行了數(shù)值仿真。軌跡規(guī)劃與控制研究中，文獻(xiàn)［11-13］研究了機(jī)器人軌跡精度對(duì)噴涂、除銹等領(lǐng)域的加工誤差的影響，并提出了提高軌跡精度的控制方法。綜上所述，目前對(duì)車(chē)身含膠滾邊工藝的研究主要集中在成形質(zhì)量影響因素的分析及滾邊精確軌跡的求解，缺乏對(duì)縮減車(chē)身尺寸偏差的研究。同時(shí)，滾輪位姿體現(xiàn)了滾輪與胎模間的相對(duì)位置關(guān)系，決定著車(chē)身尺寸偏差的大小。因此，需要建立面向尺寸偏差的滾輪位姿補(bǔ)償模型與方法。

為此，本文基于FEM-SPH方法對(duì)含膠滾邊工藝進(jìn)行數(shù)值仿真，定量分析滾邊工藝參數(shù)TCP-RTP（tool center point-robot target point）值對(duì)車(chē)身尺寸偏差的影響，建立尺寸偏差與TCP-RTP值的量化模型；以尺寸偏差與TCP-RTP值的量化模型、胎模曲面/曲線方程、滾輪傾角為輸入量，基于Frenet標(biāo)架與齊次坐標(biāo)變換理論，建立表征車(chē)身尺寸偏差與滾輪位姿對(duì)應(yīng)關(guān)系的滾輪位姿偏差矩陣模型，并根據(jù)尺寸偏差確定滾輪位姿補(bǔ)償量；搭建機(jī)器人滾邊實(shí)驗(yàn)平臺(tái)來(lái)驗(yàn)證尺寸偏差與TCP-RTP值的量化模型的準(zhǔn)確性，以及滾輪位姿補(bǔ)償方法對(duì)縮減車(chē)身尺寸偏差的有效性。

1 面向車(chē)身尺寸偏差的滾輪位姿補(bǔ)償 方法

1.1 車(chē)身尺寸偏差與TCP-RTP值的定義

理想狀況下，車(chē)身邊緣與胎模邊線在胎模曲面的法向重合。車(chē)身邊緣偏離胎模曲面法線時(shí)，車(chē)身將產(chǎn)生尺寸偏差。車(chē)身邊緣向外偏離胎模曲面法線造成的尺寸偏差為上偏差， 并規(guī)定偏差值為正；車(chē)身邊緣向內(nèi)偏離胎模曲面法線造成的尺寸偏差為下偏差，并規(guī)定偏差值為負(fù)，如圖1所示。

滾輪母線距胎模邊線的垂直距離 l 稱為T(mén)CP-RTP值，其中，機(jī)器人的工具中心點(diǎn)（tool center point，TCP）位于滾輪母線上，機(jī)器人目標(biāo)點(diǎn)（robot target point，RTP）位于胎模邊線上，將滾輪軸線與胎模曲面法線的夾角θ定義為滾輪傾角，如圖2所示。RTP、TCP-RTP值與滾輪傾角共同決定了滾輪與胎模間的相對(duì)位置關(guān)系。

1.2 滾輪位姿補(bǔ)償方法

滾輪是機(jī)器人含膠滾邊工藝中的重要執(zhí)行工具，在滾輪位姿中引入車(chē)身尺寸偏差是確定滾輪位姿補(bǔ)償量的前提。首先，將車(chē)身尺寸偏差區(qū)間與胎模邊線進(jìn)行等距離散，得到車(chē)身尺寸偏差矩陣 δ 。圖3中，i為尺寸偏差離散編號(hào)，j為 RTP 離散編號(hào)，δ′為相鄰離散尺寸偏差的間距。其次，求解車(chē)身尺寸偏差矩陣中所有元素所對(duì)應(yīng)的滾輪位姿，得到滾輪位姿偏差矩陣 G 。

