曾慶山, 馬飛凡

(鄭州大學(xué) 電氣與信息工程學(xué)院 河南 鄭州 450001)

0 引言

隨著機(jī)器人技術(shù)和理論的不斷發(fā)展,基于串聯(lián)、并聯(lián)機(jī)器人的工業(yè)、商用、軍工等發(fā)揮著越來越重要的作用。串聯(lián)機(jī)器人具有靈活、工作空間大的特點(diǎn)。并聯(lián)機(jī)器人[1]具有結(jié)構(gòu)穩(wěn)定、剛度大的特點(diǎn)。隨著技術(shù)的不斷發(fā)展,將并聯(lián)與串聯(lián)機(jī)器人結(jié)合而成的混聯(lián)機(jī)構(gòu)應(yīng)運(yùn)而生。混聯(lián)機(jī)構(gòu)大部分是由少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)[2]和串聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)合而成。

3-RPS是少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)中的典型機(jī)構(gòu),具有兩個自由度的轉(zhuǎn)動和一個自由度的移動,這類機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)簡單、易于控制、容易制造且應(yīng)用很廣泛,許多混聯(lián)機(jī)構(gòu)都采用這類機(jī)構(gòu)作為并聯(lián)部分本體。自1986年3-RPS機(jī)構(gòu)被Hunt[3]教授提出后,經(jīng)過長時間的發(fā)展改進(jìn),目前被廣泛應(yīng)用到機(jī)床、零件加工、流水線作業(yè)等。Lu等[4]提出了一種求解3-SPR并聯(lián)機(jī)器人位置和工作空間的方法。

串并混聯(lián)機(jī)構(gòu)兼具串聯(lián)、并聯(lián)機(jī)構(gòu)的優(yōu)點(diǎn),但其構(gòu)型復(fù)雜,建模難度較高,國內(nèi)外許多學(xué)者對混聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了研究。Lu等[5]提出了由兩個3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)串聯(lián)而成的六自由度混聯(lián)機(jī)構(gòu)。Lu等[6]采用解析法對文獻(xiàn)[5]提出的串并混聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了深入研究。Gallardo等[7]利用螺旋理論研究2(3-RPS)串并結(jié)構(gòu)的奇異位型。李偉等[8]提出了一種串并混聯(lián)機(jī)器人的設(shè)計方案,并分析了該機(jī)器人的優(yōu)勢及應(yīng)用場景。機(jī)構(gòu)的位置分析是運(yùn)動分析、受力分析、動力分析的基礎(chǔ)[9]。機(jī)構(gòu)分析中有位置正解和反解兩個基本問題。大多數(shù)串聯(lián)機(jī)構(gòu)的正解求解簡單,逆解求解復(fù)雜。并聯(lián)機(jī)構(gòu)位置的逆解簡單,正解求解復(fù)雜,大多數(shù)采用封閉解法和數(shù)值解法[10]。而串并混聯(lián)結(jié)構(gòu)的位置分析則更復(fù)雜[11]。對于不同的構(gòu)型,沒有較為統(tǒng)一的方法。馬春生等[12]提出了一種基于3-SPR的混聯(lián)機(jī)構(gòu),分析逆運(yùn)動學(xué)及其機(jī)構(gòu)的工作空間,但沒有分析混聯(lián)機(jī)構(gòu)的正解。李峰等[13]提出了一種針對2(3-RPS)串并聯(lián)機(jī)器人運(yùn)動構(gòu)型位置正解的解析算法,該方法復(fù)雜且求出的解不唯一。

上述混聯(lián)機(jī)構(gòu)大多是兩層并聯(lián)機(jī)構(gòu)串聯(lián)而成,可以實現(xiàn)的功能有限,本文提出了一種新型3-RPS+R+3-SPR混聯(lián)機(jī)構(gòu),該機(jī)構(gòu)是由三部分串聯(lián)而成,可作為爬行機(jī)器人的軀干結(jié)構(gòu),具有多種運(yùn)動模態(tài),例如轉(zhuǎn)彎、伸縮等。本文對該機(jī)構(gòu)進(jìn)行了運(yùn)動學(xué)分析,利用并聯(lián)機(jī)構(gòu)的幾何約束求解機(jī)構(gòu)位置逆解,分開求解混聯(lián)機(jī)構(gòu)的正運(yùn)動學(xué),便于正運(yùn)動學(xué)的分析,并利用優(yōu)化算法求解正解的值,避免了求解的不唯一。在Adams中建立機(jī)構(gòu)虛擬樣機(jī)進(jìn)行仿真,與Matlab理論計算作對比分析,并給出了具體的數(shù)值算例進(jìn)行正、逆運(yùn)動學(xué)驗證。

