劉慶運(yùn), 劉康仁, 張紅一, 劉 濤,2

(1. 安徽工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院,安徽 馬鞍山 243002; 2. 上海大學(xué) 機(jī)電工程與自動化學(xué)院,上海 200072)

將壓電材料與梁、板、殼等基體結(jié)構(gòu)相結(jié)合所形成的壓電智能結(jié)構(gòu)常被應(yīng)用于航空航天等領(lǐng)域[1]。目前,常見壓電智能結(jié)構(gòu)的基體材料大多以金屬材料[2]、聚合物材料[3]、功能梯度材料[4]和正交鋪設(shè)的層合材料[5]為主。近年來,科學(xué)技術(shù),尤其是新一代航空航天技術(shù)的飛速發(fā)展也對航空航天裝備在高性能、輕量化、長壽命等方面提出了更高的要求。在壓電智能結(jié)構(gòu)中,壓電材料的尺寸和重量相對于基體材料可以忽略不計。因此,基體結(jié)構(gòu)的材料選擇和幾何設(shè)計成為了壓電智能結(jié)構(gòu)輕量化設(shè)計的主要方向。多孔材料[6-7](例如金屬泡沫材料),因具有質(zhì)量輕、強(qiáng)度高等優(yōu)點(diǎn),為壓電結(jié)構(gòu)基體材料的選擇提供了一種新的可能。另外,多孔材料中的孔隙常被設(shè)計為沿某一或多個方向上呈梯度分布,所形成的功能梯度多孔材料的力學(xué)性能在特定方向上也呈連續(xù)梯度分布,具有良好的抗沖擊性能[8]。因此,以功能梯度多孔材料作為壓電智能結(jié)構(gòu)的基體材料,可以保證結(jié)構(gòu)在具有較高剛度的同時有效地降低結(jié)構(gòu)的質(zhì)量。但研究表明,基體材料內(nèi)部孔隙的不斷增大會導(dǎo)致結(jié)構(gòu)的剛度不斷減小[9]。

碳納米材料,如一維碳納米管(carbon nanotubes, CNTs)[10-11]和二維石墨烯納米片(graphene platelets, GPLs)[12-13],具有低密度、高強(qiáng)度及優(yōu)異的抗疲勞特性等優(yōu)點(diǎn),使其成為復(fù)合材料理想的增強(qiáng)體。試驗(yàn)表明相比于CNTs,GPLs具有更大的比表面積,可以更有效地與基體材料結(jié)合,大幅度增強(qiáng)復(fù)合材料的機(jī)械性能[14-15]。目前,已有部分學(xué)者對石墨烯增強(qiáng)功能梯度多孔梁、板、殼結(jié)構(gòu)的建模方法進(jìn)行了研究。為書寫方便,本文將石墨烯增強(qiáng)功能梯度多孔材料簡寫為GPLs-FGP,壓電集成石墨烯增強(qiáng)功能梯度多孔材料簡寫為P-GPLs-FGP。Kitipornchai等[16-17]利用Timoshenko梁理論建立了GPLs-FGP梁的線性和非線性理論模型,并研究了梁的振動和屈曲行為。基于經(jīng)典理論(classical theory, CT)。Li等[18]構(gòu)建了GPLs-FGP殼結(jié)構(gòu)的熱彈性屈曲模型。針對GPLs-FGP板結(jié)構(gòu),Gao等[19-20]分析了Winkler-Pasternak彈性基礎(chǔ)上GPLs-FGP板的非線性振動響應(yīng)。采用伽遼金法,Teng等[21]基于CT探索了GPLs-FGP薄板的非線性強(qiáng)迫振動響應(yīng),Xu等[22]則基于一階剪切變形理論(first-order shear deformation theory, FSDT)提出了一種熱屈曲解析解模型。Arshid等[23-24]采用廣義微分求積法建立了GPLs-FGP板的熱屈曲數(shù)值分析模型。Yang等[25-26]利用無網(wǎng)格法和Chebyshev-Ritz法分析了GPLs-FGP板的屈曲和自由振動問題。相對而言,有限單元法仍是GPLs-FGP結(jié)構(gòu)數(shù)值法建模的主要手段之一,利用有限單元法,Li等[27]分析了GPLs-FGP圓柱殼在徑向載荷作用下的靜力學(xué)響應(yīng);Genao等[28]基于高階剪切變形理論(higher-order shear deformation theory, HSDT)建立了機(jī)-熱載荷下GPLs-FGP微尺度板的非線性有限元模型;Nguyen等[29]則基于HSDT和一種多邊形有限單元法對GPLs-FGP板的自由振動進(jìn)行了分析。此外,Li等[30]和Nguyen等[31]先后利用等幾何分析(Isogeometric analysis, IGA)方法建立了GPLs-FGP板的數(shù)值分析模型,并研究了板的固有頻率、靜態(tài)彎曲和屈曲響應(yīng)。在他們的研究中,Li等采用的是FSDT和Reddy’HSDT,而Nguyen等采用的是一種僅包含3自由度的HSDT,但該理論要求基函數(shù)至少C3連續(xù)。

