宋子文 孫 直,?,2) 朱一超,?,3)

* (大連理工大學(xué)工程力學(xué)系,工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析優(yōu)化與CAE 軟件全國重點實驗室,遼寧大連 116024)

? (大連理工大學(xué)寧波研究院,浙江寧波 315016)

引言

梁結(jié)構(gòu)在工程工業(yè)中被廣泛用作受力桿件,例如,航空航天工程中直升機(jī)和旋翼飛機(jī)的復(fù)合材料旋翼,交通運(yùn)輸領(lǐng)域中的橋梁,機(jī)械工程領(lǐng)域中的燃?xì)廨啓C(jī)、轉(zhuǎn)子葉片和機(jī)械臂等[1-3].經(jīng)典的梁理論至今已有200 多年的歷史,從歐拉梁理論,鐵摩辛科梁理論發(fā)展到高階的剪切變形梁理論等[4-5].在有關(guān)梁結(jié)構(gòu)的研究中,一個比較基本的問題是動力學(xué)分析中的自由振動問題,梁的自由振動體現(xiàn)其本征動力學(xué)特性[6].近年來學(xué)者們關(guān)于梁結(jié)構(gòu)的振動分析問題獲得了很多研究成果,包括對變曲率均質(zhì)梁[7]和功能梯度梁[8]的振動特性的研究,提出計算變截面梁橫向振動特性的半解析法[9],使用非局部理論中的近場動力學(xué)方法[6]和重采樣微分求積法[10]對梁進(jìn)行自由振動分析等等.

有限元方法[11]是對梁振動特性開展研究的主要方法之一.但是在對梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行有限元分析時,就像厚度會對板和殼的幾何造成限制一樣,梁相對較小的橫截面尺寸也可能會對梁模型造成限制.尤其是在處理幾何結(jié)構(gòu)(小厚度)或力學(xué)性能(存在“軟”或“硬”層)上具有強(qiáng)烈對比的層狀薄結(jié)構(gòu)時,由于幾何結(jié)構(gòu)和力學(xué)性能的差異和復(fù)雜的有限元離散化過程,三維模態(tài)分析變得更加復(fù)雜,分析結(jié)果可能會出現(xiàn)數(shù)值不穩(wěn)定性.所以對梁、板和殼,推導(dǎo)和使用簡化模型是非常重要且有意義的[12-13].梁的經(jīng)典模型往往通過位移場或應(yīng)力場的先驗假設(shè)得出,將這些先驗假設(shè)在三維模型的平衡方程和本構(gòu)方程中替換,產(chǎn)生有用的簡化模型.經(jīng)過后驗分析,我們發(fā)現(xiàn)傳統(tǒng)梁模型處理非對稱的復(fù)雜截面梁力學(xué)問題時,仍有待改進(jìn)之處.本文中的算例顯示,使用Abaqus或ANSYS 平臺中的梁單元分析非規(guī)則截面梁,如“L”形截面梁的自振頻率時,在某些情況下會與使用三維精細(xì)有限元模型的計算結(jié)果有較大的誤差.因此發(fā)展適用于一般截面形狀的梁模型仍具有實際意義.較之基于假設(shè)推導(dǎo)的理論,漸近分析法是一種更嚴(yán)格的數(shù)學(xué)方法,其在彈性數(shù)學(xué)理論的框架內(nèi)通過保證均勻化模型與原三維細(xì)觀模型在關(guān)鍵物理量的不變性進(jìn)行推導(dǎo),為現(xiàn)有模型的獲取和校正做出了很多工作[13-15],已廣泛應(yīng)用于梁[16-17]、板[18-19]、殼[20-21]等模型的數(shù)學(xué)推導(dǎo)中.漸近分析方法在梁結(jié)構(gòu)的應(yīng)用中已經(jīng)取得了很多杰出的工作成果.學(xué)者們基于漸近分析法刻畫梁的位移場和應(yīng)力場[1,15,22],討論梁模型的邊界問題[23-26],考慮周期變化梁的漸近行為[16,27],推導(dǎo)高階梁模型[16-17,28],分析幾何非線性和材料非線性梁問題[17,29-30],對梁邊界層的力學(xué)行為進(jìn)行預(yù)測[31]等等.

