高燈，孫見君，張玉言

(南京林業(yè)大學(xué)機(jī)械電子工程學(xué)院，江蘇南京 210037)

核主泵利用流體動(dòng)壓型機(jī)械密封防止反應(yīng)堆內(nèi)含放射性、高溫或高壓冷卻流體的泄漏，其可靠性對(duì)核電站的安全穩(wěn)定運(yùn)行具有舉足輕重的作用[1]。為了確保系統(tǒng)安全、穩(wěn)定、可靠運(yùn)行，運(yùn)行商常定期更換在役機(jī)械密封件，并記錄下這些未失效機(jī)械密封的相關(guān)數(shù)據(jù)。如何利用無失效數(shù)據(jù)去估計(jì)核主泵機(jī)械密封可靠性一直為工程技術(shù)人員所關(guān)注。

無失效數(shù)據(jù)研究可以追溯到1979年MARTZ和WALLER[2]的研究。大多數(shù)無失效數(shù)據(jù)研究主要集中在置信限法和結(jié)合先驗(yàn)信息的Bayes類方法上，面向航天發(fā)動(dòng)機(jī)、船舶、電子元器件、軸承等高可靠性要求產(chǎn)品。韓明、沈繼紅、宋永剛等[3-5]結(jié)合Bayes理論探討了產(chǎn)品壽命服從指數(shù)分布的可靠性評(píng)估方法。SONG和CAO[6]給出了先驗(yàn)分布為Gamma分布結(jié)合Bayes模型的失效概率標(biāo)準(zhǔn)平方誤差損失函數(shù)。JIANG等[7]將函數(shù)凹凸性和Bayes理論相結(jié)合，給出了Weibull分布下，失效概率區(qū)間的估計(jì)值。金光和沈靜[8]針對(duì)小樣本無失效衛(wèi)星活動(dòng)部件可靠性評(píng)估問題，提出一種Bayes信息融合技術(shù)，充分利用不同型號(hào)相似活動(dòng)部件數(shù)據(jù)，來提高評(píng)估精度。高攀東、蔡忠義、姜祥周等[9-11]探討了E-Bayes估計(jì)與多層Bayes估計(jì)應(yīng)用在其他高可靠性產(chǎn)品的優(yōu)劣性。傅惠民等[12]提出一種可靠性評(píng)估和壽命預(yù)測(cè)的方法，旨在提高壽命實(shí)驗(yàn)中出現(xiàn)極少失效數(shù)據(jù)場(chǎng)合下的預(yù)測(cè)精度。該方法缺陷在于需知道Weibull分布形狀參數(shù)的下限。賈祥等人[13]給出了產(chǎn)品服從Weibull分布的一般可靠性分析步驟。

上述研究為Bayes類方法拓展至重要裝備的機(jī)械密封可靠性評(píng)估提供了有益借鑒。肖麗麗等[14-15]針對(duì)核主泵機(jī)械密封可靠度評(píng)定問題，通過最優(yōu)置信限法估計(jì)可靠性參數(shù)，并探討了影響參數(shù)估計(jì)值的主要因素；之后基于配分布曲線法和修正似然函數(shù)法分析了參數(shù)估計(jì)值和給定時(shí)間的可靠度估計(jì)值，并指出了2種方法的不同適用范圍。置信限法得出的結(jié)果往往較為“保守”，不夠精確，而Bayes類方法可以有效彌補(bǔ)置信限的“保守”問題，但卻因先驗(yàn)信息的不同而有差別，從而影響了可靠度評(píng)估的精度?？梢姡珺ayes理論應(yīng)用于核主泵機(jī)械密封可靠度評(píng)估仍需更多的探討。

本文作者擬通過搜集到的大亞灣核主泵機(jī)械密封的故障數(shù)據(jù)，確定其可靠度分布；結(jié)合配分布曲線法建立基于Bayes理論的核主泵機(jī)械密封可靠性評(píng)估模型；最后，通過故障數(shù)據(jù)確定的可靠度分布參數(shù)做無失效仿真算例，探究先驗(yàn)分布參數(shù)對(duì)E-Bayes估計(jì)和多層Bayes估計(jì)精度的影響。研究成果可為進(jìn)一步開展基于Bayes理論的核主泵機(jī)械密封可靠性評(píng)估工作奠定基礎(chǔ)。

1 大亞灣核主泵機(jī)械密封小樣本數(shù)據(jù)可靠度分布的確定

為確定搜集到的大亞灣核主泵機(jī)械密封故障數(shù)據(jù)所服從的壽命分布類型，文中分別采用常見的指數(shù)分布和Weibull分布對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，通過擬合優(yōu)度確定壽命分布類型，從而為后續(xù)基于無失效數(shù)據(jù)核主泵機(jī)械密封可靠度評(píng)估提供一個(gè)參照。

