黃利容, 曾喆昭, 曾 鵬

長(zhǎng)沙理工大學(xué),長(zhǎng)沙 410076

0 引 言

隨著航天重大工程的逐步實(shí)施,現(xiàn)代航天器通常需要搭載多種撓性附件[1],如太陽(yáng)能電池板和大型天線等.然而,由于姿態(tài)控制系統(tǒng)中存在外部干擾,撓性附件會(huì)帶來嚴(yán)重的振動(dòng)問題,從而影響姿態(tài)控制的效果.隨著航天器在空間領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用,對(duì)姿態(tài)的控制精度要求也越來越高,因此,保持航天器的高精度姿態(tài)控制且能夠有效抑制撓性附件的振動(dòng)仍然具有很大的挑戰(zhàn)性[2].

近年來,國(guó)內(nèi)外學(xué)者們對(duì)于航天器的姿態(tài)控制提出了許多有效的控制方法.文獻(xiàn)[3]考慮到航天器系統(tǒng)參數(shù)的不確定性,提出了一種可以在線更新定律的自適應(yīng)魯棒控制器,有著較好的增益魯棒性.文獻(xiàn)[4]設(shè)計(jì)了一種與模型無關(guān)的無量綱級(jí)聯(lián)姿態(tài)反饋?zhàn)钥箶_控制器,在航天器存在參數(shù)不確定性以及外部干擾的情況下依舊可以取得有效的控制.文獻(xiàn)[5]研究參數(shù)不確定撓性航天器的T-S模糊模型,并結(jié)合并行分布式補(bǔ)償技術(shù)設(shè)計(jì)了非線性模糊控制器,取得了良好的控制效果.文獻(xiàn)[6]基于終端滑模控制提出了一種具有有限時(shí)間內(nèi)收斂的自適應(yīng)控制方法,有效提高了系統(tǒng)的響應(yīng)速度以及抗干擾能力.文獻(xiàn)[7]將線性矩陣不等式與凸優(yōu)化算法結(jié)合,設(shè)計(jì)了魯棒輸出反饋控制器,實(shí)現(xiàn)了航天器姿態(tài)的穩(wěn)定控制.文獻(xiàn)[8]設(shè)計(jì)了一種自適應(yīng)雙閉環(huán)姿態(tài)控制器,通過引入一個(gè)虛擬有界的角速度,將姿態(tài)控制問題降階為角速度控制問題.文獻(xiàn)[9]結(jié)合變結(jié)構(gòu)控制策略和范數(shù)自適應(yīng)估計(jì)算法設(shè)計(jì)了自適應(yīng)魯棒容錯(cuò)控制器,對(duì)存在參數(shù)不確定性以及執(zhí)行器部分失效的航天器取得了有效的姿態(tài)控制.文獻(xiàn)[10]采用預(yù)設(shè)性能方法設(shè)計(jì)航天器的姿態(tài)控制器,可以保證控制過程的暫態(tài)響應(yīng),并引入強(qiáng)化學(xué)習(xí)算法以解決航天器的慣量不確定性問題.文獻(xiàn)[11]提出了魯棒模型預(yù)測(cè)姿態(tài)控制方法,可將實(shí)際的航天器系統(tǒng)驅(qū)使到預(yù)設(shè)的以標(biāo)稱軌跡為中心的“管道”不變集內(nèi),并沿著標(biāo)稱軌跡到達(dá)平衡點(diǎn),實(shí)現(xiàn)了在外部擾動(dòng)下航天器姿態(tài)角的快速控制.文獻(xiàn)[12]通過將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和障礙李雅普諾夫函數(shù)結(jié)合來處理航天器模型參數(shù)的不確定性以及未知擾動(dòng),然后根據(jù)反步法設(shè)計(jì)了魯棒自適應(yīng)姿態(tài)控制器.然而上述方法皆屬于集中控制,僅僅通過姿態(tài)控制器去抑制撓性附件的振動(dòng)難以取得令人滿意的效果,因此須引入主動(dòng)振動(dòng)控制器抑制撓性附件的振動(dòng),以此來取得更好的控制效果[13].

