宋太華

(山西省太谷公路管理段, 山西 晉中 030800)

隨著經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展和城市化進(jìn)程的加快,高速公路車流量逐年增加,收費(fèi)廣場的通行壓力增大。如何提高收費(fèi)廣場的通行能力,減少交通擁堵對提高交通系統(tǒng)的運(yùn)行效率、改善用戶體驗(yàn)具有重要意義。通過優(yōu)化資源配置和排隊(duì)系統(tǒng)設(shè)計(jì),可以提高收費(fèi)廣場的效率和運(yùn)營成本[1-3]。建立合理的數(shù)學(xué)模型和優(yōu)化方法,可以提高交通系統(tǒng)的效率,減少交通擁堵和排隊(duì)時間,提供更好的用戶服務(wù)體驗(yàn),并降低系統(tǒng)成本。

高速公路收費(fèi)廣場的車輛通過過程可以分為進(jìn)站系統(tǒng)和出站系統(tǒng)兩部分。進(jìn)站系統(tǒng)涉及車輛從減速區(qū)進(jìn)入收費(fèi)站并完成支付的過程,出站系統(tǒng)涉及車輛從支付完成到從加速場離開的過程。為提高高速公路收費(fèi)廣場的通行能力,本文基于M/M/c排隊(duì)系統(tǒng),提出兩種優(yōu)化模型,其中模型1通過最小化平均等待時間獲得最大通行能力,模型2通過確定快速路徑和正常路徑的最佳比例來最大化系統(tǒng)流量[4-5]。

1 模型構(gòu)建

收費(fèi)站是高速公路系統(tǒng)的組成部分,用戶(即司機(jī))必須為其享受的服務(wù)(如使用高速公路、橋梁、隧道等)支付通行費(fèi)。分析高速公路上交通過程,收費(fèi)廣場由于減緩了正常交通流的速度,會給正常交通流帶來干擾,如降低平均行駛速度、增加隊(duì)列的平均等待時間、增加平均隊(duì)列長度等。準(zhǔn)確的容量分配可以降低收費(fèi)站的負(fù)面影響和經(jīng)濟(jì)成本。

與大多數(shù)排隊(duì)系統(tǒng)一樣,收費(fèi)廣場的交通過程具有以下特征:1) 系統(tǒng)容量由在給定時刻活躍的多個收費(fèi)站m確定。2) 每個單獨(dú)的收費(fèi)站在一定時間段內(nèi)只為一個用戶服務(wù),可用以秒為單位測算的平均服務(wù)時間Ts來描述。3) 根據(jù)輸入交通流特性定義用戶進(jìn)入排隊(duì)系統(tǒng)的強(qiáng)度(以每小時車輛數(shù)為單位)。4) 如果沒有可用的免費(fèi)收費(fèi)站,用戶將形成一個隊(duì)列。

收費(fèi)廣場是一個具有交通流向的系統(tǒng),將其作為一個排隊(duì)系統(tǒng)進(jìn)行建模。車輛從道路的一側(cè)進(jìn)入收費(fèi)廣場,在收費(fèi)站繳費(fèi)后從另一側(cè)繼續(xù)行駛。采用排隊(duì)系統(tǒng)中的M/M/c模型進(jìn)行建模,模型假設(shè)如下:1) 進(jìn)站交通負(fù)荷平均分配到所有收費(fèi)站。2) 在短時間內(nèi),收費(fèi)廣場區(qū)域的交通流可以描述為靜止的。3) 車輛到達(dá)時間呈指數(shù)分布。4) 服務(wù)時間呈指數(shù)分布。5) 有足夠的空間讓所有的車輛都排隊(duì)。6) 收費(fèi)站一次只為一輛車服務(wù)。7) 服務(wù)紀(jì)律是先到先得。8) 傳出隊(duì)列不影響收費(fèi)站服務(wù)時間。傳出隊(duì)列是指車輛完成繳費(fèi)后,在收費(fèi)廣場外等待離開的隊(duì)列。在收費(fèi)廣場內(nèi),車輛按照先到先得的服務(wù)紀(jì)律進(jìn)行排隊(duì)等待服務(wù)。當(dāng)一輛車完成繳費(fèi)后,它將進(jìn)入傳出隊(duì)列,等待其他車輛完成繳費(fèi)并離開收費(fèi)站,它也隨著離開收費(fèi)廣場。

