吳秋瑩 胡斌 劉財 高銳

摘要：在地震數(shù)據(jù)處理中，多次波的存在會對地震數(shù)據(jù)成像和地震資料解釋帶來影響，如何有效地壓制多次波干擾是地震勘探中的重要問題。拋物線Radon變換因其高效的特點被廣泛應用于多次波壓制中，但在野外地震數(shù)據(jù)采集時，炮檢距的有限性會導致變換域中的能量擴散，產(chǎn)生假象，使多次波壓制達不到理想的效果。針對此問題，提出一種基于L_1/2正則化的稀疏反演高分辨拋物線Radon變換，并應用廣義迭代收縮算法（generalized iterated shrinkage algorithm， GISA）進行求解。研究結(jié)果表明，L_1/2正則化有很強的稀疏約束能力，能提高解的稀疏度，改進信噪分離的效果。與最小二乘反演和基于L₁正則化的稀疏反演相比，基于L_1/2正則化的稀疏反演高分辨拋物線Radon變換能更有效地壓制多次波，并確保了重構(gòu)數(shù)據(jù)與原始數(shù)據(jù)的一致性。

關(guān)鍵詞：多次波壓制；高分辨率拋物線Radon變換；L_1/2正則化

doi：10.13278/j.cnki.jjuese.20220307

中圖分類號：P631.4

文獻標志碼：A

收稿日期：2022-11-08

作者簡介：吳秋瑩（1993—），女，博士研究生，主要從事地震數(shù)據(jù)處理工作，E-mail： qywu20@mails.jlu.edu.cn

通信作者：劉財（1963—），男，教授，博士生導師，主要從事地震波場正反演理論、綜合地球物理等方面研究，E-mail： liucai@jlu.edu.cn

基金項目：國家自然科學基金項目（41874125）

Supported by the National Natural Science Foundation of China （41874125）

Multiple Suppression Method of Parabolic Radon Transform

Based on L_1/2RegularizationWu Qiuying ¹， Hu Bin¹， Liu Cai¹， Gao Rui^2，3

1. College of GeoExploration Science and Technology， Jilin University， Changchun 130026， China

2. School of Earth Sciences and Engineering， Sun Yat-Sen University， Guangzhou 510275， China

3. Key Laboratory of Deep-Earth Dynamics of Ministry of Natural Resources， Institute of Geology， Chinese Academy of

Geological Sciences， Beijing 100037， China

Abstract： In the context of seismic data processing， the presence of multiples poses inherent challenges to the imaging and interpretation of seismic data. The effective suppression of these multiples stands as a key issue in seismic exploration. Leveraging its high efficiency， the parabolic Radon transform emerges as a widely used technique for multiple suppression. However， in field seismic data acqisition， due to the limited offset， energy diffusion and illusions reduce the effect of multiple suppression in the Radon domain. In response to this challenge， we propose a L_1/2-regularized high-resolution parabolic Radon transform with sparse inversion， where the inverse problem is solved by? generalized iterated shrinkage algorithm （GISA）. The L_1/2 regularization chosen for its robust sparse constraint capabilities plays an important role in enhancing the solution sparsity and improving the signal-noise separation. Compared with the least square inversion and the sparse inversion method based on L₁regularization， the L_1/2-regularized sparse inversion of using the high-resolution parabolic Radon transform can suppress multiples effectively and ensure the consistency between the reconstructed data and the original data.

Key words： multiple suppression; high-resolution parabolic Radon transform; L_1/2regularization