對(duì)于主動(dòng)振動(dòng)控制器的設(shè)計(jì),文獻(xiàn)[13]采用了預(yù)設(shè)性能控制(prescribed performance control,PPC)方法,該方法通過預(yù)先定義的性能函數(shù)和誤差變換,使得閉環(huán)系統(tǒng)的收斂速度、超調(diào)量和穩(wěn)態(tài)誤差保持在預(yù)定范圍內(nèi),可以獲得預(yù)期的抑制效果.文獻(xiàn)[14]設(shè)計(jì)了多模態(tài)正位置反饋主動(dòng)振動(dòng)控制器,有效提高了撓性附件的阻尼,從而提高了航天器系統(tǒng)的穩(wěn)定性.文獻(xiàn)[15]首次提出了一種結(jié)構(gòu)較為簡(jiǎn)單的全自適應(yīng)分量合成振動(dòng)抑制(fully adaptive component synthesis vibration suppression,FACSVS)控制方法,該方法計(jì)算量較小并對(duì)振動(dòng)頻率的不確定性具有較好的魯棒性.文獻(xiàn)[16]設(shè)計(jì)了全階滑模主動(dòng)振動(dòng)控制器有效減少撓性附件的振動(dòng),從而使得撓性振動(dòng)模態(tài)在有限時(shí)間內(nèi)快速衰減.

然而航天器是一個(gè)多輸入多輸出的系統(tǒng),撓性結(jié)構(gòu)與航天器主體之間又具有較強(qiáng)的耦合,導(dǎo)致現(xiàn)有的姿態(tài)控制器以及主動(dòng)振動(dòng)控制器結(jié)構(gòu)復(fù)雜且存在大量矩陣的運(yùn)算,不利于工程實(shí)際,因此在考慮外部干擾和模型參數(shù)不確定性的情況下,既可以保持高性能的姿態(tài)控制和強(qiáng)魯棒性的主動(dòng)振動(dòng)控制,又能優(yōu)化控制器結(jié)構(gòu)的方法有待進(jìn)一步研究.曾喆昭教授[17-18]為此提出一類新型的控制理論,即自耦PID(ACPID)控制理論.ACPID控制理論方法的主要優(yōu)勢(shì)如下:

1)ACPID控制器不僅保留了傳統(tǒng)PID控制器簡(jiǎn)單的優(yōu)勢(shì),且P、I和D這3個(gè)環(huán)節(jié)只由一個(gè)速度因子統(tǒng)一驅(qū)動(dòng),因而只需鎮(zhèn)定一個(gè)速度因子;

2) 由過渡過程時(shí)間tr來鎮(zhèn)定速度因子,簡(jiǎn)單實(shí)用:① ACPID的速度因子鎮(zhèn)定規(guī)則:zc=10α/tr,1<α≤10;②ACPD與ACPI的速度因子鎮(zhèn)定規(guī)則:zc=20α/tr,1<α≤10;

3)ACPID、ACPD與ACPI控制系統(tǒng)都是臨界阻尼系統(tǒng),因而都具有良好的魯棒穩(wěn)定性和動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性;

4)ACPID控制理論將已知或未知?jiǎng)討B(tài)及其不確定性以及外部有界擾動(dòng)等一切復(fù)雜因素定義為一個(gè)總擾動(dòng),則可將復(fù)雜非線性系統(tǒng)等價(jià)映射為線性擾動(dòng)系統(tǒng)[19-21],淡化了線性與非線性系統(tǒng)分類的概念.

本文的主要貢獻(xiàn)在于將ACPID控制理論應(yīng)用于撓性航天器系統(tǒng),分別設(shè)計(jì)了ACPD姿態(tài)控制器與ACPD主動(dòng)振動(dòng)控制器,取得了良好的控制效果:在面臨外部干擾以及模型參數(shù)不確定的情況下可以取得航天器姿態(tài)的高精度控制,并能使撓性附件的振動(dòng)快速衰減.

