解曉潔 孫俊松 秦吉紅? 郭懷明

1)(北京科技大學(xué)物理系,北京 100083)

2)(北京科技大學(xué),理論物理研究所,北京 100083)

3)(北京航空航天大學(xué)物理系,北京 100191)

1 引言

石墨烯具有較高的韌性和可彎曲性[1],作為一種獨(dú)特的二維材料,其電子性能與機(jī)械形變密切相關(guān).因此,可以采用對(duì)石墨烯施加應(yīng)變的方法來研究它的電子性能[2].其中,應(yīng)變工程在理論和實(shí)驗(yàn)領(lǐng)域都有廣泛的研究.在實(shí)驗(yàn)中,研究人員通過在Pt(111)表面產(chǎn)生石墨烯納米氣泡,成功地測(cè)量到應(yīng)變誘導(dǎo)下磁場(chǎng)強(qiáng)度超過300 T 的贗磁場(chǎng)[3].這一實(shí)驗(yàn)證明為探索超高贗磁場(chǎng)作用下二維材料的物理性質(zhì)提供了新的基礎(chǔ).理論研究中,為了更好地研究石墨烯的特性,人們發(fā)展了幾種應(yīng)變方法: 彎曲石墨烯[4–6]、單軸應(yīng)變[7,8]、三軸應(yīng)變[9,10]和扭曲雙層石墨烯[11].研究表明這些應(yīng)變方法已成為調(diào)制石墨烯和其他二維電子材料相關(guān)量子特性的有力工具[12–14].

最近,應(yīng)變誘導(dǎo)規(guī)范場(chǎng)被推廣到非晶半導(dǎo)體[15]、蜂窩反鐵磁體[16–18]和狄拉克半金屬中[19].雖然蜂窩反鐵磁體的朗道量子化是由應(yīng)變誘導(dǎo)的非零贗磁場(chǎng)形成的,它的性質(zhì)與石墨烯中的性質(zhì)并不完全相同.具體來說,在蜂窩反鐵磁體三軸應(yīng)變誘導(dǎo)的非零贗磁場(chǎng)下,磁子贗朗道能級(jí)出現(xiàn)在能譜的上端并且是等間距的[18].通過類比石墨烯中的跳躍振幅并以與前者相同的方式修改交換耦合,將應(yīng)變引入蜂窩反鐵磁體中.應(yīng)變誘導(dǎo)的規(guī)范場(chǎng)可能不像在石墨烯中那樣作用于磁子.因此,用于設(shè)計(jì)石墨烯中均勻贗磁場(chǎng)的不同方法是否對(duì)蜂窩反鐵磁體的自旋激勵(lì)有相同的影響,是值得探討的問題.

本文利用線性自旋波理論(LSWT)和量子蒙特卡羅模擬(QMC)研究了六角晶格反鐵磁體在彎曲應(yīng)變作用下的物理性質(zhì).首先利用線性自旋波理論分析了反鐵磁體中贗朗道能級(jí)的形成,并觀察到這些能級(jí)與石墨烯中所見能級(jí)的不同.然后研究了反鐵磁體中磁序的演化.本文結(jié)構(gòu)如下: 第2 節(jié)介紹研究的精確模型和采用的計(jì)算方法; 第3 節(jié)展示線性自旋波理論中的磁子贗朗道能級(jí); 第4 節(jié)利用線性自旋波理論和量子蒙特卡羅模擬研究反鐵磁序的演化; 第5 節(jié)給出了進(jìn)一步的討論和結(jié)論.