車(chē)身尺寸偏差與滾輪位姿偏差矩陣的對(duì)應(yīng)關(guān)系如圖4所示。

此時(shí)，滾輪位姿偏差矩陣 G 的行向量表示某一離散尺寸偏差下的滾輪軌跡，列向量表示某一離散機(jī)器人目標(biāo)點(diǎn)處各離散尺寸偏差所對(duì)應(yīng)的滾輪位姿。

基于滾輪位姿偏差矩陣給出滾輪位姿的補(bǔ)償方法：①由于滾輪位姿偏差矩陣與尺寸偏差矩陣中的元素相互對(duì)應(yīng)，因此可通過(guò)尺寸偏差確定當(dāng)前滾輪的位姿；②再將滾輪位姿的補(bǔ)償量轉(zhuǎn)換為滾輪位姿偏差矩陣行編號(hào)的調(diào)整量，從而得到補(bǔ)償后的滾輪位姿。

如圖5所示，當(dāng)滾輪運(yùn)行到點(diǎn)j處時(shí)，對(duì)點(diǎn) j-1 處的尺寸偏差δ ?i，j-1 進(jìn)行測(cè)量。由于尺寸偏差矩陣與滾輪位姿偏差矩陣的元素相互對(duì)應(yīng)，故可得到j(luò)-1處的滾輪位姿G ?i，j-1 。

尺寸偏差區(qū)間是等距離散的，根據(jù)點(diǎn)j-1處的尺寸偏差δ ?i，j-1 與相鄰離散尺寸偏差的間距δ′可以獲得滾輪位姿偏差矩陣行編號(hào)的調(diào)整量 Δ i：

Δ i=－ δ ?i，j－1 ?δ′ ??（1）

最終，在點(diǎn)j+1處輸入補(bǔ)償后的滾輪位姿G ?i+ Δ i，j+1 。

2 滾輪位姿偏差矩陣的推導(dǎo)

滾輪位姿偏差矩陣是滾輪位姿補(bǔ)償?shù)囊罁?jù)，本節(jié)將對(duì)滾輪位姿偏差矩陣進(jìn)行數(shù)學(xué)建模。

2.1 基于Frenet標(biāo)架的機(jī)器人目標(biāo)點(diǎn)位姿

給定胎模曲面方程 S = S （u，v），胎模邊緣曲線方程 C = C （u（t），v（t））= C （t）。O點(diǎn)是胎模邊線上任意 RTP ，如圖6所示。機(jī)器人目標(biāo)點(diǎn)的位姿 B （t）由機(jī)器人目標(biāo)點(diǎn)的姿態(tài)與位置共同組成?；?Frenet 標(biāo)架理論可得機(jī)器人目標(biāo)點(diǎn)的姿態(tài)：

α （t）= ?C ′（t） | C ′（t）|

γ （t）= ?n （t） | n （t）|

β （t）= γ （t）× α （t）

n （t）=［ S ?u（u，v）× S ?v（u，v）］| ?u=u（t），v=v（t） ???（2）

式中， C ′（t）為曲線 C 的切向量； n （t）為曲面 S 的法向量； α （t）為曲線 C 的單位切向量； γ （t）為曲面 S 的單位法向量； S ??u （u，v）、 S ??v （u，v）分別為曲面 S 在（u（t），v（t））點(diǎn)對(duì)參數(shù)u、v的偏導(dǎo)數(shù)。

任意 RTP 的姿態(tài) R （t）可表示為

R （t）=（α（t），β（t），γ（t）） ?（3）

RTP 的位置為

P （t）=（c x（t），c y（t），c z（t）） ?T ??（4）

式中，c x（t）、c y（t）、c z（t）分別為曲線 C 在X、Y、Z方向的參數(shù)方程。

機(jī)器人目標(biāo)點(diǎn)的位姿 B （t）可表示為

B （t）= ??R （t） ?P （t） 0 ?1 ???（5）

2.2 滾輪位姿偏差矩陣模型

滾輪位姿 G 由胎模曲面法線與滾輪軸線的交點(diǎn)O 1的位置與姿態(tài)組成，由機(jī)器人目標(biāo)點(diǎn)位姿 B （t）通過(guò)齊次坐標(biāo)變換得到，如圖7所示。

