楊謹(jǐn)僮

(西華師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息學(xué)院,四川 南充 637002)

積分方程根據(jù)核函數(shù)的不同分為兩大類:Volterra型和Fredholm型。在本文中討論的是一類混合型積分,即在積分方程中包含Volterra型和Fredholm型?；旌戏e分方程的出現(xiàn)來源于數(shù)學(xué)模型的建立。Kermack和McKendrick等為傳染病在封閉人群中傳播的時間演變提出了數(shù)學(xué)模型[1]。Thieme[2]為流行病的空間傳播建立了由非線性積分方程組成的數(shù)學(xué)模型。

隨著時代發(fā)展,積分方程在生物學(xué)、力學(xué)[3-10]等領(lǐng)域中也得到了廣泛的應(yīng)用。種群預(yù)測模型、生物種群生態(tài)學(xué)模型和神經(jīng)脈沖傳播模型也可以用積分方程表示。本文考慮了一維的線性混合積分方程,其形式如下[11]:

(1)

(2)

其中:u(x),u(h(x))是未知函數(shù);f(x),g(x),h(x),k1(x,t),k2(x,t),k2(x,h(t))是已知函數(shù);a,b,λ1,λ2都是常數(shù)。f:[a,b]→R,h:[a,b]→[a,∞],ki:[a,b]×[a,b]→R(i=1,2)。

很多研究者用配置法求解Volterra型積分方程和Fredholm型積分方程以及奇異積分方程的近似解。由于配置法應(yīng)用范圍廣泛,因此也可以用于求解混合型積分方程的近似解。近年來,許多不同的函數(shù)[12-15]被用來估計積分方程的解,如2005年Yousefi等[12]人提出的勒讓德小波。2011年Ezzati等[13]人提出了切比雪夫函數(shù)。2014年Mustafa等[14]人提出的拉格朗日多項式、重心的拉格朗日多項式以及修正的拉格朗日多項式三種不同的函數(shù)形式;同年,Mashayekhi等[15]人提出了伯努利多項式。根據(jù)結(jié)構(gòu)的不同,形成了不同的配置法。除此之外,還有迭代法[16-17]、逼近法[18-19]、分解法[1,20-21]等多種方法求解混合型積分方程。本文提出了基于Boubaker多項式的配置方法來求解形如公式(1)和公式(2)的Volterra-Fredholme積分方程,并進(jìn)行了收斂性分析。Boubaker多項式配置法的主要特點是借助Boubaker多項式將積分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程組求解。

1 Boubacker多項式

給出標(biāo)準(zhǔn)的布貝克多項式的三項遞歸關(guān)系[2]:

B0(x)=1
B1(x)=x
B2(x)=x2+2
Bn(x)=xBn-1(x)-Bn-2(x)n≥3

(3)

其中,n是非負(fù)整數(shù)。

2 Boubaker多項式配置法

通過Boubaker多項式配置法求解混合線性積分方程的近似解,對

(4)

(5)

其中,Bi(x)和Bi(h(x))是由公式(3)定義的Boubaker多項式,bi(i=0,…,k)是未知的系數(shù)。

將公式(4)和公式(5)代入積分公式(1)和公式(2)中得:

(6)

(7)

(8)

(9)

令

將公式(8)和公式(9)用矩陣的形式表示:

AB=F

(10)

CB=G

(11)

其中,矩陣A,B,C,G,F的定義如下:

A=(aij)k×k,B=(b1,b2,…,bk)T,C=(cij)k×k,G=(g(x1),g(x2),…,g(xk))T,F=(f(x1),f(x2),…,f(xk))T

求解線性代數(shù)方程,得到系數(shù)b1,b2,…,bk從而得到公式(1)和公式(2)的近似解。

3 算例

3.1 算例1

求解形如公式(1)的混合線性積分方程[7]

的近似解,f(x)=h2(x)-4ex+ex+1+ex-h2(h2(x)+2h(x)+2),k1(x,t)=ex-t,k2(x,t)=ex+t,λ1=1,λ2=-1,h(x)=x2,a=0,b=1。算例1中Boubaker多項式配置法與其他方法誤差對比如表1所示。通過表1的結(jié)果可以看出,本文提出的Boubaker多項式配置法中,隨著n增大,所得到的近似解與精確解之間的誤差逐漸縮小,但是當(dāng)n取2時,與其他方法相比,該效果較差;隨著n增大,其他的兩種方法求得的誤差幾乎沒有變化,甚至當(dāng)n取4時,拉格朗日多項式配置法得到近似解與精確解之間的誤差反而增大了。

表1 算例1中Boubaker多項式配置法與其他方法誤差對比

3.2 算例2

求解形如公式(2)的混合線性積分方程

的近似解,其中g(shù)(x)=e-x-ex(h(x)-1)跟,k1(x,t)=ex+t,k2(x,t)=ex+h(t),λ1=1,λ2=-1,a=0,b=1。算例2中Boubaker多項式配置法與其他方法誤差對比如表2所示。通過表2的結(jié)果可以看出,隨著n增大,三種方法所得到的近似解與精確解之間的誤差都在逐漸縮小。當(dāng)n取2時,與其他方法相比,Boubaker多項式配置法效果一般,當(dāng)n取8時,其效果也比其他兩種方法好。

表2 算例2中Boubaker多項式配置法與其他方法誤差對比

4 結(jié)論

本文提出了求解一維混合線性積分方程的Boubaker多項式配置方法。通過算例誤差分析驗證了該方法的可行性和有效性。結(jié)合算例1和算例2的誤差分析,表明該方法效果較好。