2 模型和方法

考慮具有自旋S的蜂窩量子反鐵磁體,其哈密頓量可以表示為

其中〈i,j〉是最近鄰配對(duì);Jij是連接i,j位點(diǎn)的最近鄰交換耦合,未加應(yīng)變時(shí)格點(diǎn)間的交換作用一致Jij=J表現(xiàn)反鐵磁性(J＞0);表示在位點(diǎn)i上自旋為1/2 的算符,位點(diǎn)i,j上的自旋算符滿足對(duì)易關(guān)系(x,y,z循環(huán)).在沒有應(yīng)變的情況下,晶格格點(diǎn)i的位置矢量是ri,如圖1,每個(gè)格點(diǎn)周圍有3 個(gè)最近鄰格點(diǎn),格點(diǎn)i的3 個(gè)最近鄰矢量δk(k=1,2,3)的值是:

圖1 (a)彎曲應(yīng)變下具有鋸齒狀邊緣的內(nèi)半徑為R,外半徑為R+W 的蜂窩扇形納米帶,納米帶在x 方向具有周期性,y 方向的寬度是Ly=6;(b)彎曲應(yīng)變下寬度為L(zhǎng)y=200 的納米帶上邊界處的晶格放大圖.不同厚度的鍵表示不同的交換耦合值,數(shù)值標(biāo)記在旁邊Fig.1.(a) A honeycomb fan-shaped nanoribbon with jagged edges with an inner radius R and an outer radius R+W under bending strain.The nanoribbon is periodic in the x direction,and the width in the y direction is Ly=6.(b) Enlarged lattice at the upper boundary of a nanoribbon with a width of Ly=200 under bending strain.Keys of different thicknesses represent different exchange coupling values,and numerical values are marked next to them.

加入彈性應(yīng)變后,晶格位置發(fā)生變化,從而影響最近鄰交換耦合,使其偏離無(wú)應(yīng)變下的值.形變后的晶格格點(diǎn)i位置矢量U(ri)=ri+u(ri)=((1/c+y)sin(cx),(1/c+y)cos(cx)?1/c),其中c=1/R表示應(yīng)變強(qiáng)度,u(ri) 是平緩變化的位移函數(shù),彎曲應(yīng)變下u(x,y)=c(xy,?x2/2).新的最近鄰矢量=U(ri+δk)?U(ri),連續(xù)極限下的鍵長(zhǎng)變化量可寫成=(δk·?)U(ri);應(yīng)變后的鍵長(zhǎng)為.最近鄰交換耦合以鍵長(zhǎng)的指數(shù)函數(shù)形式變化為

其中β是格林艾森常數(shù).這里考慮足夠窄的納米帶上的較小彎曲,交換耦合可以近似表示為

當(dāng)u(r) 是平緩的位移函數(shù)時(shí),可以定義應(yīng)變張量,應(yīng)變張量產(chǎn)生贗矢勢(shì):

在彎曲應(yīng)變下,εxx=cy,εyy=εxy=εyx=0;因此在x方向的贗矢勢(shì)Ax=γcy/2.這個(gè)贗矢勢(shì)產(chǎn)生一個(gè)均勻的贗磁場(chǎng)B=?×A=.石墨烯中的狄拉克費(fèi)米子在贗磁場(chǎng)下,形成相應(yīng)的贗朗道能級(jí).同樣地,磁子也會(huì)受到贗磁場(chǎng)的影響,形成贗朗道能級(jí).

考慮彎曲應(yīng)變下的六角晶格納米帶,如圖1(a)所示.扇形納米帶由A,B兩套格子組成,每條zigzag 鏈上的A,B格子數(shù)量是N,格子總數(shù)是NA+NB=N2;納米帶寬度為W=,長(zhǎng)度為.選取扇形納米帶底部中心為坐標(biāo)原點(diǎn),沿著y方向第j條zigzag 鏈上A格子格點(diǎn)的縱坐標(biāo)為,隨著y值的增加,交換耦合逐漸減小.對(duì)于有固定尺寸的彎曲蜂窩納米帶,能夠研究的最大應(yīng)變程度由相互作用的零值決定.上邊界最高處的水平鍵預(yù)估會(huì)在最大應(yīng)變強(qiáng)度下消失,因此有;納米帶寬度為W,得到最大應(yīng)變強(qiáng)度.在最大應(yīng)變強(qiáng)度下,贗朗道能級(jí)呈現(xiàn)最明顯的特征.因此在后續(xù)的研究中,應(yīng)變強(qiáng)度將取最大值.