0 引言

多次波在反射波地震勘探中通常被視為干擾波，較強的多次波會影響深層一次波的成像效果，在地震資料解釋中造成誤解。因此，針對壓制多次波的問題，國內(nèi)外學者對此做了大量的研究。壓制多次波的方法一般可分為兩個類別^[1-2]：一是濾波類方法，這類方法基于一次波和多次波的周期性、空間特性等差異來壓制多次波，常用的方法有預測反褶積^[3]、Radon域濾波^[4]、f-k（頻率-波數(shù)）域濾波^[5]、聚束濾波^[6]等；二是預測相減類方法，這類方法是對多次波進行預測并從地震記錄中減去，常用的方法有逆散射級數(shù)法^[7]、波場延拓法^[8]、自由表面多次波壓制法^[9-10]等。由于一次反射波與具有相同法線時間的多次反射波相比，傳播速度更高，兩者同相軸之間存在明顯差異，當一次波和多次波間的速度差異較大時，濾波方法能有效且高效地壓制多次波。由于一次反射和多次反射在τ-q（截距-曲率）域中的分離效果較f-k、τ-p（斜率）域中的分離效果更好，且更高效、成本更低，故拋物線Radon變換被廣泛地應用于壓制多次波。高分辨率拋物線Radon變換能使一次波和多次波在速度差異較小時也得以分辨。因此，本文研究了拋物線Radon變換及其高分辨率方法。

Radon變換于1917年由Radon提出^[11]，20世紀70年代被引入到地球物理領(lǐng)域。1986年，Hampson^[4]利用拋物線Radon變換在動校正后的共中心點（common middle point， CMP）道集上壓制表面多次波，并提出利用最小二乘反演法來優(yōu)化Radon域的數(shù)據(jù)，此反演方法減少了拋物線Radon域的模糊現(xiàn)象。然而影響Radon變換分辨率的主要因素包括空間假頻、截斷誤差、保幅性問題等，通?？梢詰孟∈璺囱莘椒▉斫鉀Q地震數(shù)據(jù)的稀疏性問題以提高Radon域中的數(shù)據(jù)分辨率。所以，1995年，Sacchi等^[12]將Radon變換考慮為稀疏反演過程，提高了Radon變換域的分辨率，并將拋物線Radon變換在頻率域?qū)嵭校岣逺adon變換的效率。2000年，Herrmann等^[13]利用一種高分辨的拋物線Radon變換區(qū)分一次波和多次波，以非迭代的方式處理混疊和分辨率問題，使空間假頻的問題得到一定的解決。2009年，熊登等^[14]提出利用混合域的Radon變換壓制多次波，提高了計算效率和分辨率。2013年，Li等^[15]利用λ-f域（其中，λ=fq）的Radon變換對多次波壓制后的數(shù)據(jù)進行保幅。2016年，鞏向博等^[16]提出混合域雙曲線Radon變換多次波壓制方法，提高了分辨率和計算效率。

本文重點研究基于稀疏反演的高分辨率Radon變換。稀疏反演問題在求解時，會存在解不唯一的情況，為解決此問題，可以在高分辨率Radon變換基礎(chǔ)上加入L范數(shù)約束的稀疏約束條件，得到稀疏約束的Radon變換。L₀范數(shù)正則化約束具有稀疏性，但其最優(yōu)化問題求解較困難，可以使用L₁范數(shù)替代^[17]。L₁正則化是L₀正則化的最優(yōu)凸近似，它比L₀正則化容易求解并且更具稀疏性，但已有研究表明L₁正則化并不是最佳的稀疏正則化^[18]。2010年，Xu等^[19]提出了L_1/2正則化，證明了L_1/2正則化可以得到比L₁正則化更稀疏、更穩(wěn)定的解，是L_p（01/2正則化應用于各種研究中，如2012年Zeng等^[20]用于稀疏雷達成像中、2013年Sun等^[21]用于遙感數(shù)據(jù)高光譜解混中、2019年康治梁等^[22]用于地震稀疏反褶積中。

本文將L_1/2正則化方法引入拋物線Radon變換壓制多次波中，并與L₁正則化方法進行對比，通過模型數(shù)據(jù)及實際數(shù)據(jù)驗證方法的有效性。

1 基本理論

1.1 拋物線Radon變換

Radon變換多次波壓制方法基于一次波和多次波的時差差異，在采用介于一次波與多次波之間的速度對地震數(shù)據(jù)的CMP道集進行動校正后，同相軸的剩余時差接近拋物線形狀，因此經(jīng)過拋物線Radon變換，可以將一次波和多次波具有不同曲率的同相軸映射到Radon域中的不同區(qū)域，以實現(xiàn)一次波與多次波的分離。拋物線Radon變換的求和軌跡沿著拋物線進行，其正反變換的表達式分別為：

