李傳可 林南省 周鮮鮮 江淼 李英駿?

1) (中國礦業(yè)大學(xué)(北京),隧道工程災(zāi)變防控與智能建養(yǎng)全國重點實驗室,北京 100083)

2) (中國礦業(yè)大學(xué)(北京)理學(xué)院,北京 100083)

3) (安徽財經(jīng)大學(xué)管理科學(xué)與工程學(xué)院,蚌埠 233030)

在強電磁場下真空產(chǎn)生正負(fù)電子對的研究中,多場的組合扮演重要的角色.本文運用計算量子場論方法在全時空數(shù)值求解狄拉克方程,研究了兩個空間分離的局域化振蕩電場擊穿真空產(chǎn)生正負(fù)電子對的過程.結(jié)果表明通過選取合適的場參數(shù),兩場的相互作用可以顯著增強正負(fù)電子對的產(chǎn)生.兩場的相互作用使產(chǎn)生正負(fù)電子對的動量分布曲線出現(xiàn)了周期性的振蕩,并導(dǎo)致了非對稱的多光子躍遷過程.通過含時微擾理論分析得出,正負(fù)電子對的動量分布的周期性振蕩可由電場寬度、電場頻率和兩場間距共同決定.兩場間距能夠改變正負(fù)電子對動量分布的變化周期,隨著兩場間距的增大,產(chǎn)生正負(fù)電子對的動量(能量)的單一性得到優(yōu)化;電場寬度不僅影響正負(fù)電子對動量分布的峰谷高度差,還會改變其在動量空間峰值的展寬;根據(jù)能量守恒定律,電場頻率的增大使得產(chǎn)生粒子對的動量隨之變大.因此,通過選擇合適電場參數(shù)可以抑制或加強特定動量分布的正負(fù)電子對,這為今后的實驗設(shè)計提供了重要的理論指導(dǎo).

1 引言

量子電動力學(xué)(QED)在理論上精準(zhǔn)地預(yù)測了真空在超強電磁場的作用下會衰變產(chǎn)生正負(fù)電子對[1,2].早期開創(chuàng)性的研究可追溯到Sauter[3]以及Heisenberg 和Euler[4]的研究.1951年,Schwinger[5]使用固有時的方法計算了均勻靜電場下真空中正負(fù)電子對的產(chǎn)生率w ∝exp(-Ec/E),Ec表示真空產(chǎn)生正負(fù)電子對所需的臨界電場強度,Ec=1.32×1018V/m;E表示外加電場的強度.因此,將真空通過量子隧穿產(chǎn)生正負(fù)電子對的過程稱為Schwinger 機制或Schwinger 效應(yīng).1970年,Brezin以及Itzykson[6]利用Wentzel-Kramers-Brillouin(WKB)近似的方法將真空產(chǎn)生正負(fù)電子對的研究擴展到隨時間變化的空間均勻電場,并發(fā)現(xiàn)了基于多光子躍遷的正負(fù)電子對產(chǎn)生過程.除了上述方法外,世界線瞬子方法[7–9]、量子Vlasov 方程(QVE)[10–13]、Dirac-Heisenberg-Wigner (DHW)形式[14–19]和計算量子場論(CQFT)[20–33]等方法被廣泛應(yīng)用于正負(fù)電子對產(chǎn)生的研究.此外,研究者們對不同方法之間的關(guān)系進行了探討,因為它不僅可以相互驗證彼此的結(jié)果,而且有助于從不同角度理解他們的結(jié)果.例如,Dumlu[34]在標(biāo)量QED 和旋量QED 中證明了QVE 與半經(jīng)典散射方法的等價性.Hebenstreit 等[14]發(fā)現(xiàn)旋量QED 中的Wigner 函數(shù)可以簡化為具有單分量且空間均勻的含時電場的QVE.Li 等[35]將上述結(jié)果推廣到標(biāo)量QED,并發(fā)現(xiàn)此時電場可以有3 個分量.Li 等[36]從理論上證明了對于空間均勻的電場CQFT 等價于QVE.

