陳國材，汪雪良，2，楊華偉，2，蔣鎮(zhèn)濤，2，張 濤，2，張 正

（1.中國船舶科學(xué)研究中心，江蘇無錫 214082；2.深海技術(shù)科學(xué)太湖實(shí)驗(yàn)室，江蘇無錫 214082；3.武漢理工大學(xué)，武漢 430070）

0 引 言

船舶在長(zhǎng)期服役過程中，遭受風(fēng)、浪、流多種復(fù)雜載荷的作用，極易發(fā)生結(jié)構(gòu)疲勞損傷，從而導(dǎo)致船體安全性能下降，通過船體監(jiān)測(cè)系統(tǒng)能夠感知船舶結(jié)構(gòu)自身安全，實(shí)現(xiàn)對(duì)船舶結(jié)構(gòu)健康狀態(tài)的把握[1]。應(yīng)變作為結(jié)構(gòu)最常采集的物理量之一，同時(shí)也是評(píng)價(jià)船體結(jié)構(gòu)健康狀態(tài)的重要依據(jù)，通常以實(shí)際的離散應(yīng)變測(cè)點(diǎn)為基礎(chǔ)，開展對(duì)結(jié)構(gòu)的全局應(yīng)變場(chǎng)構(gòu)建。目前，國內(nèi)外比較成熟的應(yīng)變場(chǎng)重構(gòu)方法有模態(tài)法[2-4]、Ko 等人提出的位移理論[5-6]、人工智能[7]和iFEM 法[8-9]等。模態(tài)法的核心思想是將結(jié)構(gòu)變形視為各階模態(tài)的線性組合，其重構(gòu)精度受模態(tài)分析精度影響較大；Ko 的位移理論是基于撓度曲線推導(dǎo)的，所以只適用于重構(gòu)單方向結(jié)構(gòu)變形[10]；人工智能的方法主要基于人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，變形重構(gòu)模型與被測(cè)物的材料屬性、結(jié)構(gòu)參數(shù)以及環(huán)境載荷的分布形式關(guān)聯(lián)性弱，具有較強(qiáng)的通用性，但其重構(gòu)位移的精確性嚴(yán)重依賴于訓(xùn)練網(wǎng)絡(luò)時(shí)所使用載荷集的豐富性[11]；iFEM 通過構(gòu)建實(shí)測(cè)應(yīng)變值與理論值之間的最小二乘誤差函數(shù)，結(jié)合形函數(shù)矩陣與幾何矩陣，組裝成結(jié)構(gòu)全局應(yīng)變場(chǎng)，iFEM 能擺脫傳統(tǒng)重構(gòu)方法的局限性，忽略結(jié)構(gòu)的材料屬性和受載荷情況，具有較高的工程應(yīng)用前景。自2003年Tessler[12]正式提出iFEM 的概念和理論以來，國內(nèi)外學(xué)者針對(duì)板、梁、殼等結(jié)構(gòu)開展了深入研究，并在機(jī)翼、船體等結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)，復(fù)合材料變形場(chǎng)重構(gòu)等領(lǐng)域進(jìn)一步驗(yàn)證了iFEM的魯棒性和可行性[13-14]。

重構(gòu)方法的精度通常正相關(guān)于應(yīng)變傳感器布置數(shù)量，但是實(shí)際工程應(yīng)用中無法通過布置大量傳感器來提升應(yīng)變場(chǎng)的重構(gòu)精度，主要有以下原因：一是特殊位置不滿足工程施工條件，如結(jié)構(gòu)角隅處等；二是傳感器數(shù)量的增加，將造成系統(tǒng)成本的上升和可靠性的下降。