下面的討論中,在上述彎曲應(yīng)變下使用線性自旋波理論和具有定向環(huán)更新的隨機(jī)級(jí)數(shù)展開(SSE) 量子蒙特卡羅方法[20–24]研究等式(1)中的模型.SSE 方法將配分函數(shù)展開為冪級(jí)數(shù),并且將求跡表示為對(duì)角矩陣元素的總和,定向循環(huán)更新使得模擬進(jìn)行得很有效.納米帶沿x方向具有周期性,沒有近似造成的系統(tǒng)誤差,因此可以在一個(gè)離散構(gòu)型空間中進(jìn)行抽樣來分析物理性質(zhì).在進(jìn)行量子蒙特卡羅模擬時(shí),設(shè)定溫度的倒數(shù)為βt=200,該溫度足夠低可以獲得基態(tài)性質(zhì).

3 線性自旋波理論

首先使用線性自旋波理論來研究應(yīng)變模型(1)式的物理性質(zhì),通過Holstein-Primakoff (HP)變換[25]用玻色子算符代替自旋算符,在子晶格A,B上自旋算符寫為

在線性自旋波近似下,自旋算符可以簡(jiǎn)化為

將簡(jiǎn)化后的自旋算符代入到哈密頓量中,保留雙算符項(xiàng),得到玻色子的緊束縛哈密頓量

在x方向做傅里葉變換

T矩陣有下列形式:

其中A+是NA×NA的矩陣;B?是NB×NB的矩陣.因?yàn)榛赴Ｉ铀惴?變換矩陣T保持玻色子的對(duì)易關(guān)系,T矩陣滿足

因此,原基矢可以用對(duì)角化表象下的新基矢(αi,βi)表示

在線性自旋波理論下,可以計(jì)算得到局域磁化強(qiáng)度

晶格形變產(chǎn)生贗磁場(chǎng)并且誘導(dǎo)贗朗道能級(jí),磁子能帶中出現(xiàn)一系列平臺(tái).因此,在磁子態(tài)密度中出現(xiàn)一系列尖銳的峰是贗朗道能級(jí)形成的直接證據(jù).利用線性自旋波理論獲得的磁子能譜,可以計(jì)算磁子態(tài)密度

其中,δ函數(shù)近似為一個(gè)具有很小常數(shù)c0的窄高斯波包,在下面的計(jì)算中取展寬c0=3×10?3.在多體物理中,局域磁化率是一個(gè)與實(shí)驗(yàn)更相關(guān)的物理量,其定義為

在線性自旋波理論中,可以得到局域磁化率的表達(dá)式:

首先研究無(wú)應(yīng)力的情況,圖2(a)計(jì)算了磁子能譜,中間出現(xiàn)的獨(dú)立分支與邊界相關(guān).我們發(fā)現(xiàn)對(duì)應(yīng)的波函數(shù)主要分布在邊界附近,說明了這些模式是邊界態(tài).磁子態(tài)密度如圖2(c)所示,反鐵磁體中的磁子激發(fā)呈現(xiàn)出線性色散的低能態(tài).這種線性色散在系統(tǒng)的態(tài)密度中得到體現(xiàn).在施加應(yīng)變后,能級(jí)簡(jiǎn)并度降低,能譜變得更為擴(kuò)展,如圖2(b)所示.這種變化在動(dòng)量kx=π 處最為明顯,在沒有應(yīng)變的情況下,kx=π 處所有的能級(jí)解是簡(jiǎn)并的.高能范圍的磁子能譜變得更平緩,同一能量上的態(tài)數(shù)目增多,態(tài)密度表現(xiàn)出明顯的振蕩行為.在高能附近,磁子態(tài)密度出現(xiàn)尖銳的尖峰,這是磁子能帶中的一系列平臺(tái)造成的.因此,態(tài)密度中尖銳峰的出現(xiàn)是磁子贗朗道能級(jí)出現(xiàn)的直接證據(jù).