式中：d（t，x_k）為地震數(shù)據(jù)；m（τ，q_j）為拋物線Radon變換后的Radon域數(shù)據(jù)；x_k為偏移距；N_x為地震道數(shù)；t為時間；q_j為曲率參數(shù)；N_q為曲率參數(shù)的數(shù)量。拋物線Radon變換使在時-空域具有拋物線形狀的同相軸在拋物線Radon域映射成一個點。

為提高拋物線Radon變換的計算效率，通常對地震剖面沿時間方向進行Fourier變換，其正反變換公式分別為：

式中：f為頻率；M（q_j，f）為頻率域Radon數(shù)據(jù)；D（x_k，f）為頻率域地震數(shù)據(jù)。利用式（3）使每個頻率成分分別反演，獨立進行Radon變換。式（3）和（4）表示為矩陣形式可分別描述為：

m=A^Hd；??? （5）

d=Am。??? （6）

其中，算子A及其共軛轉(zhuǎn)置A^H分別定義為：

Hampson^[4]采用拋物線Radon變換在CMP道集中壓制多次波，并且利用最小二乘反演法，得到最小二乘解為

m=（A^HA）^-1A^Hd。 ???（9）

通常，為了反演過程的穩(wěn)定性，在矩陣主對角線上引入阻尼參數(shù)α，即

m=（A^HA+αI）^-1A^Hd。 ???（10）

α一般選擇為矩陣A^HA的百分之幾。

最小二乘拋物線Radon變換提高了Radon域數(shù)據(jù)的分辨率以及變換的精度和聚焦能力，使Radon域假象減少，限制部分能量擴散，且確保了重構(gòu)數(shù)據(jù)與原始數(shù)據(jù)的一致性，然而，結(jié)果仍然不是最佳的。

影響Radon變換分辨率的主要因素有以下幾點^[23]：一是q的取值范圍。若q的取值范圍較大，則Radon域的能量不能較好地聚焦，產(chǎn)生空間假頻問題。q的變化量Δq和最大值q_max應滿足^[24]：

式中：x_max為最大跑檢距；f_max為信號的最高頻率。二是由于炮檢距的有限性，能量出現(xiàn)發(fā)散現(xiàn)象，使Radon域中的映射不是一個點，而是具有拖尾現(xiàn)象的剪刀狀。因此，希望Radon域的解更加稀疏，使x-t域的同相軸在Radon域投影成一個帶限的脈沖，應用稀疏反演方法解決地震數(shù)據(jù)的稀疏性問題，而后優(yōu)化反演中的稀疏化參數(shù)，使同相軸在Radon域有更好的局部化特征，對反演結(jié)果不斷地進行迭代修改，并優(yōu)化求解算法，提高Radon域中的數(shù)據(jù)分辨率。三是噪聲。應在保證有效信號不丟失的情況下盡可能地壓制噪聲，故對信號進行保幅性處理。

1.2 基于L_1/2正則化的拋物線Radon變換

利用L范數(shù)作為懲罰項來約束反演目標函數(shù)的正則化方法，可以使結(jié)果滿足稀疏化，保留待反演參數(shù)的特征信息，并且求得唯一的稀疏解，從而獲得稀疏約束的高分辨率拋物線Radon變換。常用的正則化方法有L₀正則化、L₁正則化、L₂正則化、L_p正則化，用單位球幾何形狀表示如圖1所示。L₀范數(shù)表示向量中非零元素的數(shù)目，其正則化約束區(qū)域沒有角（圖1a），很難出現(xiàn)零解，所以該方法具有稀疏性，但其求解困難，應用較少；L₁正則化的約束區(qū)域是正方形（圖1b），該正則化具有對異常值不敏感的特性，是凸優(yōu)化問題，可以使用增廣拉格朗日乘子法^[25]、迭代軟閾值法^[26]、迭代重加權(quán)最小二乘法^[27]、梯度投影法^[28]等進行求解，能實現(xiàn)較好的稀疏效果；L₂正則化可以避免模型發(fā)生過擬合現(xiàn)象，但其約束區(qū)域沒有角（圖1c），很難出現(xiàn)零解，可以避免模型發(fā)生過擬合現(xiàn)象，但沒有L₁正則化稀疏。