如圖8所示，機(jī)器人目標(biāo)點(diǎn)首先由O點(diǎn)平移至O 1點(diǎn)，平移矢量為

D （θ，l）=（0，0， l+r ?cos ?θ ） ?T ??（6）

式中，r為滾輪半徑。

接著，機(jī)器人目標(biāo)點(diǎn)以O(shè) 1點(diǎn)為原點(diǎn)，繞平移后O 1點(diǎn)的單位向量 α ′（t）逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90 ° -θ，旋轉(zhuǎn)矩陣 R ?α（θ）可表示為

R ?α（θ）= ?1 0 0 0 ?sin ?θ ?cos ?θ 0 - cos ?θ ?sin θ ???（7）

含膠滾邊過(guò)程中， TCP-RTP 值影響車(chē)身尺寸偏差，同時(shí)，車(chē)身尺寸偏差也會(huì)反映 TCP-RTP 值的大小。車(chē)身尺寸偏差δ與 TCP-RTP 值l的量化模型為

l=f（δ） ?（8）

由式（6）～式（8）可得機(jī)器人目標(biāo)點(diǎn)位姿 B （t）與滾輪位姿 G 間的齊次坐標(biāo)變換矩陣：

T （θ，δ）= ??R ?α（θ） ?D （θ，δ） 0 ?1 ???（9）

由式（5）、式（9）可得滾輪位姿：

G = T （θ， δ） B （t） ?（10）

車(chē)身尺寸偏差區(qū)間與胎模邊線等距離散（前者離散成一個(gè)個(gè)尺寸偏差，后者離散成一個(gè)個(gè)機(jī)器人目標(biāo)點(diǎn)，如圖4所示）后，可得滾輪位姿矩陣：

G ?ij =T（θ， δ ?ij ）B（t j）=T ?ij B j ?（11）

3 滾輪位姿偏差矩陣求解

3.1 車(chē)身尺寸偏差與TCP-RTP值的量化模型

車(chē)身含膠滾邊過(guò)程中，胎模曲面、曲線方程與滾輪傾角都已確定，此時(shí)，得到車(chē)身尺寸偏差與TCP-RTP值的量化模型，便可求解滾輪位姿偏差矩陣。改變TCP-RTP值，進(jìn)行多組車(chē)身含膠滾邊有限元仿真并對(duì)尺寸偏差進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，最終獲得車(chē)身尺寸偏差與TCP-RTP值的量化模型。

鋁合金車(chē)門(mén)是典型的車(chē)身部件，因此選擇鋁合金車(chē)門(mén)窗框段作為仿真對(duì)象。滾輪傾角為90°，胎模的曲面、曲線方程為

S （u，v）=（u，v，0）

C （t）=（t，－5.666 57×10 ?－6 t 3－

2.523 32×10 ?－4 t 2+3.95×10 ?－3 t，0） ??（12）

u∈［0，150］ mm ??v∈［-100，100］ mm

t∈［0，150］ mm

光滑粒子流體動(dòng)力學(xué)（smoothed particle hydrodynamics，SPH） 法是一種無(wú)網(wǎng)格的有限元仿真方法。相比于傳統(tǒng)的Lagrange法，SPH法更適合求解折邊膠在板材擠壓作用下的非線性與大變形問(wèn)題。因此，采用FEM-SPH法對(duì)鋁合金車(chē)門(mén)窗框段含膠滾邊工藝進(jìn)行有限元仿真 ?［7］ 。車(chē)門(mén)窗框段外板采用型號(hào)AA6061-T4的鋁合金，采用FEM劃分網(wǎng)格；采用SPH法將折邊膠（陶氏BETAMATETM）設(shè)置為光滑流體動(dòng)力學(xué)粒子；滾輪、胎模與內(nèi)板使用剛度較大的不銹鋼， 三者的變形可忽略，因此設(shè)置為剛體。車(chē)身含膠滾邊仿真步驟如圖9所示。模型的主要參數(shù)如表1所示。