圖2 鋸齒狀反鐵磁蜂窩納米帶的磁子能譜(a)無(wú)應(yīng)變情況;(b)彎曲應(yīng)變情況;圖(c)和圖(d)是圖(a)和圖(b)兩種情況對(duì)應(yīng)的磁子態(tài)密度.在圖(b)和圖(d)中,應(yīng)變強(qiáng)度為 c/cmax=1.圖(d)中的紅色虛線框內(nèi)的曲線將放大顯示在圖3 中Fig.2.The magnon spectrum of the antiferromagnetic honeycomb nanoribbon: (a) Without strain; (b) under bending strain.Panels (c) and (d) are the magnon density of states corresponding to panels (a) and (b).In panels (b) and (d),the strain strength is c/cmax=1.The curve inside the red dashed box in panel (d) will be enlarged as shown in Fig.3.

圖3(a)給出了圖2(d)高能端(紅色虛線框范圍)的放大圖,當(dāng)施加彎曲應(yīng)變時(shí),磁子的贗朗道能級(jí)從能譜的頂端開始出現(xiàn),這與石墨烯中贗朗道能級(jí)在低能端出現(xiàn)的情況有明顯不同[26–28].然而,如圖3(b)所示,通過擬合峰的位置,可以發(fā)現(xiàn)能量ωn與能級(jí)指數(shù)n的平方根成正比,這表明它們之間呈線性關(guān)系,這類似于石墨烯中狄拉克費(fèi)米子的性質(zhì).磁子贗朗道能級(jí)的出現(xiàn)還可以在局域磁化率上反映出來.圖3(c)和圖3(d)給出了子晶格A和B上的局域磁化率,它們也形成了尖銳的峰,且峰的位置與態(tài)密度中峰的位置完全相同,進(jìn)一步證實(shí)了彎曲應(yīng)變下贗朗道能級(jí)的存在.

圖3 (a)磁子能譜上端態(tài)密度;(b)贗朗道能級(jí)的能量ωn 作為能級(jí)指數(shù)n 的平方根的函數(shù),實(shí)線反映了數(shù)據(jù)的線性擬合.圖(c)和圖(d)是子晶格A 和B 上的局域磁化率.在圖(a),圖(c)和圖(d)中,應(yīng)變強(qiáng)度采用c/cmax=1,線性尺寸Ly=200,Lx=20Fig.3.(a) The density of states at the upper end of the magnon spectrum; (b) the energy ωn of the pseudo-Landau level is a function of the square root of the energy level index n,and the solid line reflects the linear fit of the data.Panels (c) and (d) are the local magnetic susceptibility on the sublattices A and B.In panels (a),(c) and (d),the strain strength is c/cmax=1,the linear size is Ly=200,Lx=20.

4 反鐵磁序的演化

海森伯自旋模型是一個(gè)典型的強(qiáng)關(guān)聯(lián)模型,在二維空間以上并沒有嚴(yán)格的解析解.在第3 節(jié)的線性自旋波理論中,將自旋算符表示成玻色子算符的(6)式和(7)式是精確的.但是得到的玻色子哈密頓量將包含四算符以上的相互作用項(xiàng),解析上仍然無(wú)法處理,因此通常做線性自旋波近似(見(8)式和(9)式).該近似的物理意義是忽略自旋量子漲落,因此只能得到海森伯模型的定性物理性質(zhì).為了得到海森伯模型的精確解,需要采用完全考慮量子漲落的數(shù)值方法,比如本文采用的隨機(jī)級(jí)數(shù)展開的量子蒙特卡羅數(shù)值方法(該算法詳細(xì)細(xì)節(jié)見附錄A).在下面的研究中溫度倒數(shù)設(shè)置為βt=200,該溫度足夠低可以代表有限尺寸系統(tǒng)的基態(tài)性質(zhì).