在線彈性理論的框架下,將漸近分析方法用于梁結(jié)構(gòu)的振動分析已證明是成功的技術(shù).Serpilli 等[13]使用漸近展開法研究了層合梁的線性動力學(xué)問題,通過區(qū)分3 種固有頻率來表征梁模型.Guo 等[32]將一般漸近過程應(yīng)用于具有三次非線性的梁-梁耦合系統(tǒng),明確地構(gòu)造了各種局域/全局/混合非線性法向模態(tài).Cao 等[33]應(yīng)用漸近攝動方法,對不同邊界條件下非均勻梁和非均質(zhì)梁自由振動進(jìn)行分析研究,得到其自由振動分析的簡單解析表達(dá)式.本文的工作,從梁的三維模型出發(fā),基于梁截面尺寸遠(yuǎn)小于長度的結(jié)構(gòu)特性,得到與歐拉梁模型復(fù)雜度相當(dāng)?shù)囊痪S等效梁模型,并給出其在固定邊界下的求解方法.將所提方法的計算結(jié)果與有限元軟件中的計算結(jié)果對比,驗證了所推導(dǎo)模型對勻質(zhì)復(fù)雜截面細(xì)長梁進(jìn)行自由振動分析時結(jié)果的準(zhǔn)確性.從工程應(yīng)用的角度看,本文所提出的等效模型可以在Abaqus 中選擇Generalized 模塊使用梁單元計算實現(xiàn),對于復(fù)雜截面細(xì)長梁,其得到的自振頻率值與使用三維實體單元計算得到的自振頻率值保持良好的一致.本文的工作可以為復(fù)雜截面細(xì)長梁的振動分析提供一種計算模型,同時為有限元模擬細(xì)長梁振動分析時梁截面和梁單元的選擇和完善提供參考,有利于更好地了解復(fù)雜截面梁的振動特點.

1 復(fù)雜截面梁力學(xué)行為之漸近分析

本節(jié)從梁構(gòu)型彈性行為的完整三維模型開始.不同于傳統(tǒng)理論中直接引入假定,這里利用梁的截面尺寸相對于其長度尺寸為小參數(shù)的特征,通過嚴(yán)格的攝動分析和數(shù)學(xué)推導(dǎo)以明晰物理量之間的相互關(guān)系.通過對梁結(jié)構(gòu)平衡方程和本構(gòu)方程重新構(gòu)造,和漸近均勻化處理,最終推導(dǎo)出三維梁構(gòu)型的空間一維等效梁模型,并與歐拉梁模型進(jìn)行對比討論.

1.1 三維模型

圖1 是細(xì)長梁的一般示意圖.圖中梁的長度為L.這里考慮均勻截面梁,即梁的截面恒為二維區(qū)域D.選取梁的中軸線方向為x軸方向,于是有(y,z)∈D(這里梁截面D可以為任何形狀).從根本上講,梁構(gòu)型應(yīng)該作為三維物體進(jìn)行分析.故梁內(nèi)任何一點,應(yīng)力分量都滿足動量守恒方程

圖1 細(xì)長梁示意圖Fig.1 Schematic of a slender beam

式中,(u,v,w)為三維空間內(nèi)的位移場,t是時間,τxx等是應(yīng)力分量,fx,fy,fz是體力.當(dāng)不考慮時間項t時,式(1)退化為平衡方程.

如果假設(shè)圖1 所示細(xì)長梁由各向同性的線彈性材料組成,則梁中每一點均滿足各向同性與線彈性的應(yīng)力應(yīng)變本構(gòu)關(guān)系,即

式中,E,v分別是彈性模量和泊松比.

圖1 中的細(xì)長梁,側(cè)邊界 ?D上的單位外法向量始終平行于(y,z)平面,故梁的側(cè)面法向量可表示為n=(0,ny,nz)T.當(dāng)梁的側(cè)邊界上沒有外力施加時,邊界條件為

細(xì)長梁的一個基本特征是其截面尺寸h(h=,SD是梁的截面面積)遠(yuǎn)小于梁的長度L.據(jù)此引入一個小參數(shù)ε

受上述梁尺度特征的影響,如果直接使用三維模型分析梁的受力情況,有限元模型中網(wǎng)格總量將變得很多,計算效率降低.為此,本文將使用漸近分析方法推導(dǎo)與三維梁模型相容的一維等效梁模型.