面對(duì)重構(gòu)精度提升與降低傳感器數(shù)量的矛盾，本文提出以虛擬應(yīng)變傳感器和物理傳感器虛實(shí)結(jié)合的應(yīng)變采集方法。所謂虛擬應(yīng)變傳感器，是指利用數(shù)值分析方法給出結(jié)構(gòu)目標(biāo)位置在不同受載條件下的應(yīng)變響應(yīng)，以替代物理應(yīng)變傳感器的技術(shù)手段。在iFEM 技術(shù)框架下，通過對(duì)船舶結(jié)構(gòu)的典型組成單元加筋板布置虛擬應(yīng)變傳感器進(jìn)行應(yīng)變場(chǎng)重構(gòu)，可突破少量物理測(cè)點(diǎn)難以實(shí)現(xiàn)應(yīng)變場(chǎng)重構(gòu)的困境，為全船結(jié)構(gòu)應(yīng)變場(chǎng)重構(gòu)提供有效方法。

1 船舶加筋板應(yīng)變場(chǎng)重構(gòu)理論框架

在iFEM 技術(shù)框架下的應(yīng)變場(chǎng)構(gòu)建流程可概括為“兩支一主”，“兩支”為根據(jù)逆殼單元構(gòu)建單元理論應(yīng)變和根據(jù)物理模型采集的實(shí)測(cè)應(yīng)變，“一主”則是構(gòu)建關(guān)于單元節(jié)點(diǎn)位移的最小二乘誤差函數(shù)，對(duì)誤差函數(shù)求極值后，求得單元節(jié)點(diǎn)位移，再結(jié)合單元幾何矩陣組裝總體矩陣得到應(yīng)變場(chǎng)，簡(jiǎn)化求解流程，如圖1所示。

圖1 iFEM求解流程Fig.1 Solution process of iFEM

為了適應(yīng)不同的結(jié)構(gòu)形式和物理模型，需要構(gòu)建不同的逆向單元，由于加筋板模型是應(yīng)變呈線性變化的板殼結(jié)構(gòu)，并考慮剪切變形對(duì)結(jié)構(gòu)的影響，故采用iQS4 作為逆殼單元和Mindlin 板理論進(jìn)行應(yīng)變場(chǎng)重構(gòu)[15]。如圖2所示建立一個(gè)板單元的局部坐標(biāo)系（x,y,z），坐標(biāo)原點(diǎn)位于板單元的中性面形心處。u、v和w分別是該局部坐標(biāo)系下x、y和z方向的位移，θx、θy和θz分別為繞x、y和z軸方向的轉(zhuǎn)角。單元厚度為2h，點(diǎn)1、2、3、4分別為單元的4個(gè)節(jié)點(diǎn)。

圖2 四節(jié)點(diǎn)逆殼單元iQS4Fig.2 Four-node inverse shell unit iQS4

圖3 通過iQS4內(nèi)的應(yīng)變花測(cè)量的離散表面應(yīng)變Fig.3 Discrete surface strain measured by strain flower in iQS4 element

式中：u0、v0和w0分別表示節(jié)點(diǎn)在x,y,z方向上的位移；θx0和θy0表示中線面上一點(diǎn)繞x軸和y軸方向旋轉(zhuǎn)的角度，其中z方向的位移w沿板厚方向基本不變，z∈[-h,+h]。

根據(jù)求解流程及有限元理論，四節(jié)點(diǎn)單元的形函數(shù)如式（2），單元的每個(gè)節(jié)點(diǎn)可表示為式（3）：

則四節(jié)點(diǎn)單元位移矩陣可表示為

根據(jù)線彈性理論，加筋板結(jié)構(gòu)某單元的理論應(yīng)變可大致分為面內(nèi)的拉壓應(yīng)變e(ue)、彎曲應(yīng)變k(ue)、剪切應(yīng)變s(ue)的線性組合，分別如式（5）～（7）所示。

另外，可通過形函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)矩陣建立起理論應(yīng)變與單元節(jié)點(diǎn)位移矩陣的關(guān)系，即加筋板結(jié)構(gòu)的表面應(yīng)變?chǔ)舃可以用四節(jié)點(diǎn)逆殼單元形函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)矩陣Bm、Bk與單元節(jié)點(diǎn)位移矩陣ue表示為