上述研究工作表明將少量的GPLs填充到多孔材料中,所形成的石墨烯增強(qiáng)的功能梯度多孔材料可以在保留多孔材料輕質(zhì)性的同時,有效地解決因孔隙增加所引起的結(jié)構(gòu)剛度減小問題。因此,GPLs-FGP材料成為了壓電智能結(jié)構(gòu)基體材料的重要選擇之一。Al-Furjan等[32]建立了微尺度P-GPLs-FGP圓柱殼結(jié)構(gòu)的解析解模型。Moradi-Dastjerdi等[33]結(jié)合HSDT和無網(wǎng)格方法分析了彈性基礎(chǔ)上P-GPLs-FGP板的屈曲響應(yīng)。Nguyen等[34-35]則基于HSDT和IGA方法建立了P-GPLs-FGP板的線性和非線性模型,并對板的靜力學(xué)、動力學(xué)和主動振動控制問題進(jìn)行了研究。

由上述文獻(xiàn)可知,目前板、殼結(jié)構(gòu)的數(shù)值建模方法大多采用CT,FSDT和HSDT。其中,CT僅包含3個未知變量,計算效率相對較高,但其忽略了橫向剪切變形,只適用于分析尺寸較薄的結(jié)構(gòu)。FSDT包含5個未知變量,其考慮了橫向剪切變形,但在結(jié)構(gòu)較薄時會因無法滿足Kirchhoff假設(shè)而出現(xiàn)剪切自鎖的現(xiàn)象,因此僅適用于中等厚度板、殼結(jié)構(gòu)的分析。HSDT相對較為準(zhǔn)確,但其未知變量一般大于等于5個,且離散化過程較為復(fù)雜。此外,在壓電智能結(jié)構(gòu)中,壓電材料的機(jī)電耦合特性使得結(jié)構(gòu)的建模和分析變得更為復(fù)雜。因此,建立數(shù)值分析模型時所選擇的板、殼理論直接影響著結(jié)構(gòu)分析的準(zhǔn)確性和高效性。

值得注意的是,Thai等[36-37]提出了一種簡化一階剪切變形理論(simple first-order shear deformation theory, S-FSDT),該理論由一階剪切變形理論推導(dǎo)而來,在分析薄板時,S-FSDT自動退化為經(jīng)典理論,從而滿足Kirchhoff假設(shè)。在分析中等厚度板時,該理論既考慮了剪切變形且僅含有4個未知變量,具有較高的計算精度和計算效率,但其要求位移場插值函數(shù)滿足C1連續(xù)性。作為一種新興的數(shù)值方法,IGA方法的基本思想是將計算機(jī)輔助設(shè)計(computer aided design,CAD)的NURBS基函數(shù)直接作為有限元分析的形函數(shù),利用樣條的控制節(jié)點(diǎn)作為計算網(wǎng)格節(jié)點(diǎn),從而在表達(dá)上使CAD與CAE獲得統(tǒng)一。因此,IGA方法具有幾何精確、精度高、魯棒性好、無需傳統(tǒng)的網(wǎng)格劃分過程等優(yōu)點(diǎn)。此外,NURBS的高階連續(xù)性恰好可以滿足S-FSDT的C1連續(xù)性這一要求。