近年來,隨著激光技術(shù)的飛速發(fā)展[37],激光強度已經(jīng)達到1023W/cm2.并且更高強度的激光設(shè)施仍在建設(shè)中,如歐洲的極端光基礎(chǔ)設(shè)施[38].這極大地激發(fā)了人們對真空中產(chǎn)生正負(fù)電子對的研究熱情.實驗方面,人們通過高強度的激光與物質(zhì)相互作用產(chǎn)生γ光子,再利用產(chǎn)生的γ光子與激光光子相互作用,通過Breit-Wheeler 過程來產(chǎn)生正負(fù)電子對[39–44].但是這種通過兩步過程實現(xiàn)正負(fù)電子對產(chǎn)生的實驗設(shè)計,依然需要先與物質(zhì)相互作用.若僅有激光相互作用產(chǎn)生正負(fù)電子對所需要的激光強度[5]為1029W/cm2.目前最高的激光強度與之相比仍差幾個數(shù)量級.2008年,Schützhold 等[8]提出了一種動態(tài)輔助的Schwinger 機制,由一個強而緩慢變化的電場和一個弱而快速變化的電磁場相結(jié)合.動態(tài)輔助的Schwinger 機制顯著提高了正負(fù)電子對產(chǎn)生的概率,并導(dǎo)致正能連續(xù)態(tài)與Dirac海之間有效譜間隙的縮小.從極端光基礎(chǔ)設(shè)施的結(jié)構(gòu)特點出發(fā),提出了多脈沖同時聚焦于一點的方案[45–48].與單脈沖的情況相比,該方案使得實驗上觀測到真空產(chǎn)生正負(fù)電子對的閾值能量顯著降低.Jiang 等[21,24]設(shè)計了一個多場結(jié)構(gòu),通過將幾個局域的次臨界靜電場并排應(yīng)用,顯著降低了量子隧穿產(chǎn)生正負(fù)電子對的閾值.但是,兩個局域化的振蕩電場之間的相互作用如何影響正負(fù)電子對的產(chǎn)生有待進一步的研究.本文從兩個對撞激光脈沖所形成的駐波場出發(fā)構(gòu)建兩個局域化的時空不均勻的電場,并結(jié)合微擾理論分析了電場寬度、電場頻率以及電場間距對正負(fù)電子對產(chǎn)生過程的影響.研究結(jié)果可以為真空產(chǎn)生正負(fù)電子對的實驗研究提供理論指導(dǎo).

2 理論方法與模型

2.1 計算量子場論

采用計算量子場論的方法[20–33]研究極強電場下真空中正負(fù)電子對的產(chǎn)生過程,該方法可以在全空間和時間上數(shù)值求解狄拉克方程.由于單粒子的量子力學(xué)方程不足以描述粒子的產(chǎn)生和湮滅,在量子場論的框架下,引入含時的場算符.場算符隨時間的演化過程由海森伯運動方程描述,其中標(biāo)量場描述的一維哈密頓量H^=cσ1p+σ3c2+V(z,t),σ1和σ3為泡利矩陣,c為真空中的光速,V(z,t) 為外場對應(yīng)的勢能.除無特殊聲明外,將沿用原子單位制(?=m=e=1,c=137.036).將外加電場當(dāng)作經(jīng)典場,并忽略粒子之間的相互作用,因此這里海森伯方程等價于狄拉克方程:

本文采用的外場是沿z方向分布的,狄拉克方程的4 旋量波函數(shù)簡化成了2 旋量波函數(shù).對于自由哈密頓量H0=cσ1p+σ3c2,其本征態(tài)有up(z)(E≥c2)和un(z)(E≤–c2).那么,場算符可以表示為

式中,∥vac〉〉表示真空態(tài).這意味著,ρ(z,t) 表示電場突然關(guān)閉后產(chǎn)生的電子的空間分布.最后,對空間密度在全空間進行積分,得出每一時刻的粒子產(chǎn)生總數(shù):

式中,Upn(t) 表示時間演化矩陣,表示t時刻的負(fù)能量態(tài)un(z,t) 在自由正能量態(tài)up(z) 上的投影,對應(yīng)躍遷概率,即

產(chǎn)生電子的動量分布表達式為

利用能量和動量的關(guān)系E2=c4+c2p2可以得到產(chǎn)生電子的能量分布.最后,利用劈裂算符和快速傅里葉變換數(shù)值求解狄拉克方程,即可得到(5)式中的Upn(t),進而得到相關(guān)的可觀測量.

2.2 外場模型

采用兩個局域化的時空不均勻電場,兩個電場是空間分離的.電場用標(biāo)勢V(z,t) 表示,其表達式為

式中,電場的空間部分為

V1=V2是電勢的高度,W1=W2是電場的寬度,z0是電場的中心,d表示兩個電場中心的距離.電場寬度為激光脈沖的半高寬,為了使兩個電場在空間上是分離的,須滿足d>2W1.另外,ω 表示振蕩場的振蕩頻率.