為折邊膠保留必要的流道，將TCP-RTP值的起始值設(shè)為2.9 mm，每隔0.1 mm進(jìn)行一組仿真。統(tǒng)計(jì)離散機(jī)器人目標(biāo)點(diǎn)處的尺寸偏差，如圖10所示，可以看出，隨著TCP-RTP值的增大，車(chē)門(mén)窗框段的尺寸偏差逐漸從上偏差過(guò)渡到下偏差。同時(shí)，將 l 為3.4 mm時(shí)的最小下尺寸偏差 與 l 為2.9 mm時(shí)的最大上尺寸偏差作為車(chē)門(mén)窗框段的尺寸偏差區(qū)間的左右端點(diǎn)。

相同TCP-RTP下，有/無(wú)折邊膠的仿真結(jié)果如圖11所示，可以看出，有折邊膠車(chē)身的最大應(yīng)力與尺寸偏差都明顯較大，說(shuō)明折邊膠的壓黏效應(yīng)對(duì)車(chē)身尺寸偏差的影響不可忽略。

為建立TCP-RTP值與尺寸偏差間的量化模型，在仿真模型上均勻取5個(gè)采樣點(diǎn)，統(tǒng)計(jì)各采樣點(diǎn)處不同TCP-RTP值對(duì)應(yīng)的尺寸偏差。將各采樣點(diǎn)處的尺寸偏差 δ 與TCP-RTP值進(jìn)行直線擬合，直線擬合的決定系數(shù) R ?2均在0.99附近，如圖12所示。因此，車(chē)門(mén)窗框段的尺寸偏差與TCP-RTP的量化模型可表示為

l ?ij =f（δ ?ij ）=k jδ ?ij +b j ?（13）

式中，k j、b j為線性擬合參數(shù)。

3.2 滾輪位姿偏差矩陣求解軟件

滾輪位姿偏差矩陣求解涉及大量復(fù)雜的矩陣與微分幾何運(yùn)算，因此依據(jù)滾輪位姿偏差矩陣建模流程，開(kāi)發(fā)了滾輪位姿偏差矩陣計(jì)算軟件工具，實(shí)現(xiàn)滾輪位姿偏差矩陣快速準(zhǔn)確的求解。圖13所示為滾輪位姿偏差矩陣計(jì)算軟件框架。

使用MATLAB語(yǔ)言進(jìn)行尺寸偏差與TCP-RTP值仿真數(shù)據(jù)的線性擬合、胎模曲面/曲線的Frenet標(biāo)架計(jì)算、齊次坐標(biāo)變換矩陣的構(gòu)建，最終實(shí)現(xiàn)滾輪位姿偏差矩陣的解算。使用AppDesigner創(chuàng)建軟件界面，將輸入量與輸出量分塊布置，便于人機(jī)交互。圖14所示為滾輪位姿偏差矩陣計(jì)算軟件工具界面。

當(dāng)前研究側(cè)重于分析滾輪位姿補(bǔ)償對(duì)縮減車(chē)身尺寸偏差的有效性，僅以車(chē)身局部輪廓為樣本進(jìn)行含膠滾邊的有限元仿真，仿真結(jié)果的數(shù)據(jù)規(guī)模較小。因此，使用軟件工具前需要采用手工方式將尺寸偏差與TCP-RTP值的有限元仿真數(shù)據(jù)保存為EXCEL文件。使用軟件工具時(shí)，有限元仿真數(shù)據(jù)的EXCEL文件、滾輪傾角、離散數(shù)目與胎模曲面/曲線方程為輸入量。運(yùn)行軟件工具后，軟件工具輸出相應(yīng)的滾輪位姿偏差矩陣。實(shí)際工業(yè)應(yīng)用中，可在現(xiàn)有滾輪位姿偏差矩陣求解算法的基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)更多軟件功能的擴(kuò)充。

4 含膠滾邊滾輪位姿補(bǔ)償實(shí)驗(yàn)