根據(jù)上述分析,本文首先結(jié)合IGA方法和S-FSDT建立了集成電層的石墨烯增強(qiáng)功能梯度多孔板的數(shù)值分析模型,在結(jié)構(gòu)基體材料中孔隙與石墨烯的都具有非均勻?qū)ΨQ分布、非均勻非對稱分布和均勻分布3種分布形式;其次,通過與已有文獻(xiàn)進(jìn)行對比驗(yàn)證了本文模型的準(zhǔn)確性和有效性;最后,利用該模型詳細(xì)分析了孔隙分布形式、孔隙系數(shù)、石墨烯分布模式、石墨烯質(zhì)量分?jǐn)?shù)以及板的寬厚比和邊界條件對結(jié)構(gòu)自由振動和靜態(tài)彎曲響應(yīng)的影響。

1 P-GPLs-FGP板的等幾何分析模型

如圖1所示,P-GPLs-FGP板的長度為a,寬度為b,中間層是厚度為hc的GPLs-FGP板,上、下層是厚度為hp的壓電層,結(jié)構(gòu)的總厚度h=hc+2hp。

圖1 壓電集成石墨烯增強(qiáng)功能梯度多孔板Fig.1 Piezoelectric integrated graphene platelets reinforced functionally graded porous plate

1.1 GPLs-FGP材料的有效屬性

圖2 孔隙分布方式Fig.2 Types of porosity distribution

中間層GPLs-FGP板的彈性模量、剪切模量和密度可表示為

(1)

式中:E*,ν*和ρ*分別為無孔隙時復(fù)合材料的有效彈性模量、泊松比和密度;e0為孔隙系數(shù);em為密度系數(shù),分別表示為

(2)

(3)

φ(z)為孔隙分布函數(shù),對應(yīng)圖2所示的3種孔隙分布形式,表示為

(4)

根據(jù)高斯隨機(jī)場(Gaussian random field, GRF)理論,多孔材料的彈性模量與密度之間存在如下關(guān)系

(5)

將式(1)代入式(5),得到

(6)

同樣根據(jù)閉胞體GRF理論[38],GPLs-FGP材料的泊松比ν(z)可表示為

ν(z)=0.221p′+ν*(0.342p′2-1.121p′+1)

(7)

式中,ν*為不含孔隙時石墨烯增強(qiáng)基體材料的泊松比。

(8)

根據(jù)改進(jìn)Halpin-Tsai微觀力學(xué)模型,無孔隙時石墨烯增強(qiáng)功能梯度材料的彈性模量E*為

其中,

(10)

式中:wGPL,lGPL和tGPL分別為石墨烯納米片的平均寬度、長度和厚度;EGPL和Em分別為石墨烯和基體的彈性模量。

與孔隙分布類似,石墨烯同樣具有三種分布模式,非均勻?qū)ΨQ分布GPL-S、非均勻非對稱分布GPL-A和均勻分布GPL-U,如圖3所示。不同分布模式下,石墨烯沿厚度方向的體積分?jǐn)?shù)為

圖3 石墨烯分布模式Fig.3 Dispersion patterns of GPLs

(11)

式中,Si1,Si2和Si3為石墨烯體積分?jǐn)?shù)的最大值,i=1,2,3分別為PD-S,PD-A和PD-U 3種孔隙分布形式。每一種孔隙分布都可以與3種不同的石墨烯分布模式相結(jié)合,因此,本文共有9種不同的組合形式。Si1,Si2和Si3可以根據(jù)石墨烯的體積分?jǐn)?shù)VGPL和質(zhì)量分?jǐn)?shù)WGPL的關(guān)系(見式(12))計算得到。

(12)

假設(shè)不同孔隙分布和石墨烯分布模式下,GPLs-FGP板的質(zhì)量M相等,則M可定義為

(13)

根據(jù)式(5),可以得到孔隙均勻分布時(PD-U)的孔隙系數(shù)

(14)

最后,根據(jù)復(fù)合材料混合定律,石墨烯增強(qiáng)復(fù)合材料的密度和泊松比可表示為

ρ*=ρGPLVGPL+ρmVm

(15)