2.3 一階含時微擾理論

為了深層次理解兩個振蕩場的相互作用對正負(fù)電子對產(chǎn)生過程的影響,本文采用一階含時微擾理論進行分析.首先,將哈密頓量分成兩部分:H=cσ1p+σ3c2+V(z,t)=H0+H′.其中,H0=cσ1p+σ3c2是自由哈密頓量,H′=V(z,t) 是微擾部分.對于自由哈密頓量,通過其狄拉克方程H0|Ψ〉=E|Ψ〉,解得正能量本征值Ep=負(fù)能量本征值En=本征值對應(yīng)的本征矢有:

式中,sgn(p)和sgn(n)分別表示動量p和動量n的符號.任意時刻t的一階微擾的躍遷幅值可以表示為

將標(biāo)勢(7)式和自由哈密頓量的本征函數(shù)(8)式代入(9)式并積分,可以得到:

式中,V0表示電場的高度且V0=V1=V2,W表示電場的寬度,W=W1=W2,p,n表示動量,Ep和En為相應(yīng)動量的能量,Apn是由(9)式的內(nèi)積項給出:

通過對所有p 態(tài)和n 態(tài)求和,可以得到正負(fù)電子對產(chǎn)生總數(shù)的一階微擾估計值:

產(chǎn)生正負(fù)電子對的動量分布,通過對所有n 態(tài)求和,可得

3 結(jié)果與討論

我們運用計算量子場理論和一階含時微擾理論研究了兩個振蕩場中正負(fù)電子對的產(chǎn)生.接下來將主要討論兩個振蕩場之間的相互作用對正負(fù)電子對產(chǎn)生的影響,以及電場寬度、電場頻率和兩場間距在正負(fù)電子對產(chǎn)生過程中所扮演的角色.

3.1 場間的相互作用對正負(fù)電子對產(chǎn)生的影響

通過多光子躍遷效應(yīng)產(chǎn)生的正負(fù)電子對,振蕩場的頻率ω 起決定性作用.由于所選的振蕩場頻率ω=2.5c2大于正負(fù)能級之間的能量間隙2c2,無論是單振蕩場還是雙振蕩場都以一個穩(wěn)定的速率產(chǎn)生正負(fù)電子對,如圖1 所示.其中兩場間距d=8/c,而電場寬度(激光脈沖的半高寬)W1=W2=3/c,能夠使電場的主要產(chǎn)生區(qū)域在空間上分離.通過對比計算量子場論結(jié)果和微擾結(jié)果可知兩者符合較好,最大相對誤差不超過4.02%.因此,微擾理論能夠很好地描述通過單光子躍遷產(chǎn)生正負(fù)電子對的過程(微擾理論的適用性將在附錄中進一步討論).并且兩種結(jié)果均以T/2 的周期在時間上振蕩,微擾理論的結(jié)果(12)式中的高頻振蕩項Ep–En+ω 是正負(fù)電子對的數(shù)量在時間上振蕩的原因.電場振蕩項sin(ωt)在一個周期內(nèi)會有向上和向下兩次取到最大振幅的過程,因此正負(fù)電子對的數(shù)量在時間上的振蕩周期為T/2.此外,還發(fā)現(xiàn)雙振蕩場產(chǎn)生的正負(fù)電子對數(shù)量超過了單振蕩場產(chǎn)生正負(fù)電子對數(shù)量的2 倍.兩場間的相互作用導(dǎo)致正負(fù)電子對產(chǎn)生數(shù)量的增加,說明雙振蕩場的正負(fù)電子對產(chǎn)生過程具有增益效應(yīng).

圖1 正負(fù)電子對數(shù)量隨時間的變化,實線和虛線分別表示計算量子場論的結(jié)果和一階含時微擾理論的結(jié)果,藍色線表示雙振蕩場產(chǎn)生的粒子對數(shù)量,黑色線表示單振蕩場產(chǎn)生的粒子對數(shù)量,紅色點線表示單振蕩場產(chǎn)生的粒子對數(shù)量的2倍,其 中V1=V2=0.75c2,W1=W2=3/c,d=8/c,ω=2.5c2,T=2π/ωFig.1.Time evolution of the electron-positron pairs,the results calculated by the computational quantum field theory and the first-order time-dependent perturbation theory are represented by the solid line and the dashed line,respectively.The electron-positron pairs created by double oscillating filed is represented by blue line,the electronpositron pairs created by single oscillating field is represented by black line,and the twice of the pairs created by single oscillating field is represented by the red dotted line.Here,V1=V2=0.75c2, W1=W2=3/c,d =8/c,ω=2.5c2,T =2π/ω.

