陳明飛 王曉東 宋 勛 王 東 王 偉

隨著人工智能、多傳感器信息融合和網(wǎng)絡(luò)通信等相關(guān)技術(shù)的高速發(fā)展,由無人機和無人車等智能設(shè)備組成的集群系統(tǒng)作為未來智能化戰(zhàn)場環(huán)境下的新型武器,受到了中美等軍事強國的高度關(guān)注.相比于單一個體,集群系統(tǒng)通過信息傳遞實現(xiàn)個體間相互合作,形成優(yōu)勢互補,并借助數(shù)量龐大的優(yōu)勢在軍事對抗中占據(jù)主導(dǎo)地位.編隊控制作為集群系統(tǒng)的重要研究課題之一,已廣泛應(yīng)用于軍事領(lǐng)域,如多架低成本的無人機形成固定的隊形以保護高價值的有人機免受敵方攻擊.相較于集中式控制,基于多智能體架構(gòu)的分布式控制具有去中心化、良好的可擴展性和魯棒性等特點,已成為國內(nèi)外的研究熱點.

隨著多智能體系統(tǒng)一致性理論發(fā)展,分布式編隊控制技術(shù)取得了豐富的研究成果[1-12].文獻[1]設(shè)計基于相對狀態(tài)反饋的控制器,通過局部信息傳遞,跟隨者與領(lǐng)航者之間保持固定的距離實現(xiàn)編隊控制.文獻[3]考慮了通信鏈路故障下的編隊問題,結(jié)合李雅普諾夫穩(wěn)定性理論和線性矩陣不等式技術(shù),證明設(shè)計的控制系統(tǒng)是穩(wěn)定的.針對無人機系統(tǒng)存在未知擾動的情況,文獻[5]基于有限時間控制理論設(shè)計分布式自適應(yīng)控制協(xié)議,減少了跟蹤誤差.文獻[6]考慮了固定翼無人機集群在航行過程中存在速度約束和風速干擾的情況,設(shè)計僚機跟隨長機的分布式控制律,實現(xiàn)編隊跟蹤控制.針對固定有向通信網(wǎng)絡(luò)和時變有向通信網(wǎng)絡(luò)兩種情況,文獻[10]設(shè)計基于觀測器的分布式控制協(xié)議,給出時變編隊的充分條件.文獻[11-12]分別研究了高階同構(gòu)系統(tǒng)和高階異構(gòu)系統(tǒng)的有限時間編隊跟蹤問題.

在上述提到的集群編隊工作[1-12]中,研究者根據(jù)領(lǐng)航者與跟隨者之間的相對位置和姿態(tài)等信息,通過設(shè)計相應(yīng)的控制協(xié)議,使得運動軌跡滿足預(yù)先設(shè)定的偏移函數(shù).然而,上述文獻并沒有結(jié)合特定實際的背景衡量隊形的收益,也沒有判斷集群的隊形是否為最優(yōu)的.為了獲得集群系統(tǒng)中個體的最優(yōu)位置,文獻[13]基于博弈論研究了四旋翼無人機集群的最優(yōu)位置問題.但每架無人機在相互競爭的場景下僅衡量自身的收益,獲得的個體最優(yōu)位置并不意味著整個集群系統(tǒng)是最優(yōu)的.為了充分發(fā)揮集群協(xié)作的優(yōu)勢,文獻[14]將靜態(tài)的隊形優(yōu)化問題建模為分布式聚合優(yōu)化問題: 每個智能體有一個與自身位置和集群中心位置相關(guān)的目標函數(shù),通過局部信息交互衡量集群系統(tǒng)的整體收益,合作構(gòu)建最優(yōu)隊形.在實際的跟隨者形成最優(yōu)隊形環(huán)繞在領(lǐng)航者周圍并抵御入侵者攻擊的情形下,跟隨者的目標函數(shù)會隨著入侵者位置和領(lǐng)航者位置動態(tài)變化.因此,關(guān)于時變目標函數(shù)的領(lǐng)航者-跟隨者隊形優(yōu)化問題亟待進一步研究.