ν*=νGPLVGPL+νmVm

(16)

式中:ρGPL,νGPL和VGPL分別為石墨烯的密度、泊松比和體積分?jǐn)?shù);ρm,νm和Vm= 1-VGPL分別為基體的密度、泊松比和體積分?jǐn)?shù)。

1.2 簡化一階剪切變形理論

根據(jù)一階剪切變形理論,可得到板的位移場為

(17)

式中:u0,v0,w0分別為x,y,z方向上的中面位移;βx和βy分別為中面法線繞y軸和x軸的轉(zhuǎn)角。

在分析薄板時,一階剪切變形理論會因無法滿足Kirchhoff假設(shè)出現(xiàn)剪切自鎖現(xiàn)象。本文采用的簡化一階剪切變形理論是由一階剪切變形理論推導(dǎo)而來。首先將式(17)中的撓度w0分解為彎曲撓度wb和剪切撓度ws兩項,即w0=wb+ws;其次,將轉(zhuǎn)角變量分別由彎曲撓度對坐標(biāo)的導(dǎo)數(shù)表示,即βx=-?wb/?x,βy=-?wb/?y。因此,簡化一階剪切變形理論的位移模式可表示為

(18)

在分析薄板時,剪切撓度ws可以忽略,從而滿足Kirchhoff假設(shè),有效消除剪切自鎖現(xiàn)象。在分析中等厚度板時,簡化一階剪切變形理論既考慮了剪切變形,又僅包含4個未知變量(u0,v0,wb,ws),可以在保證精確性的同時提高計算效率。

式(18)可改寫為

(19)

其中,

(20)

根據(jù)幾何方程,應(yīng)變-位移關(guān)系可表示為

(21)

式中,

(22)

廣義應(yīng)變S為

(23)

式中,

(24)

1.3 本構(gòu)方程

對于上、下層的壓電材料,其本構(gòu)方程為

(25)

式中:σ和ε為應(yīng)力和應(yīng)變向量;Q為彈性系數(shù)矩陣;E為電場強(qiáng)度向量;D為電位移向量;e和g分別為壓電應(yīng)力常數(shù)矩陣和介電常數(shù)矩陣。

彈性系數(shù)矩陣Q的定義為

(26)

其中,

(27)

壓電應(yīng)力常數(shù)矩陣和介電常數(shù)矩陣分別為

(28)

(29)

本文僅考慮外部電場沿z軸方向的作用,并假設(shè)壓電層的每一個單元只有一個電自由度,因此,電場可表示為

E=-?φ=Bφφ

(30)

其中,

(31)

1.4 等幾何分析

二維NUBRS樣條基函數(shù)是由兩個一維B樣條基函數(shù)的張量積組成,可表示為

(32)

式中:wi,j為權(quán)因子;Bi,p(ξ)和Bj,q(η)分別為ξ方向上的p階和η方向上的q階B樣條基函數(shù)。

利用NURBS基函數(shù),板的機(jī)械位移場可表示為

(33)

(34)

將式(34)代入式(24),廣義應(yīng)變S可改寫為

(35)

其中,

(36)

(37)

(38)

1.5 控制方程

利用哈密頓變分原理(見式(39)),可推導(dǎo)出板結(jié)構(gòu)的弱形式。

(39)

式中:t1和t2為起始和結(jié)束時間;L為總能量,包括動能T、勢能U和外力所做的功Wext。式(39)可展開為

(40)

將式(19)、式(25)和式(33)代入式(40),并對單元進(jìn)行組裝,得到P-GPLs-FGP板的運(yùn)動控制方程為

(41)

式中:Muu為質(zhì)量矩陣;Kuu為機(jī)械剛度矩陣;Kφφ為壓電材料自適應(yīng)剛度矩陣;Kuφ和Kφu為機(jī)電耦合剛度矩陣;f為機(jī)械載荷;fφ為壓電層表面的電荷面密度等效控制電量。其具體表達(dá)式為

(42)

其中,

(43)

(44)

(45)

(46)

(47)