為了進一步分析雙振蕩場正負(fù)電子對產(chǎn)生過程的增益效應(yīng),我們研究了產(chǎn)生的正負(fù)電子對的動量分布.利用微擾理論計算了20 個激光周期時所產(chǎn)生正負(fù)電子對的動量分布,如圖2 所示,發(fā)現(xiàn)與計算量子場論的結(jié)果符合得很好.可以看到,由于兩個場的相互作用,雙振蕩場產(chǎn)生粒子的動量分布在動量p=±103.7 附近的展寬變窄,有利于產(chǎn)生單一能量的正負(fù)電子對.另外,雙振蕩場產(chǎn)生粒子的動量分布曲線出現(xiàn)了振蕩,在動量p=±53.4和p=±138.2 處出現(xiàn)了新的峰值,在動量p=±69.1 和p=±128.8 處出現(xiàn)了新的谷值.這里,峰值與谷值對應(yīng)正負(fù)電子對動量分布的極值點.當(dāng)某一動量上的正負(fù)電子對數(shù)量是局部最大值時,定義為動量峰值;反之,定義為動量谷值.盡管計算量子場論和一階含時微擾理論的動量峰值強度在動量p=±53.4 和p=±138.2 處并未有明顯的差距(圖2),但兩者之間的相對誤差為4.17% (p=±53.4)和3.33% (p=±138.2),如表1 所列.然而在動量p=±103.7 處的計算量子場論和一階含時微擾理論的動量峰值強度差距較大(見圖2),但僅為7.41%,說明數(shù)值模擬與理論推導(dǎo)的較為吻合.

表1 計算量子場論與一階含時微擾理論的動量峰值強度誤差Table 1.Error of momentum peaks probability with the CQFT and the first-order time-dependent perturbation theory.

圖2 正負(fù)電子對的動量分布,實線和虛線分別表示計算量子場論的數(shù)值結(jié)果和一階含時微擾理論的結(jié)果.其中V1=V2=0.75c2,W1=W2=3/c,d=8/c,ω=2.5c2,t=20T=40π/ωFig.2.Momentum spectra of the created electron-positron pairs,the results calculated by CQFT and the first-order time-dependent perturbation theory are represented by the solid line and the dashed line,respectively.Here,V1=V2=0.75c2,W1=W2=3/c,d=8/c,ω=2.5c2,t=20T=40π/ω.

有趣的是,振蕩勢阱產(chǎn)生的正負(fù)電子對的動量分布也發(fā)現(xiàn)了相似的振蕩行為[23],其來源于微擾結(jié)果中sin2[(p+n)d/2]項.與之不同的是,本文的外場構(gòu)型為兩個空間分離的振蕩電場,通過微擾計算得到正負(fù)電子對的動量分布(13)式,發(fā)現(xiàn)兩個空間分離的振蕩場所產(chǎn)生正負(fù)電子對的動量分布被cos2[(p+n)d/2]調(diào)制.在數(shù)學(xué)上,cos2[(p+n)d/2]=sin2[(p+n)d/2+π/2],兩者相比僅差π/2 的相位.假設(shè)雙振蕩電場的相位差?從0 變換到π,外場結(jié)構(gòu)即從雙振蕩電場變換成了振蕩勢阱.那么,微擾理論中,cos2[(p+n)d/2]=sin2[(p+n)d/2+π/2],外場結(jié)構(gòu)的相位差也會影響正負(fù)電子對的動量分布.

另外,通過對比雙振蕩場和單振蕩場2 倍的動量分布(見圖2),由于兩個場的相互作用,在動量峰(p=±53.4,±103.7,±138.2)處雙振蕩場的產(chǎn)生粒子數(shù)大于單振蕩場的2倍,其中動量主峰(p=±103.7)處雙振蕩場的產(chǎn)生粒子數(shù)是單振蕩場的3.4倍,因此雙振蕩場的正負(fù)電子對產(chǎn)生過程具有增益效應(yīng).根據(jù)能量動量關(guān)系E2=c4+c2p2可以得到動量p=±103.7 對應(yīng)的能量為E=1.25c2.而振蕩場的頻率ω=2.5c2,根據(jù)能量守恒定律Ep=En+ω,負(fù)能態(tài)En=–1.25c2的電子吸收一個光子的能量躍遷到正能態(tài)Ep=1.25c2.這說明一階含時微擾理論給出的動量分布(13)式中的共振項Ep-En-ω表示產(chǎn)生過程.可以通過一階含時微擾理論很好地描述正負(fù)電子對的產(chǎn)生過程.