同樣，橫向剪切應(yīng)變?chǔ)舠也可以表示為四節(jié)點(diǎn)逆殼單元形函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)矩陣Bs與單元節(jié)點(diǎn)位移矩陣ue的乘積，

形函數(shù)偏導(dǎo)矩陣Bm、Bk、Bs的詳細(xì)計(jì)算過程及原理見文獻(xiàn)[8]。

構(gòu)建實(shí)測(cè)應(yīng)變與理論應(yīng)變之間的最小二乘誤差函數(shù)，然后求誤差函數(shù)對(duì)單元節(jié)點(diǎn)位移的偏導(dǎo)，當(dāng)誤差函數(shù)為0時(shí)，取得理論上該單元各節(jié)點(diǎn)的位移值，并認(rèn)為此時(shí)的單元各節(jié)點(diǎn)位移分布對(duì)應(yīng)此時(shí)實(shí)測(cè)應(yīng)變狀態(tài)下的實(shí)際位移分布。

式中，e(ue)、k(ue)、s(ue)是由中性面位移場(chǎng)表示的單元理論拉壓、彎曲、剪切應(yīng)變；ec、kc、sc是通過仿真試驗(yàn)或者應(yīng)變片測(cè)量得到表面應(yīng)變信息推導(dǎo)得到的中性面的拉壓、彎曲、剪切應(yīng)變；we、wk、ws為無量綱加權(quán)系數(shù)，與各截面應(yīng)變相關(guān)，控制著理論中性面應(yīng)變與實(shí)際中性面應(yīng)變的強(qiáng)弱關(guān)系。如果通過應(yīng)變片或者光纖光柵測(cè)量的表面應(yīng)變信息，可以得到所有單元的中性面應(yīng)變ec、kc和sc，那么加權(quán)系數(shù)可取we=wk=ws=1，對(duì)于缺失實(shí)際中性面應(yīng)變的情況，如上述中的剪切應(yīng)變，可以通過調(diào)整對(duì)應(yīng)的系數(shù)來控制結(jié)果的精度以及合理性[10，16]。經(jīng)過對(duì)加筋板某板構(gòu)造及材質(zhì)的綜合分析，取ws=λ=10-3，其中0<λ≤1，λ為罰參數(shù)[16]。

式中，Ae是板單元內(nèi)的面積，n為單元內(nèi)傳感器的數(shù)量。

對(duì)誤差函數(shù)φe(ue)求關(guān)于位移向量ue的偏導(dǎo)，并令偏導(dǎo)等于零，求得誤差函數(shù)φe(ue)的極小值。

整理上式可得

與有限單元法的單元?jiǎng)偠确匠填愃疲街校簁e為單元?jiǎng)偠染仃?，fe為單元載荷矩陣。

矩陣ke由矩陣Bm、Bk、Bs及其對(duì)應(yīng)的加權(quán)系數(shù)we、wk、ws確定，由于we=wk=1，ws=λ=10-3，具體形式如下：

矩陣fe與矩陣Bm、Bk、Bs及其對(duì)應(yīng)的加權(quán)系數(shù)we、wk、ws以及應(yīng)變傳感器數(shù)量n、單元板厚h有關(guān)，由于we=wk=1，ws=λ=10-3，具體形式如下：

組裝單元矩陣構(gòu)建整體矩陣，通過坐標(biāo)變換矩陣，可將單元在局部坐標(biāo)系下的剛度矩陣方程轉(zhuǎn)化為在全局坐標(biāo)系下的剛度矩陣方程，進(jìn)而將離散結(jié)構(gòu)的剛度矩陣方程進(jìn)行整合，得到總體結(jié)構(gòu)的總體剛度矩陣方程，此過程類似于有限元思想[14]。