1.2 漸近分析之預(yù)備

1.2.1 無量綱化與分量各級關(guān)系的確定

為了更好地確定所涉及物理量之間真實的量級關(guān)系,對梁系統(tǒng)進(jìn)行無量綱化.在本文中,以上標(biāo)“'”與對應(yīng)含量綱變量進(jìn)行關(guān)聯(lián),代表其無量綱形式.無量綱化的一個間接目標(biāo)是使無量綱量均在量階“1”處取值,數(shù)學(xué)上用 O(1) 表示.首先引入無量綱化的空間坐標(biāo)[34]

式中軸向坐標(biāo)x的無量綱系數(shù)L與面內(nèi)坐標(biāo)(y,z)的無量綱系數(shù)不同.使用式(5)中的無量綱化方法,對空間坐標(biāo)求導(dǎo)時會在無量綱空間引入量階差,即.因此,在無量綱空間進(jìn)行分析時,相關(guān)無量綱化變量的值都在O(1)大小,而真實物理量之間的量階對比是通過上述求導(dǎo)方法引入的.這也表明,其他物理量的無量綱化過程還需要配合相關(guān)方程進(jìn)行.

式中,W是(y,z)面內(nèi)的代表性變形,其值反映梁的實際彎曲變形程度.所以在梁的構(gòu)型中,位移分量之間也存在天然的量階差異,這和經(jīng)典梁理論的內(nèi)容相符.在未來的工作中,也將證明W的取值不影響問題求解.

將無量綱位移場 (u′,v′,w′) 和無量綱坐標(biāo)(x′,y′,z′) 引入平衡方程,可知 τxx會比 τxy,τxz大一個數(shù)量級,比 τyy,τyz,τzz大兩個數(shù)量級,這與經(jīng)典梁理論的結(jié)論相符.所以應(yīng)力場的無量綱化形式為

其中,τ*為代表性應(yīng)力分量,由彈性模量E、代表性變形W、長度L和參數(shù) ε 定義.

對時間t的無量綱化仍有多種選擇,對于本文所研究的梁問題,時間t無量綱形式為

1.2.2 漸近分析

將1.2.1 節(jié)中無量綱量和無量綱關(guān)系代入動量守恒方程式(1)和本構(gòu)方程式(2),得

注意到式(9)與式(10)中每一個獨立變量都可以關(guān)于小參數(shù) ε2作漸近展開.以u′為例

當(dāng)只考慮位移場的首階項時,由式(10b)、式(10c)和式(10f),發(fā)現(xiàn)橫向位移v′(0),w′(0)的部分偏導(dǎo)數(shù)值是零.所以在 O(ε) 這一精度下無量綱位移分量v′,w′滿足

式中,v*和w*是沿著y軸和z軸方向的位移,θ 是梁的橫截面關(guān)于x軸的轉(zhuǎn)動.v′(0)和w′(0)分別關(guān)于z′和y′線性變化,和經(jīng)典梁理論中的假設(shè)保持一致.值得注意的是,雖然無量綱位移分量v′,w′首階項分別與y′,z′無關(guān),但在高階項(ε2) 時,它們將分別與y′,z′相關(guān),這也確認(rèn)了傳統(tǒng)梁模型的假設(shè)只在漸近意義才下滿足.同時,如果要求對y軸和z軸方向位移場的逼近精度不超過 ε 精度,則線性假設(shè)足夠合理.

由式(10d)和式(10e)知梁位移場首階項的偏導(dǎo)數(shù)和是0,聯(lián)立式(12)和全微分條件,發(fā)現(xiàn)梁的橫截面關(guān)于x軸的轉(zhuǎn)動 θ 沿著x軸不變,其值是一個常數(shù),軸向位移場的首階項u′(0)可寫作

式中,u′(0)由3 項組成,包括與軸向坐標(biāo)x′相關(guān)的平移項u*,由y′,z′兩個方向位移造成的影響項和.