1.1 數(shù)據(jù)來源

搜集到的核主泵機(jī)械密封數(shù)據(jù)來源于文獻(xiàn)[16]，保留故障退出的數(shù)據(jù)，去除正常退出的情況，篩選得到核主泵機(jī)械密封的壽命數(shù)據(jù)，見表1。

1.2 可靠度分布的確定

圖估計(jì)法是工程上常用的直觀易懂、簡單易行的方法，該方法適用于樣本容量不大的場(chǎng)合。當(dāng)樣本數(shù)量為n時(shí)，通過可靠性試驗(yàn)可以得到n個(gè)故障時(shí)間，然后將故障時(shí)間按照依次增加的順序排列為t1，t2，…，tn。當(dāng)樣本容量有限時(shí)，對(duì)應(yīng)的各故障時(shí)刻的累積分布F(ti)可由公式(1)[17]近似計(jì)算。

(1)

由式(1)可以計(jì)算得到n個(gè)數(shù)據(jù)對(duì)，即(t1，F(xiàn)(t1))，(t2，F(xiàn)(t2))，…，(tn，F(xiàn)(tn))。 當(dāng)通過線性化處理，使累積故障概率F(ti)與t具有直接或者間接的線性關(guān)系時(shí)，可初步認(rèn)為壽命數(shù)據(jù)來源于這種分布。累計(jì)失效概率見表2。

(1)指數(shù)分布擬合

當(dāng)產(chǎn)品的壽命時(shí)間滿足指數(shù)分布時(shí)，對(duì)指數(shù)分布函數(shù)F(t)=1-e-λt進(jìn)行線性變化，可以得到：

(2)

設(shè)Y=ln(1/(1-F(t)))，X=t，則Y和X呈線性關(guān)系，λ是斜率。Y和F(t)一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系擬合結(jié)果如圖1所示。

圖1 指數(shù)分布擬合Fig.1 Exponential distribution fitting

由擬合的直線可知，λ=-0.000 14。擬合結(jié)果：F(t)=1-e0.000 14t。

(2)Weibull分布擬合

當(dāng)產(chǎn)品的壽命時(shí)間滿足Weibull分布時(shí)，對(duì)Weibull分布函數(shù)F(t)=1-exp{-(t/η)m}進(jìn)行線性變化，m為形狀參數(shù)，表征瞬時(shí)失效率隨時(shí)間的變化率，η為尺度參數(shù)，表征失效速率的變化快慢，將Weibull分布函數(shù)進(jìn)行變形，可以得到：ln ln{1/[1-F(t)]}=mlnt-mlnη，設(shè)Y=ln{ln{1/[1-F(t)]}}，X=lnt，則Y和X呈線性關(guān)系，直線的斜率為m，此時(shí)軸上的截距為lnη。擬合結(jié)果如圖2所示。

圖2 Weibull分布擬合Fig.2 Weibull distribution fitting

擬合結(jié)果：

F(t)=1-exp(-(t/12 632)1.8)

(3)

(3)擬合優(yōu)度比較

求出直線回歸方程后，用擬合優(yōu)度K2作為衡量匹配后直線效果好壞的標(biāo)準(zhǔn)。K2越接近1(或越大)，則表明所匹配的直線效果越好。擬合優(yōu)度結(jié)果見表3。

表3 擬合優(yōu)度計(jì)算對(duì)比

比較結(jié)果可知，Weibull分布擬合效果最佳。所以認(rèn)為大亞灣核主泵機(jī)械密封可靠度服從Weibull分布，把該分布當(dāng)作基準(zhǔn)(見式(4))。

R(t)=exp[-(t/12 632)1.8]

(4)

2 基于配分布曲線法的核主泵機(jī)械密封可靠性分析

2.1 先驗(yàn)分布為Beta分布的Bayes方法

Bayes方法中先驗(yàn)分布所含未知參數(shù)確定困難時(shí)，通過引用先驗(yàn)分布的參數(shù)作為超參數(shù)，對(duì)超參數(shù)再給出一個(gè)先驗(yàn)，最后綜合信息得到可靠性參數(shù)的Bayes估計(jì)。當(dāng)試驗(yàn)中機(jī)械密封并無失效，且需滿足在(0，ti)內(nèi)機(jī)械密封失效概率較小的可能性大，較大的可能性小，此時(shí)可選Beta分布作為失效概率pi的共軛先驗(yàn)分布。根據(jù)Bayes理論，pi的先驗(yàn)概率密度[17]為

(5)

a，b取不同值時(shí)，Beta分布有很大區(qū)別，b越大，Beta分布概率密度函數(shù)尾部越細(xì)，Bayes估計(jì)的穩(wěn)健性越差；當(dāng)0

分別選取超參數(shù)a、b在定義域上的均勻分布作為其先驗(yàn)分布[17]：

(6)

根據(jù)Bayes理論，得pi的多層先驗(yàn)分布[19]為

(7)

2.2 失效概率估計(jì)方法

2.2.1pi的E-Bayes估計(jì)

π(pi|b)=b(1-pi)b-1，0

(8)