具體求法與形式如下：

式中，K是總體剛度矩陣，與結(jié)構(gòu)離散的單元位置和數(shù)量有關(guān)，nel是結(jié)構(gòu)離散的單元數(shù)量；U是總體結(jié)構(gòu)位移向量；F是總體載荷矩陣，與結(jié)構(gòu)離散的單元中面應(yīng)變有關(guān)；Te為坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣。而k矩陣是一個(gè)對(duì)稱矩陣，與應(yīng)變測(cè)量值無關(guān)，與應(yīng)變測(cè)量點(diǎn)所在逆向單元的單元節(jié)點(diǎn)位置和應(yīng)變測(cè)量點(diǎn)位置有關(guān)，再結(jié)合單元邊界條件，系數(shù)矩陣k將簡(jiǎn)化為一個(gè)正定矩陣，求逆后可得到單元節(jié)點(diǎn)的全局位移U。

在忽略板單元的剪切變形的情況下，利用單元的形函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)矩陣與單元節(jié)點(diǎn)位移矩陣，加筋板結(jié)構(gòu)表面應(yīng)變可表示為

如計(jì)入板單元的結(jié)構(gòu)剪切應(yīng)變，可根據(jù)剪切應(yīng)變與拉壓應(yīng)變的關(guān)系，合理取罰參數(shù)λ，得到

同樣可以經(jīng)過對(duì)離散應(yīng)變單元的組裝后得到全局應(yīng)變?chǔ)拧?/p>

2 模型分析與試驗(yàn)

2.1 加筋板幾何參數(shù)和材料屬性

加筋板作為船體結(jié)構(gòu)中的主要構(gòu)件，在保證船體結(jié)構(gòu)強(qiáng)度和剛度的情況下可大幅減輕鋼材用量。本文中加筋板模型采用低溫船用鋼設(shè)計(jì)，板面以下為“九縱四橫”結(jié)構(gòu)，即9 根縱骨，4 根橫梁，板面以上布置肋板（如圖4所示）。詳細(xì)尺寸及材料屬性見表1。

表1 加筋板幾何參數(shù)和材料屬性Tab.1 Geometric parameters and material properties of stiffened plates

圖4 加筋板模型Fig.4 Stiffened plate model

2.2 數(shù)值仿真

加筋板以Abaqus 有限元軟件進(jìn)行建模，板、肋板、固定邊采用殼單元建模，縱骨橫梁采用梁?jiǎn)卧?，共?3 518個(gè)單元、71 002個(gè)節(jié)點(diǎn)，單元均為四邊形單元，即為逆殼單元iQS4（如圖5所示）。

圖5 加筋板有限元模型Fig.5 Finite element model of stiffened plate

為了模擬船舶甲板發(fā)生中垂時(shí)船舶甲板的載荷響應(yīng)，試驗(yàn)時(shí)采用一端固定，一端加載，固定端邊界條件為U1=U2=U3=UR1=UR2=UR3=0，加載端邊界條件為U2=U3=UR1=UR2=UR3=0，如圖6所示。

圖6 加筋板加載示意圖Fig.6 Schematic diagram of stiffened plate loading

2.3 模型試驗(yàn)研究

加筋板模型充分考慮了船舶上層甲板建筑物及工程實(shí)際，在加筋板邊緣布置傳感器，以模擬船舶左右舷甲板列板。試驗(yàn)共布置6 個(gè)單向應(yīng)變片、3 個(gè)電阻傳感器和3 個(gè)光纖傳感器，本文內(nèi)容僅用到6 個(gè)單向應(yīng)變片，E1、A1、E3、A2 距最近的固定邊15 cm，E2、E4位于加筋板長(zhǎng)度方向的對(duì)稱線上，所有測(cè)點(diǎn)均距加筋板邊緣2 cm，加筋板試驗(yàn)?zāi)Ｐ腿鐖D7所示。