進(jìn)一步,研究了應(yīng)變對(duì)反鐵磁序的影響.在線性自旋波理論中,通過有限的磁化強(qiáng)度來確認(rèn)反鐵磁序的存在.由于彎曲的蜂窩納米帶在x方向上具有平移不變性,局域磁化只在擴(kuò)展到整個(gè)帶寬的單元格內(nèi)變化(見圖1).圖4 給出了幾種應(yīng)變強(qiáng)度值下,單元格中局域磁化強(qiáng)度與格點(diǎn)位置之間的關(guān)系.在沒有應(yīng)變的情況下,邊界附近的反鐵磁序會(huì)受到擾動(dòng).當(dāng)格點(diǎn)接近邊界時(shí),數(shù)值逐漸減小.然而,不管位置如何,局域磁化強(qiáng)度ms(i) 始終是有限的,且當(dāng)遠(yuǎn)離邊界時(shí),大部分格點(diǎn)的數(shù)值趨于均勻.這意味著在存在開放邊界的情況下,長(zhǎng)程反鐵磁序仍然能夠保持.需要注意的是,邊界最外層格點(diǎn)的局域磁化要比其附近的格點(diǎn)更大(詳見圖4(b)和圖4(c)).這兩個(gè)最外層格點(diǎn)代表了邊界鋸齒鏈的兩個(gè)子晶格.盡管沿著一維鏈方向上是反鐵磁的,但是這兩個(gè)格點(diǎn)的磁矩不相等,這在zigzag 邊界上形成了一個(gè)凈鐵磁矩.因此,在鋸齒邊界上形成了一個(gè)鐵磁序,這在蜂窩納米帶上的哈伯德模型中也得到了揭示.

圖4 (a)在應(yīng)變強(qiáng)度c/cmax=0,0.5 和1 下,通過線性自旋波理論和量子蒙特卡羅模擬得到的局域磁化強(qiáng)度.圖(b)和圖(c)分別放大了圖(a)中無(wú)應(yīng)變和最大應(yīng)變時(shí)靠近下邊界的曲線.計(jì)算的格點(diǎn)范圍延伸到400 (與此后的圖表相同)Fig.4.(a) The local magnetization obtained by linear spin wave theory and quantum Monte Carlo simulations under c/cmax=0,0.5 and 1.Panels (b) and (c) magnify the curves near the lower boundary at no strain and maximum strain in panel (a),respectively.The calculated grid point range is extended to 400 (same as charts hereafter).

在施加應(yīng)變后,局域磁化的數(shù)值隨著應(yīng)變強(qiáng)度的增加而逐漸減小.這是因?yàn)樵诜磋F磁材料中,應(yīng)變會(huì)影響交換耦合強(qiáng)度,而交換耦合決定了磁性的穩(wěn)定性.在y方向上,交換耦合逐漸減小,因此離下邊界較遠(yuǎn)的格點(diǎn)受到的影響更大.特別是在足夠大的應(yīng)變強(qiáng)度和靠近上邊界時(shí),局域磁化迅速減小,并在臨界位置處變?yōu)樨?fù)值,這意味著反鐵磁序在此后消失.這是因?yàn)榭拷线吔绲奈恢?水平鍵的交換耦合非常小,系統(tǒng)可以被視為一系列孤立的一維垂直鍵.在此情況下,二維反鐵磁序消失[29–32].相反地,靠近下邊界的區(qū)域受到的影響較小.因?yàn)檫@里的交換耦合程度改變最小.因此,在該區(qū)域內(nèi),反鐵磁序相對(duì)穩(wěn)定.盡管線性自旋波理論忽略了自旋量子漲落,該量子漲落能量尺度正比于1/S,因此線性自旋波方法只有在自旋S取很大數(shù)值時(shí)才是精確的.本文研究的是自旋1/2 的海森伯模型,因此自旋波理論進(jìn)行的近似較大.為了得到反鐵磁序隨應(yīng)變演化的精確結(jié)果,需要使用大尺度的精確量子蒙特卡羅數(shù)值模擬[33,34]方法進(jìn)行計(jì)算,該方法可以在計(jì)算機(jī)數(shù)值精度內(nèi)準(zhǔn)確地模擬海森伯模型基態(tài)的物理性質(zhì).