然后,將位移場考慮到高階項 ε2,無量綱化的本構(gòu)方程式(10a)～ 式(10c)更新為

式中 τ′(0)xx由 (u′,v′,w′) 共同決定,與u*的一階偏導(dǎo)數(shù),v*和w*的二階偏導(dǎo)數(shù)成線性關(guān)系.

1.3 針對梁構(gòu)型的漸近均勻化

本節(jié)基于1.1 節(jié)中關(guān)于梁截面的假設(shè),以物理量關(guān)于梁截面的積分引入均勻化的物理量.以梁截面的形心為原點定義積分式

帶上標(biāo) ”-” 的物理量表示對應(yīng)物理量關(guān)于截面D′的平均,依據(jù)下式定義軸力、剪力、扭矩和彎矩

將無量綱化的動量守恒方程式(9)關(guān)于截面D′積分,運(yùn)用散度定理和邊界條件,得

再聯(lián)立式(9a)與彎矩,的定義式,得

聯(lián)立式(18)和式(19),忽略高階項.知沿著梁的軸向軸力是均勻的.并得到梁的彎曲控制方程

再將 τ′(0)xx代入無量綱彎矩的表示式并聯(lián)立式(20),可將梁的橫向彎曲控制方程更新為

在對梁構(gòu)型漸近均勻化過程中,基于式(16),利用了梁幾何結(jié)構(gòu)的對稱性.后續(xù)工作將考慮非勻質(zhì)截面梁問題,考慮材料參數(shù)的不對稱性,這將使積分關(guān)系發(fā)生變化,可能產(chǎn)生新的等效模型.

1.4 與梁模型對比與初步討論

等截面、等密度和彈性模量為E的歐拉梁彎曲振動微分方程可表示為

式中,m=ρD是單位長度梁的質(zhì)量,p(x,t) 是沿著z軸方向的橫向載荷.

將式(21)和式(23)對比.首先,歐拉梁模型沿著y,z兩個方向的振動完全分離,沒有考慮兩個方向振動的相互影響,對應(yīng)到方程中,即不包含式(21)中的慣性積項Iyz.當(dāng)截面形心主慣性軸與坐標(biāo)軸重合時,梁截面的慣性積為0,式(21)和式(23)是一致的.同時也表明純彎曲變形是梁振動分析中的首階項,更高階變形可根據(jù)本文內(nèi)容進(jìn)行展開獲得.但是當(dāng)截面的形心主慣性軸與坐標(biāo)軸不重合時,如果梁截面的慣性矩仍然對坐標(biāo)軸而不是形心主慣性軸求得,式(21)和式(23)將不再等效,慣性積項的影響將是一個值得關(guān)注的問題.

1.5 梁的固有頻率求解

如果梁截面中定義的一組正交坐標(biāo)軸是主慣性軸,使慣性積Iyz為0.那么梁的振動控制方程式(23)將退化為歐拉梁振動控制方程的無量綱形式,如果梁截面相對于正交坐標(biāo)軸的慣性積Iyz不是0,可以對坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)變化尋找主慣性軸,使Iyz值為0.

基于以上內(nèi)容,按照分離變量法求解梁的彎曲振動控制方程,兩端固定邊界條件下細(xì)長梁的自由振動頻率求解[35]如下

式中,k是分離變量法引入的特征根,L是梁的長度,j是頻率的階數(shù).是單位截面質(zhì)量,w是梁的振動角頻率,f是振動頻率.

2 數(shù)值算例與分析

本節(jié)選擇兩端固定邊界下,不同形狀橫截面細(xì)長梁算例,依據(jù)1.5 節(jié)中的求解方法對推導(dǎo)的一維等效梁模型進(jìn)行數(shù)值求解,并通過有限元軟件Abaqus(2023)進(jìn)行仿真計算(為了方便,后文軟件的名稱直接寫為Abaqus),進(jìn)而對細(xì)長梁的低階振動頻率計算結(jié)果進(jìn)行分析與討論.