為驗(yàn)證上述滾輪位姿補(bǔ)償方法的有效性，對(duì)車(chē)身窗框段進(jìn)行滾輪位姿補(bǔ)償實(shí)驗(yàn)，如圖15所示，滾邊機(jī)器人為庫(kù)卡KR600。尺寸偏差由固定在滾輪直桿上的高清攝像機(jī)檢測(cè)，精度為0.02 mm。補(bǔ)償后的滾輪位姿通過(guò)示教盤(pán)輸入滾邊機(jī)器人。

將采用滾輪位姿補(bǔ)償方法的實(shí)驗(yàn)樣件稱為補(bǔ)償件，將不采用滾輪位姿補(bǔ)償方法的實(shí)驗(yàn)樣件稱為對(duì)照件。為直觀比較補(bǔ)償件與對(duì)照件的尺寸偏差，將胎模邊緣涂紅，如圖16所示。

使用游標(biāo)卡尺（精度為0.01 mm）對(duì)尺寸偏差進(jìn)行測(cè)量，測(cè)量結(jié)果如圖17所示。

設(shè)置對(duì)照件的TCP-RTP值為3.4 mm，對(duì)照件的尺寸偏差與相同TCP-RTP值下有限元仿真得到的尺寸偏差吻合，證明了仿真結(jié)果的準(zhǔn)確性。

補(bǔ)償件的尺寸偏差決定了滾輪位姿的補(bǔ)償量。離散機(jī)器人目標(biāo)點(diǎn)編號(hào)為1～6時(shí)，補(bǔ)償件的初始尺寸偏差絕對(duì)值較大，滾輪位姿具有較大的補(bǔ)償量，因此這一階段補(bǔ)償件的尺寸偏差絕對(duì)值迅速縮減。離散機(jī)器人目標(biāo)點(diǎn)編號(hào)為6～13時(shí)，補(bǔ)償件的尺寸偏差絕對(duì)值縮減到了0.2 mm以內(nèi)，滾輪位姿的補(bǔ)償量減小，這一階段補(bǔ)償件的尺寸偏差絕對(duì)值振蕩減小。離散機(jī)器人目標(biāo)點(diǎn)編號(hào)為13～21時(shí)，補(bǔ)償件的尺寸偏差絕對(duì)值進(jìn)一步減小，滾輪位姿的補(bǔ)償量也進(jìn)一步減小，補(bǔ)償件的尺寸偏差絕對(duì)值最終穩(wěn)定在了0.1 mm以內(nèi)。

對(duì)照件尺寸偏差絕對(duì)值的平均值為0.32 mm， 補(bǔ)充件尺寸偏差絕對(duì)值的平均值為0.14 mm，說(shuō)明本文提出的滾輪位姿補(bǔ)償方法有效。

5 結(jié)論

（1）滾輪位姿偏差矩陣是滾輪位姿補(bǔ)償?shù)囊罁?jù)與前提。

（2）滾輪位姿偏差矩陣由胎模曲面/曲線方程、滾輪傾角、尺寸偏差與TCP-RTP值的量化模型決定。

（3）車(chē)門(mén)窗框段尺寸偏差與TCP-RTP值的量化模型可用直線擬合，且隨著TCP-RTP值的增大，車(chē)門(mén)窗框段尺寸偏差逐步由上偏差過(guò)渡到下偏差。

（4）實(shí)驗(yàn)表明，車(chē)門(mén)窗框段尺寸偏差的實(shí)驗(yàn)值與FEM-SPH仿真值吻合；滾輪位姿補(bǔ)償后，車(chē)門(mén)窗框段尺寸偏差平均數(shù)值由0.32 mm降至0.14 mm。

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（ 編輯 張 洋 ）

作者簡(jiǎn)介 ：

李默之 ，男，1999年生，碩士研究生。研究方向?yàn)檐?chē)身薄板含膠成型制造。發(fā)表論文1篇。E-mail：limozhi@#edu.cn。

朱文峰 （通信作者），男，1976年生，教授、博士研究生導(dǎo)師。研究方向?yàn)閿?shù)字化設(shè)計(jì)與制造、智能制造。發(fā)表論文38篇。E-mail：zhuwenfeng@#edu.cn。