1 撓性航天器的數(shù)學(xué)模型

1.1 系統(tǒng)描述

根據(jù)文獻(xiàn)[22],受到外部干擾情況下?lián)闲院教炱鞯膭?dòng)力學(xué)模型可表示如下:

(1)

(2)

式中,ω=[ω1ω2ω3]T為航天器相對(duì)慣性坐標(biāo)系的姿態(tài)角速度,J∈R3×3為航天器的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量矩陣,u=[u1u2u3]T為控制輸入力矩,d∈R3×1為外部干擾力矩,考慮具有五階撓性模態(tài)的情況,則柔性附件的模態(tài)坐標(biāo)向量η=[η1η2η3η4η5]T,δ∈R5×3為航天器剛體與柔性附件的耦合矩陣,C=2ξΩ為阻尼矩陣,K=Ω2為剛度矩陣,ξ和Ω分別為振動(dòng)模態(tài)的阻尼比和自然頻率,δa∈R5×5為壓電作動(dòng)器與柔性附件的耦合矩陣,up=[up1up2up3up4up5]T為壓電作動(dòng)器的輸入電壓.對(duì)于任意三維向量ν=[ν1ν2ν3]T,ν×表示反對(duì)稱矩陣

本文采用修正的羅德里格斯參數(shù)(modified rodrigues parameters,MRP) 來描述航天器的姿態(tài)角,MRP定義為σ=φtan(φ/4)=[σ1σ2σ3]T∈R3×1,其中,φ∈R3×1表示為歐拉主軸向量,φ表示為歐拉旋轉(zhuǎn)角,σi(i=1,2,3)表示為MRP每個(gè)軸的姿態(tài)角.則航天器的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程[16]為

(3)

其中,G(σ)=0.25[(1-σTσ)I3+2σσT+2σ×],I3為3×3單位矩陣.

結(jié)合式(1)、(2)和(3)可得受外部擾動(dòng)下的撓性航天器系統(tǒng)為

(4)

1.2 系統(tǒng)映射

(5)

式中,uσ、uη為虛擬控制力,uσ=[uσ1uσ2uσ3]T=G(σ)J-1u,uη=[uη1uη2uη3uη4uη5]T=-δaup.

2 ACPD控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)

2.1 ACPD虛擬控制器設(shè)計(jì)

(6)

根據(jù)ACPID控制理論思想[17-18]可得ACPD姿態(tài)控制器的控制力矩為

(7)

u=JG-1(σ)uσ

(8)

其中,|ui|≤uim(i=1,2,3),uim為控制力矩ui的最大幅值,zσ=zσI3,0

2.2 ACPD主動(dòng)振動(dòng)控制器設(shè)計(jì)

(9)

根據(jù)ACPID控制理論思想[17-18]可得ACPD主動(dòng)振動(dòng)控制器的控制電壓為

(10)

(11)

其中,zη=zηI5,0

2.3 控制系統(tǒng)分析

證明.將式(7)代入受控誤差系統(tǒng)(6),可得子控制系統(tǒng)為

(12)

(13)

由式(13)可得系統(tǒng)傳遞函數(shù)為

(14)

當(dāng)0

由式(14)可得系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為

hσi(t)=texp(-zσt)ε(t)

(15)

由式(15)可得受控誤差系統(tǒng)的時(shí)域形式為

(16)

其中,“*”表示卷積積分運(yùn)算.

(17)

由式(15)可知,當(dāng)0≤t<∞時(shí),hσi(t)≥0,且hσi(∞)=0,因而有

(18)

將式(18)代入式(17),可得穩(wěn)態(tài)誤差為

(19)

外部擾動(dòng)是總擾動(dòng)的一部分,在總擾動(dòng)有界情況下,由式(19)可知:增加速度因子可以顯著降低穩(wěn)態(tài)誤差,提高抗擾動(dòng)能力,因而ACPD姿態(tài)控制系統(tǒng)具有良好的抗擾動(dòng)魯棒性,證畢.

定理2的證明參照定理1,此處不再贅述.