2.1 有限元模型介紹

勻質(zhì)截面梁結(jié)構(gòu)的有限元仿真分析過程,既可以建立梁的三維模型仿真分析;也可以將梁簡化為一維模型使用梁單元進(jìn)行仿真分析.當(dāng)在Abaqus 中使用梁單元仿真分析時,只需要對梁軸向劃分網(wǎng)格,網(wǎng)格數(shù)量將顯著少于三維模型網(wǎng)格數(shù)量.

本文算例中材料的彈性模量為200 GPa,泊松比為0.3,密度為1000 kg/m3.幾何參數(shù)以mm 為單位,梁軸向長度2000,有限元模型軸向網(wǎng)格尺寸統(tǒng)一為20.三維有限元模型采用8 節(jié)點六面體線性縮減積分單元(C3D8R)劃分網(wǎng)格,由于梁截面尺寸和對稱性的差異,不同的梁截面劃分不同尺寸的網(wǎng)格.Abaqus 中梁單元根據(jù)單元位移場插值方式的不同分為3 種: 線性梁單元(B31)、二次梁單元(B32)和三次梁單元(B33).前兩種梁單元基于Timoshenko梁理論,第3 種梁單元基于歐拉梁理論.本文中有限元模型按照Lanczos 方法求解自由振動頻率,計算結(jié)果關(guān)于網(wǎng)格密度均收斂,為了節(jié)省篇幅,不再對梁截面網(wǎng)格尺寸進(jìn)行陳述.

2.2 簡單截面梁算例

首先選擇圖2(a)中w=5 時的梯形截面建立細(xì)長梁,分別使用三次梁單元和三維實體單元進(jìn)行仿真分析.計算結(jié)果整理于表1.由表1 知,w=5 時梯形截面細(xì)長梁使用三次梁單元得到的自振頻率、所提出方法得到的自振頻率都能夠和使用三維實體單元得到的自振頻率保持一致.

表1 梯形截面細(xì)長梁的自振頻率值 (Hz)Table 1 The natural frequency value of the slender beam with trapozoidal cross-section (Hz)

圖2 不同方法與三維實體單元計算結(jié)果的誤差曲線Fig.2 The curve of the relative error value between 3D solid element and other methods

因為Abaqus 梁的截面庫中提供的是對稱梯形截面,而不對稱梯形截面可以通過截面庫中的Generalized 選項(用戶自定義截面)輸入面積、慣性矩、慣性積等信息生成等效截面.接下來將梯形截面的尺寸參數(shù)w由5 變更為7,9,11,13 和15,其他尺寸參數(shù)保持不變,形成不對稱梯形截面.討論在Abaqus 中選擇截面庫內(nèi)的對稱梯形截面和自定義截面使用梁單元分別模擬不對稱梯形截面細(xì)長梁自振頻率時的準(zhǔn)確性.相對誤差結(jié)果整理于圖2 和表2.

表2 使用三維實體單元和使用自定義截面的三次梁單元前6 階自振頻率結(jié)果間的相對誤差值 (%)Table 2 The relative error value of the first 6 natural frequency value between 3D solid element and the cubic beam element with generalized cross-sections (%)

圖2(a) 中的誤差曲線顯示,隨著w值的增加,如果仍然在Abaqus 梁截面庫中選擇梯形截面使用三次梁單元進(jìn)行分析計算,得到的各階自由振動頻率與三維實體單元計算結(jié)果間的誤差整體呈增大趨勢,相對誤差值最大已經(jīng)超過20%,并且此時使用三次梁單元得到的各階自振頻率值非常不穩(wěn)定.當(dāng)w由5 變?yōu)?1 時(誤差結(jié)果對應(yīng)圖2(a)中綠色的曲線),使用梯形截面的三次梁單元計算結(jié)果中前6 階振動頻率的相對誤差在10%左右,此時使用梯形截面通過三次梁單元得到的自振頻率值不再可靠.

圖2(b)中誤差曲線顯示,當(dāng)w=13 時第5 階自振頻率和w=7 時第2 階自振頻率的相對誤差值呈現(xiàn)出波動,但相對誤差的絕對值整體不超過2.5%.所以對于不對稱梯形截面細(xì)長梁,所提方法得到的結(jié)果與使用三維實體單元得到的結(jié)果能夠保持穩(wěn)定的一致.表2 中的相對誤差值顯示,在Abaqus 中選擇Generalized 選項使用三次梁單元計算不對稱梯形截面細(xì)長梁的自振頻率值非常準(zhǔn)確,相對誤差絕對值在1.5%以內(nèi).因為誤差值多為正值,所以使用三維實體單元的計算結(jié)果整體偏小一些.