Chartrand等^[18]在壓縮感知方面對L₁正則化優(yōu)化問題進行研究的實驗數(shù)據(jù)表明，L_p（01正則化能從更少的觀測數(shù)據(jù)中恢復稀疏信號，信號恢復能力更強、更穩(wěn)定、有更低的預測誤差。Xu等^[19]系統(tǒng)研究了L_p（01/2正則化問題。如圖1d所示，L_1/2正則化的解出現(xiàn)在拐角處，表明比L₁正則化更稀疏。研究表明，當1/2≤p<1時，L_1/2正則化是L_p正則化中最稀疏的；當0p正則化具有與L_1/2正則化相似的性質(zhì)，p的取值對稀疏解的影響不大^[19]。所以說L_1/2正則化是L_p（0

L_1/2正則化的最優(yōu)化問題可表示為

L_p（0

根據(jù)GISA，式（14）的迭代解可表示為：

m_k+1=GST（θ_k+1，ξμ，p）; ???（15）

θ_k+1=m_k-μA^H（Am_k-d）。 ???（16）

式中：m_k為迭代k次的迭代解；ξ為迭代步長；GST（·）為廣義軟閾值算子，定義為

式中，sgn（·）為符號函數(shù)。

為了加速算法的收斂性，采用Beck等^[32]提出的快速收斂策略，將Nesterov加速算法引入到GISA中：

此方法提高了反演的收斂速度以及計算效率。最終得到m︿，獲得了拋物線Radon變換更具稀疏性、且高分辨率的結(jié)果，達到理想的多次波壓制效果。

2 正演模型測試

為驗證以上理論，利用模擬地震記錄進行模型測試。模擬數(shù)據(jù)理論模型為八層水平層狀速度模型（圖2）。時間方向有500個采樣點，采樣間隔為4 ms，空間方向上為126道，偏移距為0～3 150 m，道間距25 m。圖3為動校正前后的CMP道集。從原始CMP道集（圖3a）中可以觀察到多條一次波和一系列多次波，多次波集中在中下部0.6～2.0 s。從經(jīng)過動校正后的CMP道集（圖3b）中可以看出，由于多次波的速度較相同法線時間一次波的速度更低，所以在CMP道集中按照一次波速度動校正后，一次波被拉平，而多次波因校正不足，呈現(xiàn)下拉的狀態(tài)，使多次波同相軸剩余時差更接近拋物線形態(tài)。在圖3b中觀察到的下拉狀態(tài)的同相軸均為多次波。

利用傳統(tǒng)最小二乘拋物線Radon變換方法和基于L₁正則化的拋物線Radon變換方法作為對比組，以驗證本文方法在多次波壓制方面的效果。從圖4可以看出，經(jīng)過拋物線Radon變換后，一次波分布在q=0附近和q＜0區(qū)域，多次波分布在q＞0區(qū)域。利用最小二乘拋物線Radon變換得到的Radon域數(shù)據(jù)，同相軸在Radon域中沒有較好地聚成一點，產(chǎn)生較多假象（圖4a）；利用基于L₁正則化拋物線Radon變換得到的Radon域數(shù)據(jù)假象減少，但效果并不理想（圖4b）；使用基于L_1/2正則化拋物線Radon變換得到的Radon域數(shù)據(jù)（圖4c），比圖4b的“拖尾”效應得到明顯的改善，能量更匯聚，數(shù)據(jù)變換精度和聚焦能力得到進一步提高。

接下來，在Radon域中切除多次波所在的q＞0區(qū)域，再變換回時-空域，得到只有一次波的動校正后的CMP道集，再經(jīng)過反動校正，得到壓制多次波后的CMP道集。