其中,通過對(duì)所有晶格格點(diǎn)j進(jìn)行求和來計(jì)算局域磁化的數(shù)值;符號(hào)因子sgn(i,j)=1(?1)由i和j屬于相同(相反)的子晶格來確定.圖4 對(duì)比了相同應(yīng)變強(qiáng)度下線性自旋波理論與量子蒙特卡羅模擬中的數(shù)值.可以看到,量子蒙特卡羅模擬得到的數(shù)值小于線性自旋波理論的預(yù)測(cè)值.此外,隨著應(yīng)變強(qiáng)度的增加,兩種方法得到的數(shù)值差異也會(huì)增大.當(dāng)沒有應(yīng)變時(shí),量子蒙特卡羅模擬曲線緩慢上升,并在大部分區(qū)域趨于平緩.需要注意的是,在圖4(a)中,量子蒙特卡羅模擬和線性自旋波理論的結(jié)果只有輕微不同,大部分?jǐn)?shù)值之間的差異小于10%.這意味著HP 變換中使用的線性近似是相當(dāng)準(zhǔn)確的,這也得到了現(xiàn)有文獻(xiàn)的證實(shí).在取最大應(yīng)變強(qiáng)度的0.5 倍的情況下,量子蒙特卡羅模擬和線性自旋波理論在上邊界附近的結(jié)果明顯不同.根據(jù)線性自旋波理論,局域磁化強(qiáng)度在靠近上邊界時(shí)會(huì)迅速減小,然后趨于穩(wěn)定; 而在更精確的量子蒙特卡羅模擬中,局域磁化在靠近上邊界時(shí)出現(xiàn)了上翹的現(xiàn)象.因此,需要進(jìn)一步討論,以研究導(dǎo)致這種變化的原因.

如圖5 所示,利用量子蒙特卡羅模擬分析了應(yīng)變強(qiáng)度 0—1 區(qū)間的局域磁化強(qiáng)度,可以發(fā)現(xiàn)c/cmax為 0.4—0.7 時(shí),上邊界附近的曲線向上彎曲,局域磁化強(qiáng)度增大,當(dāng)應(yīng)變強(qiáng)度為最大應(yīng)變強(qiáng)度的0.5 倍時(shí),變化最為顯著.

圖5 在應(yīng)變強(qiáng)度 c/cmax=0—1 下,量子蒙特卡羅模擬得到的局域磁化強(qiáng)度(a)0—400號(hào)格點(diǎn)上的數(shù)值;(b)250—400號(hào)格點(diǎn)上的數(shù)值Fig.5.The local magnetization obtained by quantum Monte Carlo simulations under c/cmax=0–1: (a) Values at grid points 0–400; (b) values at grid points 250–400.

接著研究了交換耦合隨晶格位置的變化.J⊥表示豎直方向的交換耦合,J//表示沿zigzag 鏈方向的交換耦合;令J⊥=1,.圖6表明,垂直交換耦合保持不變,水平交換耦合隨著y值的增加逐漸減小,在靠近上邊界時(shí)趨近于零.這些結(jié)果表明交換耦合幾乎不影響上邊界處局域磁化的上翹.