因為梯形截面按圖1 定義的坐標(biāo)軸不是形心主慣性軸,依照1.5 節(jié)中提出的方法計算時,需要計算形心主慣性矩.使用自定義截面時,輸入的慣性矩和慣性積由截面相對于過形心的一組正交軸得到.計算不對稱梯形截面細(xì)長梁自振頻率值時,使用自定義截面選擇梁單元計算和本文所提方法計算都需要同樣的慣性矩和慣性積等信息,且兩種方法得到的結(jié)果非常接近,所以本文推導(dǎo)的空間一維等效梁模型和求解方法是對Abaqus 中使用自定義截面通過梁單元進(jìn)行計算的一種理論驗證.

2.3 復(fù)雜截面梁算例

由2.2 節(jié)中的內(nèi)容發(fā)現(xiàn)本文推導(dǎo)的一維梁模型和求解方法是對Abaqus 使用自定義截面通過梁單元計算的一種理論驗證,且本節(jié)所有的算例中,使用所提方法和使用自定義截面通過三次梁單元計算的結(jié)果非常接近,再次驗證了上述結(jié)論,故本節(jié)不再展示和討論使用自定義截面通過三次梁單元計算結(jié)果與三維實體單元計算結(jié)果的誤差.

2.3.1 L 形截面細(xì)長梁

本小節(jié)選擇圖3 中的L 形截面建造細(xì)長梁進(jìn)行分析討論,通過調(diào)整t1和t2的值改變算例中L 形截面的形狀.首先選擇t1=1,t2=2 和t1=8,t2=12 兩組參數(shù)分別建立細(xì)長梁模型.依據(jù)所提方法計算,在Abaqus 中分別選擇L 形截面使用梁單元仿真計算;選擇自定義截面使用三次梁單元仿真計算;建立三維模型仿真計算,以Abaqus 中三維模型的計算結(jié)果作為基準(zhǔn).結(jié)果整理于表3 和表4.

表3 第1 個L 形截面細(xì)長梁的自振頻率值 (Hz)Table 3 The natural frequency value of the slender beam with the first L-shaped cross-section (Hz)

表4 第2 個L 形截面細(xì)長梁的自振頻率值 (Hz)Table 4 The natural frequency value of the slender beam with the second L-shaped cross-section (Hz)

圖3 不同方法結(jié)果與三維實體單元結(jié)果的誤差曲線Fig.3 The curve of the relative error value between 3D solid element and other methods

因為L 形截面算例使用線性梁單元,二次梁單元的結(jié)果整體上比較接近,所以只選擇線性梁單元的計算結(jié)果進(jìn)行對比.由表3 知,t1/W1和t2/W2值較小時,使用三維實體單元和選擇L 形截面使用三次梁單元得到的結(jié)果非常接近,其中三維模型的計算結(jié)果稍小一點,原因可能是三維模型考慮剪切變形等對梁自由振動的影響,更貼近真實的梁結(jié)構(gòu).而選擇L 形截面使用線性梁單元的結(jié)果除第1、第3 階頻率外與三維實體單元結(jié)果相差明顯,使用梁單元計算時,結(jié)果呈現(xiàn)不穩(wěn)定性.由表4 知,t1/W1和t2/W2值較大時,選擇L 形截面使用三次梁單元和線性梁單元計算結(jié)果非常接近,但是除第2 階振動頻率外,與三維實體單元結(jié)果相差明顯.由表3 和表4 中的數(shù)據(jù)知,選擇L 形截面使用梁單元得到的結(jié)果與使用實體單元得到的結(jié)果可能會有較大誤差.但基于所提方法計算L 形截面細(xì)長梁自振頻率時(對應(yīng)選擇自定義梁截面使用梁單元計算),能和三維模型的結(jié)果保持很好的一致性,證明所提方法計算復(fù)雜截面細(xì)長梁自由振動頻率時仍然準(zhǔn)確有效.