圖7 加筋板模型試驗(yàn)Fig.7 Stiffened plate model test

試驗(yàn)過程中，不可避免地存在應(yīng)變片粘貼位置不夠精確、粘貼工藝不完全相同等狀況。以應(yīng)變片粘貼最終位置為準(zhǔn)，在有限元模型中選取相對(duì)應(yīng)位置的單元，使數(shù)值仿真與試驗(yàn)保持一致，如圖8 所示。實(shí)測(cè)點(diǎn)與有限元單元號(hào)對(duì)應(yīng)表如表2所示。

表2 實(shí)測(cè)點(diǎn)與單元號(hào)對(duì)應(yīng)表Tab.2 Measuring points and corresponding unit numbers

圖8 加筋板測(cè)點(diǎn)布置示意圖Fig.8 Schematic diagram of measuring point arrangement of stiffened plate

試驗(yàn)過程中，先以100 kN為階梯加載至1400 kN后，再以200 kN為階梯加載至2000 kN，如此加載重復(fù)兩次，應(yīng)變數(shù)據(jù)基本吻合，工況如表3所示。

表3 加筋板加載工況Tab.3 Loading condition of stiffened plate

由于物理測(cè)點(diǎn)有限，基于有限測(cè)點(diǎn)難以開展高精度應(yīng)變場(chǎng)重構(gòu)工作，針對(duì)以上困境開展了Xgboost和虛實(shí)結(jié)合兩種數(shù)據(jù)補(bǔ)充方法的研究。

3 實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)分析與處理

將相同位置應(yīng)變值的實(shí)測(cè)結(jié)果與仿真結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，并作誤差曲線，如圖9 所示。E1 點(diǎn)誤差較大，其它測(cè)點(diǎn)趨勢(shì)相同，6個(gè)測(cè)點(diǎn)均隨著載荷增大，誤差逐漸減小。E2點(diǎn)實(shí)測(cè)值和仿真值最為接近，除起始工況外，其它工況誤差值保持在1.5%～6.7%之間。A1 點(diǎn)和E1 點(diǎn)、E2 點(diǎn)和E4 點(diǎn)、A2 點(diǎn)和E3 點(diǎn)兩兩形成對(duì)照，實(shí)測(cè)值均有一定差異。另外，實(shí)測(cè)應(yīng)變初始值基本不為零，原因有以下幾點(diǎn)：一是加筋板在加工過程中存在焊縫不均勻，板內(nèi)存有內(nèi)應(yīng)力等；二是加載過程存在載荷分布不均勻，導(dǎo)致對(duì)應(yīng)點(diǎn)應(yīng)變值偏差；三是施工工藝不穩(wěn)定或存在零點(diǎn)漂移，當(dāng)載荷為零時(shí)，5 個(gè)測(cè)點(diǎn)出現(xiàn)非零值；四是環(huán)境因素，試驗(yàn)室中的溫度變化，其它機(jī)械振動(dòng)等因素也會(huì)對(duì)應(yīng)變采集系統(tǒng)產(chǎn)生影響[17]。綜合實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)分析，試驗(yàn)值和仿真值數(shù)據(jù)較為接近，此次試驗(yàn)仿真值具有較高參考價(jià)值。

圖9 加筋板試驗(yàn)、仿真載荷-軸向應(yīng)變圖Fig.9 Test and simulation load-axial strain diagram of stiffened plate

4 虛實(shí)結(jié)合思路及驗(yàn)證研究

由于此次軸向壓縮最大加載為2000 kN，軸向應(yīng)變值最大，此工況下最接近結(jié)構(gòu)的破壞狀態(tài)，且具有較高的工程研究意義，故對(duì)該載荷作用下的軸向應(yīng)變場(chǎng)進(jìn)行重構(gòu)研究，對(duì)6個(gè)測(cè)點(diǎn)位置分析后，分為4個(gè)反演點(diǎn)、2個(gè)驗(yàn)證點(diǎn)，如表4所示。