將多次波壓制結(jié)果與不含多次波的波場進行對比，結(jié)果如圖5所示。可以看出：最小二乘拋物線Radon變換（圖5b）和基于L₁正則化的拋物線Radon變換（圖5c）的多次波壓制結(jié)果在0.7、1.2以及1.6 s處仍有一些殘余的多次波能量；本文方法的多次波壓制結(jié)果在相同位置幾乎沒有殘余的多次波（圖5d）。

通過速度譜對結(jié)果進行進一步對比。圖6為本文方法壓制多次波前后的速度譜，從中可以明顯看到，時間在0.8～2.0 s、速度在2 000 m/s的多次波能量得到了較好的壓制，而一次波的能量得以保留，利于更準確地識別速度信息。

綜上，在基于3種算法的拋物線Radon變換壓制多次波中，本文方法能獲得最稀疏的解，使多次波得到極好的壓制，并且也能有效保護一次波的振幅，具有一定程度的保幅性。

為測試本文方法的抗噪能力，以S_NR=m/（m-m-）作為信噪比（m為不含噪聲信號，m-為含噪聲信號）。分別以信噪比為5、-5、-15 dB加入到某一模型數(shù)據(jù)中，得到不同信噪比的正演模型數(shù)據(jù)。利用本文方法對數(shù)據(jù)進行重建，結(jié)果如圖7所示，不同信噪比數(shù)據(jù)的重構(gòu)誤差如表1所示。

由圖7、表1可知，即使噪聲較強，對重建數(shù)據(jù)也并沒有過大影響；可以證明本文方法的抗噪能力較強，能夠?qū)崿F(xiàn)具有抗噪性能的多次波壓制。

3 實際數(shù)據(jù)處理

為進一步驗證本文方法，采用某海上實際數(shù)據(jù)動校正后的CMP道集（圖8）進行多次波壓制處理。時間方向上有1 305個采樣點，截取3.2～4.8 s多次波較多的部分進行多次波壓制，該部分數(shù)據(jù)在時間方向上有400個采樣點，采樣間隔為4 ms，空間方向上為92道，道間距為175 m，偏移距為16 100 m。實際數(shù)據(jù)中較深層位置3.8～4.8 s處存在大量的多次波，導致一次波數(shù)據(jù)被掩蓋，影響一次波成像效果。

圖9為利用3種算法得到的Radon域數(shù)據(jù)，可以看出，本文方法處理的Radon域數(shù)據(jù)（圖9c）與最小二乘拋物線Radon變換（圖9a）和基于L₁正則化的拋物線Radon變換（圖9b）相比具有更高的分辨率，能量聚焦明顯且假象明顯較少。

圖10為多次波壓制結(jié)果。將3種方法的多次波壓制結(jié)果（圖10b、c、d）與動校正后的原始CMP道集（圖10a）進行對比，可以看到本文方法（圖10d）的壓制結(jié)果優(yōu)于最小二乘拋物線Radon變換（圖10b）和基于L₁正則化的拋物線Radon變換（圖10c）：在3.8～4.2 s和4.4～4.7 s處，圖10b和圖10c明顯有大量的多次波殘留，而且由于近偏移距處的多次波和一次波速度相近，在Radon域切除q＞0區(qū)域時，也會影響一次波的投影區(qū)域，使近偏移距損失了部分一次波能量；而本文方法的一次波能量得到了一定的保護（圖10d），并且在3.8～4.2 s和4.4～4.7 s處沒有明顯的多次波殘留。

圖11a、b為分別利用基于L₁正則化和L_1/2正則化Radon變換后又經(jīng)Radon反變換重構(gòu)的地震數(shù)據(jù)，對比圖11a、b可以直觀地看出，本文方法的重構(gòu)數(shù)據(jù)連續(xù)性更強，且與原始數(shù)據(jù)（圖10a）具有更強的一致性。

利用重構(gòu)誤差定量分析重構(gòu)數(shù)據(jù)^[33]與原始數(shù)據(jù)的一致性：

式中：m為原始數(shù)據(jù)；m′為重構(gòu)數(shù)據(jù)；s為重構(gòu)誤差。經(jīng)計算，求得基于L₁正則化和L_1/2正則化的拋物線Radon變換重構(gòu)誤差分別為：s_L1=15%，s_L1/2=8%。實際數(shù)據(jù)的波場較為復雜，含有其他噪聲，本文方法的重構(gòu)數(shù)據(jù)比基于L₁正則化拋物線Radon變換的方法更逼近原始數(shù)據(jù)。