基于兩種L 形截面計算結(jié)果,調(diào)整t1和t2的值探究在Abaqus 的梁截面庫中選擇L 形截面使用線性梁單元和三次梁單元計算細(xì)長梁自振頻率的適用情況.t1和t2的值由1 分別調(diào)整為2,3,4,5,8 和10.計算后的相對誤差結(jié)果整理于圖3.

由圖3(a)和圖3(b)知,隨著t1/W1和t2/W2逐漸增加,使用L 形截面的三次梁單元與三維實體單元計算結(jié)果間誤差越來越明顯,且呈現(xiàn)增大的趨勢.當(dāng)t1,t2值不超過3 時,選擇L 形截面使用三次梁單元的結(jié)果相對誤差在3%以內(nèi);當(dāng)t1,t2值為1 時,使用線性梁單元得到的前六階自振頻率中除了第1 階和第3 階外,相對誤差絕對值均在10%以上,與選擇L 形截面使用三次梁單元的結(jié)果有明顯不同;當(dāng)t1,t2值為2 和3 時,選擇L 形截面使用線性梁單元得到結(jié)果與三維實體單元結(jié)果間的相對誤差最大值保持在6%以內(nèi).但是,當(dāng)t1,t2值超過5 時,選擇L 形截面使用兩種梁單元得到的首階自振頻率誤差均已超過7%,最大誤差甚至已接近于30%,結(jié)果不再可靠.由圖3(a)和圖3(b)中的相對誤差結(jié)果知,選擇L 形截面使用梁單元計算自振頻率時結(jié)果不穩(wěn)定,所以有限元軟件中使用梁單元進(jìn)行自由振動分析的過程需要完善.圖3(c)中誤差曲線顯示,使用所提理論計算自振頻率值時,對于t1/W1和t2/W2值較小的L 形截面,相對誤差值有所波動,但是相對誤差值整體非常穩(wěn)定,絕對值在3%以內(nèi),結(jié)果準(zhǔn)確有效.因為相對誤差值多為正值,所以三維實體單元的大部分求解結(jié)果偏小,這與前文計算結(jié)果一致.

本小節(jié)算例的結(jié)果表明,使用梁單元計算細(xì)長梁的自振頻率時,需要選擇合適的截面類型,直接選擇L 形截面,可能會因為軟件計算過程中對截面信息處理有偏差,使計算結(jié)果產(chǎn)生較大的誤差.但使用本文所提理論(對應(yīng)Abaqus 中選擇自定義截面通過梁單元計算) 得到的自振頻率能始終準(zhǔn)確有效.另外,對于本小節(jié)中的L 形截面算例,雖然在Abaqus中選擇L 形截面使用梁單元計算得到的結(jié)果相比三維實體單元計算得到的結(jié)果誤差較大,但是在有限元軟件ANSYS(2021)中使用基于Timoshenko 梁理論的Beam188 梁單元進(jìn)行計算時,除了t1,t2值為1 和t1,t2值為2 時,選擇L 形截面計算得到的結(jié)果與三維實體單元計算得到的結(jié)果某些階頻率誤差比較大之外,其他L 形截面算例的計算結(jié)果均能與三維實體單元的計算結(jié)果保持較好的一致性,篇幅限制不再進(jìn)行展示.

2.3.2 6 字形截面細(xì)長梁

本小節(jié)選擇幾何更復(fù)雜的6 字形截面(圖4 所示)細(xì)長梁進(jìn)行分析討論.因為Abaqus 截面庫中沒有直接提供6 字形截面,所以需要通過截面庫中的Arbitrary 選項得到.計算結(jié)果見圖4 和表5.

表5 6 字形截面細(xì)長梁的自振頻率值 (Hz)Table 5 The natural frequency value of the slender beam with the 6-shaped cross-section (Hz)

由表5 知,6 字形截面細(xì)長梁使用線性梁單元和三次梁單元得到的結(jié)果非常接近,但都與三維實體單元得到的結(jié)果相差明顯.由圖4 知,選擇6 字形截面使用梁單元得到的計算結(jié)果與三維實體單元結(jié)果前六階自振頻率的相對誤差值均達(dá)到 -7.9%以上.現(xiàn)實中如果使用這樣的結(jié)果作為參考,可能會產(chǎn)生較大的危害.而基于本文推導(dǎo)模型和求解方法得到的自振頻率值與三維實體單元的計算結(jié)果很接近,相對誤差絕對值保持在1%以內(nèi).