表4 測(cè)點(diǎn)分類Tab.4 Classification of measuring points

將板面按照物理區(qū)域劃分為反演點(diǎn)區(qū)域和驗(yàn)證點(diǎn)區(qū)域，兩者沿加筋板板面對(duì)角線對(duì)稱，反演點(diǎn)區(qū)域包含4個(gè)反演點(diǎn)，驗(yàn)證點(diǎn)區(qū)域包含2個(gè)驗(yàn)證點(diǎn)，如圖10所示。

圖10 反演點(diǎn)、實(shí)測(cè)點(diǎn)分布圖Fig.10 Distribution of inversion points and measured points

基于iFEM 框架，用實(shí)測(cè)點(diǎn)、虛擬點(diǎn)、虛實(shí)結(jié)合點(diǎn)三種路徑分別對(duì)加筋板進(jìn)行應(yīng)變場(chǎng)構(gòu)建，并用E1點(diǎn)、E2 點(diǎn)進(jìn)行精度驗(yàn)證，由于iFEM 法需要測(cè)點(diǎn)上下表面的三向應(yīng)變，其它方向應(yīng)變由仿真中的虛擬應(yīng)變傳感器提供補(bǔ)充數(shù)據(jù)，流程如圖11所示。在實(shí)測(cè)點(diǎn)反演路徑中，僅使用4個(gè)反演點(diǎn)進(jìn)行應(yīng)變場(chǎng)構(gòu)建，另外采用Xgboost 的回歸方法對(duì)實(shí)測(cè)點(diǎn)進(jìn)行補(bǔ)充，驗(yàn)證并對(duì)比三種方法的精度。在虛擬點(diǎn)反演路徑中，使用有限元仿真值進(jìn)行反演，在虛實(shí)結(jié)合路徑中，以4 個(gè)實(shí)測(cè)點(diǎn)補(bǔ)充部分虛擬點(diǎn)再進(jìn)行反演并構(gòu)建加筋板應(yīng)變場(chǎng)。

圖11 虛實(shí)結(jié)合方法驗(yàn)證路徑Fig.11 Verification path of virtual-real combination method

4.1 15個(gè)重構(gòu)點(diǎn)

以15個(gè)測(cè)點(diǎn)為輸入（I），iFEM 重構(gòu)值（O）與輸入的軸向應(yīng)變誤差曲線如圖12所示，實(shí)測(cè)、虛擬、虛實(shí)結(jié)合3種路徑的平均誤差（δ）分別為1.82%、1.09%和1.8%，驗(yàn)證點(diǎn)E1和E2的相對(duì)誤差見表5。

表5 15個(gè)重構(gòu)點(diǎn)相對(duì)誤差Tab.5 Relative errors of 15 reconstruction points

圖12 15個(gè)點(diǎn)I-O-δ圖Fig.12 I-O-δ of 15 points

依據(jù)實(shí)測(cè)點(diǎn)、虛擬點(diǎn)、虛實(shí)結(jié)合點(diǎn)3種路徑構(gòu)建實(shí)測(cè)應(yīng)變場(chǎng)和重構(gòu)應(yīng)變場(chǎng)，如圖13所示，圖中（a）、（b）、（c）分別為3種路徑構(gòu)建的實(shí)測(cè)應(yīng)變場(chǎng)，（d）、（e）、（f）分別為3種路徑的重構(gòu)應(yīng)變場(chǎng)。

圖13 15個(gè)點(diǎn)應(yīng)變?cè)茍D及iFEM應(yīng)變重構(gòu)云圖Fig.13 Strain nephogram and iFEM strain reconstruction nephogram of 15 points

4.2 21個(gè)重構(gòu)點(diǎn)

以21個(gè)測(cè)點(diǎn)為輸入，iFEM 重構(gòu)值與輸入的軸向應(yīng)變誤差曲線如圖14所示，實(shí)測(cè)、虛擬、虛實(shí)結(jié)合3種路徑的平均誤差（δ）分別為0.47%、2.1%和2.11%，驗(yàn)證點(diǎn)E1和E2的相對(duì)誤差見表6。