又超參數(shù)b為先驗(yàn)分布在區(qū)間(1，c)上的均勻分布，則在平方損失下，pi的E-Bayes估計(jì)[18]為

(9)

2.2.2pi多層Bayes估計(jì)

同樣，pi的先驗(yàn)由式(8)給出，超參數(shù)b的先驗(yàn)分布取區(qū)間(1，c)上的均勻分布，則pi的多層先驗(yàn)密度函數(shù)[20]為

(10)

由似然函數(shù)和先驗(yàn)概率密度函數(shù)，可得平方損失下，pi的多層Bayes估計(jì)[20]為

(11)

2.3 加權(quán)最小二乘法的參數(shù)估計(jì)

(12)

(13)

由此不難得到：

(14)

(15)

最終可求得時(shí)刻τ處的可靠度估計(jì)：

(16)

3 仿真算例分析

為比較E-Bayes方法和多層Bayes方法的優(yōu)劣，以大亞灣核主泵機(jī)械密封可靠度函數(shù)為基準(zhǔn)，通過將2種方法估計(jì)出的可靠度與原始可靠度的平均相對(duì)誤差來比較優(yōu)劣。表4給出了6個(gè)任務(wù)時(shí)間(h)的原始可靠度。

表4 原始參數(shù)下的可靠度

為了討論c對(duì)E-Bayes方法和多層Bayes方法評(píng)估精度的影響，運(yùn)用Monte Carlo法生成服從Weibull分布的隨機(jī)數(shù)，產(chǎn)生該組數(shù)據(jù)的原始數(shù)據(jù)為m=1.8，η=12 632，得到一組無失效數(shù)據(jù)如表5所示。

表5 仿真核主泵機(jī)械密封無失效數(shù)據(jù)樣本

表6、表7給出了E-Bayes方法和多層Bayes方法在不同參數(shù)c和不同任務(wù)時(shí)間下的失效概率。數(shù)據(jù)表明：c一定時(shí)，失效概率隨時(shí)間的增加而增加；時(shí)間一定時(shí)，失效概率隨c的增加而降低。

表6 E-Bayes方法的失效概率估計(jì)值

表7 多層Bayes法失效概率估計(jì)值

圖4 不同參數(shù)c下的尺度參數(shù)估計(jì)值Fig.4 Estimated values of scale parameters under different parameters c

表8、表9給出了E-Bayes估計(jì)和多層Bayes估計(jì)的平均相對(duì)誤差。結(jié)果表明：時(shí)間一定時(shí)，可靠度隨c值的增加而增加；c值一定時(shí)，可靠度隨時(shí)間的增加而降低。E-Bayes估計(jì)平均相對(duì)誤差達(dá)到最低時(shí)，c=9；多層Bayes估計(jì)平均相對(duì)誤差達(dá)到最低時(shí)，c=8。

表8 E-Bayes估計(jì)的平均相對(duì)誤差

表9 多層Bayes估計(jì)的平均相對(duì)誤差

圖5示出了E-Bayes估計(jì)和多層Bayes估計(jì)的平均相對(duì)誤差隨參數(shù)c的變化曲線。結(jié)果表明：參數(shù)c=8時(shí)，E-Bayes估計(jì)和多層Bayes估計(jì)產(chǎn)生的平均相對(duì)誤差最為接近且均達(dá)到較低水平。由此可以推斷：針對(duì)核主泵機(jī)械密封，先驗(yàn)分布為Beta分布時(shí)，參數(shù)c=8時(shí)，評(píng)估精度達(dá)到最佳水平。

圖5 平均相對(duì)誤差隨參數(shù)c的變化Fig.5 Variation of average relative error with parameter c

4 結(jié)論

(1)建立了結(jié)合Bayes理論的可靠性分析模型，并通過大亞灣核主泵機(jī)械密封運(yùn)行數(shù)據(jù)，驗(yàn)證了c取值適當(dāng)時(shí)結(jié)合Bayes理論可靠性分析方法的可行性。

(2)建立的可靠性分析方法的分析步驟：首先通過定時(shí)截尾試驗(yàn)獲得產(chǎn)品的無失效數(shù)據(jù)，其次根據(jù)Bayes理論計(jì)算得到產(chǎn)品失效概率的估計(jì)值，最后利用加權(quán)最小二乘法擬合離散的失效概率點(diǎn)得出參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)，進(jìn)而得到可靠度估計(jì)。

(3)從E-Bayes估計(jì)和多層Bayes估計(jì)所產(chǎn)生的平均相對(duì)誤差來看，c<8時(shí)，優(yōu)先選擇多層Bayes估計(jì)；c>8時(shí)，優(yōu)先選擇E-Bayes估計(jì)。

(4)針對(duì)無失效情形下核主泵機(jī)械密封的可靠性分析問題，先驗(yàn)分布為Beta分布時(shí)，參數(shù)c=8時(shí)，E-Bayes估計(jì)和多層Bayes估計(jì)所產(chǎn)生的誤差均達(dá)到較低水平。