需要指出的是,在Abaqus 中使用梁單元仿真分析時,截面內(nèi)位移和應(yīng)力的分布情況需要后續(xù)工作進(jìn)一步的探究,尤其在選用自定義截面時,會喪失截面本身的幾何形狀,而本文提出的模型在第1 節(jié)中已經(jīng)通過漸近分析法對截面中應(yīng)力和位移的分布進(jìn)行了分析與推導(dǎo),后續(xù)工作可基于此開展研究.6 字形截面細(xì)長梁的計算結(jié)果再次證明,基于本文所推導(dǎo)的模型,當(dāng)梁截面的慣性矩和慣性積等信息由過形心的正交軸求得時,通過本文所提出的求解方法尋找形心主慣性矩求解,足以對復(fù)雜截面細(xì)長梁的低階振動頻率進(jìn)行捕捉.

3 結(jié)論與展望

本文通過漸近均勻化的方法,根據(jù)細(xì)長梁的特征引入小參數(shù) ε,對三維梁構(gòu)型的動量守恒方程和本構(gòu)方程重新構(gòu)造,系統(tǒng)地推導(dǎo)了三維梁模型之一維等效梁模型,提出求解方法并通過有限元軟件中的三維實體單元計算驗證.然后,將兩端固定邊界條件下簡單截面和復(fù)雜截面細(xì)長梁的有限元結(jié)果和所提方法的結(jié)果進(jìn)行比較分析,發(fā)現(xiàn)使用軟件中的梁單元進(jìn)行自由振動分析時,結(jié)果可能會產(chǎn)生較大的偏差,原因可能是沒有計算準(zhǔn)確復(fù)雜截面的形心主慣性矩.在這一過程中得到如下結(jié)論.

(1)本文使用漸近分析的方法系統(tǒng)嚴(yán)格地推導(dǎo)了細(xì)長梁三維模型的一維相容模型,得到的彎曲振動控制方程復(fù)雜度與歐拉梁模型復(fù)雜度一致,漸近分析的結(jié)果也表明純彎曲變形只是梁振動分析中的首階項.

(2)將所推導(dǎo)彎曲控制方程的求解結(jié)果與三維實體單元劃分模型的計算結(jié)果對比分析,驗證了使用漸近分析法推導(dǎo)梁模型的有效性和準(zhǔn)確性.本文所推導(dǎo)的模型可以為有限元軟件Abaqus 中選擇自定義截面使用三次梁單元計算過程提供一種理論驗證,或者說本文所推導(dǎo)的模型可以通過該模塊便捷地實現(xiàn).

(3)當(dāng)截面的慣性矩和慣性積等幾何信息相對截面的形心正交軸求得時,使用本文所提出的方法或在Abaqus 中選擇用戶自定義截面使用三次梁單元計算,可以對復(fù)雜截面細(xì)長梁的低階振動頻率進(jìn)行足夠準(zhǔn)確的捕捉.所推導(dǎo)的模型和求解方法可以為有限元軟件中梁單元的完善提供參考.

后續(xù)將使用漸近分析的方法,考慮非勻質(zhì)復(fù)雜截面梁結(jié)構(gòu)的特點,推導(dǎo)等效模型,并對截面內(nèi)應(yīng)力和位移的分布進(jìn)行分析驗證,相關(guān)結(jié)果將為了解工程領(lǐng)域非均勻和非勻質(zhì)復(fù)雜截面梁的振動特性提供參考,有利于了解梁的振動特點,減少共振破壞.

數(shù)據(jù)可用性聲明

支撐本研究的科學(xué)數(shù)據(jù)已在中國科學(xué)院科學(xué)數(shù)據(jù)銀行ScienceDB(science data bank)平臺公開發(fā)布,訪問地址為https://doi.org/10.57760/sciencedb.j00-140.00031 或https://cstr.cn/31253.11.sciencedb.j00140.00031.