受上述工作啟發(fā),本文考慮了領(lǐng)航者-跟隨者集群系統(tǒng)的隊形優(yōu)化問題,每個跟隨者不僅需要保護領(lǐng)航者,還存在威懾入侵者和避障等任務(wù),并基于多智能體分布式優(yōu)化理論,將上述問題建模為在線聚合優(yōu)化問題.通過分布式搜尋全局目標函數(shù)的極小值優(yōu)化領(lǐng)航者-跟隨者的隊形.主要創(chuàng)新點如下:

1）結(jié)合梯度下降法和投影算子,提出了一種固定步長的離散時間分布式在線算法.基于矩陣放縮方法,證明設(shè)計的算法動態(tài)遺憾界與常數(shù)項和在線時間相關(guān).

2）結(jié)合動態(tài)平均一致性協(xié)議和梯度追蹤方法,實現(xiàn)分布式估計集群系統(tǒng)的中心位置,充分保護了跟隨者的隱私.

1 預(yù)備知識與問題描述

1.1 符號說明

首先介紹本文使用的符號.

Rn表示n 維實向量空間.1n和0n分別是所有元素均為1 和0 的n 維列向量.定義△g 是函數(shù)g 的梯度以及列向量.表示矩陣A 和矩陣B 的克羅內(nèi)克積.定義為歐幾里得范數(shù).對于任意的矩陣A 和向量a,則有.表示矩陣A 的譜半徑.

1.2 圖論

1.3 問題描述

考慮領(lǐng)航者-跟隨者集群系統(tǒng)的隊形優(yōu)化問題,其中,由n 個跟隨者旨在形成最優(yōu)隊形保護領(lǐng)航者免受入侵者攻擊.本文不考慮底層姿態(tài)和機動控制,僅將領(lǐng)航者和跟隨者看作運動的質(zhì)點,采用如下模型描述跟隨者的運動

在上述問題中,跟隨者i 存在如下的局部目標函數(shù)[14-15]:

注2 在集群編隊問題[5-7]中,跟隨者xi需要與領(lǐng)航者x0之間保持編隊偏移量di,即.然而,編隊偏移函數(shù)di往往是根據(jù)先驗知識設(shè)定的.如果偏移函數(shù)設(shè)定較差,則難以充分發(fā)揮集群系統(tǒng)中智能體的互補優(yōu)勢.在問題（2）中,通過求解在線聚合優(yōu)化問題尋找最優(yōu)決策,跟隨者形成最優(yōu)隊形保護領(lǐng)航者免受入侵者攻擊.

注3 不同于分布式優(yōu)化問題[16],分布式聚合優(yōu)化問題（2）局部目標函數(shù)fi不僅與局部決策xi相關(guān),還依賴于全局聚合信息.此外,在聚合博弈[17]問題中,所有參與者以非合作的方式尋找納什均衡點.而問題（2）中跟隨者以合作的方式最小化函數(shù),形成最優(yōu)隊形.

為了方便后續(xù)分析,給出如下假設(shè).

本文旨在設(shè)計分布式算法求解在線聚合優(yōu)化問題（2）的極小值,進而確定領(lǐng)航者-跟隨者集群系統(tǒng)的最優(yōu)隊形.

2 算法設(shè)計與收斂性分析

2.1 算法設(shè)計

根據(jù)式（1）、式（4）～式（6）,設(shè)計的算法的緊湊形式如下:

其中,

2.2 收斂性分析

在分析算法（7）的收斂性之前,給出后續(xù)證明中用到的引理.

引理2[14]在假設(shè)2～5 的前提下,對所有的,則有

引理3[18]假定是一個非負不可約矩陣且對角元素滿足.矩陣M 的譜半徑的充要條件是.