圖12為壓制多次波前后3種方法的單道對比，可以進一步對比多次波壓制效果。截取了3.7～4.8 s處多次波較豐富的部分，可以直觀地看到，利較小，直觀地證明了本文方法的有效性。

4 討論

隨著三維地震勘探技術(shù)的日益發(fā)展，三維地震數(shù)據(jù)處理也被廣泛關(guān)注。為驗證本文方法對三維資料的實用性，我們模擬生成了三維地震數(shù)據(jù)的CMP道集?？v測線偏移距范圍為-5 000～5 000 m，聯(lián)絡(luò)測線方向偏移距范圍為-2 500～2 500 m，多次波剩余時差分別為600、400、200、60 ms，振幅分別為-1.0、0.5、0.1、-0.9。圖13a為從三維模擬數(shù)據(jù)中抽取的5個含多次波的三維小面源CMP道集，圖13b為對應的按標量偏移距大小排列的三維CMP道集，可以清晰地看到多次波的存在（箭頭處）。

利用最小二乘拋物線Radon變換、基于L₁正則化的拋物線Radon變換以及文中提出的基于L_1/2正則化的拋物線Radon變換對以上數(shù)據(jù)進行多次波壓制，結(jié)果如圖14所示。最小二乘拋物線Radon變換（圖14a）和基于L₁正則化的拋物線Radon變換（圖14b）的Radon數(shù)據(jù)中可以看到較多的假象，同相軸沒有很好地聚成一點；而本文方法的Radon域數(shù)據(jù)（圖14c）能量聚焦明顯，假象減少。

壓制多次波后的最終結(jié)果如圖15所示，可以清晰地看到圖15a、b中都未見多次波殘留，并且一次波同相軸未被影響，得到了較好的多次波壓制結(jié)果。

三維實際數(shù)據(jù)的多次波壓制問題將會在后續(xù)的研究中繼續(xù)進行。

5 結(jié)論與展望

本文系統(tǒng)闡述了拋物線Radon域壓制多次波的方法，提出了利用基于L_1/2正則化的拋物線Radon變換多次波壓制方法，得到以下結(jié)論：

1）由于L_1/2正則化可以獲得比L₁正則化更稀疏的解，所以基于L_1/2正則化的稀疏反演Radon變換具有更高的分辨率。

2）理論模型和實際數(shù)據(jù)結(jié)果證明本文方法具有較高的分辨率，重構(gòu)的地震數(shù)據(jù)與原始數(shù)據(jù)有更高的一致性，提高了多次波壓制的效果，減少了有用信號能量受到不必要的損失，為后續(xù)的一次波成像提供高質(zhì)量的數(shù)據(jù)基礎(chǔ)。

但在復雜地質(zhì)條件下，由于波場中微弱的有效信號容易被噪聲覆蓋，所以參數(shù)的設(shè)置需要更加謹慎，否則可能會因為壓制噪聲而損失有效信號。另外，由于本文方法應用L_1/2范數(shù)，雖然提高了地震信號的稀疏性，但使計算時間增加，所以此方法的計算效率相比于L₁范數(shù)方法沒有較大優(yōu)勢。而且由于提高了反演精度，會對地震數(shù)據(jù)的保幅性有較高的要求，所以針對以上局限性我們將會從以下三方面進行改進：

1）將考慮地震數(shù)據(jù)的振幅與偏移距的特征（amplitude versus offset， AVO），將本文方法與正交多項式變換相結(jié)合。

2）對求解算法進行進一步改進，提高算法的計算效率。

3）將本文方法與其他多次波壓制方法相結(jié)合，對復雜地質(zhì)條件的地震資料進行高效率高質(zhì)量的處理。另外可以與機器學習算法相結(jié)合，提高計算效率。

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