1 機(jī)構(gòu)構(gòu)型描述

1.1 機(jī)構(gòu)簡介及坐標(biāo)系建立

為實現(xiàn)多種運(yùn)動模態(tài),本文提出了一種新型的串并混聯(lián)機(jī)構(gòu),其SolidWorks模型如圖1所示,機(jī)構(gòu)簡圖如圖2所示。該構(gòu)型主要由三部分串聯(lián)構(gòu)成,下機(jī)構(gòu)為3-RPS,中間為旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié),上機(jī)構(gòu)為3-SPR。上、下機(jī)構(gòu)可以伸縮進(jìn)行蠕動,中間機(jī)構(gòu)可以旋轉(zhuǎn),上、中、下機(jī)構(gòu)協(xié)調(diào)運(yùn)作可以實現(xiàn)蜿蜒。

圖1 3-RPS+R+3-SPR模型圖Figure 1 The 3-RPS+R+3-SPR model diagram

圖2 3-RPS+R+3-SPR串并聯(lián)機(jī)構(gòu)簡圖Figure 2 The 3-RPS+R+3-SPR serial-parallel mechanism diagram

3-RPS+R+3-SPR結(jié)構(gòu)一共有六個支鏈和四個平臺。每個支鏈都是由轉(zhuǎn)動副R、移動副P及球副S構(gòu)成,四個平臺由下至上依次記為0,1,2,3平臺,各平臺均是正三角形構(gòu)成,中心點(diǎn)分別為O0,O1,O2,O3,平臺0、3的外接圓半徑為E,平臺1、2的外接圓半徑為e,在平臺0上建立坐標(biāo)系O0-X0Y0Z0,記作坐標(biāo)系{0}。其中:X0軸平行于A2A3軸;Z0豎直向上;依據(jù)右手螺旋法則可以得到Y(jié)0軸。同理建立其他坐標(biāo)系O1-X1Y1Z1,O2-X2Y2Z2,O3-X3Y3Z3,并分別記為坐標(biāo)系{1},{2},{3}。下機(jī)構(gòu)3-RPS的下平臺端點(diǎn)為Ai(i=1,2,3),其上平臺端點(diǎn)為Bi(i=1,2,3),上機(jī)構(gòu)3-SPR的下平臺端點(diǎn)為Ci(i=1,2,3),其上平臺端點(diǎn)為Di(i=1,2,3),兩個機(jī)構(gòu)的上、下平臺中間通過移動副P連接,下機(jī)構(gòu)3-RPS的三個桿長為l1i(i=1,2,3),上機(jī)構(gòu)3-SPR的三個桿長為l2i(i=1,2,3),該串并聯(lián)機(jī)構(gòu)的坐標(biāo)軸滿足如下關(guān)系:X0//A3A2,Y0⊥A3A2;X1//B3B2,Y1⊥B3B2;X2//C3C2,Y2⊥C3C2;X3//D3D2,Y3⊥D3D2。機(jī)構(gòu)滿足的幾何約束關(guān)系有:下機(jī)構(gòu)3-RPS的轉(zhuǎn)動副滿足R1i⊥l1i(i=1,2,3);上機(jī)構(gòu)3-SPR的轉(zhuǎn)動副滿足R2i⊥l2i(i=1,2,3)。

2 串并混聯(lián)結(jié)構(gòu)的逆運(yùn)動學(xué)分析

根據(jù)機(jī)構(gòu)幾何約束,進(jìn)行位置逆解分析,位置逆解為已知動平臺3的中心點(diǎn)位姿,求解混聯(lián)機(jī)構(gòu)六個驅(qū)動桿的長度。

2.1 逆運(yùn)動學(xué)分析

下層3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的下平臺各頂點(diǎn)Ai在坐標(biāo)系{0}中的坐標(biāo)為

(1)

下平臺各頂點(diǎn)Bi在坐標(biāo)系{1}中的坐標(biāo)為

(2)

同理,可求出上層3-SPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)的下平臺各頂點(diǎn)Ci在坐標(biāo)系{2}中的坐標(biāo)及上平臺各頂點(diǎn)Di在坐標(biāo)系{3}中的坐標(biāo):

(3)

(4)

(5)

其中:

同理,上機(jī)構(gòu)3-SPR的下平臺各頂點(diǎn)Ci在坐標(biāo)系{0}中表示為

(6)

其中:

θ為中間平臺的旋轉(zhuǎn)角度。

(7)

上層3-SPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)的上平臺各頂點(diǎn)Di在坐標(biāo)系{0}中為

(8)

其中:

根據(jù)3-RPS和3-SPR的幾何結(jié)構(gòu)限制,3-RPS機(jī)構(gòu)的轉(zhuǎn)動副R1i(i=1,2,3)為

(9)

上層3-SPR機(jī)構(gòu)的轉(zhuǎn)動副R2i(i=1,2,3)為

(10)