2 算例分析

本章,首先通過分析GPLs-FGP板的固有頻率和P-GPLs-FGP板在機(jī)-電載荷作用下的靜態(tài)彎曲響應(yīng),對本文等幾何分析模型的有效性和準(zhǔn)確性進(jìn)行驗(yàn)證。在此基礎(chǔ)上,分析了孔隙系數(shù)、孔隙分布形式、石墨烯質(zhì)量分?jǐn)?shù)、石墨烯分布方式、寬厚比和邊界條件對P-GPLs-FGP板的固有頻率和靜態(tài)彎曲響應(yīng)的影響。本文所有數(shù)值算例的NURBS基函數(shù)階次均為p=q=3,網(wǎng)格密度均采用17×17。為方便起見,機(jī)械邊界條件簡寫為:簡支(S),固支(C),自由(F)。如未特殊說明,板的材料參數(shù)如表1所示。

表1 材料參數(shù)Tab.1 Material parameters

2.1 驗(yàn)證性分析

2.1.1 GPLs-FGP板的固有頻率分析

一個四邊簡支板(SSSS)的尺寸為a=b=1 m,h=0.005a,hp=0.1h,hc=0.8h。上、下層為鋁,中心層為鋁基GPLs-FGP材料,孔隙和石墨烯都為均勻分布(PD-U, GPL-U)。石墨烯與孔隙的參數(shù)為lGPL=2.5×10-6m,wGPL=1.5×10-6m,tGPL=1.5×10-9m,WGPL=1.0%,e0=0.5。表2為板的第1、第5、第11和第21階固有頻率?？梢钥闯?本文結(jié)果與Li等的解析解結(jié)果和Nguyen等基于HSDT的等幾何分析結(jié)果較為接近,這驗(yàn)證了本文方法對于石墨烯增強(qiáng)功能梯度多孔板固有頻率分析的有效性和準(zhǔn)確性。

表2 GPLs-FGP板的固有頻率Tab.2 Natural frequency of the GPLs-FGP plate

2.1.2 P-GPLs-FGP板的靜態(tài)彎曲分析

一個懸臂P-GPLs-FGP板的尺寸為a×b×h=400 mm×400 mm×5 mm,中間層的基體材料為黃銅,上、下壓電層為PZT-G1195N,厚度hp=0.1 mm。石墨烯納米片的尺寸和質(zhì)量參數(shù)與2.1.1節(jié)相同,且e0=0.2。表3給出了不同孔隙和石墨烯分布形式下,板在q0=-100 N/m2均布機(jī)械載荷和電載荷作用下的中心線末端撓度。對比可知,同樣是基于IGA框架,本文采用簡化一階剪切變形理論的結(jié)果與Nguyen等采用高階剪切變形理論的結(jié)果較為吻合。

表3 機(jī)電載荷作用下懸臂P-GPLs-FGP板的末端撓度Tab.3 Tip deflection of the cantilevered P-GPLs-FGP plate subjected to the electro-mechanical loads 單位:10-4m