3.2 兩場間距對正負(fù)電子對產(chǎn)生的影響

通過研究不同場間距下產(chǎn)生的正負(fù)電子對數(shù)量隨時間的變化(圖3)發(fā)現(xiàn)隨著場間距的逐漸增加,正負(fù)電子對的產(chǎn)生數(shù)量會逐漸減少,最終趨于一個穩(wěn)定值.另外,當(dāng)場間距足夠大(例如d=11/c,14/c)時,與單振蕩場產(chǎn)生正電子對數(shù)量的2 倍相等,雙振蕩場的正負(fù)電子對數(shù)量的增益效應(yīng)隨著場間距的增大而減弱直至消失.

圖3 不同場間距d 下正負(fù)電子對數(shù)量隨時間的變化,實線和虛線分別表示計算量子場論的結(jié)果和一階含時微擾理論的結(jié)果.其中V1=V2=0.75c2,W1=W2=3/c,ω=2.5c2,T=2π/ωFig.3.Time evolution of the created electron-positron pairs for different distances between the two fields (d),the results calculated by CQFT and the first-order time-dependent perturbation theory are represented by the solid line and the dashed line,respectively.Here,V1=V2=0.75c2,W1=W2=3/c,ω=2.5c2,T=2π/ω.

假設(shè) (12) 式中 cos2[(p+n)d/2] 的(p+n)為常數(shù),那么隨著間距d的變化,正負(fù)電子對的產(chǎn)生數(shù)量應(yīng)為周期性變化.而研究結(jié)果表明無論是量子場論還是微擾理論,正負(fù)電子對的產(chǎn)生數(shù)量隨兩場間距d的變化都是單調(diào)的(圖3).如圖4 所示,隨著場間距d的增大,因為兩場的相互作用,動量主峰(p=±103.7 處)的產(chǎn)生數(shù)量減少,并且出現(xiàn)了更多的動量峰值和谷值,從而導(dǎo)致(p+n)無法作為常數(shù)考慮.這也是兩場的相互作用所導(dǎo)致的增益逐漸減小直至消失的原因.根據(jù)微擾理論,兩個電場的相互作用由cos2[(p+n)d/2]描述.如果當(dāng)場間距d較小且p+n≠ 0時,cos2[(p+n)d/2]的振蕩周期較大,那么正負(fù)電子對的在動量上的寬度相對較寬,如圖4 所示.同時,動量主峰(p=±103.7 處)附近的產(chǎn)生概率被大大加強,因此當(dāng)場間距較小時,正負(fù)電子對的產(chǎn)生數(shù)量也被相干增強.此外,改變兩場的間距d可以改變特定動量下的正負(fù)電子對產(chǎn)生率.例如,在動量p=±128.8 和p=±72.3處,d=8/c時為動 量谷值,而 當(dāng)d=14/c時為動量峰值;在動量p=±47.1處,d=8/c時為動量峰值,當(dāng)d=14/c時為動量谷值.可以利用這種機制抑制或加強相應(yīng)能量的粒子產(chǎn)生,從而產(chǎn)生單一化能量的正負(fù)電子對.