根據(jù)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的幾何限制得

R1i⊥l1i(i=1,2,3)?R1i⊥(Bi-Ai),

(11)

R2i⊥l2i(i=1,2,3)?R2i⊥(Di-Ci),

(12)

代入式(11)可得

B1x=0,B2x=-qB2y,B3x=qB3y,

(13)

代入式(12)可得

(14)

則頂點(diǎn)Bi在坐標(biāo)系{0}下為

(15)

根據(jù)頂點(diǎn)Bi在坐標(biāo)系{0}下的坐標(biāo)可以求得坐標(biāo)系{0}下與{1}的變換矩陣為

(16)

(y1i+y2j+y3k)/t1,

(x1i+x2j+x3k)/t2,

z=x×y,

(17)

其中:

(18)

(19)

由于平臺1和平臺2是邊長為qe的等邊三角形,故滿足

(20)

即

(21)

根據(jù)式(19)～(21)的九個約束方程,給定末端平臺3的位姿參數(shù)X、Y、Z、α、β、γ,求解方程組,根據(jù)Bi的約束條件(13),Bi被限制在三個平面內(nèi),根據(jù)約束條件及幾何限制對約束方程組的求解值進(jìn)行篩選,可求出唯一的Bi坐標(biāo),利用式(6)進(jìn)而求出Ci坐標(biāo)。

則整個混聯(lián)機(jī)構(gòu)的逆解為

l1i=|Ai-Bi|,(i=1,2,3),

(22)

l2i=|Ci-Di|,(i=1,2,3)。

(23)

3 串并混聯(lián)機(jī)構(gòu)的正運(yùn)動學(xué)分析

正運(yùn)動學(xué)的求解是通過給定機(jī)構(gòu)的桿長求解機(jī)構(gòu)末端平臺的位姿。對本文機(jī)構(gòu)進(jìn)行正運(yùn)動學(xué)求解時,將其分為三部分,分別求出各部分的旋轉(zhuǎn)變換矩陣,整體變換矩陣即為各部分變換矩陣的乘積。正解的計算采用優(yōu)化算法求解,避免求解的不唯一。

3.1 3-RPS正運(yùn)動學(xué)分析

對于下層3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu),根據(jù)其幾何結(jié)構(gòu),三個轉(zhuǎn)動副均沿其同平面的三角形對邊平行方向布置,轉(zhuǎn)動副軸線與X軸的夾角分別為0°、210°、330°。假設(shè)下層機(jī)構(gòu)的各個桿與平臺0的夾角為φ11、φ12、φ13,則下層3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的上平臺頂點(diǎn)Bi在坐標(biāo)系{0}下的坐標(biāo)為

(24)

下層3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的上平臺端點(diǎn)Bi滿足式(20)。將式(24)中的Bi坐標(biāo)代入,得到三個關(guān)于夾角φ11、φ12、φ13的非線性方程,求解這三個非線性方程可以使用解析法或者優(yōu)化算法,解析法需要變量之間互相代換,將非線性方程轉(zhuǎn)換成一元高次方程,求解過程煩瑣復(fù)雜。本文采用改進(jìn)的粒子群優(yōu)化算法求解三個非線性方程,求解過程簡便且能得到準(zhǔn)確的結(jié)果。使用粒子群算法的步驟如下。

1) 根據(jù)三個方程構(gòu)造出目標(biāo)函數(shù)f1、f2、f3。

(25)

2) 確定適應(yīng)度函數(shù)

F(φ11,φ12,φ13)=min|f12+f22+f32|。

(26)

3.2 3-SPR正運(yùn)動學(xué)分析

與3-RPS類似,可以將3-RPS看成3-SPR的對稱機(jī)構(gòu),在對其進(jìn)行正運(yùn)動學(xué)建模過程中,類比3-RPS的建模方法得到動平臺的3-SPR的位姿矩陣。當(dāng)給出上層機(jī)構(gòu)的三個桿長l2i,即可計算出夾角φ2i,可以求出上層3-SPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)的位姿矩陣為

(27)

3.3 中間關(guān)節(jié)正運(yùn)動學(xué)分析

3.4 串并混聯(lián)機(jī)構(gòu)正運(yùn)動學(xué)求解分析

正運(yùn)動學(xué)總體分析過程如下:平臺0和平臺3之間的旋轉(zhuǎn)變換矩陣為三部分:下層的3-RPS;中間的旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)及上層的3-SPR。三部分變換矩陣的乘積為

(28)

4 機(jī)構(gòu)運(yùn)動學(xué)仿真

通過具體的數(shù)值算例對所建立串并混聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動學(xué)模型進(jìn)行仿真驗證,驗證機(jī)構(gòu)正、逆運(yùn)動學(xué)模型。設(shè)定機(jī)構(gòu)的參數(shù)為:e=6.25 cm;E=10.25 cm;中間旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)高度H=10 cm。