2.2 自由振動分析

一個P-GPLs-FGP板的尺寸為:a=b=400 mm,中心層是厚度為hc的鋁基GPLs-FGP板,上、下層是厚度為0.1 mm的PZT-G1195N。表4為WGPL=1.0 %,e0=0.2時,孔隙分布形式、石墨烯分布方式、基體的寬厚比和電學(xué)條件對四邊簡支板的固有頻率的影響。電學(xué)邊界條件分為短路和開路兩種,當(dāng)電場強(qiáng)度為零而電位移不為零時,電學(xué)邊界條件為短路;當(dāng)電位移為零而電場強(qiáng)度不為零時,電學(xué)邊界條件為開路。結(jié)果表明:①對于每一種孔隙分布,石墨烯為非均勻?qū)ΨQ分布(GPL-S)時板的固有頻率的最大,因此GPL-S型石墨烯分布方式對板的增強(qiáng)效果最好;②對于每一種石墨烯分布,板在孔隙非均勻?qū)ΨQ分布(PD-S)時的固有頻率最高;③開路邊界狀態(tài)下板的頻率略高于短路狀態(tài);④隨著寬厚比的增大,板的固有頻率逐漸減小。表5給出了hc=20 mm、PD-S和GPL-S分布時孔隙系數(shù)和石墨烯質(zhì)量分?jǐn)?shù)對四邊簡支和四邊固支板前六階固有頻率的影響?？梢钥闯?石墨烯質(zhì)量分?jǐn)?shù)的增大會引起板固有頻率的增大,而孔隙系數(shù)的增大使得板的固有頻率先減小后增大,且CCCC板的固有頻率高于SSSS板的固有頻率。圖4為四邊簡支板的前六階固有振型。為進(jìn)一步驗(yàn)證石墨烯質(zhì)量分?jǐn)?shù)WGPL與孔隙數(shù)e0對板固有頻率的影響,圖5為e0=0和e0=0.2時,石墨烯質(zhì)量分?jǐn)?shù)對不同孔隙和石墨烯分布形式下板固有頻率的影響。由圖5可知:①板內(nèi)部不含孔隙(e0=0)和含孔隙(e0=0.2)時,固有頻率與石墨烯質(zhì)量分?jǐn)?shù)都近似呈線性關(guān)系,且固有頻率隨石墨烯質(zhì)量分?jǐn)?shù)增大而增大;②對于每一種孔隙分布,GPL-S型石墨烯分布方式對固有頻率的增強(qiáng)效果最好。圖6為WGPL=0 %和WGPL=1.0 %時,孔隙系數(shù)對不同孔隙和石墨烯分布形式下板的固有頻率的影響?？梢钥闯?①PD-A和PD-U型孔隙分布時板的固有頻率隨孔隙系數(shù)增大而減小;②PD-S孔隙分布時固有頻率先隨孔隙系數(shù)的增大小幅度地減小,但當(dāng)孔隙系數(shù)增大至一定程度時,固有頻率隨孔隙系數(shù)增大而增大。造成這種現(xiàn)象的原因是,孔隙系數(shù)的增大會同時減小基體的剛度和質(zhì)量,當(dāng)孔隙系數(shù)增大到一定程度時,質(zhì)量的減小速率大于剛度的減小速率,使得固有頻率呈現(xiàn)增大的趨勢,該結(jié)論也與Gao等的結(jié)論一致。

表4 e0=0.2,WGPL=1.0%時P-GPLs-FGP板的固有頻率Tab.4 Natural frequency of the P-GPLs-FGP plate with e0= 0.2,WGPL=1.0% 單位:Hz

表5 石墨烯質(zhì)量分?jǐn)?shù)和孔隙系數(shù)對P-GPLs-FGP板固有頻率的影響Tab.5 Effects of GPLs weight fraction and porosity coefficients on natural frequencies of the P-GPLs-FGP plate 單位:Hz

圖4 四邊簡支板的前六階固有振型Fig.4 First six mode shapes of the SSSS plate

圖5 石墨烯質(zhì)量分?jǐn)?shù)對固有頻率的影響Fig.5 Effect of GPLs weight fraction on the natural frequency

圖6 孔隙系數(shù)對固有頻率的影響Fig.6 Effect of porosity coefficient on the natural frequency

綜合圖5和圖6可知,孔隙和石墨烯均為非均勻?qū)ΨQ分布(PD-S,GPL-S)時板的固有頻率最大。這是因?yàn)閷ΨQ分布時基體的上下面石墨烯密度大,孔隙體積小,使得石墨烯和基體充分結(jié)合,發(fā)揮其高剛度特性,增強(qiáng)板的承載能力。

圖7為不同邊界條件下,不含孔隙系數(shù)(e0=0)和石墨烯(WGPL=0)時(純鋁板)與含孔隙(e0=0.2)和石墨烯(WGPL=1.0 %)時在不同的分布形式下板固有頻率的變化趨勢。同樣可以看出,不同邊界條件下,孔隙和石墨烯為非均勻?qū)ΨQ分布形式時板的固有頻率最大。而且因?yàn)楣讨l件對結(jié)構(gòu)的約束性更強(qiáng),因此CCCC板的固有頻率>SCSC板的固有頻率>SSSS板的固有頻率>CFFF板的固有頻率。