通過微擾理論,正負(fù)電子對的動量分布被cos2[(p+n)d/2]因子控制,隨著場間距d的變化,其動量分布的振蕩周期也會隨之改變.對于d=8/c,11/c,14/c,其動量分布的振蕩周期分別為53.8,39.1,30.7.計算量子場論的結(jié)果中(見圖4),場間距d=8/c,11/c,14/c的動量分布的振蕩周期分別為50.3,37.7,31.4,兩者符合較好.隨著場間距d的增大,正負(fù)電子對的動量分布的振蕩周期變小,雙振蕩場產(chǎn)生粒子的動量峰的展寬更窄,并且正負(fù)電子對的產(chǎn)生率幾乎沒有發(fā)生改變(見圖3),這為產(chǎn)生足夠多的單一能量的正負(fù)電子對提供了可能.由于正負(fù)電子對的動量分布的振蕩周期變小,出現(xiàn)了更多的動量峰值和谷值.但是,對于絕對值大于103.7 的動量峰值(當(dāng)d=8/c,11/c,14/c時,動量峰值分別為p=±138.2,±131.9,±128.8)并不符合cos2[(p+n)d/2]因子所給出的動量振蕩周期,即正負(fù)電子對的正(負(fù))動量分布并不是關(guān)于動量p=103.7(p=–103.7)對稱分布的.通過微擾理論計算,當(dāng)d=8/c,11/c,14/c時,動量峰值分別為p=±157.8,±143.1,±134.7,但這些動量處均未出現(xiàn)動量峰值,如圖4 所示.為了進一步分析正負(fù)電子對的動量分布曲線的不規(guī)則振蕩,根據(jù)能量動量關(guān)系Ep=,和En=,計算了每一動量峰值所對應(yīng)的能量.發(fā)現(xiàn)正負(fù)電子對的產(chǎn)生包含兩種過程: 對稱躍遷過程和非對稱躍遷過程.以d=8/c為例,根據(jù)能量守恒定律Ep=En+ω,對稱躍遷過程有1.25c2=(–1.25c2)+2.5c2,即負(fù)能態(tài)En=–1.25c2(n=±103.7)上的電子吸收一個光子的能量躍遷到正能態(tài)Ep=1.25c2(p=±103.7);而非對稱躍遷過程中,動量峰值p=±53.4 對應(yīng)的能量1.08c2,根據(jù)以上能量守恒關(guān)系,這些躍遷來自于能量為En=–1.42c2(n=±138.2)的負(fù)能態(tài).此外,負(fù)能態(tài)En=–1.08c2(n=±53.4)還可吸收一個光子躍遷到正能態(tài)Ep=1.42c2(p=±138.2),使得躍遷概率在p=±138.2 處出現(xiàn)峰值.最近研究發(fā)現(xiàn)造成非對稱躍遷的原因是外加電場的空間非均勻性[49].我們使用的雙振蕩電場之間存在相互作用,使得非對稱躍遷在某一動量下被加強或抑制,因此所產(chǎn)生正負(fù)電子對的動量分布出現(xiàn)了動量峰值(被加強)和動量谷值(被抑制).因此,動量p=±103.7 上電子來自于對稱躍遷過程,其他動量上的電子來自于非對稱躍遷過程.而動量p=±103.7 上電子數(shù)量遠大于其他動量,說明對稱躍遷過程更容易發(fā)生.

3.3 電場寬度對正負(fù)電子對產(chǎn)生的影響

我們所用的電場寬度一致,即W=W1=W2.隨著電場寬度W的增大,正負(fù)電子對的產(chǎn)生率顯著減少,如圖5 所示.對于Sauter 型的電勢,其電場強度E0=?V(z,t)/?z|z=z0=V/(2W) .電勢高度保持不變,電場強度隨電場寬度的增大而減小,而正負(fù)電子對的產(chǎn)生率與電場強度的平方成正比[6],即?！谽02.因此,當(dāng)電場寬度增大時,正負(fù)電子對產(chǎn)生率顯著減小.

圖5 不同電場寬度W 下正負(fù)電子對數(shù)量隨時間的變化,實線和虛線分別表示計算量子場論的結(jié)果和一階含時微擾理論的結(jié)果.其中V1=V2=0.75c2,d=14/c,ω=2.5c2,T=2π/ωFig.5.Time evolution of the created electron-positron pairs for different widths of electric field (W),the electronpositron pairs calculated by CQFT and first-order timedependent perturbation theory are represented by the solid line and the dashed line,respectively.Here,V1=V2=0.75c2,d=14/c,ω=2.5c2,T=2π/ω.

微擾理論的(12)式和(13)式表明電場寬度W通過W2csch2[πW(p+n)]因子影響雙振蕩場中正負(fù)電子對的產(chǎn)生數(shù)量和動量分布.為了研究W2csch2[πW(p+n)]因子如何影響雙振蕩場中正負(fù)電子對的產(chǎn)生,進一步分析了不同電場寬度下的正負(fù)電子對的動量分布.如圖6 所示,隨著電場寬度的增大,雖然動量主峰p=±103.7 處的正負(fù)電子對數(shù)量受影響較小,但其他動量峰值對應(yīng)的粒子數(shù)量顯著減小,從而導(dǎo)致了正負(fù)電子對產(chǎn)生的總數(shù)顯著減小.此外,電場寬度W=2/c時,在動量p=±147.7 處是動量峰值,而當(dāng)電場寬度W=4/c時,不再是動量峰值.通過微擾理論的(13)式發(fā)現(xiàn),正負(fù)電子對的動量分布與W2csch2[πW(p+n)]項成正比.當(dāng)電場寬度W增大時,W2csch2[πW(p+n)]項隨之減小,每一動量上正負(fù)電子對的數(shù)量也隨之減少(圖6).W2csch2[πW(p+n) ]因子不僅改變了正負(fù)電子對的動量分布峰值的高度,還改變了動量分布的展寬.因此,在動量p=±147.7處,隨著電場寬度W的增大,正負(fù)電子對動量分布的峰值逐漸消失.而3.2 節(jié)中所提到cos2[(p+n)d/2]項所預(yù)測的絕對值大于103.7 的動量峰值沒有出現(xiàn)也是因為被W2csch2[πW(p+n)]項所抑制.因此,電場寬度W也可以調(diào)節(jié)正負(fù)電子對的動量分布.若在實驗中需產(chǎn)生某一特定動量分布的正負(fù)電子對,可以通過調(diào)節(jié)振蕩場頻率ω,電場寬度W和兩場間距d來實現(xiàn).