表6 21個(gè)重構(gòu)點(diǎn)相對(duì)誤差Tab.6 Relative errors of 21 reconstruction points

圖14 21個(gè)點(diǎn)I-O-δ圖Fig.14 I-O-δ diagram of 21 points

依據(jù)實(shí)測(cè)點(diǎn)、虛擬點(diǎn)、虛實(shí)結(jié)合點(diǎn)3種路徑構(gòu)建實(shí)測(cè)應(yīng)變場(chǎng)和重構(gòu)應(yīng)變場(chǎng)，如圖15所示，圖中（a）、（b）、（c）分別為3種路徑構(gòu)建的實(shí)測(cè)應(yīng)變場(chǎng)，（d）、（e）、（f）分別為3種路徑的重構(gòu)應(yīng)變場(chǎng)。

圖15 21個(gè)點(diǎn)應(yīng)變?cè)茍D及iFEM應(yīng)變重構(gòu)云圖Fig.15 Strain nephogram and iFEM strain reconstruction nephogram of 21 points

5 應(yīng)變場(chǎng)構(gòu)建精度影響因素評(píng)估

應(yīng)變場(chǎng)構(gòu)建精度的影響因素諸多，有可定量分析因素，如輸入點(diǎn)的真實(shí)度和數(shù)量等，有可定性分析因素，如模型加工工藝、試驗(yàn)加載方式、數(shù)據(jù)采集技術(shù)、環(huán)境因素等[18]。通過改變定量物理因素和完善優(yōu)化相關(guān)的定性因素可以更好地評(píng)估應(yīng)變場(chǎng)重構(gòu)精度。

5.1 Xgboost回歸方法分析

Xgboost（extreme gradient boosting）方法的原理是建立一個(gè)新的決策樹模型，該模型正在學(xué)習(xí)一個(gè)新的函數(shù)來擬合上次迭代預(yù)測(cè)的殘差。將所有二分樹模型的回歸值相加，得到最終的回歸結(jié)果（如圖16所示）。本研究中，通過設(shè)置二分樹的最大深度來限制收斂準(zhǔn)則。

圖16 Xgboost回歸法Fig.16 Xgboost regression method

Xgboost預(yù)測(cè)殘差的目標(biāo)函數(shù)由損失函數(shù)和正則化項(xiàng)組成，正則化項(xiàng)為

式中，l(yi,y?i)為損失函數(shù)，Ω(fk)為正則化項(xiàng)，yi為樣本，y?i為yi的預(yù)測(cè)結(jié)果，在本研究中，損失函數(shù)為線性函數(shù)，如式（28）所示：

在Xgboost 回歸方法中，隨機(jī)選取16、21、30、40、41、…、48、49、50 個(gè)點(diǎn)應(yīng)變數(shù)據(jù)，依次放入200 kN數(shù)據(jù)庫中，以仿真值為基準(zhǔn)，插值21個(gè)點(diǎn)的應(yīng)變。圖17為軸向應(yīng)變?cè)诟鞔尾逯抵械奈呛隙惹€，在數(shù)據(jù)庫中，有47 個(gè)點(diǎn)時(shí)對(duì)應(yīng)的插值結(jié)果與仿真值誤差最小，最小誤差為1.92%；當(dāng)測(cè)點(diǎn)超過47 個(gè)點(diǎn)時(shí)其誤差再次變大，出現(xiàn)過擬合現(xiàn)象。

圖17 軸向應(yīng)變吻合度曲線Fig.17 Coincidence cure of axial strain data

在此次加筋板模型中，Xgboost回歸方法以仿真與實(shí)測(cè)值相互補(bǔ)充建立數(shù)據(jù)庫，同樣基于此方法，在模型試驗(yàn)時(shí)隨機(jī)物理測(cè)點(diǎn)為47 個(gè)時(shí)，插值誤差最小，為1.92%，應(yīng)變場(chǎng)重構(gòu)結(jié)果最佳。數(shù)據(jù)量豐盈度與插值精度曲線如圖18所示。