圖7 不同機(jī)械邊界條件下P-GPLs-FGP板的固有頻率Fig.7 Natural Frequencies of P-GPLs-FGP plate with different mechanical boundary conditions

2.3 靜態(tài)彎曲分析

假設(shè)WGPL=1.0 %,e0=0.5,圖8所示為不同孔隙和石墨分布形式下懸臂板和四邊簡支板在機(jī)械載荷q0=-100 N/m2和電載荷UE=5 V下的撓度?？梢钥闯?①不同載荷下PD-S和GPL-S型分布組合時板的撓度最小;②對于每一種孔隙分布,石墨烯GPL-S型分布對板的剛度增強(qiáng)效果最好,GPL-U型其次,GPL-A型最差;③對于每一種石墨烯分布,孔隙PD-S型分布時剛度最大,其次分別為PD-U和PD-A型分布。

圖8 不同載荷下孔隙和石墨分布形式對撓度的影響Fig.8 Effect of distribution types of porosity and GPLs on the deflection under different loads

為進(jìn)一步研究孔隙系數(shù)和石墨烯質(zhì)量分?jǐn)?shù)對板靜態(tài)彎曲響應(yīng)的影響,圖9和圖10分別為機(jī)-電載荷下板的撓度隨孔隙系數(shù)和石墨烯質(zhì)量分?jǐn)?shù)的變化趨勢?？梢钥闯?①孔隙的增大導(dǎo)致板的剛度減小,因此撓度增大;②通過在基體中添加微量的石墨烯,能有效地增強(qiáng)板的剛度,石墨烯質(zhì)量分?jǐn)?shù)越大,板的剛度越大,撓度越小;③隨孔隙系數(shù)和石墨烯質(zhì)量分?jǐn)?shù)增大,PD-S型和GPL-S型分布形式組合時板的剛度仍然最大,撓度最小。

圖9 孔隙系數(shù)對P-GPL-FGP板撓度的影響Fig.9 Effect of porosity coefficient on the deflection of P-GPL-FGP plates

圖10 石墨烯質(zhì)量分?jǐn)?shù)對P-GPL-FGP板撓度的影響Fig.10 Effect of GPLs weight fraction on the deflection of P-GPL-FGP plates

圖11為板的寬厚比對P-GPLs-FGP板靜態(tài)彎曲響應(yīng)的影響。由圖可知,寬厚比對板的撓度有明顯影響,隨寬厚比增大,板的整體剛度減小,撓度增大,寬厚比小于30時板的變形量較小且相對穩(wěn)定。

圖11 寬厚比對P-GPL-FGP板撓度的影響Fig.11 Effect of width-to-thickness ratio on the deflection of P-GPL-FGP plates

3 結(jié) 論

本文基于簡化一階剪切變形理論和等幾何方法建立了P-GPLs-FGP板的等幾何數(shù)值分析模型,研究了孔隙分布形式、石墨烯分布方式、孔隙系數(shù)、石墨烯質(zhì)量分?jǐn)?shù)以及結(jié)構(gòu)的寬厚比對板的自由振動和靜態(tài)彎曲響應(yīng)的影響,得出下列結(jié)論:

(1) 與已有等幾何分析框架下的高階剪切變形理論結(jié)果相比,該模型能夠較準(zhǔn)確地反映板的自由振動和靜態(tài)彎曲響應(yīng)。

(2) PD-A和PD-U分布時固有頻率隨孔隙增大而減小,PD-S分布時板的固有頻率先隨孔隙系數(shù)的增大小幅度地減小,但當(dāng)孔隙系數(shù)增大至一定程度時,固有頻率隨孔隙系數(shù)增大而增大;石墨烯質(zhì)量分?jǐn)?shù)增大,板的固有頻率增大。

(3) 孔隙系數(shù)增大,板的剛度減小,撓度增大;石墨烯質(zhì)量分?jǐn)?shù)增大,板的剛度增大,撓度減小。

(4) 石墨烯GPL-S型分布對板剛度的增強(qiáng)效果最好;孔隙PD-S型分布時板的剛度最大。因此,PD-S型和GPL-S型分布形式組合時板的剛度最大。