圖6 在應(yīng)變強(qiáng)度 c/cmax=0—1 下,作為zigzag 鏈指數(shù)函數(shù)的垂直和水平交換耦合Fig.6.Under c/cmax=0–1,the variation of horizontal bond and vertical bond with the lattice position.

最后計(jì)算了自旋關(guān)聯(lián)強(qiáng)度,其定義為C(i,j)=.本研究中使用的模型由200 條鋸齒狀鏈組成,一個(gè)單元內(nèi)有400 個(gè)格點(diǎn).由于上翹只出現(xiàn)在系統(tǒng)上邊界處,所以這里研究靠近上邊界格點(diǎn)處的關(guān)聯(lián),如圖7 所示,關(guān)注390—400 號(hào)格點(diǎn),計(jì)算他們的水平關(guān)聯(lián)平均值和垂直關(guān)聯(lián)平均值.具體來說,水平關(guān)聯(lián)平均值對(duì)應(yīng)于zigzag 鏈上的第10 個(gè)格點(diǎn)的值.取390—-400 號(hào)中某一格點(diǎn),計(jì)算該格點(diǎn)與380 到400 號(hào)格點(diǎn)的垂直關(guān)聯(lián)的平均值,作為垂直關(guān)聯(lián)平均值.結(jié)果表明,水平關(guān)聯(lián)在上邊界附近逐漸增加,而垂直關(guān)聯(lián)基本不變.這些結(jié)果表明,局域磁化在上邊界處的上翹在很大程度上受水平關(guān)聯(lián)的影響.

圖7 在c/cmax=0—1 范圍內(nèi)390—400 號(hào)格點(diǎn)上的(a)水平關(guān)聯(lián),(b) 垂直關(guān)聯(lián)Fig.7.(a) Horizontal correlations,(b) vertical correlations at grid points 390–400 under c/cmax=0–1.

5 結(jié)論

本文利用線性自旋波理論和量子蒙特卡羅模擬研究了反鐵磁蜂窩納米帶在彎曲應(yīng)變下的贗朗道能級(jí)和反鐵磁序的演化.在施加應(yīng)變后,在能譜的上端形成了一系列平臺(tái).這些能級(jí)的間距與能級(jí)指數(shù)的平方根成正比.水平鍵的交換耦合強(qiáng)度在y方向上逐漸減小,在足夠大的應(yīng)變強(qiáng)度下,在納米帶上邊界附近的水平方向的交換耦合減弱為零,系統(tǒng)解耦成孤立的垂直棒.兩種計(jì)算方法都發(fā)現(xiàn),局域磁化強(qiáng)度隨y值的增加而逐漸減小,并且在靠近上邊界處消失.這說明上邊界附近的反鐵磁序被彎曲應(yīng)變破壞,雖然線性自旋波理論給出了反鐵磁序演化的正確趨勢(shì),但它在相同應(yīng)變強(qiáng)度下繪出的反鐵磁區(qū)域更大,相比而言,量子蒙特卡羅結(jié)果更加準(zhǔn)確.在過去的幾年里,二維量子磁性材料領(lǐng)域取得了重大進(jìn)展[36–39].應(yīng)變工程作為一種控制和操縱磁性物態(tài)的重要方法,在二維磁性材料的研究中會(huì)有廣泛的應(yīng)用.本文研究的彎曲應(yīng)變導(dǎo)致的新的物理現(xiàn)象一定會(huì)引起相關(guān)實(shí)驗(yàn)的興趣.