2.4 速度因子鎮(zhèn)定

由定理1與定理2可知,當(dāng)速度因子大于0時(shí),ACPD姿態(tài)控制系統(tǒng)和ACPD主動(dòng)振動(dòng)控制系統(tǒng)都是魯棒穩(wěn)定的,且速度因子越大,控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度則越高,抗擾動(dòng)能力則越強(qiáng),否則反之.然而,在啟動(dòng)控制初期,速度因子過大,則會(huì)導(dǎo)致控制力過大而出現(xiàn)超調(diào)現(xiàn)象.因此為防止姿態(tài)控制出現(xiàn)超調(diào)現(xiàn)象,在基于文獻(xiàn)[20]的基礎(chǔ)上使用自適應(yīng)速度因子模型.主動(dòng)控制器則需要更大的速度因子來有效抑制撓性附件的振動(dòng),則本文選擇的速度因子模型如下所示:

(20)

zη=20α2/tη

(21)

其中,1<α≤10,tσ、tη是由動(dòng)態(tài)過程進(jìn)入穩(wěn)態(tài)過程的過渡過程時(shí)間.

3 仿真分析

將本文的ACPD姿態(tài)控制器與ACPD主動(dòng)振動(dòng)控制器應(yīng)用于撓性航天器系統(tǒng),為了驗(yàn)證本文控制方法的有效性,進(jìn)行仿真試驗(yàn)和分析,并與文獻(xiàn)[13]和文獻(xiàn)[15]所提出的方法進(jìn)行比較分析.

仿真試驗(yàn)中,角速度的初值為ω(0)=[0 0 0]T,MRP的初始值為σ(0)=[0.038 9 0.056 0 -0.038 9]T,MRP的期望值為σd=[0 0 0]T,撓性模態(tài)的初始值為η(0)=[0 0 0 0 0]T.撓性航天器系統(tǒng)的參數(shù)選自文獻(xiàn)[13],其具體數(shù)值如表1所示,姿態(tài)控制力矩的最大值為uim=50 N·m,撓性控制電壓的最大值為0.01 V.

表1 仿真參數(shù)Tab.1 Simulation parameters

假設(shè)撓性航天器在高度500 km的軌道上運(yùn)行,則外部干擾包括干擾力矩、大氣干擾和其他環(huán)境干擾,如下所示[13]:

d=0.01×

其中,Ω1=Ω(1,1),Ω2=Ω(2,2),Ω3=Ω(3,3).

ACPD控制方法、文獻(xiàn)[13]以及文獻(xiàn)[15]控制方法的控制器結(jié)構(gòu)如下:

(1)ACPD姿態(tài)控制器與ACPD主動(dòng)振動(dòng)控制器結(jié)構(gòu)

(22)

(23)

(2)文獻(xiàn)[13]固定時(shí)間滑模姿態(tài)控制器與FACSVS主動(dòng)振動(dòng)控制器結(jié)構(gòu)

(24)

(25)

(3)文獻(xiàn)[15]PPC姿態(tài)控制器與PPC主動(dòng)振動(dòng)控制器結(jié)構(gòu)

(26)

(27)

表2 3種控制器的控制參數(shù)Tab.2 Control Parameters of Three Controllers

3.1 控制器對(duì)比分析仿真試驗(yàn)

將3種控制方法應(yīng)用于撓性航天器,其仿真結(jié)果如圖1～5所示,顯然3種控制方法都能實(shí)現(xiàn)撓性航天器的有效控制.在ACPD控制方法下,撓性航天器的姿態(tài)角和角速度的收斂時(shí)間約為20 s,需要的最大力矩為34 N·m,其五階撓性振動(dòng)模態(tài)的最大值分別為8.3×10-4、1.7×10-4、4.5×10-4、1.5×10-4和3.7×10-4,衰減時(shí)間約為20 s;在固定時(shí)間滑?？刂坪虵ACSVS主動(dòng)振動(dòng)控制下,撓性航天器的姿態(tài)角和角速度的收斂時(shí)間約為30 s,需要的最大力矩為50 N·m,其五階撓性振動(dòng)模態(tài)的最大值分別為1.6×10-2、3.4×10-3、5.4×10-3、1×10-3和1.9×10-3,衰減時(shí)間約為30 s;在PPC方法下,撓性航天器的姿態(tài)角和角速度的收斂時(shí)間約為25 s,需要的最大力矩為36 N·m,其五階撓性振動(dòng)模態(tài)的最大值分別為9.2×10-4、2.6×10-4、8.8×10-4、2.3×10-4和1×10-3,衰減時(shí)間約為20 s;在PID控制方法下,撓性航天器的姿態(tài)角和角速度的收斂時(shí)間約為28 s,需要的最大力矩為50 N·m,其五階撓性振動(dòng)模態(tài)的最大值分別為9.4×10-4、4.1×10-4、4.6×10-4、4.4×10-4和3.8×10-4,衰減時(shí)間約為25 s.