5.2 測(cè)點(diǎn)數(shù)量分析

對(duì)此模型9、15、21個(gè)測(cè)點(diǎn)的情況分別進(jìn)行了分析研究。通過虛實(shí)結(jié)合路徑，以9個(gè)測(cè)點(diǎn)構(gòu)建的結(jié)果與驗(yàn)證點(diǎn)E1、E2 的相對(duì)誤差分別為-2.68%、-4.50%，由于軸向單元?jiǎng)澐謪^(qū)域大，且模型邊界復(fù)雜，重構(gòu)應(yīng)變場(chǎng)與實(shí)際應(yīng)變場(chǎng)差距大，本文未做詳細(xì)分析。以15個(gè)測(cè)點(diǎn)構(gòu)建的結(jié)果與驗(yàn)證點(diǎn)E1、E2誤差分別為2.23%、0.56%。以21個(gè)測(cè)點(diǎn)構(gòu)建的結(jié)果，與E1、E2驗(yàn)證點(diǎn)誤差則分別為1.62%、-2.13%。實(shí)測(cè)和虛擬路徑的重構(gòu)相對(duì)誤差如表7所示。

由表可見，虛實(shí)結(jié)合路徑中以15個(gè)點(diǎn)和21個(gè)點(diǎn)為輸入時(shí)，其結(jié)果與驗(yàn)證點(diǎn)的誤差均小于3%。根據(jù)應(yīng)變場(chǎng)重構(gòu)結(jié)果圖12和圖14，測(cè)點(diǎn)為21個(gè)點(diǎn)時(shí)通過虛實(shí)結(jié)合路徑構(gòu)建的應(yīng)變場(chǎng)與實(shí)測(cè)值構(gòu)建的應(yīng)變場(chǎng)更為吻合。

6 結(jié) 論

本文基于iFEM 框架以船舶典型結(jié)構(gòu)加筋板為研究對(duì)象，在其邊緣布置傳感器，融入虛實(shí)結(jié)合思想并結(jié)合Xgboost 回歸方法，通過對(duì)加筋板模型的數(shù)值仿真和加載試驗(yàn)，解決了同步提升重構(gòu)精度與降低物理傳感器數(shù)量的工程難點(diǎn)，并對(duì)試驗(yàn)過程中可能造成重構(gòu)應(yīng)變場(chǎng)精度的因素進(jìn)行了分析。通過研究得出以下結(jié)論：

（1）Xgboost 回歸方法對(duì)于補(bǔ)充實(shí)測(cè)點(diǎn)具有較高的精確性和實(shí)用性，在此模型中，通過預(yù)測(cè)，當(dāng)物理測(cè)點(diǎn)達(dá)到30個(gè)時(shí)插值結(jié)果的平均誤差降到2.25%，物理測(cè)點(diǎn)達(dá)到47個(gè)時(shí)平均誤差最低，為1.92%。

（2）通過虛實(shí)結(jié)合路徑快速補(bǔ)充缺失數(shù)據(jù)的應(yīng)變場(chǎng)重構(gòu)結(jié)果操作性強(qiáng)、準(zhǔn)確度高，以15個(gè)點(diǎn)和21個(gè)點(diǎn)為輸入時(shí)結(jié)果與驗(yàn)證點(diǎn)的誤差均小于3%。

（3）本文針對(duì)加筋板結(jié)構(gòu)提供了一套完整的應(yīng)變場(chǎng)重構(gòu)方案，對(duì)于相似的板架結(jié)構(gòu)具有一定的參考價(jià)值，同時(shí)虛實(shí)結(jié)合路徑的驗(yàn)證也為工程應(yīng)用提供了有效支撐。