圖6 不同電場寬度(W)下正負(fù)電子對的動量分布,實線和虛線分別表示計算量子場論的結(jié)果和一階含時微擾理論的結(jié)果.其中V1=V2=0.75c2,d=14/c,ω=2.5c2,t=20T=40π/ωFig.6.Momentum spectra of the created electron-positron pairs for different widths of electric field (W),the results calculated by CQFT and the first-order time-dependent perturbation theory are represented by the solid line and the dashed line,respectively.Here,V1=V2=0.75c2,d=14/c,ω=2.5c2,t=20T=40π/ω.

3.4 電場頻率對正負(fù)電子對產(chǎn)生的影響

通過多光子躍遷機制產(chǎn)生正負(fù)電子對的過程中,電場振蕩頻率有著舉足輕重的作用.圖7 描述了不同電場頻率下正負(fù)電子對的產(chǎn)生數(shù)量隨時間的變化.對于電場頻率ω=2.3c2,2.4c2,2.6c2,2.7c2,微擾理論與計算量子場論的結(jié)果最大相對誤差分別為8.14%,5.40%,2.93%,2.32%,說明微擾理論仍然適用于描述不同電場頻率下正負(fù)電子對的產(chǎn)生過程.并且隨著電場頻率ω 的不斷增大,正負(fù)電子對的產(chǎn)生數(shù)量逐漸減少.從微擾的角度上來看,更大的頻率會激發(fā)出更高能的電子,但是相應(yīng)的耦合矩陣元 〈p|V|n〉 會隨著動量p的增大而減小,因此同時粒子數(shù)產(chǎn)量也會跟著減小.

圖7 正負(fù)電子對數(shù)量隨時間的變化,實線和虛線分別表示計算量子場論的結(jié)果和一階含時微擾理論的結(jié)果.這里,V1=V2=0.75c2,W1=W2=3/c,d=8/c,T=2π/ωFig.7.Time evolution of the electron-positron pairs,the results calculated by the computational quantum field theory and the first-order time-dependent perturbation theory are represented by the solid line and the dashed line,respectively.Here,V1=V2=0.75c2,W1=W2=3/c,d=8/c,T=2π/ω.

根據(jù)微擾理論,電場頻率主要以[exp(Ep-Enω)-1]/(Ep-En-ω)的方式控制所產(chǎn)生正負(fù)電子對的動量分布,即滿足共振條件Ep-En-ω=0的量子態(tài)之間才能夠發(fā)生躍遷產(chǎn)生正負(fù)電子對.如圖8 所示,不同電場頻率下所產(chǎn)生的正負(fù)電子對過程依然存在對稱躍遷和非對稱躍遷兩種過程,并且兩種過程都遵循能量守恒定律.隨著電場頻率的增大,動量峰值所對應(yīng)的動量逐漸變大.由于動量的增大,相應(yīng)的耦合矩陣元 〈p|V|n〉 而減小,因此該動量處正負(fù)電子對的產(chǎn)生概率也會隨之減小.

圖8 不同電場頻率下正負(fù)電子對的動量分布,實線和虛線分別表示計算量子場論的結(jié)果和一階含時微擾理論的結(jié)果.其中V1=V2=0.75c2,W1=W2=3/c,d=8/c,T=2π/ωFig.8.Momentum spectra of the created electron-positron pairs for different frequencies of electric field.The results calculated by the computational quantum field theory and the first-order time-dependent perturbation theory are represented by the solid line and the dashed line,respectively.Here,V1=V2=0.75c2,W1=W2=3/c,d=8/c,T=2π/ω.