引理4[14]在假設(shè)1 的前提下,存在正數(shù)滿足

下面的引理給出了核心的矩陣不等式關(guān)系.

引理6 在假設(shè)1～5 的前提下,算法（7）的軌跡使得下列不等式成立:

如果步長α 滿足

整理式（10）,式（13）和式（16）可得式（8）.根據(jù)引理3,計算行列式

結(jié)合式（18）和式（19）,可得式（9）.根據(jù)文獻[20]中定理6.2.24,由于矩陣M 對應(yīng)的有向圖是強連通的,則M 不可約矩陣.由引理3 可得矩陣M 譜半徑.證畢.

下面的定理描述了算法（5）動態(tài)遺憾界.

定理1 假設(shè)1～5 成立.如果步長α 滿足式（9）,則動態(tài)遺憾界滿足

證明: 首先,遞歸迭代式（8）可得

對式（21）兩邊同時取歐幾里得范數(shù)可得

根據(jù)式（3）,動態(tài)遺憾界為

因此,可得動態(tài)遺憾界RT式（20）.證畢.

,且步長α 滿足式（9）,則動態(tài)平均遺憾界滿足

對式（25）兩邊同時取2 范數(shù)可得

由式（23）和式（26）可得

同理,動態(tài)遺憾界為

則平均動態(tài)遺憾界為

因此,可得平均動態(tài)遺憾界式（24）.證畢.

注7 文獻[14]將集群系統(tǒng)的隊形優(yōu)化問題建模為分布式聚合優(yōu)化問題,通過設(shè)計離線分布式算法求解全局函數(shù)極小值.然而,文獻[14]的算法無法處理局部目標函數(shù)隨時間變化的情況.因此,本文將離線的聚合優(yōu)化問題延伸到在線情形,利用矩陣放縮方法分析算法的動態(tài)遺憾界.此外,采用動態(tài)平均一致性方法,實現(xiàn)分布式估計集群系統(tǒng)的中心位置和平均梯度,充分保護了跟隨者的隱私.

3 仿真算例

考慮由1 個領(lǐng)航者和4 個跟隨者組成的集群系統(tǒng)的隊形優(yōu)化問題,跟隨者相應(yīng)的通訊網(wǎng)絡(luò)如圖1所示.其中,跟隨者形成最優(yōu)隊形保護領(lǐng)航者免受入侵者攻擊.在仿真中,僅考慮二維平面的運動軌跡（可直接擴展到多維空間）,設(shè)定運動區(qū)域約束為,安全距離,權(quán)重系數(shù),,障礙物d0是以為圓心,半徑為0.4 的圓.假定入侵者從運動區(qū)域外圍向領(lǐng)航者逼近,設(shè)定領(lǐng)航者和入侵者的運動軌跡為

圖1 集群系統(tǒng)的通訊網(wǎng)絡(luò)Fig.1 The communication network of the swarm system

圖2 算法（5）的平均動態(tài)遺憾界Fig.2 The evolutions of the average dynamic regret of algorithm（5）

圖3 集群系統(tǒng)的運動的軌跡Fig.3 Movement trajectories of the swarm system

圖4 t=500 時集群系統(tǒng)的位置Fig.4 Locations of the swarm system at t=500

圖5 t=1 000 時集群系統(tǒng)的位置Fig.5 Locations of the swarm system at t=1 000

4 結(jié)論

本文提出了一個固定步長的離散時間算法解決分布式在線聚合優(yōu)化問題.結(jié)合動態(tài)平均一致性協(xié)議和矩陣放縮方法,證明跟隨者軌跡的動態(tài)遺憾界與常數(shù)項和在線時間相關(guān).設(shè)計的算法為領(lǐng)航者-跟隨者集群系統(tǒng)的隊形優(yōu)化問題提供了理論依據(jù),具有良好的應(yīng)用價值.