圖1 姿態(tài)角變化曲線Fig.1 The response of attitude angular

圖2 角速度變化曲線Fig.2 The response of angular velocity

圖3 控制力矩變化曲線Fig.3 The response of control torque

圖4 模態(tài)坐標(biāo)變化曲線Fig.4 The response of modal coordinate

圖5 控制電壓變化曲線Fig.5 The response of input voltage

不同控制方法的控制精度如表3所示,結(jié)合圖1～5可知,本文所提出的ACPD控制方法,能有效抑制撓性附件的振動(dòng),使得姿態(tài)角以及角速度更快收斂,且具有更高的控制精度.

表3 不同控制方法的穩(wěn)態(tài)精度Tab.3 Steady-state accuracy of different control methods

3.2 魯棒性分析仿真試驗(yàn)

為了進(jìn)一步驗(yàn)證本文所提出的ACPD控制方法的魯棒性,保持本文控制器的參數(shù)不變,考慮航天器的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量矩陣J、剛體與柔性附件的耦合矩陣δ以及自然頻率Ω存在偏差,失配程度如表4所示.姿態(tài)角σ1的控制結(jié)果如圖6所示,撓性模態(tài)η1的控制結(jié)果如圖7所示.

圖6 姿態(tài)角σ1變化曲線Fig.6 The response of MRPs σ1

圖7 模態(tài)坐標(biāo)η1變化曲線Fig.7 The response of modal coordinate η1

表4 參數(shù)失配程度Tab.4 Parameter mismatch degree

由圖6可知,試驗(yàn)1和試驗(yàn)4的姿態(tài)控制效果基本一致,試驗(yàn)2和試驗(yàn)3的姿態(tài)角σ1控制效果基本一致,可以看出參數(shù)δ以及Ω基本不影響姿態(tài)控制效果;由圖7可知,試驗(yàn)2和試驗(yàn)3的撓性模態(tài)η1控制效果基本一致,可以看出參數(shù)Ω基本不影響撓性模態(tài)控制效果,4組試驗(yàn)控制下,姿態(tài)角σ1的控制精度均為1×10-6,撓性模態(tài)η1的控制精度均為1×10-7數(shù)量級(jí).以上分析表明了ACPD控制方法具有良好的魯棒性.

4 結(jié) 論

針對(duì)撓性航天器的控制問題,本文基于ACPID控制理論分別設(shè)計(jì)了ACPD姿態(tài)控制器與ACPD主動(dòng)振動(dòng)控制器.仿真結(jié)果表明本文控制方法的有效性,在帶有外部擾動(dòng)以及模型不確定性的情況下,可以取得良好的控制性能:響應(yīng)速度快、控制精度高和魯棒性強(qiáng).本文控制方法的突出優(yōu)勢(shì)是控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單,計(jì)算量小,僅涉及2個(gè)速度因子的鎮(zhèn)定,而且通過過渡過程時(shí)間tσ和tη來鎮(zhèn)定速度因子,因而簡(jiǎn)單實(shí)用.文獻(xiàn)[13]和文獻(xiàn)[15]的控制方法涉及更多的矩陣運(yùn)算,導(dǎo)致控制器結(jié)構(gòu)復(fù)雜,計(jì)算量大并且需要鎮(zhèn)定的參數(shù)過多,因而本文提出的ACPD控制方法更便于工程實(shí)際.