4 結(jié)論

本文運用計算量子場論方法和一階含時微擾理論研究了兩個空間分離的局域化振蕩電場下正負(fù)電子對的產(chǎn)生過程,分析了兩個振蕩場和單一振蕩場中正負(fù)電子對產(chǎn)生過程的異同,詳細討論了電場寬度、電場頻率和兩個電場的間距對正負(fù)電子對產(chǎn)生過程的影響.研究發(fā)現(xiàn)一階含時微擾理論與計算量子場論結(jié)果符合較好,這為研究超臨界頻率電場的正負(fù)電子對產(chǎn)生提供良好的理論工具.兩個電場的相互作用會導(dǎo)致正負(fù)電子對的動量分布曲線出現(xiàn)振蕩行為,并使正負(fù)電子對的產(chǎn)生總數(shù)有所增加.而隨著兩電場的間距增大,兩場的相互作用導(dǎo)致的增益效應(yīng)將會減弱直至消失.根據(jù)微擾理論,場間距主要通過cos2[(p+n)d/2]項來調(diào)控所產(chǎn)生的正負(fù)電子對的動量分布,使所產(chǎn)生的正負(fù)電子對的動量分布出現(xiàn)周期性振蕩行為.并且通過分析正負(fù)電子對的動量分布,發(fā)現(xiàn)了非對稱的多光子躍遷過程.隨著電場寬度的增大,電場強度隨之減小,正負(fù)電子對的產(chǎn)生總數(shù)也隨之減少.電場寬度以W2csch2[πW(p+n)]的方式調(diào)節(jié)正負(fù)電子對的動量分布,其能夠改變正負(fù)電子對的動量分布振蕩幅值,并同時改變動量分布的展寬.根據(jù)能量守恒定律,電場頻率的增大使得產(chǎn)生粒子對的動量變大,相應(yīng)的耦合矩陣元〈p|V|n〉 也隨之減少,所產(chǎn)生的正負(fù)電子對的數(shù)量也隨之減小.因此,能夠通過改變電場頻率、電場寬度、兩場間距來加強或抑制某一特定動量上的正負(fù)電子對的產(chǎn)生率.這對未來的激光誘導(dǎo)真空產(chǎn)生正負(fù)電子對的實驗具有一定的理論指導(dǎo).

附錄A 一階含時微擾理論的適用性

通過一階含時微擾理論和計算量子場論兩種方法討論了雙振蕩電場產(chǎn)生正負(fù)電子對的過程.其中,一階含時微擾理論能否有效地描述正負(fù)電子對的產(chǎn)生過程顯得尤為重要.為了衡量一階含時微擾理論的適用范圍,引入了平均相對誤差:

為了確保一階含時微擾理論能夠有效地描述正負(fù)電子對的產(chǎn)生,當(dāng)平均相對誤差大于10%時,認(rèn)為一階含時微擾理論不再適用于描述真空中的正負(fù)電子對產(chǎn)生.我們主要通過控制變量的方式分析了不同電場寬度、電場勢高和電場頻率下一階含時微擾理論與計算量子場論的平均相對誤差,相應(yīng)的參數(shù)有:W1=W2=3/c,V1=V2=0.75c2,ω=2.5c2,每次測試中僅改變其中的一個參數(shù),如表A1所列.

表A1 計算量子場論與一階含時微擾理論的產(chǎn)生粒子對數(shù)量的平均相對誤差Table A1.Mean relative error of the particle number created by the CQFT and the first-order timedependent perturbation theory.

我們發(fā)現(xiàn)對于不同電場頻率,兩者的平均相對誤差先增大后減小,在臨界頻率2c2附近,一階含時微擾理論失效.根據(jù)能量守恒定律,在臨界頻率附近,在動量p=0 附近所產(chǎn)生的正負(fù)電子對最多,所產(chǎn)生的正負(fù)電子對會在空間上聚集,由于泡利不相容原理,抑制了正負(fù)電子對的產(chǎn)生.我們推測含時微擾理論忽略了空間的影響,不受泡利不相容原理的限制,正負(fù)電子對能夠持續(xù)不斷的產(chǎn)生,因此在臨界頻率附近,兩者的平均相對誤差較大,一階含時微擾理論失效.在臨界頻率附近的正負(fù)電子對產(chǎn)生過程還有很多問題值得研究,接下來的工作中,我們將進一步探討臨界頻率附近含時微擾理論的適用性.兩者的平均相對誤差隨著電場寬度的增大而減小,當(dāng)電場寬度小于0.7/c時,一階含時微擾理論失效.而電場勢高的增大會增大兩者的平均相對誤差,當(dāng)電場勢高大于1.2c2時,一階含時微擾理論不再適用.這是因為電場強度E=V/(2W),當(dāng)電場寬度減小或者電場勢高增大時,電場強度增大,外加電場不能被當(dāng)作微擾項,因此當(dāng)電場寬度小于0.7/c,抑或電場勢高大于1.2c2時,一階含時微擾理論與計算量子場論的平均相對誤差較大,含時微擾理論不適用于描述正負(fù)電子對的產(chǎn)生過程.