目前人們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)一系列二維磁性材料,典型的材料包括三鹵化鉻 CrX3(X=Cl,Br,I)[40].在對(duì)這些二維磁性材料的研究中應(yīng)變已經(jīng)開始作為調(diào)控二維磁性材料磁性的一種有效方法.利用密度泛函理論研究二維單層材料CrI3的應(yīng)變演化過程中,研究者發(fā)現(xiàn)應(yīng)變可以誘導(dǎo)鐵磁與反鐵磁的磁態(tài)轉(zhuǎn)變[41].與石墨烯類似,可以通過將單層二維材料放在襯底上,調(diào)控襯底來實(shí)現(xiàn)磁子贗朗道能級(jí)的應(yīng)變.除了六角晶格反鐵磁體,籠目晶格中非線性反鐵磁中的應(yīng)力效應(yīng)也值得進(jìn)一步研究,具體包括:非線性反鐵磁序隨應(yīng)變演化,利用應(yīng)變調(diào)控籠目晶格上的反鐵磁序,以及磁子能譜中可能的贗朗道能級(jí).最近的研究發(fā)現(xiàn),具有層狀籠目結(jié)構(gòu)的Mn3Sn 材料中的非線性反鐵磁可以由電流控制,這為研究籠目晶格的應(yīng)力效應(yīng)提供了額外的調(diào)控手段[42].

附錄A

量子蒙特卡羅隨機(jī)級(jí)數(shù)展開(SSE)方法就是通過對(duì)玻爾茲曼算子 e?βH做泰勒展開來構(gòu)造適合蒙特卡羅采樣的構(gòu)型空間:

泰勒展開后來被更普遍地認(rèn)為是廣泛模型的精確量子蒙特卡羅 (QMC)算法的起點(diǎn).指數(shù)算子的冪級(jí)數(shù)展開對(duì)于有限β和有限晶格收斂.選擇一套基矢,配分函數(shù)可以寫為

其中 {α}n對(duì)系統(tǒng)的所有基矢求和.以自旋為S=1/2 的海森伯模型為例,可以將哈密頓量寫成對(duì)鍵算符求和的形式,鍵算符定義為

進(jìn)一步可以將每個(gè)鍵對(duì)應(yīng)的相互作用算符分成對(duì)角算符和非對(duì)角算符Ha,b:

其中a=1,2 分別代表對(duì)角和非對(duì)角算符,b代表鍵算符作用的鍵的位置.因此可以將原始的海森伯哈密頓量寫成

將定義在鍵上的哈密頓量的形式代入到配分函數(shù)中,于是有

這個(gè)配分函數(shù)的形式就是SSE 算法的起點(diǎn).其中Sn是哈密頓量中各個(gè)鍵上的對(duì)角算符和非對(duì)角算符乘積組成的算符序列,來源于Hn.當(dāng)Sn這樣一個(gè)算符序列作用在某一個(gè)基矢態(tài)后,會(huì)把這個(gè)基矢態(tài)變成其他的基矢態(tài).根據(jù)定義的對(duì)角算符H1,b和非對(duì)角算符H2,b的形式可以知道,只有當(dāng)這兩種算符作用的鍵連接的兩個(gè)自旋方向相反時(shí)才會(huì)對(duì)配分函數(shù)有貢獻(xiàn),因?yàn)镠a,b作用后非0 的只有4 種情況:

所以對(duì)于一個(gè)包含n個(gè)Ha,b的算符序列Sn,只有當(dāng)這個(gè)算符序列作用在某個(gè)基矢態(tài) |α〉后,能夠回到原來的基矢的狀態(tài),這個(gè)算符序列作用在相應(yīng)的基矢態(tài)時(shí)才會(huì)對(duì)配分函數(shù)有貢獻(xiàn),即

由于對(duì)配分函數(shù)有貢獻(xiàn)的構(gòu)型中每一個(gè)非單位算符會(huì)貢獻(xiàn)一個(gè)1/2,因此每一個(gè)允許的構(gòu)型對(duì)應(yīng)的權(quán)重為

這樣定義出每個(gè)構(gòu)型對(duì)應(yīng)的權(quán)重之后就可以按照經(jīng)典蒙特卡羅的方法對(duì)符合條件的構(gòu)型和算符序列按照它們對(duì)應(yīng)的權(quán)重進(jìn)行抽樣.