M/M/c排隊(duì)系統(tǒng)是一種常見的排隊(duì)論模型,用于描述具有指數(shù)分布(M)的到達(dá)間隔時間和服務(wù)時間且具有固定數(shù)量(c)的服務(wù)器的排隊(duì)系統(tǒng)?；贛/M/c排隊(duì)系統(tǒng),提出如下優(yōu)化模型:

(1)

式中:Wqi為FQS(Free-flow Queue Service,自由流隊(duì)列服務(wù))在正常路徑上的平均等待時間;Wqo為SQS(Stable Queue Service,穩(wěn)定隊(duì)列服務(wù))在快速車道上的平均等待時間;μ為每個收費(fèi)站的平均服務(wù)車輛數(shù);ρi為FQS服務(wù)比例;ρo為SQS服務(wù)比例;Lqi為FQS平均等待線長度;Lqo為SQS平均等待線長度。

本文以式(1)作為基本模型,構(gòu)建2個優(yōu)化模型,以獲得高速公路收費(fèi)廣場的最大通行能力。

1.1 模型1

收費(fèi)站數(shù)量比車道數(shù)量大得多。所有車輛都可以自由選擇收費(fèi)站。模型1通過優(yōu)化收費(fèi)站數(shù)量和平均服務(wù)時間等參數(shù)最小化等待隊(duì)列的平均長度,獲得最大通行能力(見圖1)。

圖1 模型1收費(fèi)廣場

從圖1可以看出:收費(fèi)廣場系統(tǒng)由減速區(qū)、收費(fèi)站和加速區(qū)組成,收費(fèi)站數(shù)量遠(yuǎn)大于車道數(shù)量。進(jìn)入減速區(qū)的車輛是FQS的客戶,系統(tǒng)變量為λ=Nλ、c=M(λ為來車平均數(shù);N為車道數(shù)量;c、M為收費(fèi)站數(shù)量),用來描述進(jìn)入收費(fèi)廣場的車輛的到達(dá)率。每個收費(fèi)站的平均服務(wù)車輛數(shù)μ由實(shí)際數(shù)據(jù)確定。從收費(fèi)站出來的車輛是SQS的客戶,系統(tǒng)變量為λ=Mμ、μ=λmax、c=N(λmax為SQS平均服務(wù)時間),用來描述離開收費(fèi)廣場的車輛的到達(dá)率。模型1通過最小化平均等待時間獲得最大通行能力,模型表達(dá)式如下:

(2)

式中:T為系統(tǒng)通行能力。

當(dāng)平均等待時間達(dá)到最小值時,收費(fèi)廣場獲得最大通行能力。

1.2 模型2

為了使車輛盡快通過收費(fèi)廣場,車輛在收費(fèi)廣場中的平均使用時間必須非常短。模型2將一些收費(fèi)車道設(shè)置為使用電子不停車收費(fèi)系統(tǒng)(ETC)的快速車道,并假設(shè)快速車道的平均服務(wù)時間比正常車道短得多。通過快速車道的車輛使用ETC自動支付通行費(fèi),其他通過正常車道的車輛使用現(xiàn)金支付。模型2的通行能力由通過快速車道和正常車道的車輛通行效率組成,目標(biāo)是確定快速路徑與正常路徑的最佳比率,以最大化系統(tǒng)流量(見圖2)。

圖2 模型2收費(fèi)廣場

模型2與模型1的區(qū)別是模型2設(shè)置了快速路徑,使車輛在很短的時間內(nèi)通過收費(fèi)站。模型2排隊(duì)系統(tǒng)中的變量為λ=aN、μ=rμ、c=bM(a、b分別為快速路徑和正常路徑的數(shù)量比例;μ為整個系統(tǒng)的服務(wù)率,指單位時間內(nèi)完成服務(wù)的車輛數(shù)量;r為快速車道與正常車道的服務(wù)時間比)。r用來調(diào)整快速路徑的服務(wù)效率,r=1時,快速路徑的服務(wù)率與整個系統(tǒng)的服務(wù)率相同;r>1時,快速路徑的服務(wù)率比整個系統(tǒng)的服務(wù)率高;r<1時,快速路徑的服務(wù)率低于整個系統(tǒng)的服務(wù)率。由于快速路徑下收費(fèi)站的通行能力有很大提高,必須提高SQS的平均服務(wù)時間以增大車流量。設(shè)快速車道中SQS的平均服務(wù)率μ=λmaxq(λmaxq為SQS快速車道的平均服務(wù)時間),模型2通過確定快速路徑與正常路徑的最佳比例,以最大化系統(tǒng)流量,模型表達(dá)式如下:

(3)

式中:Tq、Tn分別為快速車道和正常車道中每輛車的平均服務(wù)時間;Wqin為正常路徑中車輛前進(jìn)到收費(fèi)廣場前的等待時間;Wqon為快速路徑中車輛前進(jìn)到收費(fèi)廣場前的等待時間;Wqiq為正常路徑中車輛在收費(fèi)廣場排隊(duì)等待的時間;Wqoq為快速路徑中車輛在收費(fèi)廣場排隊(duì)等待的時間。

模型2中收費(fèi)站數(shù)量與模型1相同,正常路徑中的變量為λ=(1-a)N、μ=μ(μ代表整個系統(tǒng)的服務(wù)率,表示單位時間內(nèi)完成服務(wù)的車輛數(shù)量。r是一個系數(shù),用來調(diào)整快速路徑的服務(wù)效率。當(dāng)r=1時,快速路徑的服務(wù)率與整個系統(tǒng)的服務(wù)率相同,即μ=μ)、c=(1-b)M。

2 結(jié)果分析

在模型1中,當(dāng)λmax=1、λ=0.4、μ=0.33、N=6時,收費(fèi)站數(shù)量為12個時高速公路收費(fèi)廣場的通行能力最大,平均等待時間為2.086 s ,最大通行能力為5輛/s。收費(fèi)廣場中等待的平均線路長度見圖3,最大通行能力見圖4。從圖3、圖4可以看出:模型1中,隨著收費(fèi)站數(shù)量的增加,收費(fèi)站前的平均等候隊(duì)伍呈下降趨勢,收費(fèi)站后的平均等候隊(duì)伍呈上升趨勢,收費(fèi)站數(shù)量為12個時出現(xiàn)交叉現(xiàn)象,表明收費(fèi)廣場在給定條件下達(dá)到了最佳效率或最大通行能力;每個收費(fèi)站的平均交通負(fù)荷不超過0.7,控制在較低的水平,表明收費(fèi)站的資源和服務(wù)能力得到了有效管理和分配,每個收費(fèi)站能夠在流量高峰期保持相對低的負(fù)荷,不至于出現(xiàn)擁堵或服務(wù)效率下降的情況,仍然有可用資源用于響應(yīng)額外的輸入交通流增加。

圖3 模型1收費(fèi)廣場中等待的平均線路長度

圖4 模型1收費(fèi)廣場的交通負(fù)荷

在模型2中,當(dāng)快速路徑和正常路徑的最佳比例為3∶1、收費(fèi)站數(shù)量為12個或13個時,高速公路收費(fèi)廣場達(dá)到最大通行能力(見圖5)。

圖5 模型2不同收費(fèi)站數(shù)量時的最大通行能力

3 結(jié)論

本文研究高速公路收費(fèi)廣場通行能力優(yōu)化模型。將收費(fèi)廣場排隊(duì)系統(tǒng)分解為FQS、SQS兩個子系統(tǒng),針對不同工況提出兩種優(yōu)化模型。模型1通過優(yōu)化收費(fèi)站數(shù)量和平均服務(wù)時間等參數(shù),最小化平均等待時間,獲得最大通行能力;模型2通過確定快速路徑和正常路徑的最佳比例,最大化系統(tǒng)流量,獲得最大通行能力。模型2將一些收費(fèi)通道設(shè)為快速通道,服務(wù)時間顯著縮短,通過合理調(diào)整路徑比例和排隊(duì)系統(tǒng)的服務(wù)時間提高交通容量,其通行能力大于模型1。當(dāng)快速路徑和正常路徑的比例為3∶1、收費(fèi)站數(shù)量為12個或13個時,高速公路收費(fèi)廣場的通行能力最大。