4.1 逆運(yùn)動學(xué)仿真驗證

給定末端平臺的位姿α=-19.059°,β=-13.001°,γ=-30.282°,X=-2.848 cm,Y=12.484 cm,Z=57.918 cm,中間關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)角度θ=30°。根據(jù)本文理論分析,編寫Matlab程序,代入末端平臺位姿,計算出混聯(lián)機(jī)構(gòu)的六個驅(qū)動桿桿長,見表1。

表1 3-RPS+R+3-SPR混聯(lián)機(jī)構(gòu)逆解算例Table 1 Inverse solution calculation example of 3-RPS+R+3-SPR hybrid mechanism

從逆解仿真驗證的結(jié)果來看,將Matlab理論計算結(jié)果與標(biāo)準(zhǔn)值進(jìn)行對比,其相對誤差均在1×10-3范圍內(nèi),驗證了位置逆解的正確性。

4.2 正運(yùn)動學(xué)仿真驗證

在SolidWorks中建立混聯(lián)機(jī)構(gòu)的模型,將其導(dǎo)入Admas中,建立虛擬樣機(jī)。添加各個關(guān)節(jié)的運(yùn)動副,驗證虛擬樣機(jī)模型的正確性。對Admas中虛擬樣機(jī)添加相應(yīng)的驅(qū)動,得出正解模型的仿真結(jié)果。

對于該結(jié)構(gòu)正運(yùn)動學(xué)的仿真驗證,其流程圖如圖3所示。在Adams中給六個驅(qū)動桿添加一定的驅(qū)動函數(shù)以及中間旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)的驅(qū)動角度,可以通過仿真得到末端平臺的位姿曲線。將驅(qū)動函數(shù)導(dǎo)出為樣條函數(shù),并作為理論計算的輸入值,通過優(yōu)化算法得到末端平臺位姿曲線,將兩種曲線對照,如圖4所示。從圖4中看出,一段時間內(nèi),機(jī)構(gòu)桿長的變化導(dǎo)致末端平臺中心點(diǎn)位姿的變化,圖4(a)～(c)分別是X、Y、Z軸方向上的移動,圖4(d)～(f)是分別繞X、Y、Z軸的旋轉(zhuǎn)角度變化。理論計算與仿真測量的曲線是吻合的,說明位置正解的正確性。機(jī)構(gòu)在Z方向上的移動可以實現(xiàn)伸縮運(yùn)動,繞X、Y、Z軸的旋轉(zhuǎn),X、Y、Z軸方向上的移動可以實現(xiàn)蜿蜒運(yùn)動。

圖3 正運(yùn)動學(xué)仿真驗證流程圖Figure 3 Flow chart of forward kinematics simulation verification

圖4 末端平臺位姿變化曲線Figure 4 The end platform pose change

對于本文結(jié)構(gòu)的伸縮蠕動功能的仿真驗證,其過程與蜿蜒運(yùn)動類似,區(qū)別在于給出不同的驅(qū)動函數(shù),使驅(qū)動桿伸長收縮來完成伸縮蠕動功能。平臺0作為定平臺,驅(qū)動桿通過伸長或收縮可實現(xiàn)平臺1、2、3向前移動,在到達(dá)伸長狀態(tài)后,末端平臺固定,驅(qū)動桿使平臺0、1、2向前收縮,完成蠕動。圖5給出結(jié)構(gòu)作為機(jī)器人主體幫助機(jī)器人實現(xiàn)蠕動功能的實例。

圖5 蠕動步態(tài)實例Figure 5 Diagram of peristaltic gait

綜上,本文機(jī)構(gòu)可以實現(xiàn)多種運(yùn)動方式,具有多運(yùn)動模態(tài)功能,可以應(yīng)用到工業(yè)、軍事等特殊的場合。

5 結(jié)論

本文提出了一種新型3-RPS+R+3-SPR串并混聯(lián)機(jī)構(gòu),該機(jī)構(gòu)兼具串聯(lián)和并聯(lián)的優(yōu)點(diǎn),可實現(xiàn)蜿蜒、伸縮蠕動等功能。根據(jù)機(jī)構(gòu)幾何約束方程,建立了逆運(yùn)動學(xué)模型,給出了該構(gòu)型逆解的分析過程及具體數(shù)值算例。對于其正運(yùn)動學(xué)正解,將整個機(jī)構(gòu)分開進(jìn)行分析,使得求解問題更有序,使用優(yōu)化算法求解,避免了正解求解的復(fù)雜性和不唯一。最后,將利用Admas仿真測量與Matlab計算的理論模型得到的結(jié)果進(jìn)行對比分析,驗證了正運(yùn)動學(xué)模型建立的正確性,結(jié)論表明該結(jié)構(gòu)可以實現(xiàn)多種運(yùn)動模態(tài)。